高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧

高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】
一个技巧：
222
a b ab
+≥逆用就是
22
2
a b
ab
+
≤
，
2
a b
+
≥(0,0)
a b
>>逆用就是2
()
2
a b
ab
+
≤等．
两个变形：
(1) 2
112
a b
a b
+
≤≤≤
+
(,)
a b R+
∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b
=时取等号）
(2)
22
2
()
22
a b a b
ab
++
≤≤(,)
a b R
∈（当且仅当a b
=时取等号)．
三个注意
“一正、二定、三相等”的忽视．
【解题方法技巧举例】
1、添、减项（配常数项）
例1 求函数
2
2
16
3
2
y x
x
=+
+的最小值.
22
2
2
2
16
20,3
2
16
3(2)6
2
6
6
x y x
x
x
x
+>=+
+
=++-
+
≥
=
解：
当且仅当
2
2
16
3(2)
2
x
x
+=
+
，即
22
x=
时,等号成立. 所以y
的最小值是6.
2、配系数（乘、除项）
例2 已知0,0
x y
>>，且满足3212
x y
+=，求lg lg
x y
+的最大值.
分析lg lg lg()
x y xy
+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y
+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为
32
6
x y
⋅
，再用均值不等式.
220,0
32lg lg lg()lg
6
132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当
32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.
3、 裂项
例3已知1x >-，求函数
()()
521
x x y x ++=
+的最小值.
分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.
()(
)141110,14(1)5519
x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦+>=+=++
+≥+=解：
当且仅当4
11x x +=
+，即1x =时，取等号.
所以
min 9
y =.
4、 取倒数
例4 已知
102x <<
，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与
(12)x -的积，可通过配系数，
使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为
(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
解 由
1
02x <<
，得10x +>，120x ->.
22
1(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤
+
⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当且仅当31211x x
x
x -=
++，即15x =时，取等号. 故
y 的最小值是12.
5、 平方
例5 已知0,0x y >>且22
283y x +=
求.
分析 条件式中的x 与
y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，
但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.
2
2
2
2
2
2
222((62)32(1)
3
2(1)9333()
22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
解：
当且仅当
22
2(1)3y x =+，即3
2x =
，2y =时， 等号成立.
故
的最大值是
评注 本题也可将x
纳入根号内，即将所求式化为.
6、 换元（整体思想）
例6
求函数y =
的最大值.
分析
t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.
22,0,2,(0)
21
00;1014
212=.
23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=
≤
=+
==-则
当时，当时，当且仅当，即所以时
7、 逆用条件
例7 已知19
1(0,0)
x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .
分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +
的最小值.这时可逆用条件，即由
191x y =
+，得19
()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.
19
0,0,
1199()()10
10169,4,12.16.
x y x y y x
x y x y x y x y
y x x y x y
x y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当
即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知
0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，
要
求
19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若
,,0a b c >
且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .
分析 初看，这是一个三元式的最值问题，
无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成
()()a b a c +++，而()()a b a c ++
等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.
,,0,2()()2,,1.2 2.
a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为
9、 消元
例9、设,,x y z 为正实数，
230x y z -+=，则2
y xz 的最小值.
分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得
32x z
y +=
，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.
2222
3,0,,2
9666=3,443,,=3
3.x z
x z y y x z xz xz xz xz xz xz
y
x z x y z y xz +>=
+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.
故的最小值为
【例题解析】 例1 求函数()()
y
x x x
=
++49的最值.
解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=x
x x x y ， 当且仅当x
x
=
36
即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->-
>x
x
036
0，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36
()[(13=-≤-
+--=∴x
x y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，
y max =-=13121.
例2已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值. 解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x x y =时，上式等号成立，又191x y
+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.
解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.
2
11282(82)[2(82)]()8222
x x y x x x x +-=-=-≤=
当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.
例4 已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)
45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、
凑项，5
,5404x x <∴->，
11425434554y x x x x ⎛
⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.
例5已知x，y为正实数，且
2
21
2
y
x+=
，求的最大值.
解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式
22
2
a b
ab
+
≤.
1
2
，==下面将x
=
2
2
1
22
2
2
y
x
++
≤
4
=
当且仅当x=
2
2
1
2
y
x+=
，即
2
x=，
2
y=时，等号成立.
所以的最大值为
4
.
评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.
【基本不等式课堂练习】
一、选择题
1.已知0,0a b >>，则
11
2ab a b
++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2
π
时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）
A.2
B.23
C.4
D.43
3.设y=x 2
+2x+5+21
25
x x ++，则此函数的最小值为（
）
A ．174
B ．2
C ．26
5
D ．以上均不对 4，若
，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5，若
且
，则下列四个数中最大的是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a
6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设
的最小值是( ) A. 10 B.
C.
D.
8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）
Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值
9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
10.下列函数中最小值为4的是( )
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(0,1)
12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →
＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4
y 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9
13．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4
y
)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.15
14． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
15．若
，则
的最小值为（ ）A ．8 B ．
C ．2
D ．4
17.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 28
5
C.5
D.6 18．下列不等式一定成立的是
（ ）
A ．2
1
lg()lg (0)4
x
x x +>> B ．1
sin 2(,)sin x x k k Z x
π+≥≠∈ C ．2
12||()x x x R +≥∈
D ．
2
1
1()1
x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则332
2
log log x y + （ ）
A 、最大值为1
B 、最小值为1
C 、最大值为2
D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x
=
+-的最小值.
21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。