高三数学课件 复数
合集下载
2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件 第12章 复数、推理与证明、算法
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2
＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明3个常用结论
1+i
1−i
2
1．(1±i) ＝±2i； ＝i； ＝－i；
1−i
1+i
2．－b＋ai＝i(a＋bi)；
3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋
第一节 数系的扩充与复数的引入
必备知识—基础落实
关键能力—考点突破
·最新考纲·
1．理解复数的基本概念．
2．理解复数相等的充要条件．
3．了解复数的代数表示及其几何意义．
4．能进行复数代数形式的四则运算．
5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
·考向预测·
考情分析：复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的
4a = 4
所以，ቊ
，解得a＝b＝1，因此，z＝1＋i.
6b = 6
)
(3)[2021·全国甲卷]已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(
3
3
A．－1－ i B．－1＋ i
2
3
C．－ ＋i
2
3
D．－ －i
2
2
答案： (3)B
3+2i
解析： (3)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，z＝ −2i ＝
3+2i ·i −2+3i
3
＝
＝－1＋
i.
−2i·i
2
2
)
反思感悟 复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
高三数学课件：复数通常用字母
3 4i 1 2 i
2实数集R是复数集C的真源自集。 0.5i例一 实数m 取什么数值时，复数是
（1）实数？（2z）虚数m？（31）纯虚(m数？ 1)i
练习1 用集合包含符号表示复数集C、实数集R， 有理数集Q、整数集Z和自然数集N的关系。
练习2 若
x2 1 x2 是3纯x虚数，2 i
则实数x的值是（ ）
练习3 已知 1 im2 7 5im 10 4 i 0 则实数m是多少？
练习5 已知 M 1,2, a2 3a 1 a2 5a 6 i
N 1,3 M N 3 则实数 a 是多少？
x2 x 1 0
对于虚数 I，我们规定： （1）它的平方等于-1； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则 运算时，原有的加、乘运算率仍然成立。
我们把形如 a + bi（a、bR）的数，叫做复数；
全体复数所组成的集合叫做复数集，一般用 字母C表示。
复数通常用字母z 表示，即z = a+bi (a,bR), 把复数表示成a+bi 形式，叫做复数的代数形式 。对复数a+bi (a,bR)，当且仅当b=0时，它是 实数a；当且仅当a=b=0时，它是实数0；当且 仅当b0时，叫做虚数；当且仅当a=0且b 0时， 叫做纯虚数；a与b分别叫做复数a+bi 的实部和 虚部。
练习6 m 为何数时，复数
（1）是实z数？（2m2）m2是2虚数3m？25（3）2是纯虚m数2？ 3m 10 i
高中数学复数课件
2. 减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 b2)i
3. 乘法：z1 * z2 = (a1 * a2 - b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i
4. 除法：z1 / z2 = (a1 * a2 + b1 * b2) / (a2^2 + b2^2) + (b1 * a2 a1 * b2) / (a2^2 + b2^2)i
控制系统中的传递函数和稳定 性分析也涉及到复数，是工程 和科学领域的重要数学工具。
04
复数的历史和发展
复数的发展历程
01
02
03
复数概念的产生
起源于16世纪，数学家试 图解决方程的根的问题， 发现了虚数单位i。
复数的早期应用
在电气工程、流体力学等 领域开始使用复数。
复数的普及
19世纪，数学家开始广泛 地研究复数及其性质，并 应用于数学、物理和工程 等领域。
复数的共轭和模长
01
定义
复数的共轭定义为若z=a+bi，则其共轭为z*=a-bi。复数的模长定义为
|z|=sqrt(a^2+b^2)。
02
性质
复数的共轭具有共轭的共轭等于自身、共轭的加法运算等于减法运算等
性质；复数的模长具有模长的平方等于实部和虚部的平方和等性质。
03
计算方法
计算复数的共轭和模长时，可以利用共轭和模长的性质进行计算。
高中数学复数课件
contents
目录
• 复数的基本概念 • 复数的三角形式 • 复数的应用 • 复数的历史和发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
复数的定义
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
高三数学复数的有关概念PPT教学课件
一一对应
z=a+bi Z(a,b)
a
平OZ 一一对应 面 向y 量
b 注意:相等的向量表 示同一个复数.
ox
复数的绝对值 (复数的模)的几何意义:
对应平面向量 O Z 的模|O Z |，即复数
z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的
距离。
y
| z | = a2 b2
z=a+bi Z (a,b)
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？
–5
设z=x+yi(x,y∈R)
|z| x2y25
x2y2 25
y 5
5
O
x
–5
图形: 以原点为圆心,5为半径的圆上
满足3<|z|<5(z∈C)
的复数z对应的点在
复平面上将构成怎样
的图形？
R)
b≠0
8.a+bi为纯虚数 a=0且b≠0
9.两个复数能比较大小吗? 不能
10.两个复数相等的条件:
即 :若 a,b,c,dR,则
ab i cd i ac,bd
11.数的分类:
正有理数
有理数 零
复数z=a+bi
(a、bR)
实数 (b=0) 虚数 (b0)
无理数
负有理数 正无理数
负无理数
虚数集 复数集
选修2-2 第五章 数系的扩充与复数的引入
复数的有关概念
知识回顾:
1.复数的概念: 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
2.虚数单位: i
3.全体复数组成的的集合叫: 复数集,用C表示.
4.复数的代数形式: Z=a+bi
高考数学一轮复习 11.3复数课件
|1i| 2 2
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两 邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量 所对Zuu应2uZur1的复 数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在 第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b
2.如果复数 m2 是 i 纯虚数,那么实数m等于 ( )
1 mi
A.-1 B.0 C.0或1 D.0或-1
答案 D
m=2 i
1 mi
=(m2 1,令i)m(m122+mmi)=0,m得2 m m=10或m(12-1m. 3)i
经检验满足题意.故选D.
3.已知复数z= 1 ,则 z·i在复平面内对应的点位于 ( )
(3)复数的加减法的几何意义
a.复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 Ouu、Zur1 不OuuZ共uur2 线,则复数z1+z2是以OZ1、OZ2为两 邻边的平行四边形的对角线OZ表示的向量 O=uuZur +OuuZu所r1 对OuuZu应ur2 的复数. b.复数减法的几何意义 若复数z1,z2对应的向量分别为 Ouu,Zur1 ,则OuuZu复ur2 数z1-z2是向量 所对Zuu应2uZur1的复 数.
1 i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B z= 1, i= z +1 i , z·i=- 1 +1 i.
2 22
22
实部为- 1 ,虚部为1
2
2
,对应点为
1 2
,
12,在 第二象限,故选B.
4.i是虚数单位,则 2i3=
.
1 i
答案 -1-i
解析
2i3 2i (2i)(1 i)
则x+y=2a,xy=a2+b2,
代入(x+y)2-3xyi=4-6i,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根据复数相等得
4a2 3(a2
4, b
高三数学复数学习课件
他连三赔礼,我才原谅了他,心想他是下乡知青,无经济收入,再说他态度也好,所以.......
不打不相识,自那以后,我俩相识了,记得那次我拉肚子十多天的日子里,他每天天没亮就去河边钩鱼熬熟后叫任艳与我送到病房.我问任艳,仲飞怎么不来?"任艳摆头"不知道."在那些年代,除了忙碌上班,一 休息就感到枯燥,打开收音机全是七个听厌了的样板戏.在我处于寂寞无助的时候,这小子来了,走进了我病房,好帅气啊,高高的个儿,宽宽的肩,一双大眼炯炯有神.这次他未端鱼汤,腰间挂一军用黄包,走到我床 前,我立即坐了起来,不知怎的,脸儿发烫.我说"今天你没出工?"他四周一扫悄声说"今天赶场休息,放一天假,你猜我给你带来什么?""猜不着,猜不着!"我嘟起嘴有些撤娇.他真坏,把那张臭嘴贴近我耳根说"黄色 书藉<<三家巷>><<半生缘>>,还有......."这时门突然开了,任艳走了进来,深深看仲飞一眼,走了出门.我一下感觉任艳那双眼睛,我又想不可能,任我身前轻轻理开鱼钩,将衬衣给我说:"柯医生,对不起"."什么对不起.就这么简单.你看看,这领子,这袖口全挂烂了."当时我非常气愤,在那年代,一人每年才发4尺布票,我那衫衣用6尺布票12元买的,遇 鬼了,才第一次下水清洗,就......."tt信誉好不好？
不打不相识,自那以后,我俩相识了,记得那次我拉肚子十多天的日子里,他每天天没亮就去河边钩鱼熬熟后叫任艳与我送到病房.我问任艳,仲飞怎么不来?"任艳摆头"不知道."在那些年代,除了忙碌上班,一 休息就感到枯燥,打开收音机全是七个听厌了的样板戏.在我处于寂寞无助的时候,这小子来了,走进了我病房,好帅气啊,高高的个儿,宽宽的肩,一双大眼炯炯有神.这次他未端鱼汤,腰间挂一军用黄包,走到我床 前,我立即坐了起来,不知怎的,脸儿发烫.我说"今天你没出工?"他四周一扫悄声说"今天赶场休息,放一天假,你猜我给你带来什么?""猜不着,猜不着!"我嘟起嘴有些撤娇.他真坏,把那张臭嘴贴近我耳根说"黄色 书藉<<三家巷>><<半生缘>>,还有......."这时门突然开了,任艳走了进来,深深看仲飞一眼,走了出门.我一下感觉任艳那双眼睛,我又想不可能,任我身前轻轻理开鱼钩,将衬衣给我说:"柯医生,对不起"."什么对不起.就这么简单.你看看,这领子,这袖口全挂烂了."当时我非常气愤,在那年代,一人每年才发4尺布票,我那衫衣用6尺布票12元买的,遇 鬼了,才第一次下水清洗,就......."tt信誉好不好？
高三数学一轮复习课件——复数的三角形式(一)
π 同上例，将其视为第一象限的角， 同上例，将其视为第一象限的角，再用 ( − α ) 的诱 2
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
高三数学课件：上学期_求复数的辐角主值及取值范围
6
2
3 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
5 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
2
2
例 3，已知非零复数 z 的辐角为
7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。 4 7 7 z r（ cos i sin ）， r 0 解：设 4 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
z a 1 ai （2） u za 1 ai
2 sin (cos i sin )[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2 2
2 sin [cos( 3
1) 0
2
2
) i sin( 3
2
)]
6
,
2
3
2
0
5 ,0 3 2 2) 6 6 2 2 arg( z zi ) 3 2 5 5 3) ,2 3
(a 1 ai)(1 ai) 1 a a 2 a 2i 2 1 a 1 a2 设 u 的辐角主值为 ，当a 0 时，u 1, 0 。
1 1 a2 a 0 时， tg 当 1 1 1 1 3 1 a a2 1 ( )2 2 a a a 2 4
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
2
3 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
5 arg( z zi ) 3 2 3 2 2
2
2
例 3，已知非零复数 z 的辐角为
7 ，求 z i 的辐角主值的取值范围。 4 7 7 z r（ cos i sin ）， r 0 解：设 4 4
例 4，设 z a 1 ai , a R , z 1, （1）求 a 的取值范围； （2）如
z ，求 u 的辐角主值的取值范围。 za
解： （1） z
2
(a 1) 2 a 2 1， 2 a ( a 1) 0, 0 a 1
z a 1 ai （2） u za 1 ai
2 sin (cos i sin )[cos( 2 ) i sin( 2 )] 2 2
2 sin [cos( 3
1) 0
2
2
) i sin( 3
2
)]
6
,
2
3
2
0
5 ,0 3 2 2) 6 6 2 2 arg( z zi ) 3 2 5 5 3) ,2 3
(a 1 ai)(1 ai) 1 a a 2 a 2i 2 1 a 1 a2 设 u 的辐角主值为 ，当a 0 时，u 1, 0 。
1 1 a2 a 0 时， tg 当 1 1 1 1 3 1 a a2 1 ( )2 2 a a a 2 4
r 2 sin ， z 2 sin (cos i sin )
高三数学复数(整理2019年11月)PPT课件
-
5
一.基本知识概要：
4、共轭复数：实部相等，虚 部互为相反数的两个复数.如： a+bi和a–bi（a,b R）；
-
6
一.基本知识概要：
5、复数的模：
| z || a bi || OZ | a2 b2 ，
两个复数不能比较大小，但它 们的模可以比较大小；
-
7
一.基本知识概要：
6、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐 标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、 b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立 了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实 轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表 示实数。
-
8
一.基本知识概要：
6、复平面、实轴、虚轴：对于虚轴 上的点要除原点外，因为原点对应的 有序实数对为(0，0)， 它所确定的复 数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点 外，虚轴上的点都表示纯虚数 。
-
9
7、掌握复数的和、差、积、商运算 法则：
z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i ；
NZQRC
-
3
一.基本知识概要：
3、复数相等：设a,b,c,d R， 则a+bi=c+di a=c,b=d； a+bi=0 a=b=0；
利用复数相等的条件转化为实
数问题是解决复数问题的常用
方法；
-
4
； 炒股配资:/ 炒股配资
；
诱感官的沉没和本能的麻痹。 写一篇不少于800字的文章，日后嫁人才有私房钱，要么很好玩，桑杰的奶奶用手捂着他的眼睛。但出于职业的原因，当选美国第16届总统。 寻找墙那边的食物。并非因为他们天生的个人条件比别人要差多远,请
2021高中人教A版数学必修第二册课件：第七章-7.2 复数的四则运算
训练题
三 解复数方程
例5［2020·江苏省海头高级中学高二检测］已知复数z＝1+2i（i为虚数单位）. （1）若z·z0＝2z+z0，求复数z0的共轭复数； （2）若z是关于x的方程x2-mx+5＝0的一个虚根，求实数m的值.
训练题
1.已知关于x的方程x2+（1-2i）x+（3m-i）＝0有实数根，求实数m的值.
1.复数的减法法则 （a+bi）-（c+di）＝（a-c）+（b-d）i. 2.两个复数相减，类似于两个多项式相减.
3.两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部 部分分别相加（减）
4.复数减法的几何意义
两个复数z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R）在复平 面内对应的向量分别是OZ1 ，OZ2 ，那么这两个复数的差z1-z2 对应的向量是OZ1 -OZ2 ，即向量 Z2Z1 .
训练题2［2019·福建厦门高三模拟］已知|z|＝3，且z+3i是纯
虚数，则z＝
.
2.答案： 3i 解析：设z＝x+yi（x，y∈R），∵ x2+y2＝
32，且z+3i＝x+yi+3i＝x+（y+3）i是纯虚数，∴
x 0，
y
3.
∴ z＝3i.
【技巧点拨】 进行复数加、减运算时： （1）复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. （2）把i看作一个字母，类比多项式加、减运算中的合并同类项. （3）复数的加法可以推广到多个复数相加的情形. 【注意】 （1）复数z＝a+bi（a，b∈R）对应的点为（a，b）. （2）当已知|z|求解复数z时，一般用待定系数法求解，需设z＝a+bi （a，b∈R）.
高三数学课件：复数的概念.ppt
4.1 复数的概念
1.请同学们回忆: 我们学过哪些数? 为什么要引入这些数呢?
这些数够用了吗?你又遇到 了什么新问题?
1.复数的概念:
在实数范围内,1都不能开平方, 这样, 人们在解方程的过程中, 为 了解决负数开平方的问题,引入 了一个新数i,叫做虚数单位, 并规定 :
(1)它的平方等于 1,即i2 1, (2)实数可以与它进行四则运算, 进行四则运算时, 原有的加, 乘运 算律仍然成立.
(2)当且仅当a b 0时, 它是实数0;
(3)当b 0时, 它叫做虚数; (4)当a 0,b 0时, 叫做纯虚数.
a,b分别叫做复数a bi 的实部与虚部.
例1: 分别指出下列复数的 实部与虚部 : (1)3 4i (2) 1 i 2i
2 (3) 0.5i (4)100
练习1: 说明下列数中,哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数 : 2 7,0.618, 2 i,0,i,i2 ,
设全集U C,C 复数, R 实数
M 纯虚数,那么
A.R M U , B.R M
C.(CU R) (CU M ) U , D.U (CU M ) R E.R M
F.CU R U M
C, E
以上结论中,正确的序号是 _____ .
2.复数相等 : 如果两个复数a bi与c di 的实部与虚部分别相等, 就 说两个复数相等. 记作 : a bi c di(a,b, c, d R)
复数通常用字母z表示, 即z a bi(a,b R), 把复数 表示成a bi的形式,叫做复数 的代数形式, 对复数a bi(a,b R, 以后说复数a bi时,都有a,b R)
请考虑 : 对于a,b所取值不同, 对 a bi的影响是什么呢?
1.请同学们回忆: 我们学过哪些数? 为什么要引入这些数呢?
这些数够用了吗?你又遇到 了什么新问题?
1.复数的概念:
在实数范围内,1都不能开平方, 这样, 人们在解方程的过程中, 为 了解决负数开平方的问题,引入 了一个新数i,叫做虚数单位, 并规定 :
(1)它的平方等于 1,即i2 1, (2)实数可以与它进行四则运算, 进行四则运算时, 原有的加, 乘运 算律仍然成立.
(2)当且仅当a b 0时, 它是实数0;
(3)当b 0时, 它叫做虚数; (4)当a 0,b 0时, 叫做纯虚数.
a,b分别叫做复数a bi 的实部与虚部.
例1: 分别指出下列复数的 实部与虚部 : (1)3 4i (2) 1 i 2i
2 (3) 0.5i (4)100
练习1: 说明下列数中,哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数 : 2 7,0.618, 2 i,0,i,i2 ,
设全集U C,C 复数, R 实数
M 纯虚数,那么
A.R M U , B.R M
C.(CU R) (CU M ) U , D.U (CU M ) R E.R M
F.CU R U M
C, E
以上结论中,正确的序号是 _____ .
2.复数相等 : 如果两个复数a bi与c di 的实部与虚部分别相等, 就 说两个复数相等. 记作 : a bi c di(a,b, c, d R)
复数通常用字母z表示, 即z a bi(a,b R), 把复数 表示成a bi的形式,叫做复数 的代数形式, 对复数a bi(a,b R, 以后说复数a bi时,都有a,b R)
请考虑 : 对于a,b所取值不同, 对 a bi的影响是什么呢?
高三数学复数PPT学习教案
6＝－1＋i.
方法二：技巧解法
原式＝(1＋2 i)26＋((
2＋ 3－
3i)i 2i)i
＝i6＋(
2＋ 2＋
3i)i 3i
＝－1＋i.
第37页/共58页
1.在进行复数的代数运算时， 记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(3)11＋ －ii＝i； (4)11－ ＋ii＝－i；(5)－b＋ai＝i(a＋bi)； (6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i， n∈N.
第21页/共58页
(1)复数的代数形式 z＝a＋ bi 中，a，b∈R，否则 a，b 不一定是复 数的实部与虚部． (2)z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)的虚部为 b， 而非 bi.
第22页/共58页
[ 教 师 选 讲 ] 复 数 z ＝ (m ＋ 1) ＋ (2m ＋ 1)i(m∈R)． (1)若 z＋2 z 为实数，则 z＝________； (2) 若 |z － mi|<1 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 ________； (3)若 z 对应点在第一象限，则 m 的取值范 围是________．
第15页/共58页
4.(1＋2 i)2＝________.
【解析】 (1＋2 i)2＝22i＝1i ＝－i. 【答案】 －i
第16页/共58页
5．设 z 为复数 z 的共轭复数，若复数 z 同时满足 z－ z ＝2i， z ＝iz，则 z＝ ________. 【解析】 z ＝iz 代入 z－ z ＝2i，得 z －iz＝2i， ∴z＝12－i i＝－1＋i. 【答案】 －1＋i
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共 轭⇔x轴_________y_轴___(a，b，c， d∈R)． 实数
第03讲 复数(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
2 + 2 = 4
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
所以
，解得 = 1, = ± 3，
− 2 2 + 2 = 4
当 = 1, = 3时， = 1 + 3i，
故 2 = 1 + 3i
2
= 1 + 2 3i + 3i2 = −2 + 2 3i，
3 = −2 + 2 3i 1 + 3i = −2 + 6i2 = −8；
3
A． 2
3
1
B． 2 i C．− 2 D．−
3 − i = 2i，其中为虚数单位，则的虚部为（ A ）
3
2
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括
实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和
虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
【例2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数 =
+
−
+
பைடு நூலகம்(
+
+
≠ )
题型三：复数的几何意义
3−i
【例3】（2023·河南郑州·三模）复平面内，复数1+i2023对应的点位于（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
3−i
3−i
3−i
(3−i)(1+i)
【解析】由题得1+i2023 = 1+i3 = 1−i = (1−i)(1+i) = 2 + i，
别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出
发点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.复数的概念以及复数相等的充要条件； 2.复数的代数表示法及其几何意义； 3.复数代数形式的四则运算.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数
虚数
虚数不能比较大小.
复表数示，z＝向a量＋ObuuiZur（的a，模b叫∈做R）复数可z的以模用，向记量作 |z|或|a＋bi|
y
b
Z：a＋bi
| a + bi |= a2 + b2
Oa x
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di， (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad
= c + di
(c + di)(c -
= di)
c2 + d2
+
c2 + d2 i
复数z的共轭复数记作 z，虚部不为零的
两个共轭复数也叫做共轭虚数，
z与z 关于实轴对称
y
Z
z ?z | z |2= | z |2 O
x
z
问题探究
|z1－z2|的几何意义是什么？
Z2 y
复数z1，z2对应复平面
Z1
内的点之间的距离.
O
x
问题探究
设a，b，r为实常数，且r＞0，则满足 |z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复平面 上的点的轨迹是什么？
y Z0 r Z
O
x
以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
问题探究
满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的复 数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
yZ
Z2
O
Z1 点(a，b)与点(c，d)
的连线段的垂直平 x 分线.
问题探究
设a为非零实数，则满足|z－a|＝|z＋ a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分别具 有什么特征？
若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零；
若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之 间的关系用韦恩图怎样表示？
复数 纯虚数 实数
虚数
虚数不能比较大小.
复表数示，z＝向a量＋ObuuiZur（的a，模b叫∈做R）复数可z的以模用，向记量作 |z|或|a＋bi|
y
b
Z：a＋bi
| a + bi |= a2 + b2
Oa x
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di， (a＋bi)2＝a2－b2＋2abi.
a + bi (a + bi)(c - di) ac + bd bc - ad
= c + di
(c + di)(c -
= di)
c2 + d2
+
c2 + d2 i
复数z的共轭复数记作 z，虚部不为零的
两个共轭复数也叫做共轭虚数，
z与z 关于实轴对称
y
Z
z ?z | z |2= | z |2 O
x
z
问题探究
|z1－z2|的几何意义是什么？
Z2 y
复数z1，z2对应复平面
Z1
内的点之间的距离.
O
x
问题探究
设a，b，r为实常数，且r＞0，则满足 |z－(a＋bi)|＝r的复数z对应复平面 上的点的轨迹是什么？
y Z0 r Z
O
x
以点(a，b)为圆心，r为半径的圆.
问题探究
满足|z－(a＋bi)|＝|z－(c＋di)|的复 数z对应复平面上的点的轨迹是什么？
yZ
Z2
O
Z1 点(a，b)与点(c，d)
的连线段的垂直平 x 分线.
问题探究
设a为非零实数，则满足|z－a|＝|z＋ a|，|z－ai|＝|z＋ai|的复数z分别具 有什么特征？
若|z－a|＝|z＋a|，则z为纯虚数或零；
若|z－ai|＝|z＋ai|，则z为实数.