MATLAB计算随机变量的数学期望与方差

a xb 其它
b a
解： 由E
xf x dx
1 x dx ba
clear ;
在MATLAB中，输入:
syms x a b; E int( x /(b a ), x, a, b)
击回车键，显示
E 1 / 2 /(b a ) * (b^2 a^2)
若
X 是连续型随机变量，数学期望的计算公式为：
EX

xf ( x )dx
程序如下：
EX int( x * f ( x ), inf,inf)
案例7.65 用MATLAB计算案例7.47中商品的期望销售量，已
知其概率密度为：
计算 E
1 ( x) b a 0 .
D int(1/( b a )* x ^ 2, x , a , b) E ^ 2
运行后结果显示： 1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2-a^2)^2 将其化简，在命令窗口中输入： simplify(1/3/(b-a)*(b^3-a^3)-1/4/(b-a)^2*(b^2a^2)^2) 结果显示： 1/12*a^2-1/6*b*a+1/12*b^2 2 即：b a / 12 这与前面的结论是一致的
g( x ) ( x )dx
EX int( g ( x )* f ( x ), inf,inf)
案例7.66 利用MATLAB软件重新解答案例7.50
解： 由原题已知收益Y的期望 1 y 1 40 E (Y ) 20 (4 x y )dx 20 y 3 ydx 20
在MATLAB命令窗口输入：
五、常见分布的期望与方差
分布类型名称
二项分布 几何分布
超几何分布 泊松分布 连续均匀分布 指数分布 正态分布
函数名称
Binostat Geostat
Hygestat Poisstat Unifstat Expstat Normstat Tstat Chi2stat
函数调用格式
[E,D]= Binostat(N,P) [E,D]= Geostat(P)
四、用MATLAB计算方差
计算方差的常用公式为：
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
2
若离散型随机变量有分布律 P{ X xk } pk (k 1,2n或k 1,2) 其MATLAB计算程序为
X [ x1 , x2 ,, xn ]; P [ p1 , p2 ,, pn ]; EX X * P ; EX ^ 2 D( X ) X .^ 2* P 若是连续型随机变量且密度函数为 f ( x ) ，则方差的
E ( X ) xi pi
i 0
可用如下程序进行计算：
EX symsum( xi pi ,0,inf)
案例7.63 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品5种， 相应的概率分别为0.7、0.1、0.1、0.06及0.04,若其产值分别 为6元、5.4元、5元、4元及0元.求产值的平均值 表示，则 的分布 解： 将产品产值用随机变量 为： 产值 6 5.4 5 4 0 0.7 产值的平均值为
运行结果显示： DX 5.7425
p
X [8,12.1,15]; P [0.4,0.5,0.1]; EX X .* P ; DX X .^ 2* P EX ^ 2
类似的程序我们可得乙公司股票的方差为：
DY 39.09
相比之下，甲公司股票方差小得多，故购买甲公 司股票风险较小。
案例7.56一种股票的未来价格是一随机变量Байду номын сангаас一 个要买股票的人可以通过比较两种股票未来价格 的期望和方差来决定购买何种股票，由未来价格 的期望值（即期望价格）可以判定未来收益，而 由方差可以判定投资的风险.方差大则意味投资 风险大，设有甲、乙两家公司的两种股票，今年 的价格都是10元，一年后它们的价格及其分布分 别如下表：
E[ g ( X )] g ( xk ) pk
k 1
随机变量
E[ g( X )] symsum( g( xk )* pk ,1,inf) 当 X 为连续型随机变量且有概率密度 ( x ) 时，
g ( X ) 的数学期望为：
E[ g( x )]

其MATLAB计算程序为：
案例7.68 用MATLAB软件重新解答案例7.57 解： 已知销售量为上均匀分布，即密度函数为 ：
p
1 a xb ( x) b a 0 其它 在MATLAB命令窗口输入： clear; syms x a b; E int( x /(b a ), x, a, b);
MATLAB计算程序为
EX int( x * f ( x ), inf,inf); D( X ) int( x ^ 2* f ( x ), inf,inf) EX ^ 2
案例7.67 利用MATLAB软件重新解答案例7.56
解： 两公司的股票价格都是离散型随机变量.先计算甲公 司股票的方差，在MATLAB命令窗口输入：
clear; syms x y
>>EY=1/20*(int((4*x-y),x,20,y)+int(3*y,x,y,40)) 结果显示:1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y)
将其化简，输入命令:
>>simplify(1/10*y^2-40-1/20*y*(y-20)+3/20*y*(40-y))
分布
fstat
[E,D]= fstat(V1,V2)
案例7.69 求二项分布参数 n 100, p 0.2 的期望方差。 解： 程序如下：
n 100; p 0.2; [ E , D] binostat ( n, p )
p
结果显示：E= 20 D=
16
案例7.70求正态分布参数 MU 100, SIGMA 0.2的期望方差 。 解： 程序如下：
X(元) 8 P 0.4 12.1 15 0.5 0.1 Y(元) 6 P 0.3 8.6 0.5 23 0.2
试比较购买这两种股票时的投资风险.

案例7.50假定国际市场每年对我国某种商品的需求量 是一个随机变量X（单位：吨），它服从[20,40]上的 均匀分布，已知该商品每售出1吨，可获利3万美元的 外汇，但若销售不出去，则每吨要损失各种费用1万美 元，那么如何组织货源，才可使收益最大？ 返回 案例7.57 计算案例7.47中我国商品在国际市场上的销 售量的方差. 返回
§7.4.2 利用MATLAB 计算随机变量的期望和方差
一、用MATLAB计算离散型随机 变量的数学期望
通常，对取值较少的离散型随机变量，可用如下程 序进行计算：
X [ x1 , x2 ,, xn ]; P [ p1 , p2 ,, pn ]; EX X * P
对于有无穷多个取值的随机变量，其期望的计算 公式为：
MU 6; SIGMA 0.25; [ E , D ] normstat ( MU , SIGMA)
结果显示：E=
p
6
D=
0.0625
案例7.47假定国际市场上对我国某种商品的年需求量 是一个随机变量 （单位：吨），它服从区间a , b 上的均匀分布，计算我国该种商品在国际市场上的年 期望销售量. 返回
[E,D]= Hygestat(M,K,N) [E,D]= Poisstat( [E,D]= Unifstat(N) [E,D]= Expstat(MU) [E,D]= Normstat(MU,SIGMA)) [E,D]= Tstat(V) [E,D]= Chi2stat(V) )
t
F
分布
2 分布
计算 EX .
1 pX k k 2

k＝1， n, 2
1 解： EX k k 2 k 1
在MATLAB中，输入：
symsum(k * (1 / 2)^ k , k ,1, inf)
再击回车键，显示：
syms k
ans 2
即 EX 2
二、用MATLAB计算连续型随机变量的数学期望
概率p
6 5.4 5 4 0
E * p'

0.1 0.1 0.06 0.04 的数学期望。在MATLAB中，输入：
p 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04
再击回车键，显示： E 5.4800 即产品产值的平均值为5.48.
案例7.64已知随机变量 X 的分布列如下：
即 E (a b) / 2
三、用MATLAB计算随机变量函数的数学期望
若 g ( X ) 是随机变量 X 的函数，则当 X 为离散 型随机变量且有分布律 P{ X xk } pk (k 1,2,n或k 1,2) 时，随机变量 g ( X ) 的数学期望为： 其MATLAB计算程序为：
结果显示: -1/10*y^2-40+7*y
再对Y在区间[20,40]上求最大值，在命令窗口入
f min bnd ('1/10* x ^ 2 7* x 40',20,40)
结果显示:
3.5000e+001
即当组织35吨货源时，收益最大。 (注： simplify（f）是对函数f化简； fminbnd(‘f’,a,b)是对函数f在区间[a,b]上求 极小值。要求函数的极大值时只需将‘f’变为 ‘-f’)