连续性概念教学要求

二、函数在一点的连续概念 考察下列函数在 x 0 处的性态:
sin x f ( x) x y
sin x ,x 0 g( x ) x x0 1, y
o
1 x 2 , x 0 h( x ) x, x 0
x
o
1 k( x) x
x
y
y
o o x
(1)
2
(2)
x 2 x sin x 1 0;
解: (1) 由根的存在判别式
( 1)2 4 1 ( 1) 5 0
方程(1)有两个不同的实数根. (2) 设 f ( x ) x 2 x sin x 1, 则
lim f ( x ) lim ( x 2 x sin x 1) x x x sin x 1 2 lim x (1 ) , 2 x x 所以存在 M 0, 使得f ( M ) 0. 注意到 f (0) 1 0, 故函数位于区间(0,M)内的图象(一条件连续的 的曲线),必与x轴相交,即存在 (0, M ), 使得 f ( ) 0, 故方程(2)有实 数根 x . 2 2 如图,红曲线 y x x 1, 蓝曲线为 y x x sin x 1.
§1
连 续 性 概 念
教 学 要 求
１、理解函数在某点连续、左（右）连续．按段连续及在区间上连续等概念 ２、会按定义证明函数在定义领域上的连续性． ３、会求函数的间断点，并能判别间断点的类型．
第四章 函数的连续性
§1 连续性概念
一、问题的提出
以下方程有无实数解：
x x 1 0; 1 1 (3) sin 0. 3 x x
f ( x)
x 0
U ( x0 ) 有定义. 若 lim y 0,
在
wenku.baidu.com (1)(x 0).
5) 函数 f ( x) 在 x x0 连续的 定义 定义1-2 设函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 有定义. 若 0, 0, 当
| x x0 | (或 | x | )时,恒有 | f ( x) f ( x0 ) | (或 | y | ) 则称 f ( x) 在 x x0 连续.
定义1
设函数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 有定义. 若
x x0
lim f ( x ) f ( x0 )
则称f在点 x0 连续.
sin x ,x 0 . 例1 设 g ( x ) x x0 1,
因
y
o
x
sin x lim g( x ) lim 1 g(0), x 0 x 0 x
right, equals A
EXAMPLE Show that at each integer n, the function f ( x ) [ x ] is continous from the right but discontinous from the left.
SOLUTION Since f ( x ) [ x] n for n x n 1, we have lim f ( x ) lim n n f ( n),
5) 函数 f ( x) 在 x x0 连续的 定义 定义1-2 设函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 有定义. 若 0, 0, 当 (或 | y | ),
| x x0 | (或 | x | )时,恒有 | f ( x) f ( x0 ) | 则称 f ( x) 在 x x0 连续.
1 sin , x 0 sin x 在 (1) f ( x ) x 0; x (2) f ( x ) 在 x 0. x 0, x 0 1 解: (1) 因为 lim f ( x ) limsin 不存在,所以 f ( x) 在 x 0不连续. x 0 x 0 x
| f ( x) f (0) || x | ,
即 lim f ( x) 0 f (0), 故函数在原点连续.
x0
例4 证明函数 f ( x) xD( x) 在原点连续,其中 D( x)为狄利克雷函数
x D( x) 1, 当 x 为有理数 0, 当 为无理数
证(方法2): 故 因
x 0 x 0 x 0
4) 3)
g( x ) 在 x 0 极限与函数值相等: lim g( x ) g( 0) 1; x 0 g( x ) 在 x 0 连续.
1 x 2 , x 0 h( x ) : x, x 0 1) h( x ) 在 x 0 有定义; 2) h( x ) 在 x 0 的左右极限都存在但不相等:
1 (3) 因为 lim f ( x ) lim x sin 0 f (0), 所以f在x=0连续. x 0 x 0 x
(4) 因为 lim f ( x ) lim(1 x ) e f ( 0), 所以f在x=0不连续.
x 0 x 0 1 x
例3
判断下列函数在指定的点是否连续:
x x0
x x0
lim f ( x) A : the limit of f ( x), as x approches x0 , equals A x x0 lim f ( x) A : the limit of f ( x), as x approches x0 from the
4) 函数 f ( x) 在 相应地,称
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y y0 为函数 y f ( x) 在点 x x0处的增量(改变量).
定义1-1 设函数
f ( x)
在
则称
x x0 连续. 命题(用无穷小): f ( x) 在 x x0 连续
所以 g( x ) 在 x 0 连续. 例2 判断下列函数在指定的点是否连续:
(1) f ( x) sin x 在 x x0 ;
( 2) f ( x ) 3 x 2 - x sin x 2 在 x a;
例2
判断下列函数在指定的点是否连续:
(1) f ( x) sin x 在 x x0 ;

x (1)( x 0), D( x) O(1)( x 0),
lim xD( x) 0 f (0),
x0
即 f ( x) xD( x) 在原点连续.
三、左连续与右连续
定义2 设函数
f ( x)
在
则称f在点 x0 右连续. 左连续类似定义.
x x0
U ( x0 )有定义.若 lim f ( x) f ( x0 )
h( x ) 在 x 0 间断.
x 0
y
lim h( x ) 0,
x 0
lim h( x ) 1;
3)
o
y
x
1 k( x) : x 1) k ( x ) 在 x 0 无定义; 2) k ( x ) 在 x 0 的左右极限都不存在;
3)
o
x
k ( x ) 在 x 0 间断.
一、问题的提出 以下方程有无实数解：
x x 1 0; 1 1 (3) sin 0. 3 x x
(1)
2
(2)
x 2 x sin x 1 0;
解: (3) 设 则
1 1 g( x ) 3 sin , x x 1 1 3 g( ) 0, g( ) 3 0,
例4 证明函数 f ( x) xD( x) 在原点连续,其中 D( x)为狄利克雷函数
x D( x) 1, 当 x 为有理数 0, 当 为无理数 证(方法1): f (0) 0.

| f ( x) f (0) || xD( x) || x |
0, , 当 | x 0 || x | 时有
(iii) lim f ( x) f ( x0 ). (点对地方, ,不上不下,刚好合适.)
x x0 x x0
3) f ( x) 在点 x0 连续 lim f ( x) f ( x0 ) f (lim x ) (i) 极限运算与对应法则f可以交换;
x x0
x x0
(ii) 对于连续函数而言,求极限就相当于求函数值.
xn x n
y
x
so the function f is continous from the right at n.
1 1 1 1 故位于区间 ( , ) 图象必与x轴相交, 即存在 ( , ), 使得
g( ) 0, 故方程(2)有实数根 x .




函数 g ( x ) 的图象如图所示. 从图象可以看出(3)的解法有误!
错误的根源: f ( x ) 的图象是连续的曲线;
g ( x ) 的图象不是连续的曲线.
sin x (2) 因为 f ( x ) 在 x 0 无定义, 所以 f ( x ) 在 x 0 不连续. x
注:
1) 函数在一点连续的概念,是用极限语言刻划的;
2) 函数 (i)
f ( x) 在 x x0 连续, 必须符合三个条件:
f ( x) 在 x x0 有定义; (f ( x)在 x x0 有点.) (ii) f ( x) 在 x x0 有极限,即 lim f ( x ). (f ( x)在 x x0 能“对上”)
解: (1) 因为
(2) 因为 所以
x x0
lim sin x sin x0 , 所以 f ( x ) sin x
x a
在x
x0 连续.
lim(3 x 2 x sin x 2) 3a 2 a sin a 2 f (a ),
f ( x ) 3 x 2 - x sin x 2 在 x a 连续.
4) 函数 f ( x) 在
记
x x0连续的增量定义
x x x0 , 称作自变量 x 在点 x0 处的增量(改变量).
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) y y0
相应地,称
x x0连续的增量定义 记 x x x0 , 称作自变量 x 在点 x0 处的增量(改变量).
Definiton2 A function f is continous from the right at a number x0 if
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x ) f ( x0 )
and f is continous from the left at x0 if
x 0
x 0
sin x ,x 0 g( x ) x : x0 1,
1)
y
o
x
g( x ) 在 x 0 有定义; 2) g( x ) 在 x 0 的极限都存在(即左右极限都存在且相等): lim g( x ) lim g( x ) lim g( x ) 1;
x
sin x f ( x) : x
1) f ( x ) 在 x 0 无定义; 2)
y
f ( x ) 在 x 0 的极限都存在(即左右极限都存在且相等):
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) 1;
x 0
o
x
3)
f ( x ) 在 x 0 间断.
( 2) f ( x ) 3 x 2 - x sin x 2 在 x a;
(3)
1 x sin , x 0 f ( x) x x0 0,
在x
0;
( 4)
1 (1 x ) x , x 0 f ( x) 在 x 0. x0 1,