几何学的变革
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锐角？直角？钝角？
萨凯里四边形
• 萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出 了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇 的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条 直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为 自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。
➢1837年，在克莱尔杂志上发表《虚几 何学》，并与1840年用德文写了《平 行线理论的几何研究》，希望能引起欧 洲数学家的注意。
➢罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是 一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：
“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与 已知直线不相交。”
作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连 串新几何学的定理。
第九章 痛苦的分娩 ——几何学的革命
背景：
17世纪以来，解析几何，微积分等学科的产生与发展，使得数学科 学发生了重大的变化，几何学是数学科学中最为古老，也是最为成熟的 一个分支，直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几 何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内 容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴 趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
➢ 高斯曾经实际测量由三个山峰构成的 三角形的内角和是否为180°，由于 实际误差而没有得到确切的结论， 他认识到只有更大的三角形才会 显示出明显的差别。
➢非欧几何的另一位创始人是匈牙利的青年数学家波约．
➢波约的父亲曾经在哥廷根学习，认识高斯，曾经研究过第五公 设问题。
➢16岁时，波约到维也纳帝国工程学院学习，毕业后成为一名军 官，十年后退役。
➢罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾， 因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾 的理论，这个理论就是一种新的几何学-——非欧 几里得几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴 切夫斯基几何的一个特例。
➢波约很早就继承父亲对于平行公设的研究， 1823年11月3日，经Hale Waihona Puke Baidu不懈努力，得出了非 欧几何的基本原理。他高兴地写信告诉父 亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的 世界．”。1832年，在他的父亲的一本著 作里，以附录的形式出版。
➢当他父亲把波约的研究成果写信告诉高斯的时候， 高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思 的结果不谋而合．”波约看到高斯的回信，大大刺 伤了自己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果。 从此消沉下去，不再研究这一问题。在看到罗巴 切夫斯基的著作时，他又怀疑罗巴切夫斯基剽窃 自己的成果。
➢ 罗巴切夫斯基始终捍卫他的几何学，去世前一年，在眼睛 几乎失明的情况下，用俄文和法文口授一部《泛几何学》， 总结了自己非欧几何学的成就及其在分析上的应用。
➢1826年在喀山大学发表了《简要论述 平行线定理的一个严格证明》的演讲， 报告了自己关于非欧几何的发现。
➢1829年发表了题为《论几何原理》的 论文，这是历史上第一篇公开发表的非 欧几何文献。
锐角？直角？钝角？
兰伯特四边形
02 高斯，波约和罗巴切夫斯基
的突破性工作
➢ 最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描 述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不 能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五 公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里 得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。然而由于担 心世俗的攻击，他决定将自己的发现秘而不宣。
• 从公元前3世纪到18世纪末，数学家们始终没有放弃对平行公设的疑惑。 第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显 而易见。
• 欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以 后再也没有使用。
• 第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证 明第五公设？
• 1763年, 克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实 际上并未导出矛盾, 只是得到了似乎与经验不符的结论. 开始 怀疑平行公设能否由其他公理加以证明. • 1766年，兰伯特发表《平行线理论》。兰伯特并不认为锐角 假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起 矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指 出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。
➢波约的26页的附录一直没有引起注意，他在不满、 酗酒、决斗、潦倒中去世。
➢ 高斯的保守，波约的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间。 只有俄国数学家罗巴切夫斯基(1792―1856)才无愧于享有 这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号。
➢ 罗巴切夫斯基出身贫寒，靠公费在喀山中学完成学业， 1808年进入喀山大学，1811年硕士毕业留校任教。1822年 任教授，1827年任校长。
CONTENTS
01 关于第五公设的思考
02 高斯，波尔约和罗巴切 夫斯基的突破性工作
03 非欧几何学发展与确认 04 射影几何
05 几何学的统一
01 关于第五公设的思考
关于第五公设的思考
前四条公设人们认
为简单明了，符合
01 第一公设：任意二点间可连一线；
第一公设：任意二点间可连一线；
亚里士多德关于公 理“自明性”的要
第二公设：直线可无限延长；
求
02
第三公设：以任何中心、任何半径可作一圆；
第二公设：直线可第无四公限设延：长凡直；角都相等；
03 第三公设：以任何中心、任何半径可作一圆；
04 第四公设：凡直角都相等；
关于第五公设的思考
“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二 直线经无限延长后在这一侧相交。”
从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一 种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的推 理错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。
平行公设是欧氏几何的家丑。 ——达朗贝尔
• 意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在《欧几里得无懈可 击》（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证 明平行公设。
萨凯里四边形
• 萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出 了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中获得了一系列新奇 的结论：如三角形内角和小于两直角；过直线外一点有无数条 直线与已知直线平行等。萨凯里认为它们太不合情理，便以为 自己导出了矛盾而判断锐角假设是不真实的。而直角假设则是 与平行公设等价的。
➢1837年，在克莱尔杂志上发表《虚几 何学》，并与1840年用德文写了《平 行线理论的几何研究》，希望能引起欧 洲数学家的注意。
➢罗巴切夫斯基非欧几何的基本思想与高斯、波约是 一致的，即用与欧几里得第五公设相反的断言：
“通过直线外一点，可以引不止一条而至少是两条直线与 已知直线不相交。”
作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连 串新几何学的定理。
第九章 痛苦的分娩 ——几何学的革命
背景：
17世纪以来，解析几何，微积分等学科的产生与发展，使得数学科 学发生了重大的变化，几何学是数学科学中最为古老，也是最为成熟的 一个分支，直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几 何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内 容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴 趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
➢ 高斯曾经实际测量由三个山峰构成的 三角形的内角和是否为180°，由于 实际误差而没有得到确切的结论， 他认识到只有更大的三角形才会 显示出明显的差别。
➢非欧几何的另一位创始人是匈牙利的青年数学家波约．
➢波约的父亲曾经在哥廷根学习，认识高斯，曾经研究过第五公 设问题。
➢16岁时，波约到维也纳帝国工程学院学习，毕业后成为一名军 官，十年后退役。
➢罗巴切夫斯基明确指出，这些定理并不包含矛盾， 因而它的总体就形成了一个逻辑上可能的、无矛盾 的理论，这个理论就是一种新的几何学-——非欧 几里得几何学。欧几里得几何学在这里仅成了罗巴 切夫斯基几何的一个特例。
➢波约很早就继承父亲对于平行公设的研究， 1823年11月3日，经Hale Waihona Puke Baidu不懈努力，得出了非 欧几何的基本原理。他高兴地写信告诉父 亲：“我已从乌有中创造了另一个新奇的 世界．”。1832年，在他的父亲的一本著 作里，以附录的形式出版。
➢当他父亲把波约的研究成果写信告诉高斯的时候， 高斯感到十分吃惊，回信说：“这和我40年来沉思 的结果不谋而合．”波约看到高斯的回信，大大刺 伤了自己的自尊心，反而怀疑高斯剽窃他的成果。 从此消沉下去，不再研究这一问题。在看到罗巴 切夫斯基的著作时，他又怀疑罗巴切夫斯基剽窃 自己的成果。
➢ 罗巴切夫斯基始终捍卫他的几何学，去世前一年，在眼睛 几乎失明的情况下，用俄文和法文口授一部《泛几何学》， 总结了自己非欧几何学的成就及其在分析上的应用。
➢1826年在喀山大学发表了《简要论述 平行线定理的一个严格证明》的演讲， 报告了自己关于非欧几何的发现。
➢1829年发表了题为《论几何原理》的 论文，这是历史上第一篇公开发表的非 欧几何文献。
锐角？直角？钝角？
兰伯特四边形
02 高斯，波约和罗巴切夫斯基
的突破性工作
➢ 最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容、而且可以用来描 述物质空间的是高斯。他从1799年开始意识到平行公设不 能从其它公设推导出来，并从1813年起建立了一种使第五 公设在其中不成立的新几何学。他起先称之为“反欧几里 得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”。然而由于担 心世俗的攻击，他决定将自己的发现秘而不宣。
• 从公元前3世纪到18世纪末，数学家们始终没有放弃对平行公设的疑惑。 第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显 而易见。
• 欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以 后再也没有使用。
• 第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证 明第五公设？
• 1763年, 克吕格尔在其博士论文中首先指出萨凯里的工作实 际上并未导出矛盾, 只是得到了似乎与经验不符的结论. 开始 怀疑平行公设能否由其他公理加以证明. • 1766年，兰伯特发表《平行线理论》。兰伯特并不认为锐角 假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起 矛盾的话，就提供了一种可能的几何。因此，兰伯特最先指 出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。
➢波约的26页的附录一直没有引起注意，他在不满、 酗酒、决斗、潦倒中去世。
➢ 高斯的保守，波约的消沉，使非欧几何的诞生推迟了时间。 只有俄国数学家罗巴切夫斯基(1792―1856)才无愧于享有 这门新学说的创建者和捍卫者的光荣称号。
➢ 罗巴切夫斯基出身贫寒，靠公费在喀山中学完成学业， 1808年进入喀山大学，1811年硕士毕业留校任教。1822年 任教授，1827年任校长。
CONTENTS
01 关于第五公设的思考
02 高斯，波尔约和罗巴切 夫斯基的突破性工作
03 非欧几何学发展与确认 04 射影几何
05 几何学的统一
01 关于第五公设的思考
关于第五公设的思考
前四条公设人们认
为简单明了，符合
01 第一公设：任意二点间可连一线；
第一公设：任意二点间可连一线；
亚里士多德关于公 理“自明性”的要
第二公设：直线可无限延长；
求
02
第三公设：以任何中心、任何半径可作一圆；
第二公设：直线可第无四公限设延：长凡直；角都相等；
03 第三公设：以任何中心、任何半径可作一圆；
04 第四公设：凡直角都相等；
关于第五公设的思考
“同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二 直线经无限延长后在这一侧相交。”
从公元前3世纪到18世纪，证明第五公设的努力始终没有中断。但每一 种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在其它形式的推 理错误。而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。
平行公设是欧氏几何的家丑。 ——达朗贝尔
• 意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）在《欧几里得无懈可 击》（1733）一书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证 明平行公设。