高中基本不等式.docx

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第 44 课基本不等式

●考试目标主词填空

1．若 a,b∈R ,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号 .

2．设 a,b∈R+ ,则称a b

为 a,b 的算术平均值；称ab 为a,b的几何平均值.

2

3．平均值不等式的原形与变形

① a b≥ab(当且仅当 a=b时取等号 )为原形 .

2

ab ；ab≤a

b

2

②变形有 :a+b ≥2,当且仅当 a=b 时取等号 .

2

4．利用平均值不等式求最大最小值，是对“能取等号”而言的.要注意不能取等号的情况 . 5．最值定理

如果 a,b∈R+ ,a·b=P (定值 ),当且仅当 a=b 时 ,a+b 有最小值2P ;

如果 a,b∈R+ ,且 a+b=S (定值 ),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值S

2

.

4

●题型示例点津归纳

【例 1】设x∈［2,5),求下列函数的最值.

(1)y=(3+2 x)· (6-x);

(2)y=(3+2 x)· (4-x);

(3)y=4x-9· 2x+1+80;

x27

(4) y=.

x 26

【解前点津】(1) 因 3+2x=12-2 x 时 ,x=9

∈［ 2,5］ ,故可直接应用平均值不等式 ;

5 但 54

(2) 因 3+2x=8-2 x 时 ,x=［ 2,5］故不能使用平均值不等式 ;

4 4

(3)可分解为 y=(2 x-8)· (2x-10);

(4) 因方程x 261无根 ,故不能使用平均值不等式，而考虑其“单调性”.

x 26

【规范解答】(1) y=(3+2 x)·(6- x)= 1

· (3+2 x)· (12-2x)

≤1

×

1

225

29

时,y max=225［ (3+2 x)+(12-2 x)］2=,当且仅当 3+2x=12-2x,即 x=,

248

225

48

又∵ x=2 时 ,y=28; x=5 时 ,y=13<28,故函数只有最大值,而没有最小值 .

8

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(2) 因 y=(3+2 x) · (4- x)=-2 x 2

+5x+12, 其对称轴为

5 2,5)上单调减

; 当 x=2

x= ,故函数在［

4

时,y max =(3+4) · (4-2)=14, 函数没有最小值 .

(3) 分 解 因 式 得 :y=(2 x -8) · (2x -10)=-(2 x -8) · (10-2 x ) ≥ -

10 8

2

2

=-1, 故 y min =-1, 又 当 x=2

时,y=(4-8) · (4-10)=24, 当 x=5 时 ,y=(32-8) ·(32-10)=528.

故当且仅当 x=2 时 ,函数有最小值 -1,而函数没有最大值 (x=5 ［ 2,5］］ .

(4) 易证函数在 ［ 2,5］上单调增 ,故当 x=2 时 ,y min =

11

10 ,又因 5 ［ 2,5］,故函数没有最大值 .

10

:

【解后归纳】 利用平均值不等式求最值时，应考虑诸项条件是否齐备，对两个正数而言

和定→相等时→积最大 ;积定→相等时→和最小 .

在求函数的最值时，若不能使用平均值不等式，则可以考察函数的单调性 .

【例 2】 一开发商在某处想圈一块周长为 L 的地皮，这块地皮既可以为长方形，也可以为

圆形，欲使其面积最大，应确定为何种图形 ?何种尺寸 ?

【解前点津】

设长方形的一边之长为

x,则邻边之长为

L

-x,则可先确定 x ·( L

-x) 的最大值 .

2

2

【规范解答】

若确定为圆形， 则面积为π

L L 2

2

2 =

;若确定为长方形， 则不妨设其面积

4

为 S,一边之长为 x,则邻边之长为 L

-x,故 S=x · (

L

-x)≤

1 L 2.

2

2

16

当且仅当 x= L -x 即 x=

L

2

4

时取等号 .

∵ 1

π L 2

- 1

1 1 L 2=L 2

16

>0,∴应确定为圆形地皮 .

4

16 4

【解后归纳】 在一切封闭平面图形中，若周长一定，则只有圆的面积最大

.

【例 3】

若正数 a 、b 满足 ab ≥a+b +3,试求 a+b 的取值范围 .

【解前点津】

设 a+b=x ,利用平均值不等式，可推导出一个关于 x 的不等式 .

设 a+b=x ,则 x>0,ab ≥ x+3,又 ab ≤

a

2

【规范解答】

b = x 2 ，故由不等式的传递性得

2 4

x 2

≥x+3,解之 x ≥6,故 a+b 的取值范围是［ 6,+∞］ .

4

【解后归纳】 求某表达式的取值范围，常可使用“换元法”

，从而达到等价转化的目的 .

【例 4】

已知 :x 、y 、z ∈ R+ ,且满足 x+y+z =1,求

1

4 9 的取值范围 .

x

y z

【解前点津】

不具备用平均值不等式的条件，但是

1 +mx, 4 my,

9

mz (m>0), 则可用

x y

z