随机变量的性质

n
(Xi
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้ uˆ)3
kˆ
随机变量的性质
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主要内容
•随机变量定义 •随机变量的独立性 •随机变量的矩与相关系数 •随机变量分布的峰度和偏度 •随机变量的矩母函数和特征函数 •极限定理
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随机变量定义的界定
•随机变量的提出：观察一个随机现象，其随机事件有些是数 量性质，有些是非数量性质的。非数量性质的随机事件很难 运用成熟的数学方法去处理，即使对数量方式刻画的随机事 件由于缺乏规范性和统一性，在进行数学处理时通常也会存 在一些问题。 为此，人们提出了一种与事件的原始描述形态 相对应、易于数学处理、比较规范、并有许多共性的数学描 述方法，这就是所谓的随机事件的随机变量表示。 • 借助于随机变量对Ω上的事件进行数学化刻画以后，我们既
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数学期望和方差有一条重要性质：
若1, 2,…n相互独立，则 E( 1 2 … n )= E 1 ·E 2 …E n
n
n
c V ( cii )
2V i
i 1
i 1
通过上式可以知道，当两个随机变量与相 互独立时，(,)=0，即两随机变量不相关。
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随机变量的峰度和偏度
设为定义在概率空间(Ω, F,P)上的某随机
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多维随机变量
设(Ω, F,P)为概率空间，称＝
(1(w),2(w),…,n(w)):ΩRn是多维随机变量，当
且仅当的每个分量都是F可测的。
同样，我们也可以定义多维随机变量:ΩRn 的分布 函数：对x = (x1,…,xn) Rn，定义
F(x)= F(x1,…,xn)=P({w|1(w)x1 ,…,n(w)xn})，
变量，则用的标准化的三阶中心矩来定 义的偏度，即
S( )
E(
E )3
3
(V ) 2
所有对称分布的偏度都为0，偏度不为0的 分布曲线是右偏斜或左偏斜。
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用的标准化的四阶中心矩来定义的峰度， 即
K( ) E( E )4 (V )2
正态分布的偏度为0，峰度为3，厚尾分布 的峰度大于3，甚至有无限峰度。
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随机变量的独立性
定义
设1, 2,…,n为定义在(Ω, F,P)上的随机变量， 若对AiB(R1)，i=1,2, …,n，有
P({w|1(w) A1 , 2(w) A2,…, n(w) An})=
n
P({w|i (w) Ai }), 则称1, i12,…,n是相互独立的。
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随机变量的独立性
另外，还有等价定义为：称1, 2,…,n相互独立， 若对任意实数x1, x2,…,xn，有
个随机变量i (i=1,2,…n)都有有限数学期
望，则称 Cov(i, j)=E[(i－Ei)(j－Ej)]
= Eij－EiEj , ( ij )
为随机变量i与j的协方差，或称为二阶混合 中心矩；
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若i，j的方差Vi 和Vj非零有限，则定义i 与j的相关系数为
(i , j )
cov(i , j )
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随机变量的矩与相关系数
定义 设为概率空间(Ω, F,P)上的随机变量，
若积分 |k|d P <+，则称
阶矩，记作Ek；
kdP为的k
同理，可定义k阶中心矩E((–E)k)；
称一阶矩E为的数学期望，记为E；
称二阶中心矩E((–E)2)为的方差，记作σ2
或V；
称σ为的标准差。
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多维随机变量的数学期望和方差: 对维随机向量（1, 2,, n），若每
则称F为 的n维联合分布函数。对m <n，在联合分布 函数中将其中n-m个变量用+来代替，就可得到对 应于 的m个分量的边际分布函数。
例如：F(x1, +,…,+)=P({w|1(w)x1,2(w)+,…,n(w) +})是一维边际分布函数，实质上也是分量1的分 布函数。
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多维随机变量
若存在一个非负实函数f：Rn R1 ，使得对
度。 3
定义
定义 称映射:ΩR1 是随机变量（或者F可测的）， 若AB (R1)，-1(A)={w|(w) A}F，即-1(A) 是F中的事件。
显然，G ＝{-1(A)| AB (R1)}是F中的集合簇。我 们把由G生成的σ－代数 (G)称为由随机变量生成
的σ－代数，记作σ(),σ()是使可测的最小σ－代 数。
P(1 x1, 2 x2,…,n xn)= P(1 x1) P(2 x2)…P(n xn)
上式等价于 F(x1, x2,…,xn)= F1(x1) F2(x2)…Fn(xn),
其中，F是随机向量(1, 2,…,n)的联合分布函数， F1 ,…,Fn分别为随机变量1, 2,…,n的一维边际 分布函数。
AB(Rn)，满足
P(A) =P({wΩ|(w)A }) =
f(x)dx xA
则称f为n维随机变量的密度函数，此时n维随机变
量的联合分布函数表示为
F(x) F(x1, , xn )
x1
ds1
x2
ds2
xn
f
(s1, s2 ,
, sn )dsn
我们经常使用的概率分布有二项分布、Poission分 布、正态分布、对数正态分布、高斯分布、χ2-分 布、t-分布、F分布等。
1
(Vi V j ) 2
容易推理得0 |(i,j)| 1。
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方差-协方差矩阵: 我们称n阶方阵
V1
cov(1,2 )
cov(2 ,1 )
V 2
c
ov( n
,
2
)
cov(n ,2 )
cov(1,n )
cov(2 ,n )
V n
为n维随机向量（ 1, 2,…n ）的方差-协方 差矩阵，记为，显然方差-协方差矩阵为 非负定的对称矩阵。同理，我们也可以得到 由(i,j)组成的相关系数矩阵。
可以利用概率测度P评价F 中的事件，又可以广泛借助于数 学方法对F 中的事件进行更全面、更深入的认识。
•注意：随机变量的定义也必须遵循一定的规则。对于概率空
间(Ω, F,P)，尽管Ω的所有随机事件皆可以用随机变量来描 述，但我们只对评测F中的事件感兴趣，而且也只有F中的随 机事件才是可测的，或者说只有对F中事件才能进行概率测
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在实际应用中，也可以用样本数据去估计偏 度和峰度，以找到样本数据的变化规律。
假设有样本数据 {X i}in1，则样本均值 uˆ 和
方差 ˆ 2 分别为
uˆ
1 n
n i 1
Xi
ˆ 2
1 n 1
n i 1
(Xi
2
uˆ)
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这样，样本的偏度 sˆ 和峰度 kˆ 分别为
sˆ
1
(n 1)ˆ 3