归纳推理在数学中的应用及其对我们的意义

归纳推理在数学中的应用及其对我们的意义

摘要：逻辑学是一门应用广泛的科学，其他学科总是会有不少思想方法或直接

或间接来源于逻辑学。本文主要以几个数学问题作为例子论述其中一种推理方

法：归纳推理。然后分析归纳推理在科学研究和现实生活中的意义。

关键字：完全归纳推理；不完全归纳推理；数学问题；归纳推理的意义；

科学归纳推理；

0 引言。

归纳推理是归纳逻辑的基本内容，它是从个别性质是推出一般性知识的推理，它分为完全归纳推理和不完全归纳推理[1]。这种推理属于合情推理和放大性推理，其中不

完全归纳推理的前提与结论的联系是或然的。然而它们是探求新知识的重要方法。归纳

推理对我们认识生活，科研创新等等有很大帮助。

1. 完全归纳推理

完全归纳推理是一种演绎推理，这种推理要求考察事物的每一个对象，因此推出的结论具有必然性。[2]这种方法在数学中的表现为枚举法。尽管这种方法要求

较高，但有时解决问题不得不求助于这个方法。例如曾经困扰大多数数学家的四色

定理：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”

用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用

1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”

美国伊利诺大学哈肯阿佩尔合作编制一个很好的程序，就在1976年6月，他们在

美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判

断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。[3]可见他们证明它用的就是枚举

法。这种方法的应用是建立在所有的情况都能列举的基础上的。它对于可能出现的

情况有无限种的命题是无能为力的。

2. 不完全归纳推理

先看一个例子：十个圆最多把平面分成多少部分？

这样的题目，一开始会给人一种无法处理的错觉，是这样吗？其实，我们把十个圆减少一点就可以很容易得到答案的，然后在这些答案的基础上，归纳出十个圆

时的结果。具体做法如下：

圆个数n 1 2 3 4 5 ……

份数f(n) 2 4 8 14 22 ……

然而这里的关系还不是很明显，对归纳造成一定影响，但是表格中增加一行后，归纳起来就容易多了。

圆个数n 1 2 3 4 5 ……

份数f(n) 2 4 8 14 22 ……

f(n)-f(n-1) 2 4 6 8 ……

不难归纳出f(n)-f(n-1)=2(n-1)，即最后的一行是一个偶数列，依次补全余下的几个空格得

圆个数n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 份数f(n) 2 4 8 14 22 32 44 58 74 92 f(n)-f(n-1) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 故得到十个圆最多把平面分成92个部分。

这里是典型的不完全归纳推理的应用。所谓不完全推理，就是根据一类事物中，部分对象具有（或不具有）某种属性，推出该类事物都具有（或不具有）某种属性的归纳推理。[4]但是，这种推理结论与前提之间没有必然联系，有些时候还是会因此而出错的。比如，黄鱼用鳃来呼吸，鲫鱼用鳃来呼吸，鲤鱼用鳃来呼吸，带鱼用鳃来呼吸，青鱼用鳃来呼吸，所以所有鱼都是用鳃来呼吸的，这显然是错的，因为有的鱼（如鲸鱼）是用肺来呼吸的。

再比如上个例子中，如果我们只注意到这个表的前几个数据，就会妄加断言f(n)=2n 圆个数n 1 2 3

份数f(n) 2 4 8

因此，不完全归纳推理并不像归纳推理那样，得到一定正确的结论。要确保得到结论的正确性，就必须要借助演绎推理的办法。各种各样的数学归纳法由此产生，尽管它们被称为归纳法，但用这些方法借助正确的逻辑推理形式得到的结论具有必然性，这些方法是演绎推理的方法，而非归纳推理的方法。由不完全推理得出的结论，有时尽管没有找到反例，但我们不能因此认定它就是正确的，哲学上讨论的休谟问题说明了这些结论的或然性。

虽然，不完全归纳推理推出的结论具有或然性，但是我们可以提高结论的可靠程度。首先，列举的数量越多，考察的范围越广，推理的可靠程度越高。另外，注意寻找有没有相反的事例。由于枚举推理的结论是否可靠，关键在于有没有反例，因此，在尽可能地列举事例后，注意观察一下有无反例是必要的。如果有一个反例就不能推出一个结论；如果没有发现反例，那么推出的一般结论，虽然具有或然性，但也是有一定可靠性的。[4]再举一个例子：

广场上有99个间谍，每个间谍间距离均不同，每个间谍只盯着离自己最近的间谍，求证：至少有一人没被盯着。

初看题目，我们很容易会被99这个如此大的数字吓到而失去了解题的思路。但是，我们完全可以仿照“十个圆最多把平面分成多少部分？”这道题目的做法。从简单的情形入手，便于我们做不完全归纳。我们的目的就是尽量使所有人都被盯。

①要是只有1个间谍A，他肯定没被盯着。

②要是只有2个间谍A,B，他们肯定是互盯的。

③有3个间谍A,B,C ，每个间谍间距离均不同，不妨设三个距离中AB相距最近，那么C肯定是没有被盯着的。

④有4个间谍A,B,C,D ，每个间谍间距离均不同，如果六个距离中最短的两个分别为AB,CD，那么AB互盯,CD也互盯。

⑤有5个间谍A,B,C,D,E ，每个间谍间距离均不同，要使所有人都被盯，不论谁盯着谁，每个人只能得到一个盯（因为总盯数跟人数相等），因此不能有人被两个人盯着，否则必有人没被盯。考虑距离最近的两个间谍不妨设为A,B，那么AB必互盯，为了不让有人得到两个盯，A,B必须不被任何人盯，所以A,B必须要独立与这个系统之外，所以把A,B从这个系统中剔除，于是只剩下3个间谍，转化成③的情况。

…………

根据以上分析，我们不难看出，间谍个数为偶数时，我们总可以构造出存在间谍没被盯的情况，而间谍个数为奇数时，无论我们如何费尽心机，都至少有一个人没被盯。这样，我们来证明99个间谍就容易多了。关健在于99是个奇数。解题过程就是认识到最短距离的两个人必须是对视的。然后证明若其它人再盯这两个人，即有人得到两个盯，必然导致有人没被盯，因此剩下的九十七个人就跟这两个人是独立的。这样就把99个人变成97个人了，以此类推，最后必剩下一个人没被盯！证毕。至于间谍个数为偶数时，我们总可以构造出存在间谍没被盯的情况，我们可以这样构造，让他们成对存在，即是每对都离其他人很远很远，于是，每