偏最小二乘回归分析
第章偏最小二乘回归分析
第章偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归(PLS Regression)是一种多元统计回归分析方法，用于处理多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。
与传统的最小二乘回归相比，PLS回归可以在数据存在多重共线性或高维情况下获得更为稳定和准确的结果。
本章将详细介绍PLS回归的原理、应用以及其在实际问题中的使用。
1.PLS回归的原理PLS回归通过建立自变量和因变量之间的线性关系模型，将数据投影到一个新的空间中，以降低维度并消除多重共线性的影响。
PLS回归的主要思想是将原始数据进行分解，得到一系列相互相关的隐藏变量，然后使用这些隐藏变量来进行回归分析。
2.PLS回归的步骤PLS回归的步骤包括数据预处理、建立模型、模型评估和解释。
首先，需要对原始数据进行预处理，包括中心化和标准化，以保证数据的平均值为零且方差为一、然后，通过逐步回归的方法构建模型，选择与响应变量高度相关的隐藏变量。
模型的选择可以通过交叉验证的方法进行。
最后，通过解释模型的系数和残差来评估模型的质量和可解释性。
3.PLS回归的应用PLS回归在实际问题中有广泛的应用，特别是在化学、生物、医学和食品科学等领域。
例如，PLS回归可以用于药物分析，通过测量药物的光谱数据来预测其浓度。
另外，PLS回归还可以用于食品安全和质量检测，通过分析食品的化学成分和感官属性来预测食品的品质。
4.PLS回归的优势和局限性相比于传统的最小二乘回归，PLS回归具有以下优势：能够处理高维数据和多重共线性问题，对异常值和缺失数据有较强的鲁棒性，对小样本数据有较好的稳定性。
然而，PLS回归也存在一些局限性，例如对数据的敏感性较高，模型的解释性较差，难以挑选合适的隐藏变量数量。
5.PLS回归的使用在使用PLS回归时，需要注意选择合适的模型评估方法和隐藏变量数量。
常用的评估方法包括交叉验证和留一法。
此外，还需要注意数据预处理的方法，如中心化、标准化和异常值处理等。
对于隐藏变量数量的选择，可以通过观察坐标平方和贡献率图来确定。
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧(六)
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
而偏最小二乘回归模型是在多元统计分析中应用广泛的一种方法，特别适用于变量之间存在多重共线性的情况。
本文将介绍偏最小二乘回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、偏最小二乘回归模型的基本原理偏最小二乘回归模型是一种降维技术，它通过找到与因变量最相关的新变量来解决多重共线性问题。
在传统的多元回归分析中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致回归系数估计不准确。
而偏最小二乘回归模型可以通过构建新的变量，将自变量空间转换为一个新的空间，从而降低自变量之间的相关性，使得回归系数的估计更加准确。
二、偏最小二乘回归模型的应用场景偏最小二乘回归模型特别适用于高维数据集中的特征选择和建模。
在实际应用中，很多数据集都存在大量的变量，而这些变量之间往往存在一定的相关性。
使用偏最小二乘回归模型可以帮助我们找到最重要的变量，从而简化模型，提高预测的准确性。
除此之外，偏最小二乘回归模型还可以用于光谱分析、化学工程、生物信息学等领域。
在这些领域中，往往需要处理大量的高维数据，而偏最小二乘回归模型可以帮助我们挖掘数据之间的潜在关系，找到最相关的变量，从而提高数据分析的效率和准确性。
三、偏最小二乘回归模型的实现步骤实现偏最小二乘回归模型，需要经过以下几个步骤：1. 数据预处理：对原始数据进行标准化处理，使得数据的均值为0，方差为1，以便更好地应用偏最小二乘回归模型。
2. 求解因子载荷矩阵：通过对数据进行主成分分析，求解因子载荷矩阵，得到新的变量空间。
3. 求解回归系数：在新的变量空间中，通过最小二乘法求解回归系数，得到最终的回归模型。
4. 模型评估：对建立的偏最小二乘回归模型进行评估，包括模型的拟合优度、预测准确性等指标。
四、偏最小二乘回归模型的应用技巧在应用偏最小二乘回归模型时，需要注意以下几点技巧：1. 数据标准化：在进行偏最小二乘回归分析之前，一定要对数据进行标准化处理，以避免变量之间的量纲差异对模型结果的影响。
偏最小二乘回归分析
x y xy 101.8389 b 2 2 , x x a y b x -28.6883
y
2 [ y ( a bx )] i i
n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
递推关系:
P0(x)=1, P1(x)=x,
2 P2 ( x) 1 ( 3 x 1) 2
则： a 28.7 0.4 b 101.8 0.1
即回归方程为：
y 28.7 101.8 x
附：临界相关系数 R表
N-2 a
0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.707
1.3 相关关系
相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式——坐标图（散点图）
非线性相关
零相关
正相关
负相关
相关系数 — 相关程度的度量
X和Y的总体 相关系数： •
Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
其中： Var(X)-----X 的方差 Var(Y)-----Y的方差 Cov（X，Y）-----X和Y的协方差
解： 1.列表
n x
y x2 y2 xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.11
82.5 1.2321 6806.25 91.575
偏最小二乘回归方法
偏最小二乘回归方法偏最小二乘回归(PLSR)方法是一种用于建立两个或多个变量之间的线性关系模型的统计技术。
这种方法是回归分析的变种，特别适用于处理高维数据集或变量之间具有高度相关性的情况。
PLSR方法的目标是找到一个最佳的投影空间，以将自变量和因变量之间的关系最大化。
PLSR方法首先将自变量和因变量进行线性组合，然后通过最小二乘法来拟合这些组合和实际观测值之间的关系。
通过迭代过程，PLSR方法会削减每个变量的权重，并选择最相关的变量组合来构建模型。
PLSR方法使用最小二乘回归来估计模型参数，并通过交叉验证来确定模型的最佳复杂度。
一般而言，PLSR方法需要满足以下几个步骤：1.数据预处理：包括数据中心化和标准化操作。
中心化是指将数据的平均值平移到原点，标准化是指将数据缩放到相同的尺度，以便比较它们的重要性。
2.建立模型：PLSR方法通过迭代过程来选择最相关的变量组合。
在每次迭代中，PLSR方法计算每个变量对自变量和因变量之间关系的贡献程度。
然后，根据这些贡献程度重新计算变量的权重，并选择最重要的变量组合。
3.确定复杂度：PLSR方法通常通过交叉验证来确定模型的最佳复杂度。
交叉验证可以将数据集划分为训练集和测试集，在训练集上建立模型，并在测试集上评估模型的性能。
根据测试集上的性能表现，选择最佳的复杂度参数。
PLSR方法的优点在于可以处理高维数据集，并能够处理变量之间的高度相关性。
它可以找到自变量与因变量之间的最佳组合，从而提高建模的准确性。
此外，PLSR方法还可以用于特征选择，帮助研究人员找到对结果变量具有重要影响的变量。
然而，PLSR方法也存在一些限制。
首先，PLSR方法假设自变量和因变量之间的关系是线性的，因此无法处理非线性模型。
其次，PLSR方法对异常值非常敏感，可能会导致模型的失真。
此外，PLSR方法也对样本大小敏感，需要足够的样本数量才能获得可靠的结果。
总的来说，偏最小二乘回归方法是一种用于建立变量之间线性关系模型的统计技术。
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归分析（PLS）是一种统计分析技术，用于建立一个或多个解释变量（X）与一或多个响应变量（Y）之间的关系，以帮助研究者分析一个系统的影响因素，并确定响应变量的变化。
偏最小二乘回归分析还可以用来准确预测给定的解释变量可能会产生的响应变量。
偏最小二乘回归分析是为了弥补线性回归分析（LRA）的不足而开发的一种技术。
LRA假定解释变量之间没有非线性关系，而PLS可以更好地模拟非线性关系。
它也可以用于处理多元线性回归的解释变量间的相关性，以及用于处理一组试验组和一组参照组时的相关性。
偏最小二乘回归分析的优势主要体现在其对异常值敏感性低，可以简化计算，处理较大数据量，以及对模型表现和预测准确性更好等方面。
PLS的基本思想是将解释变量和响应变量分解成“属性”和“指标”，并计算属性和指标之间的相关性。
属性是构成解释变量和响应变量的基本成分，而指标是利用属性对响应变量的解释能力的衡量指标。
PLS可以用来计算属性与特定指标的相关性，也可以用来识别有助于预测响应变量值的最相关属性。
建立一个偏最小二乘回归模型的过程很复杂，但是要建立一个模型，需要一些基本步骤。
首先，需要收集一组代表解释变量和响应变量的实际数据。
对于每一对变量，需要对它们的关系进行分析，以获得拟合系数，以及预测响应变量的准确性，并考虑可能的异常值。
接下来，需要调整解释变量的权重，以便尽可能准确地得出每一个变量的重要性。
最后，需要使用正确的统计技术来评估模型。
总而言之，偏最小二乘回归分析是一种统计分析技术，可以用来建立一个或多个解释变量（X）和一个或多个响应变量（Y）之间的关系，并确定响应变量的变化。
它可以在包含多个解释变量的试验中实现更准确的解释和预测，而且可以在任何数据集中成功运行，即使存在异常值也是如此。
因此，偏最小二乘回归分析可以提供更精确的结果，可以帮助研究者在其研究中发现有效的特定关系。
专题6偏最小二乘回归ppt课件
3
一、偏最小二乘回归概述——偏最小二乘回归方法的产生背景(续)
在国内,最早对此进行系统研究的学者 是北京航空航天大学的王惠文教授。
4
一、偏最小二乘回归概述
偏最小二乘回归的基本思想
2 T
。一般地,若有ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程会有更好的预测效果;若
ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程不宜用于预测。
22
二、偏最小二乘回归的建模步骤
在PLS建模中,究竟该选取多少个成分为宜,这 可通过考察增加一个新的成分后,能否对模型的预 测功能有明显改进来考虑。
采用类似于抽样测试法的工作方式,把所有n 个样本点分成2部分:第1部分除去某个样本点i的 所有样本点集合(共含n-1个样本点),用这部分样本 点并使用h个成分拟合一个回归方程;第二部分是 把刚才被排除的样本点i代入前面拟合的回归方程, 得到 y j 在样本点i上的拟合值 yˆ hj(i)。
显提高。
26
三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容 与主成分分析对应的研究内容
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三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容
1.精度分析
(1)th对某自变量xj的解释能力为
Rd (xj ;th ) r2 (xj ,th )
(2)th对X的解释能力为
1 p
m
Rd (xj ;t1,t2, ,tm ) Rd (xj ;th ) h1
(5)th对某因变量yk的解释能力为 Rd ( yk ;th ) r2 ( yk ;th )
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归分析（PartialLeastSquaresRegression，简称PLSR）是一种统计分析方法，它通过最小二乘法拟合变量间的关系来预测数据。
它可以在没有任何变量相关性、异方差假设和线性回归假设的情况下，推断出解释变量与被解释变量之间的关系。
PLSR的实质是利用原始变量的变量组合作为自变量，利用原始被解释变量的变量组合作为因变量，采用最小二乘法拟合变量之间的关系，进而推断出解释变量与被解释变量之间的关系，以及变量组合之间的关系。
PLSR能够有效地把来自大量解释变量的信息汇总到有限的因变量中，从而减少计算时间，并得到更好的预测结果。
尤其是当解释变量之间存在多重共线性时，PLSR能解决多重共线性的问题，也能够更好地拟合变量间的关系，从而获得更好的预测结果。
PLSR的应用在各种数据分析中都有一定的价值，如财务预测、市场调研及消费者行为研究等应用中都有所体现。
同样，PLSR也可以用于研究生物学遗传现象，帮助探索生物学相关变量之间的关系，从而为深入分析提供有价值的参考数据。
PLSR所涉及到的数学模型具有一定的复杂性，数据分析者在使用PLSR方法时，要注意解释变量和被解释变量之间是否存在强关联。
如果是强关联，PLSR分析可能会陷入过拟合，出现拟合不令人满意的预测结果。
同时，还要注意解释变量之间的关联性，以防止多重共线性的影响，否则PLSR的结果也可能不太理想。
因此，在使用PLSR进行数据分析之前，数据分析者应该首先分析出解释变量和被解释变量之间大致的关系，以及它们之间是否存在强关联或多重共线性；其次，数据分析者还要注意选择正确的变量组合，以保证PLSR结果的准确性。
总的来说，偏最小二乘回归分析是一种统计分析方法，它可以有效地减少计算时间，并能得到更好的预测结果，将被广泛用于各种数据分析中，但是必须注意变量的选择以及变量间的关系，以保证PLSR 结果的准确性。
偏最小二乘回归分析spss
偏最小二乘回归分析spss
偏最小二乘回归分析是一种常用的统计模型，它是一种属于近似回归的一类，它的主要目的是确定拟合曲线或函数，从而得到最佳的模型参数。
本文以SPSS软件为例，将对偏最小二乘回归分析的基本原理和程序进行详细说明，以供有兴趣者参考。
一、偏最小二乘回归分析的基本原理
偏最小二乘回归(PPLS)，又称最小二乘偏差(MSD)回归，是一种统计分析方法，是一种从给定的观测值中找到最接近的拟合函数的近似回归方法，它被广泛应用于寻找展示数据之间关系的曲线和函数。
最小二乘回归分析的基本原理是：通过最小化方差的偏差函数使拟合曲线或函数最接近观测值，从而找到最佳模型参数。
二、SPSS偏最小二乘回归分析程序
1.开SPSS软件并进入数据窗口，在此窗口中导入数据。
2.择“分析”菜单，然后点击“回归”，再点击“偏最小二乘法”，将其所属的类型设置为“偏最小二乘回归分析”。
3.定自变量和因变量，然后点击“设置”按钮。
4.设置弹出窗口中，可以设置回归模型中的参数，比如是否包含常量项和拟合性选项等。
5.击“OK”按钮，拟合曲线形即被确定，接着软件会计算拟合曲线及回归系数，并给出回归分析结果。
6.入到回归结果窗口，可以看到模型拟合度的评价指标及拟合曲线的统计量，如：平均残差、方差膨胀因子等。
结论
本文以SPSS软件为例，介绍了偏最小二乘回归分析的基本原理及使用程序，从而使读者能够快速掌握偏最小二乘回归分析的知识，并能够有效地使用SPSS软件。
然而，偏最小二乘回归分析仅仅是一种统计模型，它不能够代表所有统计问题，因此，在具体应用中还需要结合实际情况，合理选择不同的模型，使用不同的统计工具，以得到更加有效的统计分析结果。
偏最小二乘回归
偏最小二乘回归偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种主成分回归方法，旨在解决多元线性回归中自变量数目较多，且存在共线性或多重共线性的问题。
本文将介绍偏最小二乘回归的原理、应用案例以及优缺点。
1. 偏最小二乘回归原理偏最小二乘回归是基于多元线性回归的一种方法，通过压缩自变量的空间，将高维的自变量转化为低维的潜在变量，从而避免了多重共线性的问题。
在偏最小二乘回归中，我们定义两个主成分，其中第一个主成分能最大化自变量与因变量之间的协方差，而第二个主成分垂直于第一个主成分，以此类推。
2. 偏最小二乘回归应用案例偏最小二乘回归在众多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：2.1 化学分析在化学领域中，我们常常需要使用红外光谱仪等仪器进行样本的分析。
然而，由于样本中存在大量的杂质，导致光谱数据存在共线性等问题。
通过偏最小二乘回归可以降低样本数据的维度，提取出有用的信息，从而准确地进行化学成分的分析。
2.2 生物医学在生物医学领域中，研究人员常常需要通过大量的生理指标预测某种疾病的发生风险。
然而，由于生理指标之间存在相互关联，使用传统的线性回归模型时，很容易出现共线性的问题。
通过偏最小二乘回归，可以降低指标的维度，减少共线性对预测结果的影响，提高疾病预测的准确性。
2.3 金融领域在金融领域中，偏最小二乘回归也有广泛的应用。
例如，在股票市场的分析中，研究人员常常需要通过一系列宏观经济指标预测股票的涨跌趋势。
然而，这些指标之间往往存在较强的相关性，导致传统的回归模型难以提取出有效的信息。
通过偏最小二乘回归，可以从多个指标中提取出潜在的主成分，预测股票的涨跌趋势。
3. 偏最小二乘回归的优缺点3.1 优点（1）解决了多重共线性问题：偏最小二乘回归通过降低自变量的维度，有效地解决了多重共线性问题，提高了模型的稳定性和准确性。
（2）提取了潜在的主成分：通过偏最小二乘回归，我们可以从高维的自变量中提取出潜在的主成分，这些主成分更具有解释性，有助于理解自变量与因变量之间的关系。
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧(Ⅰ)
回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，常常会遇到自变量之间存在多重共线性或者样本数据维度过高的情况，这时候传统的最小二乘回归模型可能会出现问题。
为了解决这些问题，偏最小二乘回归模型应运而生。
本文将就偏最小二乘回归模型的应用技巧进行探讨。
偏最小二乘回归模型，简称PLS回归模型，是一种在自变量和因变量之间建立线性关系的方法。
与传统的最小二乘回归模型不同，PLS回归模型在构建模型的过程中，能够有效地克服多重共线性和样本维度过高的问题，提高了模型的预测精度。
在实际应用中，PLS回归模型有一些使用技巧。
首先，对于自变量之间存在多重共线性的情况，PLS回归模型能够通过主成分分析的方法，将自变量进行压缩，减少自变量之间的相关性，提高模型的稳定性。
在这一过程中，需要注意选择合适的主成分个数，以保证模型的预测效果。
其次，PLS回归模型在处理高维数据时也有一些技巧。
当样本数据维度过高时，可能会导致传统的最小二乘回归模型无法进行有效建模，而PLS回归模型能够通过降维的方式，减少模型的复杂度，提高预测的准确性。
在使用PLS回归模型时，需要注意选择合适的降维方法，以保证模型的稳定性和预测精度。
此外，PLS回归模型在建模过程中，还需要注意对模型进行合理的验证和评估。
在进行模型验证时，常常会使用交叉验证的方法，以检验模型的预测效果。
在评估模型时，可以使用R方值、均方根误差等指标，对模型的拟合效果进行评价。
在实际应用中，PLS回归模型还可以与其他技术手段相结合，提高模型的预测能力。
例如，可以将PLS回归模型与支持向量机、人工神经网络等方法结合，构建更加复杂的模型，提高预测的准确性。
总之，PLS回归模型是一种在回归分析领域中应用广泛的方法，能够有效地处理多重共线性和高维数据的问题，提高模型的预测精度。
在实际应用中，需要注意选择合适的主成分个数和降维方法，以及对模型进行合理的验证和评估。
27第二十七章 偏最小二乘回归分析
线性组合： t1 = w11 x1 + L + w1m xm = w1 X ， u1 是因变量集 Y = ( y1 ,L , y p ) 的线性组
T
T
合： u1 = v11 y1 + L + v1 p y p = v1 Y 。为了回归分析的需要，要求：
T
① t1 和 u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息； ② t1 和 u1 的相关程度达到最大。 由两组变量集的标准化观测数据阵 E0 和 F0 ，可以计算第一对成分的得分向量，记
2 ⎧α = E T tˆ t ˆ1 0 1 ⎪ 1 ， ⎨ 2 T ˆ ˆ ⎪ ⎩β1 = F0 t1 t1
称 α1 , β1 为模型效应负荷量。
（3）用残差阵 E1 和 F1 代替 E0 和 F0 重复以上步骤。
ˆ = tˆ α ， F ˆ = tˆ β ，则残差阵 E = E − E ˆ ，F = F − F ˆ 。如果残差阵 F 记E 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
-674-
ˆ1 和 u ˆ1 ： 为t
⎡ x11 tˆ1 = E0 w1 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ xn1 ⎡ y11 ⎢ ˆ1 = F0 v1 = ⎢ M u ⎢ yn1 ⎣ L x1m ⎤ ⎡ w11 ⎤ ⎡t11 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M ⎥ ⎥⎢ M ⎥ = ⎢ M ⎥ L xnm ⎥ ⎦⎢ ⎣ w1m ⎥ ⎦ ⎢ ⎣t n1 ⎥ ⎦
⎡ y11 L y1 p ⎤ ⎡ x11 L x1m ⎤ ⎢ ⎥ F0 = ⎢ M M ⎥ ， E0 = ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ yn1 L ynp ⎥ ⎢ ⎥ x x L nm ⎦ ⎣ n1 ⎣ ⎦
偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下： （1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 t1 和 u1 ，t1 是自变量集 X = ( x1 ,L , xm ) 的
偏最小二乘算法
偏最小二乘算法偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLS 回归）是一种常用的统计分析方法，用于处理多变量数据集中的回归问题。
它是在被解释变量与解释变量之间存在复杂关系的情况下，通过降维和建立线性模型来解决回归问题的一种有效手段。
下面将详细介绍偏最小二乘算法的原理和应用。
一、原理介绍偏最小二乘算法的核心思想是通过寻找解释变量与被解释变量之间最大的协方差方向，将原始变量空间转换为新的综合变量空间，从而实现降维的目的。
具体步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行中心化和标准化处理，以消除量纲和变量之间的差异。
2. 求解权重矩阵：根据解释变量和被解释变量的协方差矩阵，通过迭代的方式求解权重矩阵，使得新的综合变量能够最大程度地反映原始变量之间的关系。
3. 计算综合变量：将原始变量与权重矩阵相乘，得到新的综合变量。
4. 建立回归模型：将新的综合变量作为自变量，被解释变量作为因变量，通过最小二乘法建立回归模型。
5. 预测与评估：利用建立的回归模型对新的解释变量进行预测，并通过评估指标（如均方根误差、决定系数等）评估模型的拟合效果。
二、应用案例偏最小二乘算法在多个领域都有广泛的应用，下面以药物研究为例，介绍其应用案例。
假设我们需要研究一个药物的活性与其分子结构之间的关系。
我们可以收集一系列药物分子的结构信息作为解释变量，收集相应的生物活性数据作为被解释变量。
然后利用偏最小二乘算法，建立药物活性与分子结构之间的回归模型。
通过偏最小二乘算法，我们可以找到最相关的分子结构特征，并将其转化为新的综合变量。
然后，利用建立的模型，我们可以预测新的药物的活性，从而指导药物设计和优化。
三、优缺点分析偏最小二乘算法具有以下优点：1. 能够处理多变量之间的高度相关性，避免了多重共线性问题。
2. 通过降维，提高了模型的解释能力和预测精度。
3. 对于样本量较小的情况，仍能有效建立回归模型。
学术研究中的偏最小二乘回归分析
学术研究中的偏最小二乘回归分析摘要：本文将对偏最小二乘回归分析（PLS-Regression Analysis）在学术研究中的应用进行深入探讨。
该方法是一种有效的统计工具，可用于处理多个自变量与一个因变量之间的复杂关系，尤其在生物、医学、经济等领域具有广泛的应用价值。
本文将结合具体案例，详细介绍偏最小二乘回归分析的过程和结果，并讨论其在学术研究中的优势和局限性。
一、引言随着数据科学技术的不断发展，多元线性回归分析已不再是处理复杂数据问题的唯一工具。
偏最小二乘回归分析（Partial Least Squares Regression，简称PLS-Regression）作为一种统计方法，在处理多个自变量与一个因变量之间的复杂关系方面具有显著优势。
特别是在生物、医学、经济等领域，PLS回归分析的应用日益广泛。
二、偏最小二乘回归分析介绍偏最小二乘回归分析是一种基于潜成分模型的统计方法，它通过寻找数据中的潜在结构，以揭示自变量和因变量之间的复杂关系。
该方法通过寻找一组最优的潜在成分，将自变量和因变量之间的关系进行建模，从而实现对数据的深入分析和解释。
与传统的线性回归分析相比，PLS回归分析具有以下优点：1.适用于处理存在多重共线性的数据；2.能够处理缺失数据和异常值；3.适用于分析因果关系不明确的数据；4.能够有效地提取数据中的潜在结构，从而提供更深入的解释。
三、应用案例分析为了更好地理解偏最小二乘回归分析的应用，我们将结合具体案例进行分析。
假设我们有一组关于消费者购买行为的观测数据，其中包括消费者的年龄、性别、收入、品牌偏好等自变量，以及购买频率这一个因变量。
使用PLS回归分析，我们可以建立消费者购买频率与各个自变量之间的模型。
通过这个模型，我们可以更深入地理解消费者购买行为的影响因素，并为市场营销策略提供更有针对性的建议。
四、结果讨论偏最小二乘回归分析的结果将包括各个潜在成分的解释方差、因变量与自变量的相关系数、回归系数的标准误差等。
回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧(Ⅰ)
回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧回归分析是一种常用的统计分析方法，它用于研究两个或两个以上变量之间的关系。
在实际应用中，由于数据可能存在多重共线性等问题，传统的最小二乘回归模型可能会出现一些偏差。
偏最小二乘回归模型（Partial Least Squares Regression, PLSR）作为一种改进的回归分析方法，可以在一定程度上解决这些问题。
本文将介绍回归分析中的偏最小二乘回归模型构建技巧。
一、偏最小二乘回归模型的原理偏最小二乘回归模型是在传统最小二乘回归模型的基础上发展起来的一种方法，它的主要思想是通过引入潜在变量的方式来减少解释变量之间的共线性，从而得到更加稳健和准确的回归模型。
在偏最小二乘回归中，通过将解释变量和因变量分别投影到潜在变量空间中，然后进行建模和预测。
二、数据预处理在构建偏最小二乘回归模型之前，首先需要对数据进行预处理。
常见的数据预处理方法包括去除异常值、标准化数据、处理缺失值等。
这些预处理方法可以有效提高模型的稳定性和准确性。
三、选择潜在变量数目在构建偏最小二乘回归模型时，需要选择合适的潜在变量数目。
通常情况下，可以通过交叉验证等方法来确定最佳的潜在变量数目。
选择合适的潜在变量数目可以避免模型过拟合或欠拟合的问题，从而得到更加准确的预测结果。
四、模型建立与评估在选择了合适的潜在变量数目后，可以开始构建偏最小二乘回归模型。
通常情况下，可以采用逐步回归的方法来选择最终的模型。
在模型建立完成后，需要对模型进行评估。
常见的评估指标包括均方根误差（Root Mean Square Error, RMSE）、R方值等。
通过这些评估指标可以判断模型的拟合程度和预测准确性。
五、模型解释与应用最后，需要对构建的偏最小二乘回归模型进行解释和应用。
通过对模型的系数进行解释，可以得到解释变量对因变量的影响程度。
此外，可以利用构建的模型进行预测和决策，从而实现对实际问题的解决。
总结在回归分析中，偏最小二乘回归模型作为一种改进的回归分析方法，在处理多重共线性等问题时具有一定的优势。
偏最小二乘回归分析
对因变量系统有很强的解释能力. 这两个要求表明，PLS方法主成分的提取同主成分分
析中主成份的提取既有相似之处（代表性要求），又有不 同（相关性要求）.
在第一个主成分 t1 和 u1 被提取后，分别实施
①各自变量对自变量系统第一主成分的回归（即用
t1 表示X ）.
②各因变量对自变量系统第一主成分的回归（即用
th Eh1wh ,
⑺
uh Fh1ch ,
⑻
Eh Eh1 th phT ,
⑼
Fh Fh1 thrrT ,
⑽
式⑺至⑽中，h 1,2,, m, m rankE0,
t1 E0w1.
⑶
求矩阵 F0T E0E0T F0 的最大特征值所对应单位特征向量 c1, 得因变量的第1个主成分
u1 F0c1.
⑷
求残差矩阵
E1 E0 t1 p1T ,
⑸
F1 F0 t1r1T ,
⑹
式⑸中
p1
E0T t1 t1 2
,
式⑹中
r1
F0T t1
t1
2
.
在PLS方法中称 w1 为模型效应权重（Model Effect
常见的方法是用逐步回归法来进行变量的筛选，去掉 不太重要的相关性变量.然而，逐步回归法存在下列问题：
Ⅰ.缺乏对变量间多重相关性进行判定的十分可靠的检验 方法.
Ⅱ.删除部分多重相关变量的做法常导致增大模型的解释 误差，将本应保留的系统信息舍弃，使得接受错误结论的可 能以及做出错误决策的风险不断增长.
在克服变量多重相关性对系统回归建模干扰的努力中，
1983年瑞典伍德(S.Wold)、阿巴诺(C.Albano)等人提出了 偏最小二乘回归分析(Partial Least squares Regression
偏最小二乘回归分析分解
偏最小二乘回归分析分解偏最小二乘(PLS)回归是一种常用的多元分析方法，它可以用于建立变量之间的预测模型。
与最小二乘回归(OLS)相比，PLS回归更适用于高维数据集和存在多重共线性的情况。
在本文中，我们将详细介绍PLS回归的分析流程和相关理论。
PLS回归的主要目标是建立一个可以准确预测因变量的回归模型。
它通过最小化因变量的预测误差和解释自变量的协变量来实现。
与OLS回归不同的是，PLS回归是一种自逐步算法，它通过逐步的线性变换来提取自变量中的信息，并用这些信息构建因变量的预测模型。
这种逐步变换的思想使得PLS回归在处理高维数据集时更加有效。
PLS回归的分析流程可以分为以下几个步骤：1.数据准备：将数据集划分为训练集和测试集，并进行预处理。
预处理包括数据标准化、缺失值处理和异常值处理等。
2.模型建立：利用训练集进行PLS回归模型的建立。
PLS回归通过逐步线性变换将自变量中的信息提取出来，并用这些信息来构建因变量的预测模型。
在每一步中，PLS回归选择与残差有最大相关性的自变量进行线性变换，并更新残差。
这个过程一直进行到残差不再显著。
通过这个过程，PLS回归可以自动选择对因变量有更好预测效果的自变量。
3.模型评价：利用测试集评价PLS回归模型的预测效果。
常用的评价指标包括均方根误差(RMSE)和预测偏差百分比(PRESS)等。
这些指标可以评估模型的预测精度和稳定性。
4.模型优化：根据评价结果对模型进行优化。
PLS回归的优化包括选择最优的主成分个数和正则化参数。
主成分个数决定了提取的自变量信息的多少，而正则化参数用于控制模型的复杂度。
5.结果解释：根据模型结果解释自变量与因变量之间的关系。
PLS回归提供了自变量权重和载荷矩阵，可以用于解释变量之间的线性关系和对因变量的影响程度。
PLS回归的分解是指将自变量和因变量的矩阵分解为几个具有特定解释力的组成部分。
通常情况下，PLS回归可以分解为两个矩阵：得分矩阵(T)和载荷矩阵(P)。
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression）是一种多元统计分析方法，用于建立预测模型，可以同时考虑多个自变量之间的共线性问题。
与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归通过引入主成分分析的思想，将原始自变量空间转换为一组最佳主成分，从而降低变量之间的相关性，提高模型的预测能力。
在偏最小二乘回归分析中，我们有一个自变量矩阵X，其中包含n个样本和p个自变量，和一个因变量向量Y，包含n个样本。
我们的目标是找到一组新的变量T，使得X投影到T上后Y的方差最大。
这一过程可以通过以下几个步骤来实现：1.数据预处理：对于自变量矩阵X和因变量向量Y，进行标准化处理，使其均值为0，方差为1、这样做的目的是消除量纲的影响，保证特征的权重在同一尺度上。
2.建立主成分回归模型：偏最小二乘回归使用主成分分析的思想进行变量压缩。
通过对变量矩阵X进行奇异值分解，得到一组新的主成分向量，这些主成分向量对原始自变量矩阵进行正交变换。
可以选择前k个主成分作为新的自变量矩阵X'。
3.计算权重系数：利用最小二乘法，估计主成分回归模型中每个主成分对因变量Y的影响程度。
这些权重系数可以通过回归方程的计算得到。
4.选择最佳主成分数：通过交叉验证等方法，选择最佳的主成分数，以避免模型过拟合现象。
5.预测模型构建：将主成分回归模型中的权重系数应用到待预测的自变量矩阵X'上，得到因变量Y的预测值。
与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归具有以下几个优点：1.克服自变量之间的共线性问题：通过主成分分析的方法，可以将原始自变量空间转换为一组不相关的主成分，从而降低各个自变量之间的相关性。
2.减少噪声的影响：主成分分析可以通过去除各个主成分中的噪声部分，减少模型的误差，提高预测精度。
3.降低变量维度：偏最小二乘回归将原始自变量矩阵通过压缩降维的方式转换为新的自变量矩阵，减少需要考虑的变量个数。
偏最小二乘回归分析
偏最小二乘回归分析偏最小二乘回归法是一种新型的多元统计数据分析方法，它主要研究的是多因变量对多自变量的回归建模，特别当各变量内部高度线性相关时，用偏最小二乘回归法更有效。
另外，偏最小二乘回归较好地解决了样本个数少于变量个数等问题。
考虑p 个因变量12,,,p y y y ⋅⋅⋅与m 个自变量12,,,m x x x ⋅⋅⋅的建模问题。
偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分1u （1u 是12,,,m x x x ⋅⋅⋅的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息）；同时在因变量集中也提取第一成分1v ，并要求1u 与1v 相关程度达到大。
然后建立因变量12,,,p y y y ⋅⋅⋅与1u 的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。
否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。
若终对自变量集提取r 个成分12,,,r u u u ⋅⋅⋅，偏小二乘回归将通过建立12,,,p y y y ⋅⋅⋅与12,,,r u u u ⋅⋅⋅的回归式，然后再表示为12,,,p y y y ⋅⋅⋅与原自变量的回归方程式，即偏小二乘回归方程式。
为了方便起见，不妨假设p 个因变量12,,,p y y y ⋅⋅⋅与m 个自变量12,,,m x x x ⋅⋅⋅均为标准化变量。
自变量组和因变量组的n 次标准化观测数据矩阵分别记为11111111,m p n nm n np a a b b A B a a b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 步骤：（1） 分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达到最大。
假设从两组变量分别提出第一对成分为1u 和1v ，1u 是自变量集[]T12,,,n X x x x =⋅⋅⋅的线性组合(1)T 11111m m u x x X ααρ=+⋅⋅⋅+=,1v 是因变量集T1,,p Y y y ⎡⎤=⋅⋅⋅⎣⎦的线性组合(1)T 11111p p v y y Y ββγ=+⋅⋅⋅+=。
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否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的 精度为止。若最终对自变量集提取r 个成分 u1 , u2 ,, ur ，偏最小二乘回归将通过建立 y1 , , y p 与
u1 , u2 ,, ur 的回归式，然后再表示为 y1 , , y p 与原自变
量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。
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偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的 方法，特别当两组变量的个数很多，且都存在多重相 关性，而观测数据的数量（样本量）又较少时，用偏 最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析 等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成 分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点， 因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回 归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和 典型相关分析的研究内容，提供一些更丰富、深入的 信息。
v1 11 y1 1 p y p
(1)T
Y。
为了回归分析的需要，要求 i） u1 和 v1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信 息； ii） u1 和 v1 的相关程度达到最大。
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由两组变量集的标准化观测数据矩阵 A和 B ， 可以 ˆ1 和 v ˆ1 计算第一对成分的得分向量，记为 u a11 a1m 11 (1) ˆ u1 A ， （11.1） an1 anm 1m
2 ˆ SS j ( h) (bij bij ( h)) ， i 1 n
定义 的误差平方和为
SS( h) SS j ( h) .
j 1
p
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当 PRESS( h) 达到最小值时，对应的 h 即为所求的 成分个数 l 。 通常， 总有 PRESS( h) 大于SS( h) ， 而SS( h) 则小于 SS( h 1) 。因此，在提取成分时，总希望比值 PRESS( h) SS( h 1) 越小越好；一般可设定限制值为 0.05，即当 PRESS(h) SS(h 1) (1 0.05)2 0.952 时，增加成分 uh 有利于模型精度的提高。
y j c j 1 x1 c jm xm ， j 1,2, , p . （11.8）
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（5）交叉有效性检验。 一般情况下，偏最小二乘法并不需要选用存在的 r 个成分 u1 , u2 ,, ur 来建立回归式，而像主成分分析一 样，只选用前 l 个成分（ l r ） ，即可得到预测能力较 好的回归模型。对于建模所需提取的成分个数 l ，可以 通过交叉有效性检验来确定。
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其中 X 为 n× m 的自变量数据矩阵， 每一行对应一 个观测，每一列对应一个变量；Y 为 n× p 的因变量数 据矩阵，每一行对应一个观测，每一列对应一个变量； ncomp 为成分的个数，ncomp 的默认值为 min(n-1,m)。
ˆ i 的 m× 返回值 XL 为对应于 ncomp 的负荷量矩阵，它
i 1 n
Y [ y1 , , y p ]T 的预测误差平方和为
PRESS( h) PRESS j ( h).
i 1 p
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另外， 再采用所有的样本点， 拟合含 h 个成分的回 ˆ ( h)，则 归方程。这时，记第 i 个样本点的预测值为 b ij 可以定义 y j 的误差平方和为
（3）用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤。 ˆ u ˆ， ˆ u ˆ1 (1)T ， B ˆ1 (1)T ，则残差阵 E1 A A 记A ˆ 。如果残差阵 B 中元素的绝对值近似为 0， B1 B B 1 则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要 了， 可以停止抽取成分。 否则用残差阵 A1 和 B1 代替 A和 B 重复以上步骤即得
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（1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相 关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 u1 和 v1 ， u1 是自变量集 X [ x1 ,, xm ]T 的线性组合 u1 11 x1 1m xm (1)T X ， T v1 是因变量集Y [ y1 , , y p ] 的线性组合
(2) [ 21 ,, 2 m ]T ， (2) [ 21 , , 2 p ]T ，
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ˆ 2 A1 (2) ， v ˆ2 B1 (2) 为第二对成分的得分向量， 而u 2 2 (2) T (2) T ˆ2 u ˆ 2 ， B1 u ˆ2 u ˆ2 A1 u
分别为 X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有 (1)T ( 2)T ˆ ˆ A u u A2 , 1 2 (1)T ( 2)T ˆ ˆ B u u B2 . 1 2
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（4）设 n m 数据阵 A 的秩为 r min( n 1, m ) ，则 存在 r 个成分 u1 , u2 ,, ur ，使得 (1)T ( r )T ˆ ˆ ur Ar , A u1 （11.7） (1)T ( r )T ˆ1 ˆ r u Br . B u 把 uk k 1 x1 km xm （ k 1,2,, r ）， 代 入 即得 p 个因变量的偏最小二乘回 Y u1 (1) ur ( r ) ， 归方程式
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或者反过来说，当 PRESS(h) SS(h 1) 0.952 时，就认为增加新的成分 uh ，对减少方程的预测误差 无明显的改善作用。
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为此，定义交叉有效性为 2 Qh 1 PRESS( h) SS( h 1)， 这样，在建模的每一步计算结束前，均进行交叉有效 2 性检验，如果在第 h 步有Qh 1 0.952 0.0985，则模 2 0.0975 ， 型达到精度要求，可停止提取成分；若Qh 表示第 h 步提取的 uh 成分的边际贡献显著，应继续第 h 1步计算。
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11.2 Matlab 偏最小二乘回归命令 plsregress Matlab 工具箱中偏最小二乘回归命令 plsregress 的使用格式为 [XL,YL,XS,YS,BETA,PCTVAR,MSE,stats] = plsregress (X,Y,ncomp)
数学建模算法与应用
第11章 偏最小二乘回归分析
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在实际问题中，经常遇到需要研究两组多重相关 变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量（常称为 自变量或预测变量）去预测另一组变量（常称为因变 量或响应变量），除了最小二乘准则下的经典多元线 性回归分析（MLR），提取自变量组主成分的主成分 回归分析（PCR）等方法外，还有近年发展起来的偏最 小二乘（PLS）回归方法。
是首先在自变量集中提出第一成分 u1 （ u1 是 x1 , , xm 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异 信息）；同时在因变量集中也提取第一成分 v1 ，并要 求 u1 与 v1 相关程度达到最大。 然后建立因变量 y1 , , y p 与 u1 的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算 法中止。
(1)T (1) (1) 2 1, s.t. (1)T (1) (1) 2 1.
（11.3）
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利用Lagrange乘数法，问题化为求单位向量 (1) 和 使1 (1)T AT B (1) 达到最大。 问题的求解只须通 (1) ， T T M A BB A 的特征值和特征向 过计算 m m矩阵 量，且 M 的最大特征值为 12 ，相应的单位特征向量就 是所求的解 (1) ，而 (1) 可由 (1) 计算得到 1 T (1) B A (1) （11.4） 1
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（2） 建立 y1 , , y p 对 u1 的回归及 x1 , , xm 对 u1 的回 归。 假定回归模型为 (1)T ˆ A u A1 , 1 （11.5） (1)T ˆ1 B1 , B u 其中 (1) [ 11 ,, 1m ]T ， (1) [ 11 , , 1 p ]T 分别是多对 一的回归模型中的参数向量， A1 和 B1 是残差阵。
ˆ1 B (1) v b11 b1 p 11 . bn1 bnp 1 p
（11.2）
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第一对成分 u1 和 v1 的协方差Cov( u1 , v1 ) 可用第一 ˆ1 和 v ˆ1 的内积来计算。故而以上两 对成分的得分向量 u 个要求可化为数学上的条件极值问题 ˆ1 v ˆ1 ) ( A (1) B (1) ) (1)T AT B (1) max ( u
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回归系数向量 (1) , (1) 的最小二乘估计为 2 (1) AT u ˆ1 u ˆ1 , (1) 2 T ˆ1 u ˆ1 , B u 称 (1)9
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为了方便起见，不妨假定 p 个因变量 y1 , , y p 与 m 个自变量 x1 , , xm 均为标准化变量。自变量组和因变 量组的 n次标准化观测数据矩阵分别记为 b11 b1 p a11 a1m A ，B . bn1 bnp an1 anm 偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下