2018年安徽中考数学专题复习函数的实际应用题

2018年安徽中考数学专题复习 题库：函数的实际应用题
类型一 最大利润问题
★1. 某企业推销自己的品牌，设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销．根据市场调查，这种工艺品一段时间内每周的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间的对应关系如图所示(x 为大于6的整数)．
(1)试判断y 与x 的函数关系，并求出y 关于x 的函数表达式；
(2)已知篮球工艺品的进价为10元/个，按照上述销售规律，当销售单价x 定为多少时，试销该工艺品每周获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？
(3)某体育超市每周购进该种篮球工艺品的进货成本不超过1000元，要想每周获得的利润最大，试确定该工艺品的单价(规定取整数)，并求出此时每周所获得的最大利润．
第1题图
解：(1)根据一个篮球每增加2元销售量减少的个数相同知：y 是x 的一次函数． 设此一次函数表达式为y ＝kx ＋b ，
把x ＝10时，y ＝300；x ＝12时，y ＝240代入得：⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝30012k ＋b ＝240，解得 ⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－30b ＝600， ∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－30x ＋600；
(2)由题意可得：
w ＝(x －10)(－30x ＋600) ＝－30x 2＋900x －6000
＝－30(x 2－30x ＋225)＋6750－6000 ＝－30(x －15)2＋750， ∵a ＝－30＜0，
∴当x ＝15时，w 有最大值，最大销售利润为750元； (3)由题意得10(－30x ＋600)≤1000， 解得x ≥50
3
，
由(2)知其图象的对称轴为直线x ＝15， ∵a ＝－30<0，，
∴抛物线开口向下，当x ≥50
3
时，w 随x 的增大而减小，
又∵x 为整数，
∴当x ＝17时，w 最大，且w 最大＝(17－10)(－30×17＋600)＝630(元)，
即以17元/个的价格销售这批篮球工艺品可获得最大利润，且最大利润为630元． ★2. 某企业投资120万元人民币生产甲、乙两种商品，经调查发现：甲商品获得的年利
润y 1(万元
乙商品获得的年利润y 2(万元)与投资的资金x 2(万元)之间的关系满足y 2＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0.6x 2（0≤x 2≤50）14
x 2＋12（50<x 2≤120）. (1)请你根据表中数据，在三个函数模型：①y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，k ≠0)；②y ＝k
x (k 为
常数，k ≠0)；③y ＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 为常数，a ≠0)中，选取一个适合的函数模型，求出y 1关于x 1的函数关系式(不需写出x 1的取值范围)；
(2)在投资保证甲商品获得最大年利润的前提下，将剩下的资金投给乙商品，会取得多少总利润；
(3)要想获得的年总利润最大，应怎样分配投资金额？并求出最大年总利润． 解：(1)经判断①②两种函数模型不符合要求，
设y 1＝ax 12＋bx 1＋c ，把(10，7)，(20，14)，(30，19)代入关系式，
得⎩⎪⎨⎪
⎧100a ＋10b ＋c ＝7400a ＋20b ＋c ＝14，900a ＋30b ＋c ＝19
解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1
100b ＝1
c ＝－2
，
∴y 1＝－1
100
x 12＋x 1－2，
把(40，22)代入也满足上述关系式，故该函数关系式为y 1＝－1
100x 12＋x 1－2；
(2)∵y 1＝－1100x 12＋x 1－2＝－1
100(x 1－50)2＋23，
∴当x 1＝50时，y 1取得最大值23，
∴剩下的资金为120－50＝70(万元)， 即投给乙商品70万元， ∴y 2＝1
4
×70＋12＝29.5(万元)，
∴取得的总利润为：23＋29.5＝52.5(万元)；
(3)设投资给乙商品的资金为x ，获得的总利润为w 万元，则投资给甲商品的资金为(120－x )万元，
①当0≤x ≤50时，w ＝y 1＋y 2
＝－1
100(120－x )2＋(120－x )－2＋0.6x
＝－1
100x 2＋2x －26
＝－1
100
(x －100)2＋74，
∵当0≤x ≤50时，w 随x 的增大而增大，
∴当x ＝50时，w 最大＝－1
100(50－100)2＋74＝49(万元)；
②当50<x ≤120时，w ＝y 1＋y 2
＝－1100(120－x )2＋(120－x )－2＋1
4x ＋12
＝－1100x 2＋33
20x －14
＝－1100(x －1652)2＋86516，
∵50<165
2＝82.5<120，
∴当x ＝82.5时，w 最大＝865
16，
∵
865
16
>49， ∴投资甲商品120－82.5＝37.5(万元)，乙商品82.5万元时，年总利润最大，最大年总利润为865
16
万元．
类型二 最优方案问题
★1. 随着互联网的普及，某手机加工厂商采用先网络预订，然后根据订单量生产手机的方式销售.2017年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．
(1)设定价减少x 元，预定量为y 台，写出y 与x 的函数关系式；
(2)若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w (元)与x (元)的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；
(3)若手机加工厂每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？
解：(1)由题意得：y ＝20000＋x
100
×10000＝100x ＋20000；
(2)w ＝(2200－1200－x )(100x ＋20000) ＝－100x 2＋80000x ＋20000000 ＝－100(x －400)2＋36000000， ∵2200－400＝1800，
∴当定价为1800元时所获利润最大； (3)50000×(1－5%)＝47500， ∵100x ＋20000＝47500，
解得x ＝275，2200－275＝1925，
∴每天最多接受预订量为47500台，且每台售价为1925元．
★2. A 城有某种农机30台，B 城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C ，D 两乡，调运任务承包给某运输公司．已知C 乡需要农机34台，D 乡需要农机36台．从A 城往C ，D 两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B 城往C ，D 两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台．
(1)设A 城运往C 乡该农机x 台，运送全部农机的总费用为W 元，求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出来．
解：(1)依题意知，从A 城至D 乡运(30－x )台，从B 城至C 乡运(34－x )台，从B 城至D 乡运(x ＋6)台，
∴W ＝250x ＋200(30－x )＋150(34－x )＋240(x ＋6) ＝140x ＋12540(0≤x ≤30)； (2)∵W ≥16460，
∴140x ＋12540≥16460， 解得x ≥28， ∴28≤x ≤30，
∴x 可取28，29，30，
∴有三种不同的调运方案：
当x ＝28时，从A 城至C 乡运28台，从A 城至D 乡运2台，从B 城至C 乡运6台，从B 城至D 乡运34台；
当x ＝29时，从A 城至C 乡运29台，从A 城至D 乡运1台，从B 城至C 乡运5台，从B 城至D 乡运35台；
当x ＝30时，从A 城至C 乡运30台，从A 城至D 乡运0台，从B 城至C 乡运4台，从B 城至D 乡运36台．
类型三 抛物线型问题
★1. 如图是某高速单向过山隧道截面设计图，隧道横截面呈抛物线型，设计AB ＝6米，最高点P 距地面8米．
(1)若以AB 所在直线为横轴，AB 的中垂线为纵轴建立平面直角坐标系，试确定该抛物线的解析式；
(2)在距地面3米高处，隧道的宽度是多少？
(3)若设计要求隧道通过的截面矩形CDFE 的宽CD 不小于4米，高CE 不小于4.2米，则该隧道设计是否符合要求？
第1题图
解：(1)建立平面直角坐标系如解图所示，可得各点坐标为A (－3，0)，B (3，0)，P (0，8)． 由题知P 点为抛物线的顶点，
设该抛物线的解析式为y ＝ax 2＋8，
把B (3，0)代入抛物线的解析式得9a ＋8＝0， 解得a ＝－8
9
，
则该抛物线的解析式为y ＝－8
9
x 2＋8；
第1题解图
(2)令y ＝3，代入抛物线的解析式中，得－8
9x 2＋8＝3，
解得x 1＝3104，x 2＝－310
4
，
所以距地面三米高处，隧道的宽度是310
2米；
(3)依题意知CD ＝4米，则D 点坐标为D (2，0)， 令x ＝2，代入抛物线的解析式中，得 y ＝－89×22＋8 ＝40
9
≈4.4(米)，
因为4.4＞4.2，
所以该隧道设计符合要求．
★2. 某部队官兵在一次演习中，在山脚下向山坡上的一据点进行打击，假设炮弹的运行路线为抛物线，且当炮口方向一定时，炮弹的飞行路线不变，即抛物线形状不变．经多次校正后发现炮弹水平飞行150 m 时达到最大高度为225 m ；斜坡的坡度i ＝1∶2.
(1)若以水平地面所在直线为x 轴，炮弹发射地为原点，竖直向上方向为y 轴建立坐标系，如图所示，求炮弹飞行路线的抛物线解析式及斜坡所在的直线解析式；
(2)求炮弹落地点A 在山坡上的位置；
(3)现要想命中高出A 点竖直方向3 m 的山坡上的B 点，有人认为只需把炮沿竖直方向架高3 m 而炮口方向不变即可，这种说法正确吗？请说明理由．
第2题图
解：(1)由题意，抛物线顶点坐标为(150，225)，可设抛物线解析式为： y ＝a (x －150)2＋225(a ≠0)，
把(0，0)代入得：0＝a (0－150)2＋225， 解得：a ＝－1
100
，
∴抛物线的解析式为：y ＝－
1
100
(x －150)2＋225. 设直线的解析式为y ＝kx (k ≠0)，由题意把(2m ，m )代入得：2mk ＝m ，
∴k ＝12
，
∴直线的解析式为：y ＝1
2x ；
(2)根据题意联立方程组得
⎩⎨⎧y ＝－1
100（x －150）2
＋225
y ＝1
2x
， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1＝0，
⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＝250
y 2＝125. ∴A 点坐标为(250，125)；
(3)这种说法不正确．
理由如下：设大炮向上升高b 米，则由题意可得抛物线解析式为y ＝－1
100
(x －150)2＋225＋b .
点B 在竖直方向上比A 点高3 m ，即B 点的纵坐标为128 m ，将128代入y ＝1
2x 中，得
点B 的横坐标为256，
即B 点坐标为(256，128)，
把⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝256y ＝128代入y ＝－1100(x －150)2＋225＋b 得：128＝－1100(256－150)2＋225＋b ，
b ≈15.36≠3，
所以上述说法错误．
类型四 几何面积最值问题
★1. 某市准备在一公园门口做装饰：如图，在一块正方形装饰盘ABCD 上摆三种不同类型的花，即在正方形EFCG 部分摆甲型花，在△ABE 部分摆乙型花，其余部分摆丙型花，已知甲、乙、丙三种类型的花每平方米的价格分别为60元、80元、40元．
(1)如果装饰盘的边长为2米，FC ＝1米，则按要求完成该装饰盘的费用为多少元； (2)如果装饰盘的边长为1米，求按要求完成该装饰盘的最少费用．
第1题图
解：(1)由题意可知，S
正方形EFCG
＝12＝1平方米，S △ABE ＝1
2
×2×1＝1平方米，S
其余部分
＝S
正方形ABCD
－S 正方形EFCG －S △ABE ＝22－1－1＝2平方米．
故按要求完成该装饰的费用为1×60＋1×80＋2×40＝220(元)；
(2)如解图，延长GE 交AB 于点M ，则EM ⊥AB . 设EG ＝x 米，则EM ＝(1－x )米，
∴S 正方形EFGE ＝x 2平方米，S △ABE ＝1
2(1－x )平方米，
S 其余部分＝1－x 2－12(1－x )＝(－x 2＋12x ＋1
2)平方米，
设按要求完成该装饰盘的费用为y 元，
则y ＝60x 2＋80×12(1－x )＋40(－x 2＋12x ＋12)＝20x 2－20x ＋60＝20(x －1
2)2＋55，
∵20＞0.
∴当x ＝1
2时，y 有最小值，最小值为55，
答：按要求完成该装饰盘的最少费用为55元．
第1题解图
类型五 行程问题
★1. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y 1千米，出租车离甲地的距离为y 2千米，两车行驶的时间为x 小时，y 1、y 2关于x 的函数图象如图所示．
(1)根据图象，求出y 1、y 2关于x 的函数图象关系式；
(2)问两车同时出发后经过多长时间相遇，相遇时两车离甲地多少千米？
第1题图
解：(1)设y 1的解析式为y 1＝k 1x (k 1≠0)， 由题图可知，函数图象经过点(10，600)， ∴10k 1＝600， 解得k 1＝60，
∴y 1＝60x (0≤x ≤10)，
设y 2的解析式为y 2＝k 2x ＋b (k 2≠0)， ∵函数图象经过点(0，600)，(6，0)，
则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝6006k 2＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－100b ＝600
，
∴y 2＝－100x ＋600(0≤x ≤6)；
(2)由题图可知，点M 即为两车相遇点，
则⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝60x y ＝－100x ＋600， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝154y ＝225
，
故两车同时出发后经过15
4小时相遇，相遇时两车离甲地的距离是225千米．。