函数的概念及基本性质

f ( x) 在 (0,) 内单调递减，
在（ 0， ）上任意两点x1及 x2 , 当x1 x2时, f ( x1 ) f ( x2 ),
在（ ， 0 ）上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时, x1 x2 , 且 x1 , x2 0，因此，f ( x1 ) f ( x2 )即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x )在（ ， 0 ）内是单增的
对称.
例题库
x2 1 , 例6 设函数 y f ( x ) x ,
x0 x0
（1）求 y f 1 ( x) 的表达式、定义域、值域； （2）画出 y f ( x ) 与 y f 1 ( x) 的图形.
解： (1) 当x 0时，由y x 2 1得 x y 1;
（2）
联立（1）（2）
解出
2 x2 f ( x) 3x
例题库
二、反函数
定义 设有函数 y f ( x ) ， 如果能从 y f ( x ) 中解
出 x f 1 ( y) ，则称 x f 1 ( y) 为 y f ( x ) 的反函数， 记作 y f 1 ( x)
例1 求函数
lg(3 x ) f ( x) 5 4x x2 sin x
的定义域.
解 要使 f ( x ) 有意义，显然要满足：
3 x 0 sin x 0 5 4 x x 2 0
x3 即 x k ( k为整数) 1 x 5
y 2 1 x
y 2 1 x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
（2）不相同.它们的定义域不同.第一个函数的定义域为 x 0 , 而第二个函数的定义域为 x 0 .
y 1 -2 -1 -1 -2 1 2 x
-2 -1 -1 -2 y 1 1 2 x
例题库
Байду номын сангаас
注 例3
（5）分段函数
1 当x 0 符号函数 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
当x 0时，由y x得 x y;
x 1 , x 1 故 f ( x) ,x0 x 定义域为(,0] (1,), 值域为(,).
1
（2）图形为：
例题库
y 3 2 1 -2 -1 1 2 x
-1 -2 -3
例题库
三、函数的基本性质
1、函数的单调性:
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当x1 x2时,
恒有f ( x1 ) f ( x2 )
(或f ( x1 ) f ( x2 ) ） , 则称函数
f ( x)在区间I上是单调增加（或单调 减少）的.
y
y f ( x)
反； 注：（1） y f ( x)和x f 1 ( y)的定义域与值域正好相
（2）函数
y f ( x)与其反函数y f 1 ( x)
的图形关于
直线 y=x 对称
例题库
y
反函数 y ( x )
Q ( b, a )
o
P (a , b)
直接函数y f ( x )
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x
所以定义域为： D f x 1 x 3, x 0 [1,0) (0,3)
例题库
例2 判断下列函数是否相同，并说明理由，画图表示.
（1）y x 与 y | x |
2
2 y lg x （2） 与 y 2 lg x
解（1）相同.它们的对应法则与定义域均相同.
y
y f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
o
I
例题库
x
2、函数的奇偶性:
设函数f ( x )的定义域D关于原点对称, 如果对于 x D, 有 f ( x ) f ( x（或 ) f ( x ) f ( x )) ,
则称 f ( x)为偶函数（或奇函数） 。
第1章 函数与模型
第1.1节 函数的概念及基本性质
一、函数的基本概念 二、反函数 三、函数的基本性质
例题库
一、函数的基本概念
1、定义 设 x, y为两个变量， D为非空实数集，若对任意 的 x D ，变量 y 均按照一定的法则 x 有惟一的值与之
对应，则称 y 是 x 的函数（function)，记作 y f ( x ) . 其中 x 称为自变量(independent variable)， x 的取值范 围称为函数的定义域(domain)，常记为 D f ；
例题库
3、函数的周期性
设函数f ( x )的定义域为D, 如果存在一个正数 l ,
使得对于x D, 有( x l ) D. 且 f ( x l ) f ( x )
恒成立. 则称f ( x )为周 期函数, l称为f ( x)的周期.
（通常说周期函数的周期是指最小正周期）.

3l 2

l 2
l 2
3l 2
例题库
4.函数的有界性 设函数 f (x) 在区间上I 有定义，如果存在常数M，使得 对任意的 xI ，恒有 （1）|f (x)|<M（此时M>0），则称函数 f (x) 在 I 上有 界;否则称函数 f (x) 在 I 上无界. （2）f (x)<M，则称函数 f (x) 在 I 上有上界; （3）f (x)>M，则称函数 f (x) 在 I 上有下界.
y
M
o
M
x
例题库
1 y 例8 从函数
x 1 的图像中判断其在区间
(1,2) ，(2,3) ， (3,) 内是否有界.
y
1
o
解 在区间
1
2
3
x
(1,2) 内无界 ，在 (2,3)， (3,) 有界.
例题库
x o -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 5 例题库
例5
2 f ( x) f ( ) 设函数 f ( x ) 满足方程，
1 x
1 x
求 f ( x)
1 解 先 x 将换为 x 再求出的表达式.
1 1 因为 2 f ( x ) f ( x ) x （1）
1 2 f ( ) f ( x) x x
y
1
o
x
-1
其定义域D (,), 值域R f {1,0,1},图形如上图。
例4 取整函数 y=[x], x为任意实数,[x]表示不超过x的最大整数. y
3 例如[ ] 0, [ 3 ] 1, 5 其定义域D ( , ), 值域R f Z ,图形如右图， 称其为阶梯曲线。
y 称为因变量(dependent variable)，与之对应的值称为函
数值，函数值的集合 f ( x ) x D f 常记为 . Zf


称为函数的值域(range)，
注：（1）函数两要素：定义域、对应法则； （2）函数表示法 ：表格法、图形法、公式法；
（3）单值函数，多值函数。
例题库
注：（4）函数定义域的确定： （i）由算式表示的函数，定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数组成的集合. （ii）有实际意义的函数，根据实际意义确定.
y
y f ( x)
-x
y
y f ( x)
A
o 奇函数
x
x
-x
o
x
x
A*
偶函数
例题库
例7
已知 f ( x) 是偶函数，且在
(0,) 内单调递减，
试判断 f ( x) 在 (,0) 内是单调增函数还是单调减函数， 并证明你的判断. 解 因为 f ( x) 是偶函数，所以 f ( x ) f ( x )