高等数学期中考试试卷及答案

郑州轻工业学院

2005-2006学年第一学期高等数学 期中考试试卷

一、 是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×（每题2分，共10分）

1、若数列{}n x 收敛，数列{}n y 发散，则数列{}n n x y +发散． （ ）

2、lim ()x f x →∞存在的充分必要条件是lim ()x f x →+∞和lim ()x f x →-∞

都存在． （ ） 3、00011lim sin lim limsin 0x x x x x x x

→→→=⋅=． （ ） 4、lim 1sin x x x

→∞= ． （ ） 5、若()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内连续，且()()0f a f b ⋅<，则()f x 在(,)a b 内有零点． （ ）

二、填空题（每题2分，共10分）

1、已知'(3)2,f = 则0(3)(3)lim 2h f h f h

→--= ． 2、1arctan n y x ππ

=++，则1'|x y == ． 3、曲线x y e =在点 __ 处的切线与连接曲线上两点(0,1),(1,)e 的弦平行．

4、函数ln[arctan(1)]y x =-，则dy = ．

5、0x →时，1cos x -是x 的 阶无穷小．

三、单项选择题（每题2分，共10分）

1、数列有界是数列收敛的 ( )．

(A) 充分条件；（B ）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件． 2、 ()f x 在0x x =处有定义是0

lim ()x x f x →存在的 ( ) (A) 充分条件；（B ）必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件．

3、若函数22(1)1(),()1+1

x x f x g x x x --==-，则（ ） (A) ()()f x g x =； （B ）1

lim ()()x f x g x →=； (C) 11

lim ()lim ()x x f x g x →→=； (D) 以上等式都不成立．

4、下列命题中正确的是 ( )

(A)无穷大是一个非常大的数； （B ）有限个无穷大的和仍为无穷大；

(C)无界变量必为无穷大； (D) 无穷大必为无界变量．

5、10001lim(1)n n n

+→∞+的值是 ( ) (A) e ； （B ）1000e ； (C) 1000e e ⋅； (D)其他值．

四、计算下列极限（每题6分，共18分）

1、x →∞ ；

2、20ln(1)lim sec cos x x x x →+-；

3、0lim x x x +→． 五、计算下列各题（每题6分，共18分） 1 21

sin x y e =，求dy ；2 3ln x t y t

=⎧⎨=⎩，求22d y dx ；3 arctan x y y +=, 求dy dx 。 六、（本题8分）判断函数22132

x y x x -=-+在1,2x x ==点处的间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变定义使其连续．

七、（本题8分） 验证拉格朗日中值定理对函数32452y x x x =-+-在[0,1]上的正确性。

八、（本题9分） 设函数)(x f 在[0,](0)x x >上连续，在(0,)x 内可导，且(0)0f =，证明在(0,)x 内至少存在一点ξ，使得()(1)ln(1)'()f x x f ξξ=++．

九、（本题9分） 注水入深8米，上顶直径为8米的正圆锥行容器中，其速度为4米3/分，当水深为5米时，其表面上升的速度是多少？．

2005-2006学年第一学期高等数学试卷A

试卷号：A20060108（1）

一、是非判断题,正确的在括号内打√,错误的在括号内打×（每题2分，共10分）

1、)(x f 在0x 有定义，且)()(lim 00

x f x f x x =→，则)(x f 在0x 在连续． （ ） 2、)]'([)('00x f x f =． （ ）

3、若0x 是)(x f 的极值点，则必有0)('0=x f ． （ ）

4、⎰⎰=dx x f dx x f )(')')(( ． （ ）

5、c x xdx +=⎰32sin 3

1sin ． （ ）

二、填空题（每题3分，共15分）

1、A x

x f x =→)(lim 0，其中0)0(=f 且)0('f 存在，则=A ． 2、123++=x x y 在),(∞-∞内有 个零点．

3、=+→x

x x 6)13ln(lim 0 ． 4、函数3()21f x x x =++在区间 单调增加．

5、=+⎰dx x

x 2sin 12sin ．

三、单项选择题（每题3分，共15分）

1、数列极限=--∞

→]ln )1[ln(lim n n n n ( )． (A) 1； （B ）-1； (C)∞； (D)不存在但非∞．

2、)(x F 和)(x G 是)(x f 函数的任意两个原函数，则下式成立的是 ( )

(A))()(x G c x F =；（B ）c x G x F +=)()(；(C) c x G x F =+)()(； (D) c x G x F =)()(．

3、函数)(x f 的n 阶（2>n ）泰勒公式中20)(x x -项的系数是 ( ) (A) !

21；（B ）!2)(''0x f ； (C))(''0x f ； (D)ξξ,!2)(''f 在x 与0x 之间．