《直角三角形》小结与复习

逆时针旋转90°而得，连结DE，可得： ∠DAE=90°，CE=BD 在Rt∆DEC中，CE2+CD2=DE2 ∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2 又∵∠DCE=90° AE=AD， ∴ 在Rt∆ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2 ∴ BD2+ CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
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本节内容 本课内容 第一章
-----小结与复习(一)
1、阅读p27的三项内容。 2、根据内容填表：
从角考虑 从边考虑
性 质
Байду номын сангаас
有一角为直角 (或900) 两锐角互余 性质的逆定理
斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方. （勾股定理） 一边上的中线等于这边的一半 的三角形是直角三角形。 勾股定理逆定理
判 定
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容：
A
∵△ABC为直角三角形． ∴a2＋b2＝c2 .
b
C
c
a
B
三角形的三边之间满足怎样数量关系时， 此三角形是直角三角形？ ∵a2＋b2＝c2 ， ∴△ABC为直角三角形． 勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
D
1
B
2
C
∴ ∆ACD≌∆BDC （HL）
∴ ∠BDC= ∠ACD（全等三角形的对应角相等） ∴ OD=OC（等角对等边）
2、如图，∆ABC中，AB=AC，D是AB上一点， 且BC=25，CD=20，BD=15，求∆ABC的面积。
解：∵BC=25，CD=20，BD=15，∴BC2=CD2﹢BD2 ∴∆BCD为直角三角形，即：CD⊥AB
第一章
-----小结与复习(二)
1.直角三角形勾股定理的内容：
∵△ABC为直角三角形． A ∴a2＋b2＝c2 . 三角形的三边之间满足怎样数量关系时， b 此三角形是直角三角形？
∵a2＋b2＝c2 ， ∴△ABC为直角三角形． 2、直角三角形的特殊性质： （1）斜边上的中线等于斜边的一半。 （2）300角所对的边等于斜边的一半。
PE⊥OB
PD=PE ∴ ∠1= ∠2.
1 2
E
P
C
B
•角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 .
1、有四个三角形，分别满足下列条件：
(1) 一个内角等于另外两个内角之和；(2) 三个内角
之比为3∶4∶5；(3) 三边之比为5∶12∶13；(4) 三 边长分别为7、24、25.其中直角三角形有 ( C )
E A
B
D
C
1、如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC， DB⊥BC，AC=BD，说明OD=OC成立的理由. 分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2 A 只要证明Rt∆BDC≌Rt∆ACD， O 条件满足吗？ 证明: ∵ DA⊥AC DB⊥BC ∴∠A=∠B=900 又∵ AC=BD ，CD=DC
C
c
a
B
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
3、直角三角形全等的判定方法：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL 4、角平分线的性质和判定： 角平分线上的点到角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ∵∠1= ∠2， ∵PD⊥OA ，
A D O
PD⊥OA ，
PE⊥OB ∴PD=PE.
∴∠AEF=90° 即：BE⊥AC
例3、如图，AC⊥BC，AD⊥BD，点E，F分 别是AB，CD的中点，求证：EF⊥CD. C
证明：连接CE，DE ∵ AC⊥BC，AD⊥BD，
A E
F
D B
∴ △ACB和△ADB是具有公共斜边AB的直角三角形 。 1 又∵ E是AB的中点， ∴ CE=DE= AB 2 ∴ △CED是等腰三角形。 又∵ F是CD的中点， ∴ EF⊥CD （三线合一）
已知∠BAC=300，AC=30，求PB的长。
解：作CD⊥AB，垂足是D， ∵PB⊥AB，PC∥AB， ∴ CD=PB
A
C
P
D
B
在Rt△ACD中， ∵∠BAC=300，AC=30， 1 1 ∴ CD= AC= ×30=15 2 2 ∴ PB=15
5、已知a、b、c是△ABC的三边长，
且满足a2c2-b2c2=a4-b4 ，你能判断△ABC的形状吗？ 解：∵ a2c2-b2c2=a4-b4 即：a4-a2c2+b2c2-b4 =0
A C
（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和） ∵∠A=90° 1 ∴AC= DC（直角三角形中，30°角所对直 2 角边是斜边的一半） 1 ∴ AC= BD 2
例2：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E为 AC上一点，BE交AD于F，BF=AC，FD=CD， 问BE，AC互相垂直吗？请说明理由 答：BE⊥AC 证明：∵ AD是△ABC中BC边上的高， 即：AD⊥BC A ∴ ∠ADC=∠BDF=90° 又∵ BF=AC，FD=CD E F ∴ Rt△BDF≌Rt△ADC (HL) ∴ ∠FBD=∠CAD B C D ∴ ∠BFD=∠AFE ∵ ∠BFD+∠FBD=90° ∴∠AFE+∠CAD=90°
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3， CD⊥AB于D，AB=a，则DB等于（ C ） a a a A. B. C. D.以上结果都不对 4 2 3
3、在Rt△ABC中， ∠C=90º ， CD是AB边上的高， 12 若AC=4，BC=3，则CD=＿＿ （面积法） 5 4、在Rt△ABC中，∠C=90º ，∠A=30º ，BC=2cm， 2√ 3 cm。 则AC=_____
5、直角三角形全等的判定方法：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
互余 。 1.在直角三角形中，两个锐角_____ 2、两条直角边相等的直角三角形叫做 等腰直角三角形 。 它的两个底角相等，都等于 45° 。 3.直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半 _____ 。 4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的角等于 30° 。
∴ a4-a2c2+b2c2-b4 =(a4-b4)+(b2c2-a2c2)=0 即：(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0 (a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0 a+b≠0 a-b=0，a=b 或：a2+b2-c2=0， a2+b2=c2
△ABC是等腰三角形或直角三角形。
6、若△ABC的三边a、b、c满足条件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。
A
30°
D
E
C B
3.如图，在Rt∆ABC中，CD是斜边
A
D C B
AB上的中线，∠CDA=70°，则 °，∠B=_____ 35° 。 ∠A= 55 ___
4.如图，在等边三角形ABC中，AD 是中线，DE⊥AB，垂足为E。若 √ 3 cm。∆ABC BC=4cm，则DE的长 ___ √3 的面积是 4 cm2。
斜边 的平 两直角边 的平方和等于_______ 5. 直角三角形_________ 方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条 2 2 b 直角边和斜边，那么_____+ _____=_____ a c2 。 两边的平方和等于 第三边 6.如果三角形中____
边的
平方，那么这个三角形是直角三角形， 最大边 所
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0 即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0 ∴ a=3，b=4，c=5 ∵ 32+42=52 ∴ △ABC是直角三角形。 作业：p28 A 1、6、7
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本节内容 本课内容
B E C
D
1、如图，已知AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC 于E，则图中和C互余的角共有（ C ）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个 A
2、直角三角形斜边的高与中线分别 是5cm和6cm，则它的面积是 30 。
E B D C
3、已知三角形两个外角的和是2700，则该 三角形是 直角 三角形。
4、如图，AP平分∠BAC， PB⊥AB，PC∥AB，
C
D E B
5、如图，在△ABC中，AB=6，BC=AC=5 （1）求AB边上的高CD； CD=4 （2）求BC边上的高AE。 D （3）DF⊥BC，求DF （2）由面积公式可得：AE=4.8 (3)也可由面积公式得：DF=1.2
B F
A
E
C
6、如图，一块直角三角形的纸片， 两直角边AC=6cm，BC=8cm,现 A 将直角边AC沿直线AD折叠，使 6 E 它落在斜边AB上，且与AE重合， 6 4 x 求CD的长． C x 如图，设未知数，在△BED中， Ｄ 8- x 由勾股定理列方程，求解。 CD=3
G
A
1、如图，已知AB=AC，AD是BC边上 的中线，∠EBC=∠BAD，问BE与AC的 位置关系怎样？ BE⊥AC
E B D
C
2.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC， M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。 求证：AN平分∠BAC. 可证：Rt△AMN≌Rt△ACN ∴∠1=∠2
B
例5、如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D。若 点E是BD上一点，能否在AB、CD上分别各找一点F、 G，使Rt△FEB≌Rt△CEG？如果能，EF与EG的位置 A 关系和数量关系怎样？ F 分析：要使Rt△FEB≌Rt△DEG， D 就有夹直角的两边对应相等。
解：在AB上取BF=CE， 在CD上取CG=BE，连接EF，EG B C E 在Rt△FEB和Rt△DEG中， BF=CE ∠BFE=∠CEG ∠FBE=∠ECG=900 ∠BFE+∠BEF=900 BE=CG ∴ ∠CEG+∠BEF=900 ∴Rt△FEB≌Rt△DEG(SAS) 即：∠EFG=900 ∴ EF⊥EG ∴ EF=EG
A
1
M N
2
C
3.在△ABC中，BD、CE是高，BD与CE交于点O， 且BE=CD，求证:AE=AD. A
提示：要根据题意画图（如图） 先证Rt△OEB≌Rt△ODC(AAS)， 再证明Rt△AEO≌Rt△ADO(HL)
B E O D C
4.已知如图，在△ABC中， ∠BAC=2∠B，AB=2AC， 求证:△ABC是直角三角形。 提示：过A作∠CAB的角平分线， A 交BC于D，过D作DE⊥AB于E， 再证明△ACD≌△AED(SAS)
5．如图，所有的四边形都是正 方形，所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形的边长 为7cm，则正方形A，B，C，D 49 cm2。 的面积之和为_____
C D
B
A
7cm
例1、已知：如图， ∠A=90°∠B=15°BD=DC. D 请说明AC= 1 BD的理由. 2 B 证明：∵ BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°
知识运用 例4、如图，A城市气象台测得台风中心，在 A城正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向 移动，已知距台风中心200千米的范围内是受台风影响 的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什么？ 分析：A城是否受到这次台风的影响，就看A城与台 风中心的距离在200千米以内还是以外。 北 解：作AD⊥BF F C 0 0 ∵∠CBF=60 ∴∠FBA=30 D 600 在Rt∆ABD中，BA=300千米 1 B A ∴ AD= AB=150千米。 东 2 而 150＜200，所以A城会受到台风的影响 思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不 受台风影响，至少离B地多远？
在Rt∆ACD中，设AD=x， 则AB=x+BD=x+15 A ∵AB=AC ∴AC=x+15
D
∴由勾股定理得：(x+15)2 =x2+202
35 B C 解得：x = 6 ∴ AB= 35 +15= 125 ∴ S ∆ABC = 125×20÷2= 625 6 6 3 6
3、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是 BC上任意一点，则BD2+CD2=2AD2吗？请说明理由。 解： 如图，△ACE是将△ABD绕A点 A
对的角是直角。
7.有两条边对应相等的两个 直角 三角形全等。
° 1.如图, ∠ACB=90°∠A =30°，则∠B= 60 ___
√3 2 ，AC的长为______ BC=1，则AB的长为____
1 CD是斜边AB的中线，则CD的长为______ √3 CE是斜边AB的高线，则CE的长为______ 2 2. 若直角三角形的两锐角之差为18°， 则较大一个锐角的度数是 54° 。