非同心的两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊两圆方程相减这个有趣的话题，你知道它有啥几何意义不？想象一下，两个圆摆在那里，它们都有自己独特的方程。
当我们把这两个方程相减的时候，就好像打开了一个神奇的数学魔法盒。
其实呀，两圆方程相减得到的方程，代表的是一条直线哦！这条直线和这两个圆有着很特别的关系。
比如说，如果两个圆相交，那相减得到的直线就通过这两个交点。
就好像这条直线是两个圆相遇时留下的“足迹”，是不是很有意思？要是两个圆相切，那这条直线就和切点以及两个圆心在同一条线上。
就像是一条隐形的纽带，把这些关键的点都连在了一起。
而且哦，如果两个圆相离，相减得到的直线也和这两个圆有着神秘的联系。
虽然它们没有直接接触，但这条直线像是在默默传递着它们之间的某种信息。
怎么样，是不是觉得数学里也有这么多好玩的东西？稿子二：嗨喽！今天咱们来深入探讨一下两圆方程相减的几何意义，准备好跟我一起探索这个奇妙的数学世界了吗？当我们面对两个圆的方程，然后大胆地把它们相减，这可不是简单的数学操作，背后藏着好多有趣的秘密呢！假设这两个圆是两个可爱的小伙伴，它们各自有着自己的位置和特点。
那相减之后得到的直线，就像是它们之间的“友谊线”。
如果这两个圆大小差不多，位置也比较接近，相减得到的直线可能就像是它们互相靠近时的“通道”。
要是一个圆大，一个圆小，那这条直线也许就是它们在比较大小和位置时产生的“裁判线”，能告诉我们很多关于它们之间关系的信息。
有时候，这条直线还能帮助我们判断两个圆是亲密相交，还是保持一定距离的相离。
呢，两圆方程相减得到的直线，就像是数学世界里的一个神奇密码，只要我们用心去解读，就能发现两个圆之间那些隐藏的故事和联系。
是不是超级有趣呀？。
非同心的两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减的几何意义
两圆方程相减得：①
当即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作
将①两边除以2得到：
②
由②可知是的一个法向量，所以，也就是说：
性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。
另外，注意到对于等圆（），连心线中点满足②，也就是说：
结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。
把①变形为
即，即
即③
这里是上的点。
由③我们可以看到，上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则必然与两圆相离。
当在两圆之外时，③告诉我们到两圆的切线长相等。
下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，的位置。
结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。
(等切线)
下面结合图形说明结论乙。
如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出
根据③，及，可以解得的值，然后即有的位置，从而有。
内含的情况与外离类似，前面已经解释过必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。
结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包
含公共弦。
结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。
两圆方程相减的几何意义(可编辑修改word版)
1 方程 x2 + y 2 + D x + E y + F = 0 与x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0111222相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙ O 1 x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 和⊙ O 2 ：111x 2 + y 2 + D x + E 2 y + F 2 = 0 的 方 程 相 减 所 得 到 的 直 线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线 l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5 种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的 5 种位置关系进行研究。
一．两圆相交设 P (x , y )、 P 2 (x 2 , y 2 )是两圆的交点， 则有 x 2 + y 2 + D x+ E y + F = 0 和111111 11 11x 2 + y 2 + D x + E y + F = 0 成 立 ， 即P (x , y )、 P (x , y) 满 足 方 程221 21 21111222(x 2 + y 2 + D x + E y + F ) - (x 2 + y 2 + D x + E y + F ) = 0222111即(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 。
所以直线 l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切， 同时与两圆相交的直线 l 也就与两圆只有一个公共点，直线 l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线 l ：(D 1 - D 2 )x + (E 1 - E 2 )y + F 1 - F 2 = 0 表示两外切圆的过同一切 点的公切线。
两圆相减得到公共弦方程的原理
两圆相减得到公共弦方程的原理
两圆相减表示两个圆之间进行减法运算。
具体而言，就是将一个圆的方程代入到另一个圆的方程中，进行运算得到一个新的方程，这个新方程描述了两个圆相减所得的公共弦。
假设有两个圆C1和C2，分别由以下方程表示：
C1：(x-a1)² + (y-b1)² = r1²
C2：(x-a2)² + (y-b2)² = r2²
其中，(a1, b1)和(a2, b2)分别是两个圆心的坐标，r1和r2分别
是两个圆的半径。
要得到两个圆相减所得的公共弦，可以将C1的方程代入C2
的方程中，即：
(x-a2)² + (y-b2)² = r2² - [(x-a1)² + (y-b1)²]
化简上式之后，可以得到描述两个圆相减所得的公共弦的方程。
需要注意的是，两个圆相减所得的公共弦方程的求解结果可能是一个方程、一条直线或者一个空集，具体结果取决于两个圆之间的位置关系。
两平面方程相减的几何意义
两平面方程相减的几何意义在几何学中，平面是一个重要的概念。
平面方程是描述平面的一种方式，它可以用数学语言准确地表示一个平面的特征和性质。
当我们将两个平面的方程相减时，我们可以得到一些有趣的几何意义。
让我们来看一个简单的例子。
假设有两个平面分别由方程Ax + By + Cz + D1 = 0和Ex + Fy + Gz + D2 = 0描述。
我们将这两个方程相减，得到(A - E)x + (B - F)y + (C - G)z + (D1 - D2) = 0。
这个新的方程描述了一个新的平面。
那么，这个新平面和原来的两个平面有什么关系呢？我们可以观察到，新平面的法向量是原平面法向量之差。
根据向量的几何性质，我们知道两个平面的法向量之差是与这两个平面正交的向量。
换句话说，新平面与原平面的交线垂直。
我们可以进一步观察新平面的方程。
如果我们将新平面的方程进一步化简，可以得到一个更简洁的形式：n·r + d = 0，其中n是新平面的法向量，r是一个点在新平面上的位置矢量，d是一个常数。
这个形式的方程被称为平面的点法式方程。
从这个方程可以看出，对于新平面上的任意一点，它到原平面的距离都是相同的。
换句话说，新平面是与原平面平行且等距离的平面。
进一步地，我们可以思考一下，当两个平面的方程相减后得到的新平面的特殊情况。
如果两个平面是重合的，即它们描述的是同一个平面，那么相减后得到的新平面方程将为0=0。
这个方程没有实际意义，因为它描述了一个不存在的平面。
因此，我们可以得出结论，当两个平面重合时，它们的方程相减得到的新平面是一个不存在的平面。
另一方面，如果两个平面是平行的，即它们的法向量平行但不重合，那么相减后得到的新平面的方程将为0=常数。
这意味着新平面是一个平面方程的特例，它描述了一个平行于原平面但不与原平面相交的平面。
让我们考虑两个平面相交的情况。
如果两个平面相交于一条直线，那么它们的方程相减后得到的新平面将是一个平面方程。
改进学生学习方式的教学尝试——自主探究两圆方程差的几何意义
１ 若 ａ≠ ｃ ｂ≠ｄ， 圆 Ｃ 、 同心 时 ， 、 或 即 。Ｃ 不 方程
③ 是 二 元 一次 方程 ， 示直 线 ， 为 直线 ④ 表 记
当圆 Ｃ 与 圆 Ｃ 。 ：相 交 时 ， 学案 例就 是 笔者进 行 的一 点 尝试 ， 期望 通过 对 教 材 中 的一 个 思 考 题 的探 究 与 拓
展 ， 进学 生 的学 习方 式 ． 改
１ 发 现 问题
程 ① 与 ② ， 以一 定也适 合 方程 ③ ， 以 两交点都 所 所
在直线 ③ 上 ．所以任 意两个相交圆的方程相减， 一 定 是 两 圆公 共 弦所在 直 线 的方程 ．
若Ｒ 。＝ｒ， 圆 ｃ 、： 即 ｃ 重合 时 ， 方程 ③ 化 为 ０＝ ０ 恒成 立 ， 示坐标 平 面上 的任 一点 ； ， 表 若 ≠ ｒ， 即 圆 ｃ 与圆 Ｃ 内含 时 ， 方程 ③ 无 解 ， 不表 示任何 点 ．
师 ： 想到 用方 程 去解 决 问题 ， 明解 析 法 已经 你 说 运 用 自如 ， 同时 利 用分 类讨 论 得 出 的 结 论 也 算 全
一
学生 甲的提 问使 我 意识 到这是 一 个实 施探 究 学
习的不错 素 材 ， 于是 我并 没有 去正 面 回答 他 的问题 ， 而是点拨 几 句让 他 自己去 思 考 ． 师 ： 先， 首 你猜 想 两相 交 圆的 方程 相 减 ， 定 是 一
２、 ａ＝ｃ ｂ＝ｄ 即 圆 Ｃ 、 ： 若 且 ， Ｃ 同心 时 ， 方程 ③
化 简 为 一ｒ ＝ ０ ．
人教 Ａ版 教材必修 ３的４ ２ ２ ． ． 节圆与圆的位置 关系 ， 了如下 例题 ： 给
两圆相减后所得的直线方程的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++两圆相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和 ⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
两个圆方程相减得到的直线方程
两个圆方程相减得到的直线方程1. 引言说到圆，大家脑海中一定会浮现出那种完美无瑕的形状，像是一个大大的饼子，谁能不喜欢呢？可是，今天我们不聊饼子，咱们要来聊聊这两个圆之间的故事，特别是它们如何相减，最后竟然变成了一条直线，真是神奇得很！所以，跟我一起，打打算盘，看看这其中的奥妙吧。
2. 圆的基本知识2.1 圆的方程首先，咱得了解一下什么是圆的方程。
简单来说，圆的方程就像是它的身份证，告诉你这个圆的中心在哪里，半径有多大。
标准的形式是这样的：((x h)^2 + (y k)^2 = r^2)。
听起来有点复杂？别着急，记住这几个字母就行了，(h)和(k)是圆心的坐标，而(r)是半径。
就像你告诉别人，你住在哪儿，几斤几两重。
2.2 圆的相减好啦，知道圆的方程之后，我们就能进入正题了。
想象一下，有两个圆，它们的方程分别是((x h_1)^2 + (y k_1)^2 = r_1^2)和((x h_2)^2 + (y k_2)^2 = r_2^2)。
这时候，我们要做的就是把这两个方程相减。
你可能会问，为什么要相减呢？因为有时候，找到它们之间的关系，比直接知道它们的具体形状要有趣多了。
3. 相减后的结果3.1 直线的出现当我们把这两个圆的方程相减之后，令人惊讶的是，竟然会得到一条直线的方程。
是的，你没听错，一条直线！看，方程相减的结果是这样的：((x h_1)^2 (x h_2)^2 +(y k_1)^2 (y k_2)^2 = r_1^2 r_2^2)。
这个公式一展开，简化之后就会发现，里面其实蕴含着直线的方程信息。
3.2 几何的魅力想象一下，这就像两个小朋友在公园里玩捉迷藏，一个藏在了秋千后面，另一个在滑梯旁边。
当他们开始相减，就变成了一条横跨游乐场的线，连接了他们的起点和终点。
这个过程就像是生活中的一场互动，有时候相遇，有时候分开，然而无论怎样，都会形成一条独特的轨迹。
简直就像是数学与生活的完美结合，太有趣了！4. 生活中的应用4.1 实际应用而这种圆与圆相减得到直线的原理，其实在我们日常生活中也有很多应用。
两圆外离 方程相减
两圆外离方程相减摘要：1.两圆外离的定义和条件2.两圆外离的性质3.两圆外离的应用4.两圆外离方程的求解方法5.两圆外离方程相减的原理与步骤6.实例分析与解答正文：在几何学中，两圆的位置关系是一个重要研究领域。
本文将介绍两圆外离的概念、性质及其应用，重点讲解两圆外离方程相减的方法，并通过实例进行分析。
一、两圆外离的定义和条件两圆外离是指在平面直角坐标系中，两个圆心的距离大于两圆半径之和。
用数学符号表示为：d > R1 + R2。
其中，d表示两圆圆心的距离，R1和R2分别表示两个圆的半径。
二、两圆外离的性质1.两圆外离时，它们的公共区域为空。
2.两圆外离时，任意一条直线与两个圆相交的弦长相等。
3.两圆外离时，任意一条直线与两个圆的切线长度的和相等。
三、两圆外离的应用1.求两圆的公切线：已知两圆外离，可以求出它们的公切线。
2.求两圆的交点：已知两圆外离，可以求出它们的交点。
3.求两圆的面积和周长：已知两圆外离，可以求出它们的面积和周长。
四、两圆外离方程的求解方法1.设两个圆的方程分别为：(x-a1) + (y-b1) = R1 和(x-a2) + (y-b2) = R2。
2.判断两圆是否外离：计算两圆圆心距离与半径之和的关系，判断是否满足外离条件。
3.求解公共区域：利用两圆方程相减，得到公共区域的方程。
4.求解交点：将公共区域的方程与其中一个圆的方程联立，求解得到交点坐标。
五、两圆外离方程相减的原理与步骤1.两圆外离时，它们的方程相减得到公共区域的方程。
2.公共区域的方程表示了两圆之间的空隙区域，可以用于求解两圆的交点、公切线等问题。
3.求解公共区域方程时，需要注意圆心的坐标和半径的关系，确保满足两圆外离的条件。
六、实例分析与解答设两个圆的方程分别为：(x-1) + (y-2) = 25 和(x-3) + (y-4) = 64。
1.判断两圆是否外离：计算圆心距离d = √[(3-1) + (4-2)] = 2√2，半径之和R1 + R2 = 5 + 8 = 13。
(完整版)两圆方程相减的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
在教材中找问题 在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认识
在教材中找问题在探索中见提升——对两圆方程相减所得方程表示的直线的认识黄妍屏【摘要】《普通高中数学课程标准试验》中明确提出要注重学生探究知识的过程．因此根据此课程标准编写的实验教科书，一有机会就提问，如同千万颗种子撒向广袤的土地，能否生根、发芽，就在于广大学者的思考探究．学习始于疑问，学而不思则罔．通过问题进行思考、探究活动，无疑是数学发展的一条道路，是学懂数学、认识数学的最好方法．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2009(000)012【总页数】4页(P6-9)【关键词】圆方程;数学课程标准;教材;直线;实验教科书;标准编写;学生探究;普通高中【作者】黄妍屏【作者单位】萧山中学,浙江萧山311201【正文语种】中文【中图分类】G633.6《普通高中数学课程标准试验》中明确提出要注重学生探究知识的过程．因此根据此课程标准编写的实验教科书，一有机会就提问，如同千万颗种子撒向广袤的土地，能否生根、发芽，就在于广大学者的思考探究．学习始于疑问，学而不思则罔．通过问题进行思考、探究活动，无疑是数学发展的一条道路，是学懂数学、认识数学的最好方法．题目人教A版普通高中课程标准实验教材(必修2)第129页中的例3.已知圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的关系．解法1 将圆C1与圆C2的方程联立，可得方程组式(1)-式(2)，得……该例题下有一个思考：画出圆C1与圆C2以及方程(3)所表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？从“曲线与方程”以及“两点确定一直线”的角度进行思考、探究，发现一个规律：2个相交圆公共弦所在直线方程可通过两圆方程相减得到．那么,当两圆为非同心圆等位置关系时，2个方程相减同样也能得到1个二元一次方程,其所表示的直线与两圆又有什么关系呢？设圆于是可以得到：结论1 2个圆方程相减所得方程表示的直线与两圆心连线垂直．接下来，对2个圆处于不同位置时对应的直线的位置情况进行探究．(1)圆C1与圆C2相切(外切或内切).设P(x0,y0)为切点，由P(x0,y0)满足方程式(4)和(5)可得P(x0,y0)也满足方程式(6)，因此直线l过点P(x0,y0).因为C1C2⊥l，所以直线l表示相切2个圆的公切线．具体地,就2个圆外切的情况加以证明．证明由圆C1与圆C2外切，可得,(2)圆C1与圆C2相离.此时=当r1=r2时,d=|t|=tgt;(r1+r2)=r1.当r1gt;r2时易得当r1lt;r2时，因为在(r1+r2,+∞)上单调递增，所以(3)圆C1与圆C2内含.不妨设r1gt;r2，此时于是又可以得到：结论2 当两圆相交时，两圆方程相减所得方程表示的直线是两圆公共弦所在的直线；当两圆相切时，该方程所表示的直线是两圆的公切线；当两圆相离或内含时，该方程所表示的直线与两圆均相离．当两圆相交或相切时，这条线有比较明确的几何意义，但当两圆相离或内含时，这条与两圆相离且垂直于两圆圆心连线的直线变得扑朔迷离，增添了几分神秘色彩．它有什么特别之处?不同位置关系的两圆所对应的这条直线是否还具有其他共性？下面先分析两圆外切的情况．如图1，半径为r1的圆C1和半径为r2的圆C2外切于点D,对应的直线l过点D，且l⊥C1C2，显然=.这是否为共性，很快在两圆相交的情况中被否定了，那么这条线上其他点有什么特点呢？设点P是l上不同于点D的点，连结PC1,PC2,可得特别地，当点P与点D重合时，式(7)亦成立．如图2，半径为r1的圆C1和半径为r2的圆C2相交于点A,B，对应地直线l即直线AB交C1C2于点D.设点P是l上任意一点，因为||PC1|2-(|C1D|2+|AD|2)=|PC1|2-|C1D|2-|AD|2=|PD|2-|AD|2,||PC2|2-(|C2D|2+|AD|2)=|PC2|2-|C2D|2-|AD|2=|PD|2-|AD|2,这一结论在两圆相交的情况中也成立，那么两圆相离时是否也有该结论呢？对于这种情况很难立刻得到结论,不过笔者以下的这一想法立刻让局面出现了转机:2个圆方程相减得到的直线方程并不是这两圆所特有的，其他两圆方程相减也有可能得到该直线方程．如图3所示，圆圆直线l是两圆方程相减所得方程表示的直线，l交C1C2于点D.不难发现，分别以C1,C2为圆心，|C1D|,|C2D|长为半径的两圆对应的方程相减所得方程表示的直线也是l，因此|||PC1|2-||PC1|2-|PC2|2-(|C1D|2-|C2D|2)=|PC1|2-|C1D|2-(|PC2|2-|C2D|2)=|PD|2-|PD|2=0,这一方法对两圆在任何位置情况都适用．于是又得到一结论：结论3 两圆方程相减所得方程表示的直线是分别到两圆心距离的平方减去对应半径的平方的值相等的点的集合．若直线上的点在圆外，则这些点到两圆的切线长相等．在射影几何中，一点对于圆的幂等于该点到圆心的距离的平方减去圆半径的平方．因此结论3即为：对两已知圆的幂相等的动点的轨迹是两圆方程相减所得方程表示的直线．这一直线通常称为两圆的等幂轴，又叫根轴．设圆圆动点P(x,y)，点P(x,y)对圆C1的幂为轨迹思想是几何问题代数化，同样可以逆向思考.一个代数式子的得到一定有着它的几何背景,因而可以从这条直线方程的得到过程来探究它的几何意义．反思结论3的探究过程，此方法显得快捷又清晰．分析如下：直线l的方程是由方程(4)减方程(5)得到的，即(1)根轴方程的活用示例.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求直线l的方程;若不存在，请说明理由．解设以AB为直径的圆C′：x2+y2+Dx+Ey=0(圆C′过原点)，则直线l就是圆C 与圆C′的根轴，于是因此满足条件的直线l存在.当直线l的方程是x-y+1=0时，圆C′:x2+y2+2x=0；当直线l的方程是x-y-4=0时，圆C′:x2+y2-3x+5y=0．这是一道探索性问题，通常利用待定系数法，结合韦达定理及几何性质等知识进行处理，运算繁难．通过深入分析问题的结构，联想两圆根轴方程的知识点，自然而然地展开思维过程，是轻松、顺利解决问题的关键所在．(2)其他相关结论.结论4 设两圆圆心分别为C1,C2,半径分别为r1,r2，|C1C2|=d，根轴l交C1C2于点D，则结论5 圆心不共线的3个圆，每2个圆有1条根轴，此3条根轴共点．结论6 与两圆直交的圆的圆心轨迹方程是两圆的根轴方程，即结论7 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0不同心，λ是参数，λ≠-1，则圆系x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0中任2个圆的根轴就是圆C1与圆C2的根轴．从课本的一个例题的思考提问出发，通过层层深入的探究，经历了对两圆根轴的认识过程．细细反思这一过程，有以下几点体会．①通过根轴方程的得到过程来探究它的几何意义，即透过代数式刻画其几何意义，能较容易地得到根轴等幂的性质．虽然解析几何着力于用代数方法解决几何问题，但代数问题转化为几何问题的能力也必须同步形成．例如,人教版普通高中课程标准实验教材数学必修2有这样2个典型的用几何方法来解决代数问题的习题：1°已知0lt;xlt;1，0lt;ylt;1,求证：+ ++≥2，2°设a,b,c,d∈R，求证：对任意p,q∈R，有②通过这一探究，明白了新课程标准实验教科书编者的良苦用心．教材一有机会就提问，充分发挥问题的作用，使教师和学生的学习活动更主动、更生动、更富探索性，为师生提供了教科书外的广阔的探究空间．③在探究过程中，笔者查阅了相关资料，发现一些结论早已被提出，那么是否这样的探究过程就没有意义了呢？数学发展至今，要有新的发现和突破是件很难的事情．但作为学习者，只有通过积极地探索，努力地再发现、再创造，才能了解数学，认识数学，融入数学，从而得到真正的提升．【相关文献】[1] 蒋声，左宗明．高中数学题典[M]．南京:江苏科学技术出版社，1993.[2] 罗碎海．方程与几何背景的探讨[J]．中学数学教学参考:上旬，2009(3):31-33.[3] 梁瑞芳,刘品德．求两圆根轴方程方法的一个活用[J]．数学通讯:上半月，2005(2):50.。
两个圆的方程相减
两个圆的方程相减【原创版】目录1.圆的一般方程介绍2.两个圆的方程相减的意义3.举例说明如何进行两个圆的方程相减4.结论：两个圆的方程相减的意义和应用正文一、圆的一般方程介绍圆是平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。
在数学中，圆可以用一般方程来表示，即：(x - a) + (y - b) = r。
其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是半径。
二、两个圆的方程相减的意义在数学中，两个圆的方程相减，可以用来找出两个圆的公共部分，即两个圆的交集。
这通常在解决几何问题时非常有用，例如在求解两个圆的交点或者判断两个圆是否相交等问题时。
三、举例说明如何进行两个圆的方程相减假设我们有两个圆的方程：(x - 1) + (y - 1) = 2 和 (x - 2) + (y - 2) = 8。
我们可以通过将两个圆的方程相减，来找出两个圆的公共部分。
首先，将两个圆的方程相减，得到：(x - 1) + (y - 1) - (x - 2) - (y - 2) = 2 - 8。
化简后，得到：2x - 4y + 7 = 0。
然后，我们可以将这个方程转换为标准的圆的一般方程。
首先，将方程移项，得到：2x - 4y = -7。
然后，将两边同时除以 2，得到：x - 2y = -7/2。
最后，将方程两边同时平方，得到：(x - 2y) = (-7/2)。
因此，我们可以得到一个新的圆的方程：(x - 2y + 7/2) = 49/4。
这个新的圆的方程表示的圆，就是两个原圆的公共部分。
四、结论：两个圆的方程相减的意义和应用通过两个圆的方程相减，我们可以找出两个圆的公共部分，这对于解决许多几何问题都非常有用。
两圆方程相减后所得方程的几何意义
两圆方程相减后所得方程的几何意义两圆方程相减后所得方程的几何意义
作为数学中的重要概念，圆的概念和方程一直是人们最多的研究内容。
在初等
数学中，学习到的圆的数学模型就是圆的标准方程。
根据圆的特性，圆的标准方程为： $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$$ 其中，x0和y0是圆心的坐标，r是圆的半径。
因此，圆的方程与半径和圆心有关，可以用来描述圆的几何形状。
如果相减两个圆的方程，也就是方程的差，它的几何意义就是两个圆之间的距离。
例如，$$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2$$
$$(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
相减，即可得到两圆之间的距离：
$$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2$$
因此，从数学上讲，相减两个圆方程，即可得到两圆之间的距离，这就是相减
两个圆方程后所得方程的几何意义。
相减两个圆方程所得方程的几何意义不仅可以应用于两个圆之间的距离的计算，而且可以运用于其他圆形的几何形状的描述。
例如，圆的外接矩形也是一种圆形几何形状，可以根据相减两个圆方程的结果，求出其外接矩形的四个顶点的坐标。
总而言之，相减两个圆方程后所得方程的几何意义既可以应用于圆心之间的距
离的计算，也可以应用于圆形几何形状的描述。
它在几何上是一种简单而有效的方法，为我们提供了一种方便的解决方案
相减两个圆方程后所得方程的几何意义是可以用来求得两个圆之间的距离。
由
此可以求得他们之间所形成的圆形几何形状，如圆的外接矩形等形状，从而可以求得所有形状的参数，让我们能够用最简单的数学模型解决复杂的几何问题。
(完整版)两圆方程相减的几何意义
方程011122=++++F y E x D y x 与0F y E x D y x 22222=++++相减后所得的直线方程的几何意义在平常的学习中知道，如果把两相交圆 ⊙1O 0F y E x D y x 11122=++++和⊙2O ：0F y E x D y x 22222=++++的方程相减所得到的直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两圆公共弦所在直线方程。
但很多同学在用这个结论时没注意到前提条件必须是两圆相交。
如果两圆不相交，两圆相减照样可以得到直线l ，但l 的几何意义就改变了。
因而有必要就两圆的5种位置关系进行讨论直线l 的几何意义。
我就两圆的5种位置关系进行研究。
一．两圆相交设()111y ,x P 、()222y ,x P 是两圆的交点，则有0F y E x D y x 111112121=++++和0F y E x D y x 121212222=++++成立，即()111y ,x P 、()222y ,x P 满足方程-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++即()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-。
所以直线l 表示两圆相交弦所在直线。
二．两圆相切（内切或外切）当把两相交的圆逐渐往两侧移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆外切，同时与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两外切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两外切圆的过同一切点的公切线。
当把两相交的圆逐渐往中间移动时，两交点逐渐靠近，最终重合为一点，此时两圆内切，同时，与两圆相交的直线l 也就与两圆只有一个公共点，直线l 成为两内切圆的过同一切点的公切线。
因此，直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+-表示两内切圆的公切线。
两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系
两圆方程作差所得方程对应的直线与两圆的位置关系对于两个非同心圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。
设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。
现在我想探讨的问题是：所得直线l 在两圆的5种位置关系下的几何意义以及l 已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？笔者针对以上问题探讨如下：一、预备知识：圆幂定理:1.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
3.割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A 、B ；C 、D ，则有 PA·PB=PC·PD。
统一归纳为圆幂定理：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2，L1与圆交于A 、B （可重合，即切线），L2与圆交于C 、D （可重合），则有PA·PB=PC·PD。
4．圆幂定理推论：设圆半径为r ，圆心为O ， 若P 在圆外，则()()()22222PA PB PC PD PO r PO r PO r PO r ==+-=-=-= 切线长；若P 在圆内，()()2222PA PB PC PD r PO r PO r PO PO r ==--=-=- 。
（事实上所有的过P 点与圆相交的直线都满足这个值） 二、预备知识：定义点到圆的幂与两圆的根轴1．定义点到圆的幂：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
这个值称为点P 到圆O 的幂。
（若P 在圆外，这个值就是切线长的平方） 2．定义两圆的根轴：两个非同心圆相减-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++总是得到一条直线l ：()()0F F y E E x D D 212121=-+-+- 因-++++)F y E x D y x (222220)F y E x D y x (11122=++++⇔222222222111()()()()0x a y b r x a y b r ⎡⎤⎡⎤-+----+--=⇔⎣⎦⎣⎦()()()()22222222221122110PO r PO r PO r PO r ⎡⎤⎡⎤---=⇔-=-⎣⎦⎣⎦由此可知：直线l 是到两圆幂相等的点的集合。
相离两圆方程相减所得方程的意义
相离两圆方程相减所得方程的意义咱们来聊聊相离两圆方程相减所得方程的意义，这事儿可挺有趣的。
咱先得知道圆的方程长啥样，就像每个人都有自己独特的模样一样，圆的方程是一种数学上描述圆的方式。
那相离的两个圆呢，就好比是两个互相不挨着的盘子，各自有着自己的地盘，也就是各自的方程所定义的范围。
当我们把这两个相离圆的方程相减的时候，得到的这个新方程可就有它独特的意义啦。
这个新方程就像是两个盘子之间隐藏的一种关系密码。
它不再是单纯地描述某个圆了，而是和这两个圆之间的相对位置等有着神秘的联系。
咱打个比方啊，假如有两个家庭，每个家庭都有自己的生活方式和习惯，就像两个圆有自己的方程一样。
这两个家庭不挨着住，就如同相离的圆。
如果我们做一些特殊的计算，就像圆方程相减那样，这个结果可能就反映出这两个家庭在某些方面的特殊关系，比如说他们之间可能存在的某种社会联系或者潜在的相互影响的因素。
虽然这和圆方程相减不完全一样，但就是这么个理儿。
从几何的角度看，这个相减得到的方程往往会对应着一条直线。
这直线就像是一条连接两个圆的特殊纽带。
它可不是随随便便的一条线哦。
这条直线与两个圆有着特殊的位置关系。
比如说，这条直线上的点到两个圆的切线长可能存在某种等量关系。
这就好比在两个不挨着的村子之间有一条特殊的路，沿着这条路走的话，会有一些特殊的现象发生。
比如说在这条路的某些点上，看两个村子的视角或者距离关系会有一些规律。
再从代数的角度想想。
圆的方程是由一些变量和常数组成的。
相减之后，那些变量和常数重新组合，形成了这个新的方程。
这个新方程所代表的直线在某种程度上是两个圆方程所蕴含信息的一种融合和重新诠释。
就像把两种不同的食材放在一起烹饪，最后出来的菜肴有着独特的味道，这个新方程也有着独特的数学意义。
有时候，我们可能会想，这个相减得到的方程到底有啥实际用处呢？其实用处还不少呢。
在解决一些几何和代数综合的问题时，这个方程就像一把钥匙。
比如说，我们要判断两个相离的圆形物体之间的某种最优路径或者特殊关系的时候，这个方程就能派上用场。
尺规作图之作非同心的两圆O1、O2的根轴
尺规作图之作⾮同⼼的两圆O1、O2的根轴作法：
两圆没有公共点（相离、内含）
1.作⼀恰当的圆P于两圆均相交，交圆O1于AB点，交圆O2于CD点；
2.连接AB、CD并分别延长，交于E点；
3.过E点作连⼼线O1O2的垂线l。
直线l即为所求。
两圆有公共点（外切、相交、内切）
1.连接两圆圆⼼；
2.过公共点作两圆连⼼线O1O2的垂线l。
直线l即为所求。
证明：
以O1、O2相交为例（图3），
设O1半径为R1，O2半径为R2，点C是O1、O2的中点，P是关于O1、O2的任意等幂点。
连接PO1、PO2，PC，过P作O1O2的垂线，交直线O1O2于D。
因为P是等幂点，
所以PO12-R12=PO22-R22，即PO12-PO22=R12-R22=常数。
根据余弦定理，
PO12=PC2+CO12+2O1C×CD，
PO22=PC2+CO22-2O2C×CD，
其中CO1=CO2=O1O2/2。
⼆者相减得CD=(PO12-PO22)/(2O1O2)=常数。
即两已知圆的任意等幂点向连⼼线作的垂线，其垂⾜D到C的距离都不变。
所以，这些等幂点都在垂直于O1O2的同⼀直线上。
因为A是两圆交点，必然是等幂点，这⼀点对两圆的幂都是0，
所以等幂线是过A且垂直于O1O2的直线。
同理，等幂线也是过B且垂直于O1O2的直线。
即等幂线是直线AB。
得证。
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两圆方程相减的几何意义
()()()()222
11112
22
2222::O x x y y r O x x y y r -+-=-+-=
两圆方程相减得：()()()()22211221121222x x x x x y y y y y r r ---+---=- ①
当()1122,(,)x y x y ≠即两圆不同心时，上述方程代表一条直线，记作l
将①两边除以2得到：
()()221212122121:222x x y y r r l x x x y y y ++-⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ② 由②可知()122121,OO x x y y =-- 是l 的一个法向量，所以12l OO
⊥ ，也就是说： 性质，非同心两圆方程相减所得直线必定是连心线的垂线。
另外，注意到对于等圆（12r r =），连心线中点1212,2
2x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭满足②，也就是说： 结论甲：非同心等圆方程相减，所得直线为连心线中垂线。
把①变形为()()()()()()222112211212x x x x x x y y y y y y r r --+-+--+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
即()22121212O O O P O P r r +=- ，即()()
222212121212O P O P O P O P O P O P r r -+=-=- 即2222112
2O P r O P r -=- ③ 这里(),P x y 是l 上的点。
由③我们可以看到，l 上的点必然同在两圆之外或两圆之内，也就是说如果两圆内含，则l 必然与两圆相离。
当P 在两圆之外时，③告诉我们P 到两圆的切线长相等。
下面我们结合③和性质1来讨论外离内含两种情况下，l 的位置。
结论乙：非同心外离（内含）两圆方程相减，所得直线垂直连心线且直线上的点到两圆切线长相等。
(等切线)
下面结合图形说明结论乙。
如图，只要确定了连心线上的等切点，就可以画出l 根据③，及1212OP O P OO += ，可以解得12,O P O P 的值，然后即有P 的位置，从而有
l 。
内含的情况与外离类似，前面已经解释过l 必定与两圆相离，且必定在连心线靠近小圆圆心一侧（证明从略），具体的坐标计算方法与外离情况一样。
结论丙：非同心相交两圆方程相减，所得直线包含公共弦。
结论丁：非同心相切(内切外切)两圆方程相减，所得直线为过两圆切点的公切线。
结论丙可以用两点确定一条直线来说明，结论丁可以用切点在直线上以及前文性质来说明，较简单，从略。