九年级数学微课资料：三点确定二次函数的条件课件
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湘教版九年级下册数学课件 不共线三点确定二次函数的表达式
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个 二次函数的表达式. 解： 因为（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标) 因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 所以a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
顶点坐标是（1，6）
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
a-b＋c＝-5，
依题意得 c＝－4，
解得
a＋b＋c＝1，
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
∴△BCD的面积＝
1 2
×8×7＝28.
待定系数法 已知条件 求二次函数表达式 所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或 对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标)
y
1 8
(
x
8)2
9.
归纳总结
顶点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得 所以a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1，
顶点坐标是（1，6）
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
a-b＋c＝-5，
依题意得 c＝－4，
解得
a＋b＋c＝1，
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
∴△BCD的面积＝
1 2
×8×7＝28.
待定系数法 已知条件 求二次函数表达式 所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标或 对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标)
y
1 8
(
x
8)2
9.
归纳总结
顶点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做 顶点法.其步骤是： ①设函数表达式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程； ③将另一点的坐标代入原方程求出a值； ④a用数值换掉，写出函数表达式.
初中九年级下册数学《由不共线三点的坐标确定二次函数》PPT精品课件
3
求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？
抛物线解析式 y=2(x-1)(x-3)
抛物线与x轴交点坐标 (x1，0)，( x2，0)
（1，0）（3，0）
y=3(x-2)(x+1)
（2，0）（-1，0）
y=-5(x+4)(x+6)
（-4，0）（-6，0）
y=a(x_-_x_1)(x__-__x)2 （a≠0）
（3，0） 三点，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
c=-3
a= 1
依题意得 a-b+c=0 解得 b=-2
9a+3b+c=0
c= -3
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
2020/11/20
8
最低x=点1，为y（最值1，=--44）
已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
2020/11/20
2
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
顶点坐标是（-3，4）， 则h=__-3___，k=_4_____， 代入得y=_a_（__x_+__3_）__2+_4___ 对称轴为直线x=1，则____h_=_1_____
代入得y=__a_（__x_-1_）__2_+_k___
2020/11/20
的坐标分别代入二次函数表达式中，得
c 1， a b c 0， 4a 2b c 3.
解得
a 2，
b -3，
c 1.
所20求20/1二1/20次函数的表达式为y=2x2-3x+1.
6
已知一个二次函数的图象过点（0，-3） （4，5） （-1，0）三点，求这个函数的解析式？
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第2课时 由三点确定二次函数的表达式
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31
y 2 x 3x 5 2 x ,
解这个方程组，得
3
a , b 3.
2
2
3 2 3
∴所求的二次函数的表达式是 y 2 x 2 x 1.
五、当堂达标检测
6.若抛物线经过(0，1)，(一1，0)，(1，0)三点，求此抛物线的表达式.
解: 由抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+1)(x-1).
知识要点
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个
（-2，13），求这个二次函数的表达式.
想一想：除了上节课的解法，还有没有其他解法呢？
分析：因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即函数图象过点
（0，1），因此知道三个点的坐标，设y＝ax2+bx+c，能不能确定这个
二次函数的表达式呢？
将三个点代入y＝
ax2+bx+c后，会得
到一个什么样的方
程组呢？
∴ 4=a+b+c
解得 b=-3，
你会解三元一
c=5.
7=4a+2b+c，
次方程组吗？
2
∴所求二次函数表达式为 y=2x -3x+5.
2
3 31
y 2 x 3x 5 2 x ,
九年级数学下册 第1章 二次函数 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式课件
第十九页，共三十六页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)将点A(-1,0),B(3,0)
代入y=-x2+bx+c得:
1 b c 0, 9 3b c 0,
解得: b 2 ,
c
3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
第二十页，共三十六页。
(2)存在点M,使得(shǐ de)四边形CDPM是平行四边形, 如图,连接PC,交抛物线对称轴l于点E, ∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
16a 4b c 0,
4a
2解b 得c
0,
c 6 ,
a
b
3， 4 3, 2
c 6，
∴抛物线表达式为:y=- x2- x3 +6. 3
4
2
第三十四页，共三十六页。
方法(fāngfǎ)二:设抛物线表达式为y=a(x-2)(x+4),
把C(0,6)代入得a×(-2)×4=6,
解得a=- ,∴3 抛物线表达式为
∵ 要有意义,∴a=2.
a
第三十二页，共三十六页。
【一题多解】 已知:抛物线交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),求该抛物 线的表达式.
第三十三页，共三十六页。
解:方法(fāngfǎ)一:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
把A(-4,0),B(2,0),C(0,6)代入得,
②当t≠2时,不存在,理由(lǐyóu)如下:
若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,
∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1, ∴点P的横坐标t=1×2-0=2.
第二十三页，共三十六页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)将点A(-1,0),B(3,0)
代入y=-x2+bx+c得:
1 b c 0, 9 3b c 0,
解得: b 2 ,
c
3.
∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.
第二十页，共三十六页。
(2)存在点M,使得(shǐ de)四边形CDPM是平行四边形, 如图,连接PC,交抛物线对称轴l于点E, ∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,
16a 4b c 0,
4a
2解b 得c
0,
c 6 ,
a
b
3， 4 3, 2
c 6，
∴抛物线表达式为:y=- x2- x3 +6. 3
4
2
第三十四页，共三十六页。
方法(fāngfǎ)二:设抛物线表达式为y=a(x-2)(x+4),
把C(0,6)代入得a×(-2)×4=6,
解得a=- ,∴3 抛物线表达式为
∵ 要有意义,∴a=2.
a
第三十二页，共三十六页。
【一题多解】 已知:抛物线交x轴于点A(-4,0),B(2,0),交y轴于点C(0,6),求该抛物 线的表达式.
第三十三页，共三十六页。
解:方法(fāngfǎ)一:设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,
把A(-4,0),B(2,0),C(0,6)代入得,
②当t≠2时,不存在,理由(lǐyóu)如下:
若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,
∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1, ∴点P的横坐标t=1×2-0=2.
第二十三页，共三十六页。
《由不共线三点的坐标确定二次函数》PPT-冀教版九年级数学下册
8 6
4
A 2B
－4 －2 －2
24
C－4
二次函数常用的几种解析式
一般式 y=ax2+bx+c (a≠0)
已知三个点坐标三对对应值, 选择一般式
顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
已知顶点坐标或对称轴或最值, 选择顶点式
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0一)、设
已知抛物线与x轴的两交点坐标, 二选、择代交点式
c 1， a b c 0， 4a 2b c 3.
解得
a 2，
b -3，
c 1.
所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+1．
已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （4, 5 ） （-1解, : 0设）所三求点的,二次求函这数个为函y数=a的x2+解bx析+c式?
∵二次函数的图象过点（0, -3）（4, 5）（-1,
∴所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4
已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （4, 5 ） 对称轴为直线x=1, 求这个函数的解析式?
思考:怎样设二次函数关系式 解: 设所求的二次函数为 y=a(x-1)2+k
二次函数图象如图所示, (1)直接写出点的坐标; （2）求这个二次函数 的解析式
0） c=-3 ∴ 16a+4b+c=5
a= 1 解得 b=-2
x=0时, y=-3；
一、设
a-b+c=0
c=-3 x=二4时、,代 y=5；
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
x=三 四-1、 、时解 还, 原y=0；
已知一个二次函数的图象过点（0, -3） （-1, 0
北师大版九年级数学下册第二章：3、《已知三点确定二次函数的表达式》课件(共10张PPT)
(2)平移该抛物线，使平移后的抛物线为 y(x1)23 请写出平
4y
移的过程:
3
2
1
x –4 –3 –2 –1 O 1 P 2 3 4
–1
–2
__把__原_抛__物__线__先_向__左__平_移__2_个__单_位__，__再__向_上__平__移_3_个__单__位______.
自主学习
3.将抛物线 y x 2 向左平移两个单位，向下平移一个单位，得 到的新抛物线的表达式是__y__x__2__2 _1.
1、“转化”的数学思想 2、“数形结合”的数学思想 3、“分类讨论”的数学思想
自主学习
1.已知，点P的坐标为(1，0).把点P先向左平移2个单位，再 向上平移3个单位，平移后的点的坐标为_(_-_1_，__3_) .
4y
(-1，3) 3
2 1
x –4 –3 –2 –1 O 1P 2 3 4
–1 –2
自主学习
2.抛物线 yx22x1 .
(1)该抛物线的顶点坐标为_(_1_，__0_) _；
1、“转化”的数学思想 若不存在，请说明理由。
把点P先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后的点的坐标为_______.
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴相交于点C(0,2)，平移后的抛物线L′,经过点A，M,使 △CBM是以∠CBM为直角
的等腰直角三角形
的等腰直角三角形
(2)求该抛物线顶点M的坐标；
(2)请写出点M的坐标。
②求出平移后经过A′、C′两点的抛物线表达式。 (3)将该抛物线平移后得到抛物线 , 且其正好经过A、O
两点，求出平移后的抛物线的表P达式；
数学北师大版九年级下册《已知三点确定二次函数的表达式》课件公开课
数学
2.二次函数解析式
一般式 a≠0)
y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0),其中顶点坐标是 (h,k)
交点式
y=a(x-x1)(x-x2),这里a≠0,x1,x2是二次函数图象与x轴两交 点的横坐标
数学
二次函数的图象和性质(常考点)
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是以
数学
考 向 训 练 1-3:(2018 青 岛 ) 已 知 一 次 函 数 y= b x+c 的 图 象 如 图 , 则 二 次 函 数 a
y=ax2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是( A )
数学
解析:观察函数图象可知 b <0,c>0, a
∴二次函数 y=ax2+bx+c 的图象对称轴 x=- b >0,与 y 轴的交点在 y 轴正半轴. 2a
数学
二次函数的图象与性质 核心母题
c
【例1】 一次函数y=ax+b和反比例函数y= x 在同一个平面直角坐标系中的图象 如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可能是( A )
思路点拨:根据一次函数和反比例函数的图象确定出a,b,c的符号,再判断二次函 数的图象.
数学
解析:∵一次函数 y=ax+b 过第一、二、四象限,∴a<0,b>0, ∵反比例函数 y= c 过第二、四象限,∴c<0,∵a<0,
数学
考向训练1-2:对于二次函数y=-(x-1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是( B ) (A)对称轴是直线x=1,最小值是2 (B)对称轴是直线x=1,最大值是2 (C)对称轴是直线x=-1,最小值是2 (D)对称轴是直线x=-1,最大值是2
九年级数学(湘教版)下册教学课件：1.3 不共线三点确定二次函数
4.解（消元）
4.解（消元）
5. 写（一般形式）
5.写（一般形式）
6.查（回代）
6.查（回代）
二、求二次函数解析式的思想方法 1、 求二次函数解析式的常用方法：
一般式Βιβλιοθήκη 顶点式2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
数形结合思想
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种表达式求解，最后结 果都化为一般形式。
y x2 x 2
2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与 X轴的一个交点的横坐标是8。
y 1 (x 6)2 2 1 x2 6x 16
2
2
一般式
顶点式
1.设y=ax2+bx+c
1.设y=a(x-h)2+k
2.找（三点）
2.找（一点）
3.列（三元一次方程组） 3.列（一元一次方程）
第一章 二次函数
y=kx (a≠0)
找一 个点
y k（k 0）系数 k 需待定
确定一 个方程
x
找 两 个点
解一元一次方程
y=kx+b (k≠0) 两系数k,b需待
两个方程 解二元一次方程组
定
y=ax2+bx+c （a≠0）
找三 个点
三 个系数需待定
三 个方程
解三元一次方程组
待定系数法
例1、已知一个二次函数的图象经过点（1，3） ，（-1，﹣5），（3，﹣13）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
议 一议
小组讨论合作探究一般式的基本步骤？
1.设 y=ax2+bx+c 2.找 （三点） 3.列 （三元一次方程组） 4.解 （消元） 5. 写 （一般形式） 6.查 （回代)
九年级数学下册 第1章 二次函数1.3 不共线三点确定二次函数的表达式课件(新版)湘教版
同学们，下课休息十分钟。现在是休
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
选自《创优作业》
4. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 如图所示, 则此抛物线 的表达式为__y_＝__－__x_2_＋__2_x_＋__3__．
课堂小结
求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二 次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).
解：∵抛物线顶点为A(1,-4), ∴设抛物线解析式为 y = a(x-1)2-4, ∵点 B（3，0）在图象上， ∴0 = 4a-4, ∴ a = 1, ∴ y = (x-1)2 - 4,即 y = x2-2x-3.
用交点式求二次函数解析式
已知一抛物线与x轴交于点 A（-2，0），B（1，0），且经 过点 C（2，8）.求二次函数解析式. 解：A（-2，0），B（1，0）在 x 轴上，设二次函数解析式 为 y = a(x+2)(x-1). 又∵图象过点 C（2，8）， ∴ 8 = a(2+2)(2-1), ∴a=2, ∴ y = 2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
–2 –4 –6 –8
解得 a = 0 ， b = - 4 ， c = -1.
–10
因此， 一次函数 y = - 4x – 1 的图象经过 P， Q， M 三点.
2 4 6x
y = - 4x – 1
y
（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；
息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
选自《创优作业》
4. 已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 如图所示, 则此抛物线 的表达式为__y_＝__－__x_2_＋__2_x_＋__3__．
课堂小结
求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k. (3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二 次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).
解：∵抛物线顶点为A(1,-4), ∴设抛物线解析式为 y = a(x-1)2-4, ∵点 B（3，0）在图象上， ∴0 = 4a-4, ∴ a = 1, ∴ y = (x-1)2 - 4,即 y = x2-2x-3.
用交点式求二次函数解析式
已知一抛物线与x轴交于点 A（-2，0），B（1，0），且经 过点 C（2，8）.求二次函数解析式. 解：A（-2，0），B（1，0）在 x 轴上，设二次函数解析式 为 y = a(x+2)(x-1). 又∵图象过点 C（2，8）， ∴ 8 = a(2+2)(2-1), ∴a=2, ∴ y = 2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4.
–2 –4 –6 –8
解得 a = 0 ， b = - 4 ， c = -1.
–10
因此， 一次函数 y = - 4x – 1 的图象经过 P， Q， M 三点.
2 4 6x
y = - 4x – 1
y
（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；
初中数学九年级下册《30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数》PPT课件
解之 得
a
1, 3
b
2 3
,
c 1.
ACO B
x
∴所求抛物线的表达式为
y 1 x 2 2 x 1.
3
3
新乐市实验学校
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是( )
C
新乐市实验学校
2.（莆田·中考）某同学用描点法画 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出如下表格:
确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特 点，恰当地选用一种函数表达方式.
新乐市实验学校
一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激； 如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.
——佚名
新乐市实验学校
【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键 是求出待定系数a, b, c的值，由已知条件（如二次函数图象 上三个点的坐标）列出关于a, b, c的方程组，并求出a, b, c， 就可以写出二次函数的解析式. 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k, 将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的 值.
新乐市实验学校
【跟踪训练】
（西安·中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点. 求该抛物线的表达式.
y
【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,
根据题意，得
a b c 0, 9a 3b c 0, c 1.
如何求二次函数的表达式？ 已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求 其表达式.
不共线三点确定二次函数的表达式课件湘教版九年级数学下册
因此，二次函数y=2x²-4x-3的图象经过P，Q，R三点.
例题讲解
(2)设有二次函数y=ax²+bx+c的图象经过P，Q，M三点，
则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
+ + = −，
− + = ，
+ + = − ，
解得 a=0，b=-4，c=-1.
不共线三点确定二次函数的表达式
教学目标
1. 理解不共线三点确定一个唯一的二次函数的道理；
2. 会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式；
3. 了解求二次函数的表达式的常见的两种函数形式；
4. 感受点的坐标与函数图象的关系及数形结合思想.
新知导入
1. 解下面三元一次方程组，说说三元一次方程组的解法.
的坐标(也就是函数的三组对应值)，我们可以设这个函数
表达式为ax²+bx+c=0，并将三个点的坐标表达式，列出一
个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c
的值，就可以确定二次函数的表达式。
例题讲解
例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(-1，-5)，
(3，-13)，求这个二次函数的解析式.
因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M三点. 这说
明没有这样的二次一函数，它的图象经过P，Q，M三点.
合作探究
满足什么条件的三点坐标，才能确定一个二次函数的
表达式？从例2中你能发现这个问题的结论吗？
合作探究
例2中，两点P(1，-5)，Q(-1，3)确定了一个一次函
数 y=-4x-1.点R(2，-3)的坐标不适合y=-4x-1，因此点R
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A(0，2)，
例题讲解
(2)设有二次函数y=ax²+bx+c的图象经过P，Q，M三点，
则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
+ + = −，
− + = ，
+ + = − ，
解得 a=0，b=-4，c=-1.
不共线三点确定二次函数的表达式
教学目标
1. 理解不共线三点确定一个唯一的二次函数的道理；
2. 会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式；
3. 了解求二次函数的表达式的常见的两种函数形式；
4. 感受点的坐标与函数图象的关系及数形结合思想.
新知导入
1. 解下面三元一次方程组，说说三元一次方程组的解法.
的坐标(也就是函数的三组对应值)，我们可以设这个函数
表达式为ax²+bx+c=0，并将三个点的坐标表达式，列出一
个关于待定系数a，b，c的三元一次方程组，解出a，b，c
的值，就可以确定二次函数的表达式。
例题讲解
例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1，3)，(-1，-5)，
(3，-13)，求这个二次函数的解析式.
因此，一次函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M三点. 这说
明没有这样的二次一函数，它的图象经过P，Q，M三点.
合作探究
满足什么条件的三点坐标，才能确定一个二次函数的
表达式？从例2中你能发现这个问题的结论吗？
合作探究
例2中，两点P(1，-5)，Q(-1，3)确定了一个一次函
数 y=-4x-1.点R(2，-3)的坐标不适合y=-4x-1，因此点R
1. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过三点A(0，2)，
九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数教学课件
顶点坐标是（1，6）
第十七页，共二十三页。
3.已知二次函数的图象经过(jīngguò)点(－1，－5)，(0，－4)和(1，
1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个(zhège)二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
a-b＋c＝-5，
c＝－4， a＋b＋c＝1，
解得
a＝2，
b＝3，
c＝－4，
解:∵该图象(tú xiànɡ)经过点（-2,8）和（-1,5），
{ 8=4a-2b，
∴ 5=a-b，
解得a=-1,b=-6.
图象经过 原点
∴ y=-x2-6x.
第五页，共二十三页。
二 顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个(zhè ge)二次 函数的表达式. 解：设这个二次函数(hánshù)的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
. 其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
第十四页，共二十三页。
例3 一个二次函数(hánshù)的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个 函数经过(jīngguò)点(0, 1)，可得c=1.
可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐
标.因此得
y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得
第十七页，共二十三页。
3.已知二次函数的图象经过(jīngguò)点(－1，－5)，(0，－4)和(1，
1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个(zhège)二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
a-b＋c＝-5，
c＝－4， a＋b＋c＝1，
解得
a＝2，
b＝3，
c＝－4，
解:∵该图象(tú xiànɡ)经过点（-2,8）和（-1,5），
{ 8=4a-2b，
∴ 5=a-b，
解得a=-1,b=-6.
图象经过 原点
∴ y=-x2-6x.
第五页，共二十三页。
二 顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个(zhè ge)二次 函数的表达式. 解：设这个二次函数(hánshù)的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点 （-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
. 其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
第十四页，共二十三页。
例3 一个二次函数(hánshù)的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个 函数经过(jīngguò)点(0, 1)，可得c=1.
可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐
标.因此得
y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得
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A
E O B
D x
C
本课小结
三点确定抛物线的条件
三个点同时满足下列两个条件才能确定一条抛物线： （1）三个点不在同一条直线上； （2）三个点中，没有任何两个点的横坐标相同.
三点确定二次函数的条件
知识链接
用待定系数法求二次函数解析式的步骤
知识点精
分析：
知识点精 解：
y
Q3 2 1
–2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
x 1 23
R
P
知识点精
y Q
x O
P
M
知识点精
由①，③可知，方程组无解.
y B
A x
O
C
知识点精
三点确定抛物线的条件
三个点同时满足下列两个条件才能确定一条抛物线： （1）三个点不在同一条直线上； （2）三个点中，没有任何两个点的横坐标相同.
E O B
D x
C
本课小结
三点确定抛物线的条件
三个点同时满足下列两个条件才能确定一条抛物线： （1）三个点不在同一条直线上； （2）三个点中，没有任何两个点的横坐标相同.
三点确定二次函数的条件
知识链接
用待定系数法求二次函数解析式的步骤
知识点精
分析：
知识点精 解：
y
Q3 2 1
–2 –1 O –1 –2 –3 –4 –5
x 1 23
R
P
知识点精
y Q
x O
P
M
知识点精
由①，③可知，方程组无解.
y B
A x
O
C
知识点精
三点确定抛物线的条件
三个点同时满足下列两个条件才能确定一条抛物线： （1）三个点不在同一条直线上； （2）三个点中，没有任何两个点的横坐标相同.