高阶微分方程测试题参考答案 (1)

高阶微分方程部分测试题参考答案
1. 求解方程 t x''−2(1+ t) x'+(2 + t)x = t et , t ≠ 0 .
思路：先求出齐次线性方程组的基本解组，再求出原方程组一个特解.
解：方法 1 考察 t x''−2(1+ t) x'+(2 + t)x = 0 ，将 x = eλt 代入得到
c0
= 1,
n = 1,2,⋯.
3. 数学摆是系于一根长度为 L 的线上而质量为 m 的质点 M 在重力(设重力加速度为 g 米/秒 ^2)作用下，在垂直于地面的平面上沿着圆周运动. (1) 试导出单摆方程；（2）试给出单摆 一个运动周期的表达式.
参见讲义 例 68. 数学摆方程及其求解
=
(α + n)(β + n) (γ + n)(1+ n) cn ,
n
= 1,2,⋯
∞
∑ 特 别 地 ， 取 c0 = 1 得 到 ， 方 程 组 的 超 几 何 级 数 解 y(xபைடு நூலகம் = F(α(β, γ, x) = cn xn ， 其 中
n=0
c n +1
=
(α + n)(β + n) (γ + n)(1+ n) cn ,
6
t3
2
因此，原方程组通解为 x(t) = c1et
+ c2t3et /3 −
1 2
t2et ,
c1,c2
∈R
.
方法 2. 广义幂级数解方法求得相应齐次线性方程组一个解，其余同方法 1.
方法 3. 高阶方程的降阶法：改写相应的齐次线性方程组为 t(x" − x') −(2 + t)(x' − x) = 0 ，
∞
∑ 点；(2) 当1- γ 不是正整数时，证明方程具有超几何级数解 y(x) = F(α(β, γ, x) = cn xn ，
n=0
其中 cn+1
=
(α + n)(β + n) (γ + n)(1+ n) cn ,
c0
= 1,
n
= 1,2,⋯.
(1) 证明：首先，x=0 为方程组的一个奇点.
[γ − (α + β +1)x]/(1− x) αβx(1− x)
⎧ x1c1'+x2c2 ⎩⎨x1' c1'+x 2c2 '
'= 0 ,
= f(x)
f(x)
= et .
0 et c1' = et et
t3et /3
∫ t 2et + t3et /3 − t3e2t /3
t3et /3 = − t 2e2t = −t/3 , c1(t) =
− t/3dt = −t2/6 ;
t 2et + t3et /3
c2'= et et
et 0
et et t3et /3
∫ e2t
= t 2e2t
= t-2
,
c2 (t) =
t-2dt = − 1 . t
t 2et + t3et /3
于是所求特解为 x* (t) = − t 2 et + (− 1) t3 et = − 1 t 2et .
x
−
x'
)
=
0
0
，则显然
x
=
x(t)
为原
方程的一个解，经简单计算发现上述两个方程具有共同的解 x = et . 其余同方法 1.
注解：上面的解法都是你们师兄师姐们的做法！
2. 考察如下高斯超几何方程(Guass’s hypergeometric equation)
x(1− x)y''+[γ − (α + β +1)x]y'−αβy = 0 ，其中 α,β, γ 为常数. (1) 证明 x=0 为方程的正则奇
eλt (tλ2 − 2(1+ t)λ + 2 + t) = 0 解得常数解 λ = 1 ，因此，齐次线性方程组有解 x1 = et .
改写齐次线性方程组为
x''− 2(1+ t) t
x'+ (2 + t) x t
= 0 ，由刘维尔公式知，与 x1 = et 线性无
∫ ∫ 关的另一个解为 x2 = x1
1 x12
e∫
2(1+t) dt
t dt
=
et
e−2te2t t 2dt = t3 et . 3
改 写 原 方 程 为 x''− 2(1+ t) x'+ (2 + t) x = et ， 设 原 方 程 组 有 特 解
t
t
x* (t)
=
c1 (t)e t
+ c2 (t)
t3 3
et
，由常数变易公式知，
= C2et
+ C1 t3et 3
其中 C1, C2 为任意常数. 其余同方法 1.
方法 4. 改写相应齐次线性方程组为 t(x" − 2x' + x) + 2(x − x' ) = 0 ，考虑到 t 为任意非
零实数，于是特别地若存在函数
x
=
x(t)
同时满足
⎧⎪x" − 2x' + x =
⎨ ⎪⎩2(
改写原方程组为 y' '+
y'−
y =0，
x
x2
记 p(x) = [γ − (α + β +1)x]/(1− x), q(x) = αβx(1− x) ，容易验证知，p(x), q(x)都在 x=0 处解
析，因此，x=0 是原方程组的一个正则奇点.
(2) 考 察 欧 拉 方 程 x2y' '+p(0)xy'+q(0)y = 0 ， 其 特 征 方 程 为 λ(λ −1) − γλ = 0 ， 解 得
λ1 = 0, λ2 = 1− γ . 因此，原方程组具有幂级数解
∞
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ∑ y = cnxn , y ' = (n +1) cn+1xn , y ' ' = (n +1) n cn+1xn-1 = (n + 2) (n +1) cn+2xn .
n=0
n=0
n=0
n=0
将上述表达式代入方程组比较系数得到， cn+1
于是引入新的因变量 u = x' − x ，则原方程降阶为 tu' = (2 + t)u .由一阶线性方程的通解公式
得到 u
= C1e∫
( 2 +1)dt t
=
C1t 2et ，即 x'
−x
= C1t2et
,
∫ 由一阶线性方程的常数变异公式得到 x = et[C2 +
e−tt 2dt]
= C1et
+ C2t3et