线性代数—解线性方程组的消元法
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（ i 与 j 相互替换） （2）以不等于０的数乘某个方程；
（以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
（以 i k j 替换 i ）
7
3．上述三种变换都是可逆 的． 若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2 , 故方程组无解.
14
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
线性方程组
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
1
0
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4 0 03
对应的方程组为
x1 x2 2x3 x4 4
x2
x3
x4
0
,
x4
3
x1 x3 4
由下到上逐个解得
x2 x3 3
，其中x3为任意取值.
x4 3
12
2 x1 2 x2 x3 6
例2
解线性方程组
x1
2
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
10
1 1 2 1 4 2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
Leabharlann Baidu
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
11
1
0 0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 2 1
4
0
r3
r4
36
r4
2r3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0, 4
用“回代”的方法求出解：
x1 x3 4
x2
x3 3
其中x3为任意取值.
x4
3
6
小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
a11 a12 a1n
系数矩阵
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A
(
A,
b)
a21 am1
a22 am2
a2n amn
b2 bm
,
15
利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形,
c11 c12 c1r c1n d1
第三章
1
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有 解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无 穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面 的问题。
2
第一节 解线性方程组的消元法
例1 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2 3
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
12 3 2
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2
4
x3
3
.
5 x1 7 x2 x3 28
解
2 2 1 6 ( A, b) 1 2 4 3
1 2 4 3 0 6 9 0
5 7 1 28
0 17 19 13
1 2 4 3
0 1 8 13
0
2 3
0
1 2 4 3 0 1 8 13 0 0 13 26
解得唯一解 x1 1 , x2 3 , x3 2 .
2 3
3x2 3x3 4x4 3, 4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0,
2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
5
x1 x2 2x3 x4 4, 1
x2 x3 x4 0,
2
2x4 6, 3
x4 3, 4
13
例3
解线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1,
2,
2x1 x2 2x3 2x4 3.
解
1 2 3 1 1 ( A, b) 3 1 5 3 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1
0 5 4 0 1
0
5 4
0
1
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A
(
A
b)
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
称为方程组(1)的增广矩阵．
对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
0 c22 c2r c2n d2
0
A
0
0 crr crn dr
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
23 3 2 1
x1 x2 2 x3 x4 4,
2x2 2x3 2x4 0,
1 2
4 3 1 5x2 5x3 3x4 6, 3
3x2 3x3 4x4 3, 4
4
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x2 2x3 2x4 0, 5x2 5x3 3x4 6,
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
3
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
（以 i k 替换 i ） （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
（以 i k j 替换 i ）
7
3．上述三种变换都是可逆 的． 若( A) i j (B), 则(B) i j ( A); 若( A) i k (B), 则(B) i k ( A); 若( A) i k j (B), 则(B) i k j ( A).
1 2 3 1 1 0 5 4 0 1 0 0 0 0 2
最后一个为矛盾方程组 0 2 , 故方程组无解.
14
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
线性方程组
a21
x1
a22
x2
a2n xn
b2
,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
1
0
0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 1 0
4 0 03
对应的方程组为
x1 x2 2x3 x4 4
x2
x3
x4
0
,
x4
3
x1 x3 4
由下到上逐个解得
x2 x3 3
，其中x3为任意取值.
x4 3
12
2 x1 2 x2 x3 6
例2
解线性方程组
x1
2
9
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
10
1 1 2 1 4 2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
Leabharlann Baidu
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
11
1
0 0 0
1 1 0 0
2 1
0 0
1 1 2 1
4
0
r3
r4
36
r4
2r3
x1 x2 2x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0, 4
用“回代”的方法求出解：
x1 x3 4
x2
x3 3
其中x3为任意取值.
x4
3
6
小结：
1．上述解方程组的方法称为高斯消元法。 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 下三种变换 （1）交换方程次序；
a11 a12 a1n
系数矩阵
A
a21 am1
a22 am2
a2n amn
,
a11 a12 a1n b1
增广矩阵
A
(
A,
b)
a21 am1
a22 am2
a2n amn
b2 bm
,
15
利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形,
c11 c12 c1r c1n d1
第三章
1
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法 （即下面介绍的高斯消元法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有 解，何时无解。若有解，则有多少组解；若有无 穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面 的问题。
2
第一节 解线性方程组的消元法
例1 用高斯消元法解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2 3
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
12 3 2
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
x2
4
x3
3
.
5 x1 7 x2 x3 28
解
2 2 1 6 ( A, b) 1 2 4 3
1 2 4 3 0 6 9 0
5 7 1 28
0 17 19 13
1 2 4 3
0 1 8 13
0
2 3
0
1 2 4 3 0 1 8 13 0 0 13 26
解得唯一解 x1 1 , x2 3 , x3 2 .
2 3
3x2 3x3 4x4 3, 4
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0,
2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
5
x1 x2 2x3 x4 4, 1
x2 x3 x4 0,
2
2x4 6, 3
x4 3, 4
13
例3
解线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3 x4
1,
2,
2x1 x2 2x3 2x4 3.
解
1 2 3 1 1 ( A, b) 3 1 5 3 2
2 1 2 2 3
1 2 3 1 1
0 5 4 0 1
0
5 4
0
1
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种 变换是同解变换．
8
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系 数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
2 1 1 1 2
A
(
A
b)
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
称为方程组(1)的增广矩阵．
对方程组的变换完全可以转换为对增广矩阵的行变 换．
0 c22 c2r c2n d2
0
A
0
0 crr crn dr
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
23 3 2 1
x1 x2 2 x3 x4 4,
2x2 2x3 2x4 0,
1 2
4 3 1 5x2 5x3 3x4 6, 3
3x2 3x3 4x4 3, 4
4
x1 x2 2x3 x4 4, 1
2x2 2x3 2x4 0, 5x2 5x3 3x4 6,
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
3
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4