有限元分析——杆系系统计算

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四杆桁架结构的单元编号及对应节点
各单元的长度及轴线方向余弦
（2）各个单元的矩阵描述 在整体坐标系下对节点位移和单元刚度矩阵进行表达，各单元
经坐标变换后的刚度矩阵如下：
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（1）结构离散与编号 结构离散后进行节点编号与单元编号， 有关节点与单元的信息见下表。
节点
X
Y
1
0
0
2
100
0
3
200
0
4
100
100
桁架结构节点及坐标
五杆桁架结构
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单元 ①
② ③ ④ ⑤
对应节点
1
2
2
3
4
3
4
2
1
4
桁架结构的单元及对应编号
单元
L
nx
①
100
杆系结构的有限元法
主讲人：杨红林 2014.07.25
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目录
一、杆系结构的概念与分析原理
1、杆系结构定义 2、杆系结构离散与单元分析 3、平面杆单元的坐标变换 4、整体刚度矩阵的组装 5、整体刚度方程的求解
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 2、桁架结构算例
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1
②
100
1
③
100
/2
④
100
0
⑤
100
/2
各单元长度及方向余弦
（2）单元分析 求出各杆单元的坐标转换矩阵及刚度矩阵 T1 =
去行去列法
若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可 将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这 种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可 大大缩小。例如整体刚度方程为：
边界条件为： 根据边界条件去行去列，如上图，
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（3）建立整体刚度矩阵 将各个单元刚度矩阵按节点编号进行组装，形成整体刚度矩阵；
同时将所有节点载荷进行组装。
刚度矩阵：
节点位移： 节点力：
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整体刚度方程为：
（4）边界条件的处理及刚度方程求解 边界位移条件为：
化简后有：
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所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为 ，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。
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四杆桁架结构
（1）结构的离散化及编号 对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见
表。
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四杆桁架结构节点及坐标
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为支座的支反力。
4）处理边界条件并求解 结构的位移边界条件为：
并将已知的节点位移和节点力代入得：
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求解上述方程，有：
5）求支反力 由上面的方程，可得支反力为：
6）求各个单元的应变和应力 根据应力和应变的定义可得：
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这样求得各个单元的应力与应变。 2、桁架结构算例 算例二：
（2）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵；
（3）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵；
（4）“对号入座”组装成整体刚度矩阵。
5、整体刚度方程的求解
由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整
体分
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析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体 位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有 删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。
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一、杆系结构的概念与分析原理
1 、杆系结构的定义 由 有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。
如图为桁架结构
2 、杆系结构的离散与分析 一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺
寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。
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F F
节点1
单元①
节点2
点2
如图为阶梯直杆的离散
节点2
单元②
对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图：
节点3
根据势能变分原理，它的刚度矩阵为：
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单元的刚度方程为：
其中
为节点力列阵；
为节点位移列阵。
3 、平面杆单元的坐标变换 工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分
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为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 即：
为整体坐标系下的节点力列阵，
由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的 刚度方程
4、整体刚度矩阵的组装
将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度
矩阵，即K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 + … …。组装步骤如下： （1）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵；
2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为：
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单元②的刚度方程为：
单元③的刚度方程为：
3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。
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就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即
由已知得： 将材料参数和几何尺寸参数代入得：
，
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则去行去列后有：
这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。
二、杆系结构算例
1、阶梯直杆算例 算例一：
求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为：
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图1：三连杆结构的受力状况
1）节点编号和单元划分
图2：各单元的节点位移和外力
对该方程进行求解，有 则所有的节点位移为： （5）各单元应力的计算
同理，可求出其他单元的应力
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（6）支反力的计算 根据整体刚度方程，可求得结果为
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算例三：
五杆桁架结构，各杆的弹性模量与截面积为E=
pa，
A=
，P=2000N，求结构的节点位移、支反力和单元应力。
析：
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平面杆单元的坐标变换
局部坐标系中的节点位移为： 整体坐标系中的节点位移为： 两个坐标系下的等价变换关系为：
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写成矩阵形式为：
为坐标变换矩阵，即ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能 为：
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