最新圆与相似三角形、三角函数专题(含答案)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合

类型一：圆与相似三角形的综合

1．如图，BC是⊙A的直径，△DBE的各个顶点均在⊙A上，BF⊥DE于点F.求证：BD·BE ＝BC·BF.

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BC于点E.

(1)求证：点E是边BC的中点；

(2)求证：BC2＝BD·BA；

(3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是等腰直角三角形．

解：(1)连结OD，∵DE为切线，∴∠EDC＋∠

ODC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECD＋∠OCD

＝90°.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠EDC＝∠ECD，∴ED＝EC.∵AC为直径，∴

∠ADC＝90°，∴∠BDE＋∠EDC＝90°，∠B

＋∠ECD＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴ED＝EB，

∴EB＝EC，即点E为边BC的中点

(2)∵AC为直径，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴ABBC ＝BCBD，∴BC2＝BD•BA

(3)当四边形ODEC为正方形时，∠OCD＝45°.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD ＝90°－∠OCD＝90°－45°＝45°，∴Rt△ABC为等腰直角三角形

类型二：圆与解直角三角形的综合

3．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，交AC的延长线于点F.

(1)求证：直线EF是⊙O的切线；

(2)已知CF＝5，cosA＝25，求BE的长．

解：(1)连结OD.∵CD＝DB，CO＝OA，∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AB，AB＝2OD.∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴

直线EF是⊙O的切线

(2)∵OD∥AB，∴∠COD＝∠A，∴cos∠COD＝cosA＝25.在Rt△

DOF中，∵∠ODF＝90°，∴cos∠FOD＝ODOF＝25.设⊙O的半径

为r，则rr＋5＝25，解得r＝103，∴AB＝2OD＝AC＝203.在Rt△

AEF中，∵∠AEF＝90°，∴cosA＝AEAF＝AE5＋203＝25，∴AE

＝143，∴BE＝AB－AE＝203－143＝2

4．(2015·资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．

解：(1)连结OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB

是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E为BC的中点，

∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD

＋∠EBD，即∠EDO＝∠EBO.∵BC是以AB为直径的⊙O的

切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE

是⊙O的切线

(2)过点E作EF⊥CD于点F，设EF＝x，∵∠C＝45°，∴△

CEF，△ABC都是等腰直角三角形，∴CF＝EF＝x，∴BE＝CE＝2x，∴AB＝BC＝22x.在Rt△ABE中，AE＝AB2＋BE2＝10x，∴sin∠CAE＝EFAE＝1010

5．如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点O作FG⊥AB，交AC于点F，交AB于点H，交⊙O于点G.

(1)求证：OF·DE＝OE·2OH；

(2)若⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，求阴影部分

的面积．(结果保留根号)

解：(1)∵BD是直径，∴∠DAB＝90°.∵FG⊥AB，∴DA∥FO，

∴△FOE∽△ADE，∴FOAD＝OEDE，即OF•DE＝OE•AD.∵O

是BD的中点，DA∥OH，∴AD＝2OH，∴OF•DE＝OE•2OH

(2)∵⊙O的半径为12，且OE∶OF∶OD＝2∶3∶6，∴OE＝4，

ED＝8，OF＝6，∴OH＝6.在Rt△OBH中，OB＝2OH，∴∠OBH

＝30°，∴∠BOH＝60°，∴BH＝BO•sin60°＝12×32＝63，∴S阴影＝S扇形GOB－S △OHB＝60×π×122360－12×6×63＝24π－183

类型三：圆与二次函数的综合

6．如图，在平面直角坐标系中，已知A(－4，0)，B(1，0)，且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C(0，2)，过点C作圆的切线交x轴于点D.

(1)求过A，B，C三点的抛物线的解析式；

(2)求点D的坐标；

(3)设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．

解：(1)y＝－12x2－32x＋2

(2)以AB为直径的圆的圆心坐标为O′(－32，

0)，∴O′C＝52，O′O＝32.∵CD为圆O′的

切线，∴O′C⊥CD，∴∠O′CO＋∠DCO＝

90°.又∵∠CO′O＋∠O′CO＝90°，∴∠

CO′O＝∠DCO，∴△O′CO∽△CDO，∴O′

OOC＝OCOD，∴322＝2OD，∴OD＝83，∴点

D的坐标为(83，0)

(3)存在．抛物线的对称轴为直线x＝－32，设满足条件的圆的半径为|r|，则点E的坐标为(－32＋r，r)或F(－32－r，r)，而点E在抛物线y＝－12x2－32x＋2上，∴r＝－12(－32＋|r|)2－32(－32＋|r|)＋2，∴r1＝－1＋292，r2＝－1－292(舍去)．故存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切，该圆的半径为－1＋292

7．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过A，B，C 三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E.

(1)求m的值及抛物线的解析式；

(2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值；

(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的

三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直

接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由题意，可知C(0，－3)，－b2a＝1，∴抛物线的解

析式为y＝ax2－2ax－3(a＞0)．过点M作MN⊥y轴于点N，