集合间的基本关系
第二讲 集合之间的基本关系及其运算
第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。
3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。
知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。
{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。
集合的三种基本关系
集合的三种基本关系集合的三种基本关系是包含关系、相等关系和互斥关系。
在数学中，集合是由一些确定的元素所组成的整体。
而元素则是构成集合的基本单位。
集合的关系是指集合之间的联系和相互作用。
包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。
用符号表示为A⊆B，表示集合A是集合B的子集或者等于集合B。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3,4,5}，则可以说集合A包含于集合B，即A⊆B。
在包含关系中，集合A的元素是集合B的子集。
相等关系是指两个集合具有完全相同的元素。
用符号表示为A=B，表示集合A和集合B的元素完全一样。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={1,2,3}，则可以说集合A等于集合B，即A=B。
在相等关系中，集合A和集合B的元素完全相同。
互斥关系是指两个集合没有任何共同的元素。
用符号表示为A∩B=∅，表示集合A和集合B没有任何共同的元素。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={4,5,6}，则可以说集合A和集合B互斥，即A∩B=∅。
在互斥关系中，集合A和集合B没有任何共同的元素。
集合的关系可以通过图形表示，如Venn图。
Venn图是一种用来表示集合之间关系的图形工具。
它由一系列的圆或椭圆组成，每个圆代表一个集合，圆内的元素属于该集合，圆之间的重叠部分表示集合之间的关系。
通过Venn图可以清楚地展示集合之间的包含关系、相等关系和互斥关系。
除了这三种基本关系，集合还可以通过运算来产生其他关系。
常见的集合运算有并集、交集和补集。
并集是指将两个或多个集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。
交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的新集合。
补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素组成的新集合。
集合的三种基本关系是包含关系、相等关系和互斥关系。
通过这些关系，我们可以描述集合之间的联系和相互作用。
集合的关系可以通过符号表示，也可以通过图形工具如Venn图来展示。
此外，还可以通过集合运算产生其他关系。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
集合间的基本关系及运算
1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。
3、真子集：如果A ⊆B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B .4、设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S C A5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。
8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。
9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。
【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。
【C】例3. 已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。
2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+}, Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1)2n+-,n∈Z}【L】例2.已知集合A={x|x=12kπ+4π，k∈Z}，B={x|x=14kπ+2π,k∈Z},判断集合A与集合B是否相等。
集合的四种基本关系
集合的四种基本关系在数学中，集合是由一些特定对象组成的整体。
集合之间存在着各种关系，而一些基本的关系可以被分类为四种：包含关系、相等关系、交集关系和并集关系。
本文将对这四种基本关系进行全面详细、完整且深入的描述。
1. 包含关系包含关系是集合之间最基本的关系之一。
如果一个集合的所有元素都属于另一个集合，那么我们说前一个集合包含在后一个集合中。
数学上用符号“⊆”表示包含关系。
例如，我们有两个集合A和B，其中A={1, 2, 3}，B={1, 2, 3, 4}。
由于集合B中的所有元素（1、2和3）也都属于集合A，所以可以说集合A包含在集合B中。
用符号表示为A ⊆ B。
包含关系还可以进一步细分为真包含关系和假包含关系。
如果一个集合A包含于另一个集合B，并且它们不相等，我们称A在B之内并且A真包含B。
用符号表示为A ⊂ B。
如果A和B相等，我们称A在B之内但A不真包含B。
用符号表示为A ⊆B。
2. 相等关系相等关系是两个集合拥有完全相同元素的关系。
如果集合A和集合B的所有元素都相同，那么A等于B。
数学上用符号“=”表示相等关系。
例如，我们有两个集合C和D，其中C={1, 2, 3}，D={3, 2, 1}。
尽管它们的元素排列顺序不同，但它们的元素完全相同，所以可以说集合C等于集合D。
用符号表示为C = D。
相等关系是一种非常严格的关系，要求两个集合的元素完全相同，没有任何差异。
3. 交集关系交集关系是指两个集合共有的元素构成的集合。
数学上用符号“∩”表示交集关系。
例如，我们有两个集合E和F，其中E={1, 2, 3, 4}，F={3, 4, 5, 6}。
这两个集合的交集是{3, 4}，因为它们共有的元素是3和4。
用符号表示为E ∩ F = {3, 4}。
交集关系是一种取共有部分的操作，可以用于找到两个集合中共同存在的元素。
4. 并集关系并集关系是指两个集合中所有元素的总和构成的集合。
数学上用符号“∪”表示并集关系。
集合间的基本关系
集合间的基本关系引言在数学中，集合是一种基本的概念，它们是由一组确定的对象或元素组成。
集合可以通过元素之间的基本关系进行描述和比较。
本文将介绍集合间的几种基本关系，包括包含关系、相等关系、交集关系和并集关系。
包含关系包含关系是最基本的集合间关系之一。
如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么我们说第一个集合包含于第二个集合。
用数学符号表示包含关系，可以使用符号⊆ 表示。
例如，集合 A 包含于集合 B 可以表示为A ⊆ B。
包含关系是一种自反和传递的关系。
也就是说，对于任意集合 A，A 一定包含于自身；对于任意三个集合 A、B 和 C，如果 A 包含于B，B 包含于 C，则 A 也包含于 C。
相等关系相等关系是指两个集合包含的元素完全相同。
如果两个集合的元素相同，我们可以说这两个集合是相等的。
类似地，我们可以使用符号 = 表示相等关系。
两个集合 A 和 B 相等可以表示为 A = B。
相等关系也是一种自反、对称和传递的关系。
也就是说，对于任意集合 A，A 等于自身；对于任意两个集合A 和 B，如果 A 等于 B，则B 也等于 A；对于任意三个集合 A、B 和 C，如果 A 等于 B，B 等于 C，则 A 也等于 C。
交集关系交集关系是指两个集合中共有的元素构成的集合。
如果集合 A 和集合 B 的交集非空，那么我们可以说集合 A 和集合 B有交集。
交集可以使用符号∩ 表示。
例如，集合 A 和集合 B的交集可以表示为A ∩ B。
交集关系也是一种自反、对称和传递的关系。
对于任意集合 A，A 和自身的交集是 A；对于任意两个集合 A 和 B，A 和 B 的交集等于 B 和 A 的交集；对于任意三个集合 A、B 和 C，如果 A 和 B 的交集不为空，B 和 C 的交集不为空，则 A 和 C 的交集也不为空。
并集关系并集关系是指两个集合中所有的元素构成的集合。
如果集合 A 和集合 B 的并集包含了 A 和 B 的所有元素，那么我们可以说集合 A 和集合 B 有并集。
集合间的基本关系
7 个真子集，故选 B.
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(2)由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合 M 必含 有元素 1,2，且含有元素 3,4,5 中的至少一个，因此依据集合 M 的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合 M 共有 7 个． [答案] (1)B (2)7
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注意：∅与{0}的区别 (1)∅是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一个元素的集合，∅ {0}．
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[例 1] (1)下列各式中，正确的个数是( )
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅
＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}
我们称集合 A 是集合 B 的真子集 记法 记作 A B(或 B A)
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图示
结论
(1)A B 且 B C，则 A C； (2)A⊆B 且 A≠B，则 A B
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4、空集的概念
定义 我们把 不含任何元素 的集合，叫做空集
记法 ∅
规定 空集是任何集合的子集 ，即∅⊆A
特性
(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅ (2)A≠∅，则∅ A
集合间的基本关系
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1、子集的概念
定义
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中 任意一个 元素都是集合B中的元素，我们就说 这两个集合有 包含 关系，称集合A为集合B的子
集 记法与 记作 A⊆B (或 B⊇A )，读作“A含于B”(或“B
读法 包含A”)
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集合间的关系
集合间的关系什么是集合间的关系？集合间的关系指的是两个或多个集合之间的关系。
在数学中，集合间的关系是一种可以描述不同集合之间联系的方式。
它可以用来表示集合间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
一般来说，集合间的关系可以有四种：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
1、包含关系(Containment Relationship)是指一个集合A包含另一个集合B时就形成了包含关系，即A⊂B。
如果A=B，则称两个集合相等。
此外，如果A⊂B，而B⊂A，则A=B。
2、相等关系(Equality Relationship)，当两个集合的元素完全相同时，则这两个集合就成为相等关系。
即A=B。
3、并集关系(Union Relationship)，当两个集合中的元素都可以找到时，则称两个集合形成并集关系，即A∪B。
4、交集关系(Intersection Relationship)，当两个集合中的元素都具有相同的特征时，则称两个集合形成交集关系，即A∩B。
上述四种关系是集合间关系的基本形式，但实际上，集合间的关系可以根据不同情况而发生变化。
例如，可以把集合A看作是集合B的子集，此时A⊆B，也就是A的元素都可以在B中找到。
也可以把集合A看作是集合B的超集，此时A⊇B，也就是B的元素都可以在A中找到。
此外，集合间的关系还可以根据不同的集合进行划分，例如有序集合、无序集合、离散集合、连续集合等。
最后，除了上述四种基本关系外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
它们可以用来描述两个或多个集合之间的更复杂的关系。
综上所述，集合间的关系可以用来描述不同集合之间的相互影响，或者说集合间的特征性质的抽象概念。
它可以有四种基本关系：包含关系、相等关系、并集关系和交集关系。
此外，还有一些更复杂的关系，如偏序关系、拓扑关系、伴随关系、概率关系等。
集合间的基本关系ppt课件
变式训练1 (1)若{1,2,3}⫋A⊆{1,2,3,4,5},则满足条件的集合A的个数为
( B )
A.2
B.3
C.4D.5解析 满足 Nhomakorabea件的集合A有{1,2,3,4},{1,2,3,5}和{1,2,3,4,5},共3个.
(2)已知集合A⫋{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则满足条件的集合A的个
别为{1},{2}.
思考辨析
1.{0},⌀之间有什么区别与联系?
提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,因此⌀⊆{0}.
2.若一个集合只有一个子集,则这个集合有什么特征?
提示 一个集合只有一个子集,则这个集合是空集.
自主诊断
1.下列集合中为空集的是( C )
A.{0}
B.{⌀}
(3)集合A的非空子集的个数为2n-1;
(4)集合A的非空真子集的个数为2n-2.
例如,集合{1,2}的元素个数为2,其子集个数为22=4,子集分别为⌀,{1},{2},
{1,2};真子集个数为22-1=3,真子集分别为⌀,{1},{2};非空子集个数为22-1=
3,非空子集分别为{1},{2},{1,2};非空真子集个数为22-2=2,非空真子集分
【例1】 (1)[2024河南统考模拟预测]已知集合A={x∈N|-2<x<3},则集合A
的所有非空真子集的个数是( D )
A.6
B.7
C.14
D.15
解析 因为A={x∈N|-2<x<3}={0,1,2},所以集合A中的元素个数为3,因此集
合A的所有非空真子集的个数是23-2=6.故选A.
(2)已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为( C )
集合间的关系
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝ B，求 q 的值．
小试牛刀
练习5：
已知集合 A＝{m，m＋d，m＋2d}，B＝{m，mq，mq2}，其中 m≠0，且 A＝
B，求 q 的值．
[解] 由 A＝B 可知，
m＋d＝mq，
m＋d＝mq2，
(1)
已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø， 则 a 的取值范围是__________．
典例探究
例5：已知集合 A＝{x|x2＋(a＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0，x∈R}，若 A∩B＝Ø，
则 a 的取值范围是__________．
[答案] (－∞，－2]
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
C．xy∈A
x D． ∈A
y
典例探究
例4：
已知集合 A＝{t2＋s2|t，s∈Z}，且 x∈A，y∈A，则下列结论正确的是( )
A．x＋y∈A
B．x－y∈A
x
又 ∉ A，故 D“ ∈A”不成立．故选 C.
2
y
[答案] C
小试牛刀
练习4：
已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的 取值范围是________．
小试牛刀
练习4：已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A，则实数 m 的
此时集合 A 中有重复元素 3，
集合间的基本关系
集合间的基本关系
在集合理论中，有几种基本的关系可以定义在两个集合之间。
这些基本关系包括：
1.相等关系（Equality Relation）：两个集合当且仅当它们包含
相同的元素时相等。
表示为A = B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}，因此A = B。
2.包含关系（Subset Relation）：如果一个集合的所有元素都是
另一个集合的元素，则称前者是后者的子集。
表示为A ⊆B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊆ B。
3.真包含关系（Proper Subset Relation）：如果一个集合是另一
个集合的子集，并且两个集合不相等，则前者是后者的真子集。
表示为A ⊂ B。
示例：A = {1, 2}，B = {1, 2, 3}，因此A ⊂B。
4.交集关系（Intersection Relation）：两个集合的交集是包含它
们共同元素的集合。
表示为A ∩ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∩ B = {3}。
5.并集关系（Union Relation）：两个集合的并集是包含它们所
有元素的集合。
表示为A ∪ B。
示例：A = {1, 2, 3}，B = {3, 4, 5}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
这些基本关系在集合论中起到了重要的作用，用于描述和操作不同集合之间的关系。
它们是集合论中的基本概念，为进一步探索更高级的集合运算和性质奠定了基础。
集合间的基本关系知识点总结
集合间的基本关系知识点总结嘿，朋友们！今天咱来聊聊集合间的基本关系，这可有意思啦！你想想啊，集合就像是一个个小团体。
有的集合呢，就像一个大家庭，里面的元素都整整齐齐的。
比如说，一个集合里全是偶数，那这些偶数就相亲相爱地待在一块儿，多和谐呀！那集合之间的关系呢，就好像不同的小团体之间的相处模式。
有一种关系叫子集，这就好比一个小团体完全被包含在另一个大团体里。
比如说班级是个大集合，那某个兴趣小组不就是班级这个集合的子集嘛！小团体在大团体的庇护下茁壮成长，多温暖呀！那反过来说，大团体包含着小团体，这多自然呀！还有一种叫真子集的关系呢，就像是大团体里除了小团体，还有其他一些特别的元素。
就好比班级里除了某个兴趣小组的同学，还有其他有不同特点的同学呢。
然后呢，还有相等的集合。
这就像是两个一模一样的小团体，里面的元素一个不差！你说神奇不神奇？这就好比两个双胞胎班级，啥都一样！咱再打个比方，一个集合里都是红色的东西，另一个集合里也都是红色的东西，那不就相等了嘛！这多简单易懂呀！集合间的关系是不是特别有趣呀？就像我们生活中的各种群体和关系一样。
我们在不同的群体里扮演着不同的角色，有时候是子集，有时候又是真子集，有时候还能找到和自己相等的小伙伴呢！大家想想，在我们的生活中是不是也经常能看到这样的集合关系呀？比如我们的家庭是一个集合，社区是一个更大的集合，城市又是一个更大的集合。
我们在这些集合中找到自己的位置，感受着不同的关系。
所以说呀，集合间的基本关系可不是什么枯燥的数学概念，它就在我们的生活中无处不在呢！我们要善于发现这些关系，理解这些关系，让我们的生活更加丰富多彩！集合间的基本关系，真的是太奇妙啦！让我们继续在数学的世界里探索，发现更多有趣的东西吧！。
集合间的基本关系 课件
互 动 课 堂
典 例 导 悟 类型一 [例1]
集合间关系的判定
n 1 设集合M＝{x|x＝ ，n∈Z}，N＝{x|x＝ 2 2
＋n，n∈Z}，试确定集合M，N之间的关系．
图2
[解]
n 方法1：对于集合M，其组成元素是 ，分 2
子部分表示所有的整数； 2n＋1 1 而对于集合N，其组成元素是 ＋n＝ ，分 2 2 子部分表示所有的奇数． 由真子集的概念知，N M，Venn图如图2所 示．
• 思悟升华 • 1．判断集合间的关系的关键是弄清集合由 哪些元素组成，也就是把较为抽象的集合 具体化、形象化，这就要求熟练地用自然 语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语 言(Venn图)来表示集合．
2．子集的性质：A⊆B，且B⊆C⇒A⊆C； A B，且BC⇒A C；当A⊆B时，有A＝B或 A B，所以当集合A是集合B的子集时，A不一定是 B的真子集；但当集合A是集合B的真子集时，A一 定是B的子集．
[例3]
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋
1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
－2≤m＋1 2m－1≤5
[错解] 欲使B⊆A，只需
⇒－
3≤m≤3. ∴m的取值范围是－3≤m≤3.
[错因] 空集是一个特殊的集合，是任何集合 的子集，因此需要对B＝Ø与B≠Ø两种情况分别确 定m的取值范围．
2．已知集合M＝{x|－ 5 <x< 3 ，x∈Z}，则下 列集合是集合M的子集的是( A．{－3,0,1} B．{－1,0,1,2} C．{y|－π<y<－1，y∈Z} D．{x||x|≤ 3，x∈N} )
• • • • •
解析：M＝{－2，－1,0,1}， 易知A、B中集合不是M的子集． C中集合为{－3，－2}，不是M的子集． D中集合为{0,1}，是M的子集． 答案：D
集合间的基本关系ppt课件
A B
记作A B(或B A). 如 : {1,2} {1,2,3,4} 符号语言： 若A B, 且存在x B但x A,则A B. 图形语言： 若A B,且A B,则A B.
A B
新知探究：空集
问题4 方程x2+1=0的实数根组成集合是什么？它的元素有哪些？ 我们知道，方程x2+1=0是没有实数根，所以方程x2+1=0的实数根
集合
元素个数 子集个数
真子集 非空子集
个数
个数
结论：
0
1
{a}
1
2
集合A有n(n≥0)个元素,则 A的子集有2n个,
{a,b}
2
4
A的真子集或非空子集有2n-1个, {a,b,c}
3
8
A的非空真子集有2n-2个(n≥1). {a,b,c,…} n
2n
0 1 3 7
2n 1
典例解析 例2 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： （1）A={1, 2, 3}，B={x|x是8的约数}； （2）A={x|x是长方形}，B={x|x是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1) 因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集. (2) 因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合A是集合B的子集.
如：{x||x|=1}={x|x2=1}
符号语言： 若A⊆B且B⊇A，则A=B.
图形语言：
A(B)
A B BA
集合相等是集合包含关系中的特殊情况。
集．
(1) A＝{1,3,5}，B＝{1,2,3,4,5}； (√)
(2) A＝{1,3,5}，B＝{1,3,6,9}； (×)
变式 已知集合A满足{1，2}⫋A⊆{1,2,3, 4},写出满足条件的集合A.
高中数学教案《集合间的基本关系》
《集合间的基本关系》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解集合间的基本关系（子集、真子集、相等）的概念，掌握判断集合间关系的方法，并能准确描述集合间的这些关系。
2.过程与方法：通过具体实例分析，引导学生从直观感受出发，逐步抽象出集合间关系的数学定义，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
同时，通过小组讨论和合作探究，提升学生的团队协作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和实事求是的科学精神。
通过解决实际问题，让学生感受到数学的实用价值，增强学好数学的信心。
二、教学重点和难点●重点：子集、真子集、相等三种集合间关系的定义及判断方法。
●难点：理解并准确区分子集与真子集的概念，以及在复杂情境下判断集合间的关系。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例：以班级中的男生集合、女生集合及全班学生集合为例，引导学生思考这些集合之间的关系，初步感受集合间的包含与被包含关系。
●提出问题：如何用数学语言描述这些集合之间的关系？引出子集、真子集、相等等概念。
●明确目标：告知学生本节课将要学习集合间的基本关系，并简要介绍学习目标。
2. 概念讲解（10分钟）●子集定义：详细讲解子集的定义，强调“所有元素都属于另一个集合”的含义，并通过实例说明。
●真子集与相等：在子集的基础上，进一步讲解真子集的概念（即子集且不等于原集合），以及两个集合相等的条件（即互相为子集）。
●比较区分：通过图表或对比表格的形式，帮助学生直观区分子集、真子集和相等三种关系。
3. 例题解析（15分钟）●典型例题：选取几个具有代表性的例题，分别涉及子集、真子集和相等的判断。
教师边讲边练，逐步展示解题过程。
●思路引导：在解题过程中，注重引导学生分析题目中的关键信息，明确判断集合间关系的依据。
●学生尝试：让学生尝试解答几个类似的题目，教师巡回指导，及时纠正学生的错误思路。
4. 小组讨论与合作探究（15分钟）●分组任务：将学生分成若干小组，每组分配一个实际问题或情境，要求将其转化为集合间关系的判断问题。
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，且，则A=B。
（3）真子集的定义：如果集合
，但存在元素x ∈B，且x
A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B (或B A).
问题3、集合中会不会没有任何元素呢？ 具体实例3、考察下列集合. 并指出集合中的元素是什么？ （1）A = {(x，y) | x + y =2}。 （2）B = {x | x2 + 1 = 0，x ∈R}。 生：通过观察分析后回答，（1）中的元素是一条直线上的点，而 （2）中元素x是一个方程的解，但这个方程无解。 师：非常好！ （4）空集的定义： 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 。 规定：空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。
1∈A，同时1也是集合B中的元素；同理2，3也是这样，这就是说集合A 中的每一个元素都是B中的元素。
学生乙：除了甲说的外，我还看到集合B中的元素4、5就不在A中， 也就是说集合B好像比A大。
学生丙：马上提出疑问：难道说集合之间也存在大小关系吗？ 带着大家的疑问我们继续来观察（2）、（3）两组中两个集合之间 又有什么样的关系呢？ 学生丁：在第2组中我们都知道所有的菱形都是平行四边形，但所 有的平行四边形并不都是菱形。我不敢说B比A大，但起码B中的元素比A 中的多，且集合A中的每一个元素都是B中的元素。 师：大家分析的都很好，能抓住问题的核心，从元素看集合。那么 在第3组中出现了两个不等式，我们可以借助于数轴进而看到它们的关 系（黑板画数轴表示集合）。 具有这样关系的两个集合如何准确的用数学语言表述呢？ （1）子集的定义： 文字语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任何一个
呢？ 2、概念的形成 问题1的探究： 具体实例1：看下面各组中两个集合之间有什么关系 （1）A＝{1，2，3}， B＝{1，2，3，4，5} （2）A={菱形}， B＝{平行四边形} （3）A={x|x>2}， B={x|x>1} （学生分组讨论） 学生甲：我发现在第一组的两个集合中1是集合A中的元素，也即
1.1.2 集合间的基本关系
一、教学目标： 1、知识与技能 （1）理解集合之间包含和相等的含义； （2）能识别给定集合的子集； （3）能使用Venn图表达集合之间的包含关系。 2、过程与方法 （1）通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等 的关系联系元素与集合的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系； （2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过 程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。 3、情感、态度、价值观 （1）了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客 观现实和数学问题中的意义。 （2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合 的思想。 二、重点、难点： 重点：（1）帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系 ——子集； （2）如何确定集合之间的关系。 难点：集合关系与其特征性质之间的关系。 三、教学过程： 1、新课引入 问题1：元素与集合有“属于”、“不属于”的关系；数与数之间 有“相等”、“不相等”的关系；那么集合与集合之间有什么样的关系
4、能力提升 （5）子集的性质： 一般结论： ① . ②若 ， ，则 . ③A = B
，且
. 5、举例应用： 例1、写出集合A＝{1，2，3}的所有子集，并指出有几个真子集是
哪些？ 例2、集合A与集合B之间是什么关系？ A＝{x|x=4k+2,k∈Z} B={x｜x=2k，k∈Z } 6、课堂练习： 课本第7页练习1，2，3 （1）写出集合{a、b}的所有子集；并指出其子集、真子集的个数。 （2）写出集合{a、b、c}的所有子集；并指出其子集、真子集的个
数。
（3）写出集合{a、b、c、d}的所有子集；并指出其子含有n个元素的集合，其子集的个数与元素个 数之间有什么关系？
7、课堂小结： （1）知识点：①子集、真子集、相等关系的概念，空集的概念。 ②子集的相关性质。 （2）方法：数形结合（如数轴、Venn图）解决有关集合问题。 8、课后作业：课本第12页习题1、1A组 5，B组 2.
元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为
集合B的子集。
符号语言：或。
图形语言：
B A
这种图称为Venn
图.
练习1、用适当的符号填空： 0 {0}， {正方形} {矩形}，三角形 {等边三角形} {梯形} {平行四边形}，{x|-1<x<5} {x|2<x<4} 3、概念的深化 问题2、如果集合A是集合B的子集，那么对于任意的，有；那么对 于集合B中的任何一个元素，它与集合A之间又可能是什么关系呢？ 问题2探究： 具体实例2：(1)、A＝{x|x<-4或x>2}，B={x|x<0或x>1}
(2)、A＝{x|-1<x<3}，B={x|-3<2x-1<5} 生：对于（1）由数轴很容易得到
，但B中的所有元素并不都在A中，也就是说至少有一个元素只属于 B而不属于A，对于（2）通过对B有求解，也不难发现，
，但B中的所有元素也都在A中，也就是说，或者可以说A和B中的元
素完全相同。 师：很好，通过对实例1的探讨，大家能客观细致地分析得到两个