高中数学 第四章 数系的扩充 复数的有关概念典型例题讲解素材 北师大版选修1-2

复数的有关概念

例1. m 取何实数值时，复数z ＝3

62+--m m m ＋i m m )152(2--是实数？是纯虚数？ 解：① z 是实数503015122=⇒⎩

⎨⎧≠+=--⇒m m m m ② z 为纯虚数

2303060151222-==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或 变式训练1：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2

＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？

（3）纯虚数？（4）零？

解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．

例2. 已知x 、y 为共轭复数，且i xyi y x 643)(2-=-+，求x ． 解：设),(,R b a bi a y bi a x ∈-=+=则代入由复数相等的概念可得1,1±=±=b a

变式训练2：已知复数z=1＋i ，如果221

z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 由z=1＋i 得

221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i

+++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩

，解得12a b =-⎧⎨=⎩．

例3. 若方程0)2()2(2=++++mi x i m x 至少有一个实根，试求实数m 的值.

解：设实根为o x ，代入利用复数相等的概念可得o x ＝222±=⇒±m

变式训练3：若关于x 的方程x 2＋(t 2＋3t ＋tx )i=0有纯虚数根，求实数t 的值和该方程的根．

解：t=－3,x 1=0,x 2=3i ．提示：提示：设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题

转化成解方程组．

例4. 复数 (,)z x yi x y R =+∈满足|22|||i z z --=，试求y x 33+的最小值. 设),(R y x yi x z ∈+=，则2=+y x ， 于是692332=≥+-x x

变式训练4：已知复平面内的点A 、B 对应的复数分别是i z +=θ21sin 、θθ2cos cos 22i z +-=，其中)2,0(πθ∈，设AB 对应的复数为z .

(1) 求复数z ；

(2) 若复数z 对应的点P 在直线x y 21

=上，求θ的值.

解：(1) θ212sin 21i z z z --=-=

(2) 将)sin 2,1(2θ--P 代入x y 21

= 可得21sin ±=θ611,67,65,6π

πππθ=⇒.