刘蒋巍：高一数学期中复习备考指南(专为新高考新教材设计)
高一数学备考指南
高一数学备考指南一、引言数学备考是高中阶段学习的重中之重。
高一数学备考指南旨在帮助学生合理规划备考计划，提高数学解题能力，从而在高考中取得优异成绩。
本指南将从知识点梳理、备考计划制定、解题技巧等方面进行论述，希望能给学生提供一些建议和帮助。
二、知识点梳理1. 数列与函数数列与函数是高一数学的基础，备考时要重点掌握数列的概念、代数性质以及求和公式等。
同时，对于函数的定义域、值域、图象和性质也需要进行深入理解。
2. 平面几何与向量平面几何与向量是数学中的重点和难点，备考时需掌握常见几何图形的性质和相关定理，特别是平行四边形、三角形和圆的相关知识。
此外，向量的基本概念、性质以及运算法则也是备考的重点内容。
3. 解析几何解析几何是高一数学的拓展部分，备考时要熟悉直线、圆和抛物线等几何图形的方程和性质，并能够灵活运用解析几何的知识解题。
4. 概率与统计概率与统计是高一数学的应用部分，备考时要理解概率的基本概念、性质以及相关定理，能够熟练应用概率计算。
此外，对于统计的基本概念、频率分布表和统计图表等也需要进行掌握。
三、备考计划制定1. 制定合理的备考计划根据高考时间表和个人实际情况，制定一份科学合理的备考计划。
合理安排每天的复习时间，合理分配每个知识点的复习时间，确保每个知识点都能得到充分的复习和巩固。
2. 制定错题整理计划备考过程中，难免会有一些困惑和错误。
制定错题整理计划，将每次模拟考试或练习中的错误集中整理，逐一分析原因，并进行针对性的复习，以避免相同类型的错误再次发生。
四、解题技巧1. 掌握基本解题方法备考时要掌握基本的解题方法，如选择题的做题技巧、填空题的解题思路、解方程的常用方法等。
在熟悉基本方法的基础上，多做题，培养解题的灵活性和应变能力。
2. 注意题型的特点不同题型有不同的解题思路和技巧，备考时要认真分析题目的要求和特点，灵活运用相应的解题方法。
例如，对于平面几何题目要注意画图，对于代数题目要注意化简和变形。
2024年高一学期期中复习计划(二篇)
2024年高一学期期中复习计划语文：先记忆再运用1、扎实掌握课内知识，了解课内涉及的文学常识，识记要求背诵的重要篇段。
2、掌握课文中常见的文言实词、文言虚词和文言句式，能理解词句含义，读懂浅显的文言文，理解作品的内容和作者的思想观点态度。
3、正确使用词语，能辨析修改常见病句，能选用、仿用、变换句式。
4、有意识地考虑写作的目的和对象，负责地表达自己独特的看法;能根据表达的需要，展开丰富的想象和联想，恰当地运用叙述、描写、说明、议论、抒情等表达方式。
数学：分“点”进行期末复习阶段，先将公式都记熟了，做到看到题目就能想到公式，接着就看做错的题目，巩固。
然后可以找一些综合模拟试卷，认认真真静下心来做题，掌握每个知识点，不会的暂时先放着。
整套试卷做完之后，查找自己的漏洞，到书上寻找相应的知识点。
英语：多做多读多背高中英语和初中有不同，高中主要是在初中知识的基础上，加大难度，所以光靠死记硬背是解决不了问题的，主要是理解。
如果单讲复习的话，建议学生首先是把单词背下来，单词量上去了，至少就能看懂题了。
还有就是语法，请记住英语语法就是得高分的筹码，语法熟练掌握了，题目再难也不难解决了。
还有就是多做些完型和阅读题，多做多读多背，是中国学生学习英语的万能办法。
政治：将基础知识系统化将全部知识点进行总体的复习，使学生能够扎实地掌握所应学知识，以便做到理论知识掌握于心，在考场上才能灵活运动地解决实际问题。
对基础知识的领会、记忆，并使其系统化。
这是保证复习质量的关键环节，用来系统复习的时间较短，因此要提高课堂效率，指导学生合理利用课余时间加强复习巩固。
对此教师所要做的工作是，抓住重点知识点，重点基础知识突出复习。
历史：先观大略再具体高一历史期末复习时，学生面临由机械记忆到理解记忆的转变，知识由分散到系统的转变，由编年史到专题史复习方式的转变，加上复习时间短、任务重，因此，亟需解决有效复习方法的问题。
笔者根据教育实践，从统筹兼顾科学规划、充分调动学生积极性和创造性、构建单元核心知识结构、多种感官并用、先观大略再具体、记忆与回忆结合、适当做题并加强做题方法指导、建立错题本等八个方面进行了有益、初步的探索。
如何考出好成绩——期中复习备考研讨(主讲人：刘蒋巍)
说：就是在学生独立回顾、记忆一番后，让 学生与教师一起，共同述说各个章节的基础 知识、重点内容以及知识间的联系与区别等 。
请先自行思考，再小组讨论。每个问题至少 答5个关键点。
• 单元目录 • 一.如何考出好成绩 • 二.成绩上升七要素 • 三.家校沟通促提升 •
• 一.如何考出好成绩 • 1.期中复习的四大类型 • 2.期中复习的六大任务 • 3.学生的三大类型 • 4.案例
期中复习的四大类型
炒冷饭型
小老师型
蜘蛛网型
汉堡型
期中复习的六大任务
①查缺漏。 ②加深理解。 ③构建体系。 ④强化记忆。 ⑤力求规范。 ⑥细化目标。
学生的三大类型
扎实学习型
聪明马虎型
考前突击型
案例一：《任真的烦恼，无奈的陈老师》
任真，某实验初中初三女生。她学习肯刻 苦，晚上十一点多还在写作业。临近期中考 试了，她想考出理想的成绩。
可令人苦恼的是她找不到好的学习方法， 学习能力也不突出。这学期以来每次大型考 试都不太理想。她对自己越来越不自信了。 任同学一如既往的认真，可是......
下面是马同学的一份试卷，请看：
有诗云： 写之匆，生乱涂，以省时； 一二再，烧心烦，堵通路，愁路长，…… 而丢之多 回首时，潸然泪…… 耍聪明，找借口，是非生—言：难！
还有4天就要期中考试了，如果你是马同学 的老师，请给出3条提分建议。
“3个3工程”
读写三遍 熟用三招 坚守三问
读三遍
高一数学：三角恒等变换与平面向量(新高考命题人刘蒋巍讲座)
高一数学：三角恒等变换与平面向量（新高考命题人刘蒋巍讲座）★三角函数与三角恒等变换单选多选填空解答★平面向量三角形“四心”的向量表示①在ABC 中，若OA OB OC ==或222OA OB OC ==，则点O 是ABC 的外心； ②在ABC 中，若0GA GB GC ++=，则点G 是ABC 的重心；③在ABC 中，若[)1,0,2OP OA AB BC λλ⎛⎫-=+∈+∞ ⎪⎝⎭，则直线AP 过ABC 的重心； ④在ABC 中，若HA HB HB HC HC HA ⋅=⋅=⋅，则点H 是ABC 的垂心；⑤在ABC 中，若(0)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++> ⎪⎝⎭，则直线AP 通过ABC 的内心． 很多同学不知道三角形中重心，外心，内心，外心的定义及性质，比如三角形重心将中线分为二比一两段，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，内心到三边的距离相等；由这几个向量式不知道如何化简，特别是PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅得到()0PB PA PC PB CA ⋅-=⋅=，由此想到垂心．1. 三角形重心与向量例题1： 已知 ABC ∆中4,2AC AB ==，若G 为ABC ∆的重心，则·AG BC =变式1： 已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足(),0,,sin sin AB AC OP OA AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心变式2： 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xyx y+的值为 ．2. 三角形垂心与向量例题2： 在ABC ∆中，O 是ABC ∆的垂心，点P 满足：113222OP OA OB OC =++，则ABP ∆面积与ABC ∆面积之比是例题3： 下列叙述正确的是________．①1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心，．②PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为ABC ∆的垂心； ③||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为ABC ∆的外心；④()()()0OA OB AB OB OC BC OC OA CA +⋅=+⋅=+⋅=⇔O 为ABC ∆的内心3. 三角形外心与向量例题4： 设P 是ΔABC 所在平面内的一点，若()2AB CB CA AB CP ⋅+=⋅且222AB AC BC AP =-⋅．则点P 是ΔABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4. 三角形内心与向量例题5： 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心例题6： 已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN y AC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是变式3： 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为例题7： 已知,a b 是不共线的向量， 2AB a b λ=+， ()1AC a b λ=+-，且,,A B C 三点共线，则λ= ( )A. -1B. -2C. -2或1D. -1或2例题8： 在ABC ∆中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足13AN NM=，若(,)AN AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ+=变式4： 在ABC ∆中，1,3AN NC P =是BN 上的点，若29AP mAB AC =+，则实数m 的值为___________.向量等式：如图所示，在ABC ∆中，若M 是BC 的中点，则2214AB AC AM BC ⋅=-证明：如图1所示，可得22224()()(2)AB AC AB AC AB AC AM CB ⋅=+--=-2214AB AC AM BC ⋅=-变式5： 如图所示，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ．A BDE F。
高中数学学法指导及高考数学研究(刘蒋巍著)
很多学校学生都做错题集，但是做得并不系统，效果也不太明显。关于错题集的整理，我想分享几点心 得体会。
1 错题订正要及时 第一点，错题的订正要及时。不及时订正就会产生思维定式。按照以前错误的思维去做，而自己产生的 错误思维一旦形成不及时纠正，还不容易改的掉。
2 对错题进行归因分析 第二点，题目做错了，我们应该很痛苦。为什么痛苦呢？因为我们犯错误了。但是光痛苦也没用。我们 要想怎么出错的。这就是我们要说的第二点，叫“归因分析”。
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中学学科学法指导——学思堂教研成果集 结语:看到很多学生学不好数学，畏惧数学。可能有些时候，准确的方法会比日复一日辛苦的努力更有用 一些。我们得出的结论是:没有一招鲜，但是会有对的方法，改变你的思维方式，学会“一般化思考”，并努 力去尝试。相信您高中数学一定会学好!从而促进其他学科的学习。
“归因分析”的第一种，叫“知识归因”，就是相关知识定理没有掌握，所以出错了。这种错误解决办 法很简单，就是看书把定理弄懂，把笔记整理好，把题目订正好就可以了。
第二个是能力方面的归因。孩子知识概念定理公式都会，题目还是出错，就可能是方法不会，相关能力 达不到。您需要订正并总结一下解题方法。第三个就是态度方面的归因。有的孩子边吃东西边做作业，边听 歌边做作业。这样能做好么？应该没有哪个专家说边做其他事情边做作业能把作业做好的。孩子做作业把 2 看成 3，为什么？态度不端正。然后，孩子订正觉得无所谓，他会。结果考试，他就会把 3 看成 5。所以，做 题时态度端正很重要。第四个，就是小概率事件。您这次错，可能是命中注定，没办法躲过去。但是人生中 就错这么一次。您不纠正，这种错误也不会再犯。
式。③在学完《圆锥曲线》这一章的时候，孩子知道 PA PB 2a ，P 点的轨迹表示椭圆， PA PB 2a ,P 点的轨迹是双曲线的一支。那么，孩子可以进行一般化思考： PA PB 2a ， PA 2a ，
【新高考新教材】高一数学：基本不等式及其推广(主讲人：刘蒋巍)
【新高考新教材】高一数学：基本不等式及其推广证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2∴xy ≤14S 2上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。
师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例2：已知a 、b 、c 、d 都是正数，求证：（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由a 、b 、c 、d 都是正数，得ab ＋cd 2≥ab ·cd ＞0，ac ＋bd 2≥ac ·bd ＞0，∴（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）4≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得l ＝240000＋720（x ＋1600x）≥240000＋720×2x ·1600x＝240000＋720×2×40＝297600当x ＝1600x，即x ＝40时，l 有最小值297600因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.基本不等式（二）例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2≥23x 2·12x 2＝6∴y ∈[6，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1的最小值解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？总结：一正二定三相等。
【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课
【新高考新教材】高一数学：《函数的概念与性质》章节复习课主讲人：刘蒋巍一．知识回顾与热身训练1.函数的概念一般地，在一个变化过程中的两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么我们称y 是x 的函数（function ），x 是自变量。
函数的三要素有：自变量的范围（定义域），因变量的范围（值域），对应关系。
例如：函数y =的定义域为__解析：⎩⎨⎧≥-≠+01,01x x 解得：1≤x 且1-≠x ，故函数y =的定义域为{}1 1|-≠≤x and x x2.函数的三种表示方法解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明扼要；给自变量求函数值。
图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系， 优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系， 优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
3.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。
说明：（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；（2）分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。
譬如：已知⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+=),0[,12)0,(,32)(2x x x x x f ，求)0(f 、)]1([-f f 的值解析：因为⎩⎨⎧+∞∈+-∞∈+=),0[,12)0,(,32)(2x x x x x f ，所以1)0(=f1)1(=-f ；所以3)1()]1([==-f f f解题思路总结：(...)))((f f f 类函数迭代问题，只需“由内到外”逐层计算即可。
例题中的)]1([-f f 还可记作：)1()2(-f热身训练：已知函数21,1(),1112,1x f x x x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，若21)(=x f ，则=x4.常见的求函数解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，消去法。
2024年上半年高一期中复习计划(2篇)
2024年上半年高一期中复习计划____年上半年高一期中复习计划第一阶段：制定复习计划1. 确定复习目标：对已学知识进行系统总结和巩固，理解并掌握重点难点知识点，为期中考试做好充分准备。
2. 制定时间表：合理安排复习时间，根据每个科目的重要程度和难易程度，合理分配复习的时间。
3. 制定每科目的内容目录：对每个科目进行整理，列出知识点和考点，有针对性地进行复习。
4. 确定使用的复习教材和参考书籍：根据自己的学习情况和复习需求，选择适合自己的复习教材和参考书籍，遵循“有选择性、目的性、针对性、系统性”的原则。
5. 制定复习方法：选择适合自己的复习方法，如刷题法、归纳法、总结法等，根据自己的学习习惯和特点进行选择。
第二阶段：基础知识的复习和强化1. 语文：重点复习课本中的重点篇章、古文词句的理解和运用，注重对词汇、句法等基础知识的强化。
2. 数学：重点复习基础知识点，如函数、方程、不等式、向量等，注重对基础算法和解题方法的掌握和运用。
3. 英语：重点复习语法知识、词汇积累和阅读理解技巧，注重对听力和口语能力的提高。
4. 物理：重点复习基本概念和定律，注重对公式的掌握和应用，加强常见物理现象的理解和解释。
5. 化学：重点复习化学元素、化学反应和化学方程式的基本知识，注重对实验操作的理解和掌握。
6. 生物：重点复习细胞生物学、遗传学和进化论的基本概念，注重对实验原理和方法的理解和应用。
第三阶段：知识拓展和综合能力提高1. 语文：拓展阅读，涉猎文学作品，培养对文学品味和鉴赏能力，注重对写作技巧和写作素材的积累和运用。
2. 数学：拓展数学思维的培养，注重对数学应用题的解题方法和思路的理解和掌握。
3. 英语：拓展阅读和听力材料的积累，注重对语法知识和词汇的积累和运用。
4. 物理：拓展物理实验的学习和实践，注重培养动手能力和实验观察和分析的能力。
5. 化学：拓展化学实验的学习和实践，注重对实验安全和实验结果的判断和分析。
《新高一数学衔接教程》函数的单调性(刘蒋巍编著)
教学内容 （一）知识点讲解单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1,x 2∈I 并且x 1<x 2，总有f (x 1)<f (x 2)(f (x )>f (x 2))，则称f (x )在区间I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间． （1）所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间上是单调减的。
单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的。
若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间；反之，则为开区间。
（2）设)(x f 在区间1I 和2I 上都分别是单调递增（或递减），且≠⋂21I I Ø，则)(x f 在21I I ⋃上也是单调递增（或递减）的。
若=⋂21I I Ø，则不一定成立。
如函数xy 1=在),0(+∞和)0,(-∞上均为单调递减的，但在),0()0,(+∞⋃-∞上不是单调递减的。
（3）设)(x f y =是在区间I 上的单调递增（或递减）函数，且)(x f 的值域为E ，则它在I 上必存在反函数，且反函数在E 上必是单调递增（或递减）函数。
特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的。
（4）关于复合函数))(( ))((x u x f y ϕϕ==①若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相同，则))(()(x f x F ϕ=是增函数。
②若)(u f y =与)(x u ϕ=单调性相反，则))(()(x f x F ϕ=为减函数。
（5）设)()(x g x f 、是定义在同一区间上的两个函数。
①若)()(x g x f 、是增函数（或减函数），则)()(x g x f +也必为增函数（或减函数）②若)()(x g x f 、恒大于0，且)()(x g x f 、都是单调增（或减）的，则)()(x g x f ⋅也是增函数（或减函数）。
（二）题型讲解例1证明函数()f x =在区间[2,)+∞是增函数。
2024年高一期中考试复习计划(2篇)
2024年高一期中考试复习计划第一部分：总体规划考试对于每一位学生来说都是一次重要的挑战，为了充分准备2024年高一期中考试，制定一个复习计划是必要的。
以下是一个基于____字的复习计划，其中包括了各个科目和学习任务的安排，旨在帮助学生全面而有效地提高复习效果，达到最佳考试成绩。
第二部分：复习科目1. 语文语文是一门重要的科目，需要对《红楼梦》、《望庐山瀑布》等经典文学作品进行深入学习和理解。
此外，还需掌握基本的写作技巧和应用文写作能力。
为了更好地准备语文考试，可以按照以下计划进行复习：- 阅读经典文学作品，理解作品主题和情节；- 夯实基础知识，掌握词语解释、古文阅读理解、语法等内容；- 多做模拟题，熟悉考试题型和答题技巧；- 锻炼写作能力，多写作文和应用文。
2. 数学数学是一门需要不断练习的学科，需要学生灵活应用各种公式和解题技巧。
为了准备数学考试，可以按照以下计划进行复习：- 复习基础知识，掌握代数、几何、函数和概率等基本概念；- 多做习题，例如练习册和试卷，巩固知识点；- 掌握解题方法和技巧，例如方程组的解法、函数图像的绘制等；- 多讨论和交流，通过小组讨论和互助学习，提高解题能力。
3. 英语英语是一门重要的语言科目，需要提高听、说、读、写的综合能力。
为了准备英语考试，可以按照以下计划进行复习：- 多听英语录音和相关课程，提高听力理解能力；- 多用英语进行口语表达，提高口语表达能力；- 广泛阅读英语文章，扩大词汇量和阅读理解能力；- 多写英语作文，提高写作能力。
4. 物理物理是一门需要深入理解和大量练习的学科，需要学生掌握相关的物理理论和实验技能。
为了准备物理考试，可以按照以下计划进行复习：- 复习基础知识，掌握力学、电磁学等基本概念；- 多做物理习题和实验，掌握解题技巧和实验操作方法；- 通过实验，观察现象和探究物理原理；- 考前复习重点，复习重要知识点和难点。
第三部分：复习计划安排为了保证复习的全面性和有效性，下面是一个基本的复习计划安排，旨在帮助学生达到一个良好的考试成绩：- 每天安排固定的学习时间，保证每天都有足够的时间来复习；- 制定每日的学习计划，按照计划进行复习任务；- 将时间分配给不同的科目，确保每个科目都能得到充分的复习；- 制定周计划和月计划，为长期复习提供指导；- 合理安排休息时间，保证身心健康。
【新高考新教材】《数列》章节复习课
【新高考新教材】《数列》章节复习课主讲人：刘蒋巍一．知识回顾等差数列1.定义等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示.如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，12，0.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则据其定义可得：(n －1)个等式⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝d a 3－a 2＝da 4－a 3＝d …a n－a n －1＝d若将这n －1个等式左右两边分别相加，则可得：a n －a 1＝(n －1)d 即：a n ＝a 1＋(n －1)d当n ＝1时，等式两边均为a 1，即上述等式均成立，则对于一切n ∈N *时上述公式都成立，所以它可作为数列{a n }的通项公式.或者由定义可得：a 2－a 1＝d 即：a 2＝a 1＋d ；a 3－a 2＝d 即：a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2d ；a 4－a 3＝d 即：a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3d ；……；a n －a n －1＝d ，即：a n ＝a n －1＋d ＝a 1＋(n －1)d看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a 1和公差d ,便可求得其通项. 如数列①：a n ＝1＋(n －1)×1＝n (1≤n ≤6), 数列②：a n ＝10＋(n －1)×(－2)＝12－2n (n ≥1),数列③：a n ＝22＋(n －1) 12 ＝2112 －12n (n ≥1),数列④：a n ＝2＋(n －1)×0＝2(n ≥1)由通项公式可类推得：a m ＝a 1＋(m －1)d ，即：a 1＝a m －(m －1)d ，则： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 如：a 5＝a 4＋d ＝a 3＋2d ＝a 2＋3d ＝a 1＋4d问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由等差数列定义及a 、A 、b 成等差数列可得：A －a ＝b －A ，即：a ＝a ＋b2 .反之，若A ＝a ＋b2 ，则2A ＝a ＋b ，A －a ＝b －A ，即a 、A 、b 成等差数列.总之，A ＝a ＋b2 ⇔a ，A ，b 成等差数列.如果a 、A 、b 成等差数列，那么a 叫做a 与b 的等差中项.不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝3＋72，同时还满足5＝1＋92.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝5＋92 ＝3＋112 ＝1＋132.看来，a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝2a 3，a 4＋a 6＝a 3＋a 7＝2a 5依此类推，可得在一等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .等差数列的前n 项和设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n①把项的次序反过来，S n 又可写成S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1②①＋②⇒2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1) 又∵a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝…＝a n ＋a 1 ∴2S n ＝n (a 1＋a n ) 即：S n ＝n （a 1＋a n ）2若根据等差数列{a n }的通项公式，S n 可写为：S n =a 1+(a 1+d )+…+[a 1+(n －1)d ]①,把项的次序反过来，S n 又可写为：S n =a n +(a n －d )+…+[a n －(n －1)d ②],把①、②两边分别相加，得2S n ＝个n n n n a a a a a a )()()(111++⋅⋅⋅++++＝n (a 1＋a n )即：S n ＝n （a 1＋a n ）2.由此可得等差数列{a n }的前n 项和的公式S n ＝n （a 1＋a n ）2.也就是说，等差数列的前n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半. 用这个公式来计算1＋2＋3＋…＋100＝？我们有S 100＝100（1＋100）2＝5050.又∵a n ＝a 1+(n －1)d ,∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝n [a 1＋a 1＋（n －1）d ）]2 ＝na 1＋n （n －1）2 d∴S n ＝n （a 1＋a n ）2 或S n ＝na 1＋n （n －1）2 d等比数列1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即：a n ∶a n －1＝q (q ≠0)如：数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－12 .与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意（1）公差“d ”可为0，（2）公比“q ”不可为0. 等比数列的通项公式又如何呢? 2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a 2＝a 1q ，a 3＝a 2q ＝(a 1q )q ＝a 1q 2，a 4＝a 3q ＝(a 1q 2)q ＝a 1q 3，…，a n ＝a n －1q ＝a 1q n －1(a 1，q ≠0)，n ＝1时，等式也成立，即对一切n ∈N *成立. 解法二：由定义式得：(n －1)个等式 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 1 ＝q ①a 3a 2 ＝q ②… …a na n －1＝q n －1 若将上述n －1个等式相乘，便可得： a 2a 1 ×a 3a 2 ×a 4a 3 ×…×a n a n －1＝q n －1 即：a n ＝a 1·q n －1(n ≥2)当n ＝1时，左＝a 1，右＝a 1，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：a n ＝a 1·q n －1(a 1，q ≠0)根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质? (1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝bG，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝bG，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q等比数列的前n 项和1.前n 项和公式一般地，设有等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n . 刚才问题即为求：S 64＝a 1＋a 2＋…＋a 64＝1＋2＋4＋…＋263 ① 我们发现，若在①式两边同乘以2，则得 2S 64＝2＋4＋…＋263＋264 ② 由②－①可得：S 64＝264－1同理，可知，若S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n又∵在等比数列中，a n ＝a 1q n －1，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －2＋a 1q n －1,qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n －1＋a 1q n 不妨将上两式相减可得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n （1）当q ＝1，S n ＝na 1（2）当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q① 或S n ＝a 1－a n q1－q②若已知a 1，q ，n ，则选用公式①；当已知a 1，q ，a n 时，则选用公式②.二．典型例题例题1：已知a ＞0，b ＞0，并且成等差数列，则a +9b 的最小值为( )A ．16B ．12C ．9D ．8例题2：将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为( )A ．13B ．39C ．48D ．58例题3.已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2﹣n +1，则数列{a n }的通项公式为 ．例题4.已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝32，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.34 B.910 C.32 D.95例题5.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40＝( ) A ．5 B ．10C ．15D ．﹣20例题6.在等差数列{}n a 中，已知5315,18a S ==． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若________，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①19n n n b a a +=，②(1)n n n b a =-，③2n a n n b a =⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．例题7.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知 ， (1)判断S 1，S 2，S 3的关系； (2)若a 1﹣a 3＝3，设b n ＝|a n |，记{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n ＜．甲同学记得缺少的条件是首项a 1的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是S 1，S 3，S 2成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．例题8.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n +1﹣2S n ＝1，n ∈N *． (I )证明：{S n +1}为等比数列，求出{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n ＝，求{b n }的前n 项和T n ，并判断是否存在正整数n 使得T n •2n ﹣1＝n +50成立？若存在求出所有n 值；若不存在说明理由．三．《数列》单元练习单选题1.以下四个数中，是数列(){}1n n +中的项是 （ ）A ． 39B ． 23C ． 380D ． 32 2.在等差数列{}n a 中，若24a =，42a =，则6a =( )．A ．1-B ．0C ．1D ．6{}）则该数列的第三项是（，且满足：的首项、已知数列,31311311+==+n n n a a a a 1、A 31、B 32、C 95、D4.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，21116d -<<-，则当n S 取最大值时，n 的值为( ).A ．5B ．6C ．5或6D ．6或75.在等差数列{}n a 中，若34567150a a a a a ++++=，则9=S （ ） A ． 45 B ．75 C ． 270D ． 1806.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96S S = （ ）A ．73 B ．83 C ． 94D ． 3{}是（）则，且和为，其任意连续的四项之、已知数列2020321,2,7,8207a a a a a n === 2、A 3、B 7、C 8、D8.在等比数列{}n a 中，1401a a <<=，则能使不等式1212111()()()0n na a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-≤ 成立的最大正整数n 是 .A 6B 7C 8D 99．已知{}{},n n a b 均为等比数列，其前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的*n ∈N ，总有314n n n S T +=，则33a b = ． A 4 B 9 C 16 D163{}{}的值为（）则满足：、项和分别记为均为等差数列，其前、、已知数列753214,n 10b a n n B A B A b a n n n n n n ++=1721、A 2937、B 2953、C 3141、D （选做）数列{}n a 满足121n n a a n ++=-，则{}n a 的前60项和为_______． A 118 B1760 C 1770 D 1870多选题已知数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，下列说法正确的是 （ ）A ．数列1{}n n a a +⋅是等比数列；B ．数列}{1n n a a -+是等比数列；C ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a 是等比数列； D ．数列{}n na 是等比数列填空题11. 已知数列{}n a 满足*2176,4,(N )n n a a a n n +=-=∈，则数列{}n an的最小项的值是_______．12.已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为 ．{}______,16131521110864的值为则中，比数列、在各项均为正数的等a aa a a a a n =14.在数列{}n a 中，11a =，2(1)1()n n n a a n *++-=∈N ，记n S 为数列{}n a 的前n 项的和，则40S = ．{}()()____,1,2115111==-+=++n n n n n n a a a a a n n a a 则该数列的通项公式满足：、已知数列16.若数列{}n a 满足10a =，414242433n n n n a a a a -----=-=，44141412n n n n a a a a +-==，其中n *∈N ，且对任意n *∈N 都有n a m <成立，则m 的最小值为 ．解答题{}()(){}()项和的前、求数列的通项公式、求数列数列，且成等比、、项和为的等差数列，前是一个公差为、已知数列10n 21.15,n 0175542⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=≠n n n n S a S a a a S d d a18.已知等差数列{}n a 满足：首项18a =，其前5项的和520S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12||||||n n T a a a =+++，求n T ．19.（本小题12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+， （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）令11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和T n .（选做题）已知数列{}n a 的前n 项和S n =2n 2+n ，（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令14n n a b +=，求1223910111b b b b b b +++的值．{}()()()(){}(){}.2,1122321,420211n n n nn n n S n a b n a bn n n a n a n a a n 项和的前、求数列的通项公式；求数列、设中，、已知数列+=⋅++=+-+=+21.设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记cn nS b nn +=2， n *∈Ν，其中c 为实数．（1）若0=c ，证明：{}n b 是等差数列； （2）若{}n b 是等差数列，证明：0=c ．{}()(){}()(){}的大小并证明。
刘蒋巍：高一数学复习(2020.11.21)
刘蒋巍：高一数学复习（2020.11.21）
集合
答案：AB
常用逻辑用语
1
答案：D
刘蒋巍：高一数学复习（2020.11.21）
基本不等式
答案：C、D
1
答案:
5 已 知 f (x) x2 (k 1)x 2 ， 若 当 x 0 时 f (x) 恒 大 于 零 ， 则 k 的 取 值 范 围 为
2
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3
答案：9
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指数与对数
若
4a
3ab
16 ， log2
a
a 1 ，则 aห้องสมุดไป่ตู้ b
_______
4
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函数的概念及性质
答案：C 答案：A
答案：A、B、D
答案：
设实数 a, b 满足 0 a, b 8 ，且 b2 16 a 2 ，则 b a 的最大值与最小值之和是
。
5
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9
_____________ 。
解答 由 x2 (k 1)x 2 0 k 1 x 2, x 2 2 2 等号在 x 2 取得，即 xx
k 2 2 1。
已知实数 x 、 y 满足 2x2 3y2 6 y ，则 x y 的最大值为______
若函数 f(x)＝ 3x2＋7 (x∈R)，g(x)＝x2＋x21＋6 1－1 (x∈R)，则函数 g(f(x)) 的最小值是
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新高考新教材高一数学期中复习备考指南刘蒋巍著学思堂教育研究院目录第一章《集合》章节复习 (3)《集合》章节的11大关键知识 (3)《集合》章节的10大典型例题 (7)链接新高考，圆你名校梦 (12)第二章《常用逻辑用语》章节复习 (16)1.充分条件、必要条件 (16)2.逻辑联接词 (17)3.与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 (18)常州高级中学测试题——简易逻辑 (19)第三章不等式 (21)不等式的性质与一元二次不等式 (21)基本不等式的8大解题技巧 (23)技巧一：凑项 (23)技巧二：凑系数 (24)技巧三：分离 (24)技巧四：换元 (25)技巧五：整体代换 (25)技巧六：取平方 (26)技巧七：构造 (26)技巧八：添加参数 (28)高一年级2020-2021学年第一学期单元测试（简易逻辑、不等式） (29)第四章《指数与对数》章节复习 (36)分数指数幂 (36)对数 (39)第五章《函数的概念与性质》章节复习 (42)《函数》章节9大知识回顾与热身训练 (42)1.函数的概念 (42)2.函数的三种表示方法 (42)3.分段函数的定义 (42)4.求函数解析式的4大方法 (43)5.求值域的5种方法 (44)6.函数的图像 (48)7.函数的单调性 (49)8.函数的奇偶性 (53)9.图像的对称性 (55)《函数》章节6大典型例题 (57)链接新高考，冲刺985 (62)第一章《集合》章节复习《集合》章节的11大关键知识1.集合中的元素具有三个特征：①确定性：对于一个给定的集合，它的元素意义应当是明确的，不会模棱两可。
即指定的对象一定是明确的标准。
那也就是说，设A是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，那么x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
②互异性：一个给定集合中的元素之间必须是互异的。
因此，同一集合中不应重复出现同一元素，就像世界上不可能同时出现两片完全相同的叶子一样，相同对象在构成集合时只能作为一个元素出现在集合中。
③无序性：构成集合的元素间无先后顺序之分。
就像在一个队伍（集合）中，你排在第一个和最后一个都是一样的，因为你只有一个，你是唯一确定的，没有顺序之分。
2.常用数集的表示非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R3.集合的表示文字描述法：用文字把元素所具有的属性描述出来；如：{直角三角形}。
符号描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x R|x<5}，…BA 注：要弄清元素既有的形式，是数、是点还是集合等。
即{(x,y)|y=x 2+3x+2}与{y|y=x 2+3x+2}不同，前者是点集，后者是数集。
还要弄清元素具有怎样的属性。
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
列举法常用于集合元素有限且个数不多的情况。
4.集合相等集合相等，即为构成两个集合的元素完全相同：①个数相同。
例如：集合{}1,2,3=A 与{}1,3,2=B ，则B A =；②对于其中一个集合的元素，在另一个集合中也可以找到这个元素。
例如：集合{}012|≥-=x x A 与⎭⎫⎩⎨⎧≥=21|x x B ，则B A =注意：两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该判断出这两个集合的所有元素。
集合相等定义2：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ⊆⊆且，则A B =。
如例子（3）中的两集合E F =。
即⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A 5.子集的定义：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。
记作：()A B B A ⊆⊇或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A当集合A 不包含于集合B 时，记作BA ⊄用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B ⊆如：例子（1）中A B⊆6.真子集定义：若集合A B ⊆，但存在元素,x B x A ∈∉且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。
记作：AB （或B A ）；读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）如：例子（1）和（2）中AB ，CD ；7.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅。
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
常见结论：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集合的真子集；（3）任何一个集合是它本身的子集；（4）对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆。
注意：①注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系。
②在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。
③一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个（n n n n n C C C C ++++...210n 2=），其真子集数为（12-n ）个，其非空子集数为（12-n ）个，其非空真子集数为（22-n ）个。
特别地，空集的子集个数为1，其真子集个数为0。
8.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分，记作A ∪B ，读作：A 并B ；即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。
Venn 图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
A B A(B)A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集）9.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），记作：A∩B ，读作：A 交B ；即：A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}Venn 图表示：常见的五种交集的情况：说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。
10.全集、补集概念及性质：①全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。
②补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集,记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即：{},U C A x x U x A =∈∉且Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集U 中的补集）AUC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制。
讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析,,()U U U U A C A A C A U C C A A⋂=∅⋃==,U U C U C U=∅∅=11.集合基本运算的一些结论求集合的交、并、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
A∩B ⊆A ，A∩B ⊆B ，A∩A=A ，A∩∅=∅,A∩B=B∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A（C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=∅若A∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A∩B ），则x ∈A 且x ∈B若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B《集合》章节的10大典型例题例题1.（互异性）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=1,,a b a A 与{}0,,2b a a B +=，B A =，求72016201b a +的值。
解析：由⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a 的互异性得，1≠a 且0≠a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==∴010122a b a a b a a b b a a a 或解得：)(0101舍或⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=b a b a 因此，10)1(7201620172016201=+-=+b a例题2.（阅读理解）设集合}2,|{}3,1,0,2{2A x A x x B A ∉-∈-==，，则集合B 中所有的元素和为______解析：由题意，得：}3,1,0,2{---⊆B ，当3,2--=x 时，A x ∉--=-7,222当1,0-=x 时，A x ∈=-1,222。
因此，集合}3,2{--=B 从而，集合B 中所有元素和为5-例题3.（子集、空集）设集合{}062=+-=mx x x M ，则满足{}6,3,2,1⊆M 的集合M 为；m 的取值范围是解析：对于方程062=+-mx x ，我们有242-=∆m 当=M Ø时，{}6,3,2,1⊆M ，此时0<∆，解得：6262<<-m 当集合M 中仅有一个元素时，即：0=∆时，62±=m 当集合M 中仅有两个元素时，根据方程062=+-mx x 的特征知：该方程若存在有理根，则必为6的因数。
又根据韦达定理，可知：两根之积为6．故考虑{}6,1=M 、{}3,2=M 的情形：当{}6,1=M 时，7=m ；当{}3,2=M 时，5=m 因此，满足{}6,3,2,1⊆M 的集合M 为：Ø、{}61，、{}3,2．满足{}6,3,2,1⊆M 的m 的取值范围是：6262<<-m 或7=m 或5=m 例题4.（交集、并集、补集）设全集{}4|≤=x x U ，集合{}32|<<-=x x A ，{}33|≤<-=x x B ，求U C A ，A B ⋂，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ⋃⋂⋂⋃⋃。
略。
例题5.（交集、并集、补集）全集U 为R ，集合{}012|2=++=px x x A ,{}05|2=+-=q x x x B ，若{}{}()2,()4U U C A B A C B ⋂=⋂=，求A B ⋃。
解析：因为}2{)(=⋂B A C U ，所以B ∈2，故，02522=+⨯-q ，因此，6=q 因为}4{)(=⋂B C A U ，所以A ∈4，故，012442=++p ，因此，7-=p 故，集合{}0127|2=+-=x x x A {}4,3=，集合{}065|2=+-=x x x B {}32，=因此，}4,3,2{=⋃B A 例题6.（交集、补集）已知全集为R ，集合P=｛x|x ＝a 2+4a+1,a ∈R ｝,Q=｛y|y ＝-b 2+2b+3,b ∈R ｝求P∩Q 和P∩R QC 解析：因为142++=a a x 3)2(2-+=a 3-≥，其中R a ∈，所以，集合}3|{-≥=x x P ；因为322++-=b b y 4)1(2+--=b 4≤，其中R b ∈，所以，集合{}4|≤=y y Q 故，{}43|≤≤-=⋂x x Q P {}4|>=⋂x x Q C P R 例题7.（点集）已知集合{}{}723|),(,64|),(=+==+=y x y x P y x y x M ，则P M ⋂=因为集合{}{}723|),(,64|),(=+==+=y x y x P y x y x M ，所以，P M ⋂=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+=+.723,64|),(y x y x y x ，即：P M ⋂={})2,1(例题8.（新定义）设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m =1，则S ={1}；②若12m =-，则14≤l ≤1；③若12l =，则02m -≤≤．其中正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对于命题①，若m =1，则{}l x x S ≤≤=1|，则S l ∈，有S l ∈2.那么，l l ≤≤21，即：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ll l 22,1解得：⎩⎨⎧≤≤≥-≤10,1 1l l or l 即：1=l ，故{}1=S ，故①正确。