人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质

第1讲二次根式认识、性质

第一部分知识梳理

知识点一：二次根式的概念

形如二（二二〕）的式子叫做二次根式。

必须注意：因为负数没有平方根，所以._:是厂为二次根式的前提条件

知识点二：二次根式

(

匕

、的非负性

x （二二.）表示a 的算术平方根， 即」—0 （“一 .） 非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。 非负性质的解题应用：

其中是二次根式的是 _________ （填序号）. 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么?

J x 1 2 2, 4)虫5) J ( 3)2,6) s/TT , 7)荷 2a 1，

(1).21

(4) 39

⑵、帀

（5）广

(3 * *)x 2 1 (6)、x 2 2x 1

例3、在式子x f 0 ,血 ―1 y

2 ^"Zx xpO ,33^. x 2 1,x y 中，二次根式

有（ ）

A. 2个

B. 3个

C. 4个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（

D. 5个 例1、下列各式:

例5、若2x 1的平方根是 5，则「衣 1

m 2 m 2

B

・(2)1 C ：.( 2 1)

例 5、若 y= x 5+5 x +2019，则 x+y=

例6、实数a ， b ， c ，如图所示，化简70^ — I — b 丨 ~c)7 = ______ . 举一反三：

举一反三:

1、 F 列各式中，一定是二次根式的是

B 、 「10

C 、 a 1

D

、； a 1 2 1

2、 在-a 、 ，a 2b 、 x 1、

. 1 x 2

•、3中是二次根式的个数有

3、 F 列各式一定是二次根式的是(

4、 a

1 F 列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 近、返、—、依(x>0)、70、

x

B 、3

2m

D 、

4

2、 — .2

5、在、 •、不、-x+1、.,

1+x 2、「3中一定是二次根式的个数有 个。

考点2、根式取值范围及应用

例1、 1

若式子E 有意义，则x 的取值范围是

例2、

使 ~x

； -- 有意义的x 的取值范围

V x

例3、

时, 式子—5—3x 有意义•

4

例4、 在下列各式中, m 的取值范围不是全体实数的是(

m 2

A. .( 2)

m 2 (2 1)

1

3、如果代数式•• m —— 有意义，那么，直角坐标系中点 P (m , n )的位置在(

)

imn

2x 有意义，x 为

x 小 B . 0

y

x D. — 0

y

&当a 取什么值时，代数式 2T1 1取值最小，并求出这个最小值。

考点3、根式的非负性及应用 例1、若(2a 1)2

1 2a ，则a 的取值范围(

)

1

1 1 A 、a

B 、a

C 、a

D 、a 为任意实数

2

2

2

例2、若.x 2 x 2成立，则x 满足 ______________________

\ 3 x 唱 3 x

例 3、(1)、若 a 2 Jb 3 c 4 2 0,则 a b c ____________________

Jx 3y x 2 9

x 1

(2)、已知 -------- 2——0，则—；= _____________

x 32 y 1

例4、已

知：

4 J2x y 0,求 x — y 的值.

例 5、(1 )、若

=0，求 a ?019+b 2019的值.

(2)、若 J x y y 2 4y 4 0，求 xy 的值。

举一反三：

A 、第一象限

B 、第二象限

C 第三象限

D 、第四象限

4、式子

5、

是二次根式，则 x 、y 应满足的条件是( A .

C.

6、若x 1 1 x

(x y)2

，则x —y 的值为(

A .— 1

B . C. 2 D . 3

7、若x 、y 都是实数，且 y= . 2x 3 3 2x 4，

求xy 的值

1、若m3 （n 1）1 2__________ 0,则m n的值为

2、已知x,y为实数，且4X1 3 y 2 20，则x y的值为（）

A、3

B、-3 C 1 D、-1

3、_______________________________________________________ 若a b 1与a 2b 4互为相反数，则a b b a= ________________________________________

4、已知：y 1 8x , 8x 1 ,求代数式‘2' 2的值。

2 Y y x Y y x

考点4、二次根式的性质（1）

例1、已知数a，b，若（a b）2 =b—&,则（）

A、a>b

B、ab D、a

例2、将一丨丄根号外的a移到根号内，得（）

A、“ 丿

B、-J “

C、-J ,

D、J

例3、先化简再求值：当a=9时，求a+1 2a a2的值，甲乙两人的解答如下: 甲的解答为：原式=a+.、（1 a）2 =a+ （1 —a）=1；

乙的解答为：原式=a+、. （1 a）2 =a+（a—1）=2a—仁17.

两种解答中，______ 的解答是错误的，错误的原因是___________

例4、若—3W x W时，试化简丨x 2丨—3）2 + J x2 10x 25 °

例5、实数a，b，c,如图所示，化简碍—I a b l+（b c）2= _____________ .

举一反三：

1、把（a—1）i中根号外的（a—1）移入根号内得_______________

V a 1

2、已知a<0，化简二次根式 ...a3 4b = __________