2018-2019学年浙江省杭州学军中学2017级高二上学期期末考试数学试卷及答案

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2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=02.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.23.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √727.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（） A.[- 34 .0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（）A.0B. π6 C. π3 D. π29.（单选题.4分）已知两点 A(1，6√3) . B(0，5√3) 到直线l 的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a 的取值范围是（） A.a≥1 B.0＜a ＜1 C.0＜a≤1 D.0＜a ＜210.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC.且AP=AC=1.过点A分别作AE⊥PB于点E.AF⊥PC于点F.连结EF.当△AEF的面积最大时.tan∠BPC=___ ．17.（填空题.4分）已知椭圆C：x24+y2=1上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC与y轴交于M.若原点O是△ABC的重心.且△BMA与△CMO的面积之比为32.则直线BC的斜率为___ ．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.AB⊥PA.AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）经过点A（1.3）.斜率为2的直线方程是（）A.2x-y-1=0B.2x+y+1=0C.2x+y-1=0D.2x-y+1=0【正确答案】：D【解析】：直接代入点斜式方程即可．【解答】：解：由点斜式直接带入：y-3=2（x-1）.即2x-y+1=0.故选：D．【点评】：考查直线的点斜式方程.属于基础题．2.（单选题.4分）椭圆x25+y24=1的焦距是（）A. 2√3B. √3C.1D.2【正确答案】：D【解析】：根据题意.由椭圆的标准方程可得a、b的值.计算可得c的值.进而由焦距定义计算可得答案．【解答】：解：根据题意.椭圆的标准方程为：x 25+y24=1 .则a2=5.b2=4.则c= √a2−b2 =1. 则其焦距2c=2；故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质.关键是掌握椭圆的标准方程的形式．3.（单选题.4分）已知直线m.n和平面α.β.γ.下列条件中能推出α || β的是（）A.m⊂α.n⊂β.m || nB.m⊥α.m⊥βC.m⊂α.n⊂α.m || β.n || βD.α⊥γ.β⊥γ【正确答案】：B【解析】：利用平面平行的判定定理.对四个选项分别进行判断.能够得到正确答案．【解答】：解：由直线m和n.若m⊂α.n⊂β.n || m.则α与β相交或平行.故A不正确；若m⊥α.m⊥β.则垂直于同一条直线的两个平面互相平行.即α || β.故B正确；若m⊂α.n⊂α.m || β.n || β.则α与β相交或平行.故C不正确；若α⊥γ.β⊥γ.则由平面与平面平行的判定知.故D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断.属于中档题．4.（单选题.4分）圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是（）A.相离B.外切C.相交D.内切【正确答案】：C【解析】：把两圆的方程化为标准方程.分别找出圆心坐标和半径.利用两点间的距离公式.求出两圆心的距离d.然后求出R-r和R+r的值.判断d与R-r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．【解答】：解：把圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0分别化为标准方程得：（x-1）2+y2=1.x2+（y+2）2=4.故圆心坐标分别为（1.0）和（0.-2）.半径分别为R=2和r=1.∵圆心之间的距离d= √(1−0)2+(0+2)2=√5 .R+r=3.R-r=1.∴R-r＜d＜R+r.则两圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】：圆与圆的位置关系有五种.分别是：当0≤d＜R-r时.两圆内含；当d=R-r时.两圆内切；当R-r＜d＜R+r时.两圆相交；当d=R+r时.两圆外切；当d＞R+r时.两圆外离（其中d表示两圆心间的距离.R.r分别表示两圆的半径）．5.（单选题.4分）已知a、b是异面直线.P是a、b外的一点.则下列结论中正确的是（）A.过P有且只有一条直线与a、b都垂直B.过P有且只有一条直线与a、b都平行C.过P有且只有一个平面与a、b都垂直D.过P有且只有一个平面与a、b都平行【正确答案】：A【解析】：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.利用过一点作已知平面的垂线.有且只有一条.可得结论；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在；对于C.根据a、b是异面直线.可得过P不存在平面与a、b都垂直；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在．【解答】：解：对于A.取直线a上任意一点.作b的平行线c.则a.c确定平面.过P作平面的垂线有且只有一条.所以过P有且只有一条直线与a、b都垂直.故A正确；对于B.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的直线不存在.故B不正确；对于C.∵a、b是异面直线.∴过P不存在平面与a、b都垂直.故C不正确；对于D.若P与a或b确定的平面.与b或a平行.此时与a、b都平行的平面不存在.故D不正确；故选：A．【点评】：本题考查线线、线面的位置关系.考查学生的推理能力.属于中档题．6.（单选题.4分）如图.△ABC中.AB=BC.∠ABC=120°.若以A.B为焦点的双曲线的渐近线经过点C.则该双曲线的离心率为（）A.2√33B. √3C. √52 D. √72【正确答案】：D【解析】：设AB=BC=2.取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC.由余弦定理可得OC.cos∠COB .求得tan∠COB .即为渐近线的斜率.由a.b.c 的关系和离心率公式.即可得到．【解答】：解：设AB=BC=2. 取AB 的中点为O.由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC. 在三角形OBC 中. cosB=- 12 .∴OC 2=OB 2+BC 2-2OB•BC•cosB=1+4-2×1×2×（- 12）=7. ∴OC= √7 . 则cos∠COB=2√7 = √7. 可得sin∠COB= √1−47 = √3√7 . tan∠COB= sin∠COBcos∠COB = √32 .可得双曲线的渐近线的斜率为 √32 .不妨设双曲线的方程为 x 2a2 - y 2b2 =1（a.b ＞0）. 渐近线方程为y=± b ax. 可得 ba = √32 . 可得e= c a = √a 2+b 2a 2 = √1+(b a )2 = √1+34 = √72 ．故选：D ．【点评】：本题考查双曲线的方程和性质.主要是渐近线和离心率.考查学生的计算能力.属于中档题．7.（单选题.4分）直线y=kx+3与圆（x-3）2+（y-2）2=4相交于M.N 两点.若|MN|≥2 √3 .则k 的取值范围是（） A.[- 34.0]B.（-∞.- 34 ]∪[0.+∞）C.[- √33 . √33 ] D.[- 23 .0]【正确答案】：A【解析】：由弦长公式得.当圆心到直线的距离等于1时.弦长等于2 √3 .故当弦长大于或等于2 √3 时.圆心到直线的距离小于或等于1.解此不等式求出k 的取值范围．【解答】：解：设圆心（3.2）到直线y=kx+3的距离为d. 由弦长公式得.MN=2 √4−d 2 ≥2 √3 . 故d≤1. 即√k 2+1 ≤1.化简得 8k （k+ 34 ）≤0.∴- 34 ≤k≤0.故k 的取值范围是[- 34.0]．故选：A ．【点评】：本题主要考查点到直线的距离公式.以及弦长公式的应用.属于中档题．8.（单选题.4分）正四面体ABCD.CD 在平面α内.点E 是线段AC 的中点.在该四面体绕CD 旋转的过程中.直线BE 与平面α所成角不可能是（）A.0B. π6C. π3D. π2【正确答案】：D【解析】：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① 点E是线段AC的中点.BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．利用反证法可以证明．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．【解答】：解：由正四面体ABCD.可得所有棱长都相等．① ∵点E是线段AC的中点.∴BE⊥AC．在该四面体绕CD旋转的过程中.直线BE与平面α所成角不可能是π2．反证法：若直线BE与平面α所成角是π2.则BE⊥平面α．则在某一过程必有BE⊥CD．事实上.在该四面体绕CD旋转的过程中.BE与CD是不可能垂直的.因此假设错位.于是直线BE 与平面α所成角不可能是90°．② 在该四面体绕CD旋转的过程中.当BE || α时.可得直线BE与平面α所成角为0．③ 如图所示的正四面体B-ABC．作BO⊥平面ACD.垂足为O．则E.O.D三点在同一条直线上．设直线BE与平面ACD所成的角为θ.可得cosθ= 13＜12．∴θ＞π3．于是可得在该四面体绕CD旋转的过程中.可得直线BE与平面α所成角为π6. π3．综上可得：直线BE与平面α所成角不可能是π2．故选：D．【点评】：本题考查了正四面体的性质、线面垂直性质定理、正三角形的性质、线面角.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于难题．9.（单选题.4分）已知两点A(1，6√3) . B(0，5√3)到直线l的距离均等于a.且这样的直线可作4条.则a的取值范围是（）A.a≥1B.0＜a＜1C.0＜a≤1D.0＜a＜2【正确答案】：B【解析】：（1）由题意做出简图.分别讨论A.B在同一侧和两侧两种情况.只需a小于A.B两点距离的一半.再由两点间的距离公式即可求出a的取值范围．【解答】：解：由题意如图所示：因为若A.B在直线的同一侧.可做两条直线.所以若有这样的直线有4条.则当A.B两点分别在直线的两侧时.还应该有两条.所以2a小于A.B的距离.因为|AB|= √(1−0)2+(6√3−5√3)2 =2.所以0＜2a＜2.所以：0＜a＜1.故选：B．【点评】：考查点到直线的距离公式.属于中档题．10.（单选题.4分）如图.正四面体ABCD中.P、Q、R在棱AB、AD、AC上.且AQ=QD. APPB = CRRA= 12.分别记二面角A-PQ-R.A-PR-Q.A-QR-P的平面角为α、β、γ.则（）A.β＞γ＞αB.γ＞β＞αC.α＞γ＞βD.α＞β＞γ【正确答案】：D【解析】：由四面体为正四面体.结合AQ=QD. APPB = CRRA= 12.通过图形直观分析得答案．【解答】：解：观察可知.α＞β＞γ.α为钝角.β.γ均为锐角.β平缓一点.γ陡急一点. ∴ π2＞β＞γ .则α＞β＞γ.故选：D．【点评】：本题考查二面角的平面角及其求法.考查学生通过读图进行直观分析问题与解决问题的能力.是中档题．11.（填空题.6分）若圆x2+y2+2ax+y-1=0的圆心在直线y=x上.则a的值是___ .半径为___ ．【正确答案】：[1] 12 ; [2] √62【解析】：根据题意.将圆的方程变形为标准方程的形式.求出圆的圆心以及半径.又由圆的圆心在直线y=x上.即可得a的值.据此可得答案．【解答】：解：根据题意.圆的一般方程为x2+y2+2ax+y-1=0.则其标准方程为（x+a）2+（y+1 2）2=a2+ 54：其圆心为（-a.- 12）.半径r= √a2+54.若其圆心在直线y=x上.则有-a=- 12 .即a= 12.其半径r= √14+54= √62；故答案为：12 . √62【点评】：本题考查圆的一般方程.关键是掌握圆的一般方程的形式.属于基础题．12.（填空题.6分）若直线l1：x+my+6=0与l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行.则m的值为___ .它们之间的距离为___ ．【正确答案】：[1]-1; [2] 8√23【解析】：由m（m-2）-3=0.解得m．经过验证可得m．利用平行线之间的距离公式即可得出它们之间的距离．【解答】：解：由m （m-2）-3=0.解得m=3或-1．经过验证：m=3时两条直线平行舍去． ∴m=-1．直线l 1：x+my+6=0与l 2：（m-2）x+3y+2m=0分别化为：x-y+6=0.x-y+ 23 =0． ∴它们之间的距离= |6−23|√2=8√23．故答案为：-1. 8√23．【点评】：本题考查了平行线与斜率之间的关系、平行线之间的距离公式.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．13.（填空题.6分）某几何体的三视图如图所示.则该几何体的体积为___ .外接球的表面积为___ ．【正确答案】：[1]24; [2]41π【解析】：画出几何体的直观图.利用三视图的数据.求解几何体的体积.求出外接球的半径.即可求解外接球的表面积．【解答】：解：由题意可知几何体是三棱柱.如图：是长方体的一半. 所以几何体的体积为： 12×4×3×4 =24；几何体的外接球.就是长方体的外接球.外接球的半径为： 12×√42+32+42 = √412．外接球的表面积为： 4π×(√412)2=41π．故答案为：24；41π．【点评】：本题考查三视图求解几何体的体积.外接球的表面积的求法.考查空间想象能力以及计算能力.是中档题．14.（填空题.6分）已知双曲线C：y2−x2m =1与椭圆y29+x25=1共焦点.则m的值为___ .设F为双曲线C的一个焦点.P是C上任意一点.则|PF|的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]3; [2][1.+∞）【解析】：由椭圆方程求得焦点坐标.再由双曲线中的隐含条件列式求得m值；求出|PF|的最小值.可得|PF|的取值范围．【解答】：解：由椭圆y 29+x25=1 .得c= √9−5=2 .则其焦点坐标为（0.±2）.∴双曲线C：y2−x2m=1的焦点坐标为（0.±2）.∴1+m=4.得m=3；不妨设F为双曲线的上焦点F（0.2）.则当P为双曲线的上顶点时.|PF|最小为1．∴|PF|的取值范围是[1.+∞）．故答案为：3；[1.+∞）．【点评】：本题考查椭圆与双曲线的简单性质.是基础题．15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（π6 . π3）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为π6＜θ＜π3.得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（ π6 . π3 ）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在《九章算术》中.将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图.在鳖臑P-ABC 中.PA⊥平面ABC.AB⊥BC .且AP=AC=1.过点A 分别作AE⊥PB 于点E.AF⊥PC 于点F.连结EF.当△AEF 的面积最大时.tan∠BPC=___ ．【正确答案】：[1] √22【解析】：由已知可证AE⊥平面PBC.PC⊥平面AEF.可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .从而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”.解得当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.即可求得tan∠BPC 的值【解答】：解：显然BC⊥平面PAB.则BC⊥AE . 又PB⊥AE .则AE⊥平面PBC.于是AE⊥EF .且AE⊥PC .结合条件AF⊥PC 得PC⊥平面AEF. 所以△AEF 、△PEF 均为直角三角形.由已知得AF= √22 .而S △AEF = 12 AE•EF≤ 14 （AE 2+EF 2）= 14 （AF ）2= 18 .当且仅当AE=EF 时.取“=”. 所以.当AE=EF= 12 时.△AEF 的面积最大.此时tan∠BPC= EF PF = 12√22= √22 .【点评】：本题主要考查了直线与平面垂直的判定.不等式的解法及应用.同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力.属于中档题 17.（填空题.4分）已知椭圆 C ：x 24+y 2=1 上的三点A.B.C.斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M.若原点O 是△ABC 的重心.且△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则直线BC 的斜率为___ ．【正确答案】：[1] −√36【解析】：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ．由原点O 是△ABC 的重心.得△BMA 与△CMO 的高之比为3.结合△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .得2BM=MC ．可得2x 1+x 2=0.联立直线与椭圆方程.利用根与系数的关系得到36k 2m 2=1-m 2+4k 2.利用重心坐标公式求得A 的坐标.代入椭圆方程即可求解直线BC 的斜率．【解答】：解：设B （x 1.y 1）.C （x 2.y 2）A （x 3.y 3）.M （0.m ）.直线BC 的方程为y=kx+m ． ∵原点O 是△ABC 的重心.∴△BMA 与△CMO 的高之比为3. 又△BMA 与△CMO 的面积之比为 32 .则2BM=MC ．即2 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .得2x 1+x 2=0.… ①联立 {y =kx +m x 2+4y 2=4 .得（4k 2+1）x 2+8mkx+4m 2-4=0．则x 1+x 2= −8km 1+4k 2 .x 1x 2= 4m 2−41+4k 2 .… ②由 ① ② 整理可得：36k 2m 2=1-m 2+4k 2.… ③ ∵原点O 是△ABC 的重心.∴ x 3=−(x 1+x 2)=8km1+4k 2 . y 3=-（y 2+y 1）=-[k （x 1+x 2）+2m]=- 2m1+4k 2 ．∵ x 32+4y 32=4 .∴（ 8km1+4k 2 ）2+4（ −2m 1+4k 2 ）2=4.即1+4k 2=4m 2.… ④ ．由 ③ ④ 可得k 2= 112 . ∵k ＜0．∴k=- √36．故答案为： −√36 ．【点评】：本题考查了椭圆的性质.考查了计算能力、转化思想.属于中档题．18.（问答题.14分）已知x＞0.y＞0.且2x+5y=20．（1）求xy的最大值；（2）求1x +1y的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．利用基本不等式的性质即可得出xy的最大值；（2）由x＞0.y＞0.且2x+5y=20．可得1x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）.利用基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：（1）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴20≥2 √2x•5y .化为：xy≤10.当且仅当2x=5y=10时取等号．∴xy的最大值为10．（2）∵x＞0.y＞0.且2x+5y=20．∴ 1 x +1y= 120（2x+5y）•（1x+1y）= 120（7+ 5yx+ 2xy）≥ 120（7+2 √5yx•2xy）= 120（7+2√10）.当且仅当√5 y= √2 x.2x+5y=20取等号．∴ 1 x +1y的最小值为：120（7+2 √10）．【点评】：本题考查了基本不等式的性质、方程的解法、转化法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．19.（问答题.15分）如图所示.在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形.其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD的中点.E为BC的中点．（1）求证：BG || 平面PDE；（2）求证：AD⊥PB；（3）在棱PC上是否存在一点F.使平面DEF⊥平面ABCD.若存在.确定点F的位置；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）连接DE、PE.证明四边形BEDG是平行四边形.得出BG || ED.即可证明BG || 平面PDE；（2）连接PG.证明PG⊥AD.再证BG⊥AD.得出AD⊥平面PGB.即可证明AD⊥PB；（3）F为PC边的中点时.平面DEF⊥平面ABCD.再证明即可．【解答】：（1）证明：连接DE、PE.则DG || BE.且DG=BE.所以四边形BEDG是平行四边形. 所以BG || ED.又BG⊄平面PDE.DE⊂平面PDE.所以BG || 平面PDE；（2）证明：连接PG.因为△PAD为正三角形.G为AD边的中点.所以PG⊥AD；又AG= 12 AB.∠BAD=60°.所以BG= √32AB.所以∠BGA=90°.即BG⊥AD；又PG⊂平面PGB.BG⊂平面PGB.PG∩BG=G.所以AD⊥平面PGB.又PB⊂平面PGB.所以AD⊥PB；（3）解：当F为PC边的中点时.满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F.连接DE、EF、DF.在△PBC中.FE || PB.在菱形ABCD中.EF∩DE=E.所以平面DEF || 平面PGB.因为BG⊥平面PAD.所以BG⊥PG.又因为PG⊥AD.AD∩BG=G.所以PG⊥平面ABCD.而PG⊂平面PGB.所以平面PGB⊥平面ABCD.所以平面DEF⊥平面ABCD．【点评】：本题考查了空间中的直线与直线、直线与平面、以及平面与平面的平行和垂直判断问题.也考查了空间想象能力与逻辑推理能力．20.（问答题.15分）如图.已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0.2）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2.直线l与圆C相交于M.N两点.且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依题意.容易求得半径r=4.圆心坐标为（-4.2）.由此得到方程；（2）依题意.只需求出点N（或M）在劣弧PQ上运动时的直线ON（或OM）斜率.结合图象得解．【解答】：解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点（0.2）.所以圆心在直线y=2上.设圆C 与x 轴交于P.Q 点.又因为被x 轴分成的两段圆弧长之比为1：2.所以可得∠PCQ= 2π3 .所以r=4.圆心C 的坐标：（-4.2）.所以圆C 的方程：（x+4）2+（y-2）2=16；（2）依题意.只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率.设其直线方程为y=tx （t ＞0）.此时有 2＜|−4t−2|√t 2+1≤4 .解得 0＜t ≤34 ；若点M 在劣弧PQ 上.则直线OM 的斜率k=t.于是 0＜k ≤34 ；若点N 在劣弧上.则直线OM 的斜率 k =−1t .于是 k ≤−43 ；又当k=0时.点N 为（0.2）也满足条件；综上所述.所求直线OM 的斜率k 的取值范围为 (−∞，−43]∪[0，34] ．【点评】：本题考查圆的标准方程的求法及直线与圆的关系.考查逻辑推理能力.属于中档题．21.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.AB⊥PA .AB || CD.且PB=BC=BD=√6 .CD=2AB=2 √2 .∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．可证四边形ABED 是矩形.故而AB⊥AD .结合AB⊥PD 得出AB⊥平面PAD.又AB || CD 得出CD⊥平面PAD.于是平面PAD⊥平面PCD ；（II ）以A 为原点建立坐标系.求出 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和平面PBC 的法向量 n ⃗ .则直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . PD⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|．【解答】：证明：（I ）取CD 的中点E.连接BE ．∵BC=BD .E 为CD 中点.∴BE⊥CD .又∵AB || CD .AB= 12 CD=DE.∴四边形ABED 是矩形.∴AB⊥AD .又AB⊥PA .PA⊂平面PAD.AD⊂平面PAD.PA∩AD=A.∴AB⊥平面PAD ．∵AB || CD .∴CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD.∴平面BEF⊥平面PCD ．∴平面PAD⊥平面PCD ．（II ）以A 为原点.AB 为x 轴.AD 为y 轴.以平面ABCD 过点A 的垂线为z 轴建立空间直角坐标角系A-xyz.如图所示：∵PB=BD= √6 .AB= √2 .AB⊥PA .AB⊥AD .∴PA=AD=2．∴P （0.-1. √3 ）.D （0.2.0）.B （ √2 .0.0）.C （2 √2 .2.0）.∴ PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.3.- √3 ）. BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √2 .-1. √3 ）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 .2.0）．设平面PBC 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. ∴ {√2x +2y =0−√2x −y +√3z =0 .取x= √2 .得 n ⃗ =（ √2 .-1. √33 ）. ∴cos ＜ n ⃗ . PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = −4√103•2√3 =- √105． ∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为√105 ．【点评】：本题考查了面面垂直的性质.空间向量的应用与空间角的计算.属于中档题．22.（问答题.15分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆C ： x 2a 2 + y 2b 2 =1（a ＞b ＞0）的离心率为 √32 .且过点（ √3 . 12 ）.点P 在第四象限.A 为左顶点.B 为上顶点.PA 交y 轴于点C.PB 交x 轴于点D ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求△PCD 面积的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）利用椭圆的离心率求得 b a =12 .将（ √3 . 12 ）代入椭圆方程.即可求得a 和b 的值．（2）设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 可得 S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ．设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．由 {x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 时．S △PCD 取得最大值.【解答】：解：（1）由已知得 c a =√32 .⇒ b a =12 . 点（ √3 . 12 ）代入 x 2a 2 + y 2b 2 =1可得 3a 2+14b 2=1 ．代入点（ √3 . 12 ）解得b 2=1.∴椭圆C 的标准方程： x 24+y 2=1 ．（2）可得A （-2.0）.B （0.1）．设P （m.n ）.m ＞0.n ＞0.且. m 24+n 2=1 PA ： y =n m+2(x +2) .PB ：n−1m x +1 . 可得C （0. 2n m+2 ）.D （ m 1−n ，0 ）．由 {y =n−1m x +1y =2n m+2可得x= m (2n−m−2)(n−1)(m+2) ． S △PCD =12•m (2n−m−2)(n−1)(m+2)•(−n ) =nm 2+2mn−2mn 22(n−1)(m+2) = n(4−4n 2)+2mn (1−n )2(n−1)(m+2) =- n (2n+m+2)m+2 = 12(m −2n −2) ．设P 处的切线为：x-2y+t=0.t ＜0．{x =2y −t x 2+4y 2−4=0⇒8y 2-4ty+t 2-4=0.△=-16t 2+128=0⇒t=-2 √2 ．此时.方程组的解 {x =√2y =−√22即点P （ √2 .- √22 ）时.S △PCD 取得最大值.最大值为 √2 -1．【点评】：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式.考查了推理能力与计算能力.属于难题．。

浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(含精品解析)

杭高2018学年第一学期期末考试高二数学试卷说明：1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟，考试过程中不得使用计算器；2.所有题目均做在答题卷上.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只符—项是符合做目要求的）：1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算出集合后可得两个集合的交集.【详解】，，故，故选B.【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2.“是”成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，必要，若，则或，即不一定成立，所以“是”成立的充分不必要条件，故选A.3.已知椭圆的左焦点为，则点到直线的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】计算出的坐标后再利用点到直线的距离求解即可.【详解】，故，所以，故点到直线的距离为，故选C.【点睛】从椭圆的标准方程中可以得到一些几何量，如长半轴长、短半轴长、焦点坐标等，注意求焦点坐标时要先确定焦点的位置.4.若直线经过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出圆心为，再求出其斜率为，利用斜截式可得直线的一般方程.【详解】圆心为，直线的斜率为，故直线即，故选D.【点睛】直线方程有五种形式，常用的形式有点斜式、斜截式、截距式、一般式，垂直于轴的直线没有点斜式、斜截式和截距式，垂直于轴的直线和过原点的直线没有截距式，注意根据题设所给的条件选择合适的方程的形式.5.已知，是两个不同平面，是三条不同直线，则下列命题正确的是（）A. 若，且，则B. 若，，，，则C. 若，且，则D. 若且，则【答案】D【解析】【分析】在正方体中考虑各选项中的线面关系可得正确选项.【详解】如图，在正方体中，平面，平面，，但平面平面，故A错；平面，平面，，，平面，故B错；平面平面，平面，平面，但与所成的角为，故C错；因同垂直于一条直线的两个平面互相平行，故D正确.综上，选D.【点睛】立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否，因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系，注意有时需要动态地考虑位置关系.6.函数的值域是（）A. 或B. 或C.D. 或【答案】A【解析】试题分析：，根据对钩函数的性质，从而可知值域为或，故选A．考点：函数的值域．7.设满足约束条件则的最大值为A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件的可行域，如图，平移直线，当直线经过点时有最大值，由得，将代入得，即的最大值为，故选B．考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法．【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题．求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值．8.如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（）A. 与是异面直线B.C. ，为异面直线，且D.【答案】C【解析】【分析】可证明平面，再根据异面直线的判断方法可得C是正确的，其他情形可通过反证法或反面情况给予证明或说明.【详解】是共面直线，故A错；若平面，因平面，故，这与矛盾，故B错；因为平面，故平面，因平面，故.由三棱柱可以得到，故，由，可以得到.而，从而有平面，而平面，故，又平面，平面，，故是异面直线，故C正确；若平面，因平面，故.因平面，平面，故，而，故平面，又平面，故，这与矛盾，故D错；综上，选C.【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.9.已知点是双曲线右支上的一点，是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段的中垂线，则双曲线的离心率是（）A. B. 2 C. D. 3【答案】A【解析】【分析】设双曲线的右焦点为，则为直角三角形且，故可得的长，再利用双曲线的定义可得的关系从而求出离心率.【详解】设双曲线的右焦点为，连接，设与渐近线的交点为，则为的中点且，所以且，且.因为，，又，所以即，所以，故选A.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于的不等式或不等式组．10.已知定点都在平面内，，点是平面内异于和的动点，且满足，设与平面所成的角为，二面角的大小为，则（）A. B. C. D. 在大小关系不确定【答案】C【解析】【分析】可证平面，从而利用可计算，它们分别是，根据可得的大小关系．【详解】因为平面，平面，故．又因为，，故平面，所以为与平面所成的角，故且．同理故为二面角的平面角，故由平面，平面，故，所以，因为，故，由都是锐角，故，故选C．【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．二、填空题（本大题有7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）11.已知双曲线：，则的离心率为______；渐近线方程为______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】从标准方程得到基本量后可得双曲线的离心率和渐进线方程．【详解】因为，故，故离心率，渐近线方程为：．【点睛】如果双曲线的方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）．12.已知一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是______，表面积是______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】三视图对应的几何体为如图所示的四棱柱，利用公式可计算其体积和表面积．【详解】三视图对应的几何体如图所示，该几何体的底面为梯形，其面积为，高为，故体积为，侧面积为，故表面积为．故填，．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．13.已知等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则数列的公式______，如果，则______.【答案】(1). (2).【解析】【分析】设等比数列的公比为，则成等差数列可转化为关于公比的方程，解这个方程可得公比，再利用公式计算即可．【详解】设等比数列的公比为，因为成等比数列，则即，因，故即，所以．又，故填．【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质即通过数列下标的特征或数列和式的特征找到合适的数列性质快速解决问题．14.已知，且，，则的最小值为______，的最小值为______..【答案】(1). (2).【解析】【分析】利用消去，利用二次函数的性质可求的最小值，利用基本不等式可求的最小值．【详解】因为，所以，因，故．，当时，有最小值且为．，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为．综上，填，．【点睛】求多元函数的最值，常见的方法有消元法、基本不等式法或线性规划等．消元法要注意变元范围的传递．应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.15.已知，若，则______.【答案】【解析】【分析】利用同角的三角函数的基本关系式和倍角可求.【详解】由题设有，因，故，所以，也就是，故填.【点睛】利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：（1）弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；（2）“1”的代换法：有时可以把看成．16.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】由可知为直径，从而，可设，则就是关于的三角函数式，利用可求最大值．【详解】由可知为直径，从而，设，则，，当时，的最大值为．填【点睛】向量数量积或模长的计算中，注意向已知长度的向量或与已知的角的边有关的向量转化.同时注意寻找在向量变化的过程中确定的量，以便把动态的向量向这些确定的向量转化.17.设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为________.【答案】【解析】【分析】由题意可得F（，0），设P（，y0），要求k OM的最大值，设y0＞0，运用向量的加减运算可得（，），再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值．【详解】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y0＜0，k OM＜0；当y0＞0，k OM＞0．要求k OM的最大值，设y0＞0，则（）（，），可得k OM，当且仅当y02＝2p2，取得等号．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）；18.已知函数（1）求函数的单调递增区间（2）当时，求函数的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助公式可得.（2）求出的范围后可得的值域.【详解】（1），令，则，故的单调递增区间为，（2）当时，，故.故值域为.【点睛】形如的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．19.已知正项数列的首项，前项和满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列是公比为4的等比数列，且也是等比数列，若数列单调递增数列，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）因为，故，所以，整理得到，因为正项数列，故，所以，所以为等差数列且公差为．又，故，所以．（2）由题设有为等比数列，故，整理得到，所以．令，因为单调增数列，故对任意的，总有，所以，整理得到：，因，故，故．【点睛】（1）数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.（2）含参数的数列单调性应根据数列的单调性的定义来判断（即根据的符号来确定）.20.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，线段与的中点分别为（1）求证：（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设的中点为，连接，可证四边形为平行四边形，从而得到平面.（2）建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量求二面角的余弦值.【详解】（1）设的中点为，连接，因为分别为的中点，所以.因为四边形是平行四边形，所以，又，所以，所以四边形为平行四边形.故，而平面，平面，所以平面.（2）以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则，故，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量，所以，而二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.（2）空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.的垂线交抛物线于点.（1）若，且，求直线的方程（2）若，且，求抛物线的方程【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用弦长公式可求直线的斜率，从而得到直线方程.（2）设，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理可得，从而，再根据以及韦达定理得到关于的方程，求出后可得抛物线方程.【详解】（1）抛物线，由得到：，故，解得，故直线的方程为或.（2）直线，由得到：.设，从而，故.故，所以，整理得到：，而，，从而，解得（舎）或.抛物线的方程为.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程，解此方程即可.22.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，并且经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）若是椭圆上两点，且，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由离心率可设椭圆的标准方程为，代入已知的点可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线方程和椭圆的标准方程，消元后利用韦达定理和已知的弦长得到，从而可求出原点到直线距离与的关系式，最后利用换元法求的最大值即得面积的最大值.【详解】（1）设椭圆的方程为，由得，故椭圆方程为，代入点得，故椭圆方程为.（2）当的斜率不存在时，或，此时.当的斜率存在时，设，由得，所以，由得，化简得到.设到直线的距离为，则，令，则，令，则，当且仅当等号成立，故的最大值为，又，故的最大值为.【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.。

浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学(文)

侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（文）高二数学〔文〕试卷一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的〔〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么〔〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为()A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，假设ABE ∆是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e 的取值范围是()A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,1+D.(2,1【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设k 为正实数，假设满足条件)()(y k y k x x -≤-的点(,)x y 都被单位圆覆盖，那么k的最大值为__________、 16、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。

浙江省杭州学军中学2018-2019学年高二上学期末考试数学 PDF版含答案

的斜率为，所以直线的斜率为-2，
所以直线的方程为：
(2)在直线
中，令
即令
.所以直线与两坐
标轴围成的三角形的面积 S=
19.（本题满分 15 分）
解：（1）取 PC 的中点 G，连结 EG，FG，又由 F 为 PD 中点，
则 F G // 1 CD . 2
又由已知有
AE=//
1 2
CD,
FG=//
．
．
(第 4 题)
曲线：与直线有两个交点，则实数的取值范围（）

6.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为 6 的正三角形、侧棱长均为 5，
其正视图，俯视图如图所示，则其侧视图
（）
A.形状是等腰三角形，面积为
B.形状是等腰三角形，面积为
三棱锥
的外接球的体积为
已知两圆
，
的圆心分别为
(第 14 题)
所成角为
，为一个动
点，且

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，则动点的轨迹方程为
设双曲线
的顶点为
，为双曲线上一点，直线交
双曲线的一条渐近线于点，直线和的斜率分别为
，则双曲线离心率
．已知点是正方体

表面上一动点，且满足
为原点，求的值
杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试
高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1. D 2. A 3. D 4. C 5.B 6. D 7. C 8. A

浙江省学军中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

2019学年学军中学高二上期末一、选择题：每小题4分，共40分1. 经过点()1,3A ，斜率为2的直线方程是（）A ．210x y --=B ．210x y ++=C ．210x y +-=D ．210x y -+=2. 椭圆22154x y +=的焦距为（）A ．6B ．3C ．2D ．13. 已知直线m ，n 和平面α，β，γ，下列条件中能推出αβ∥的是（） A ．m α⊂，n β⊂，m n ∥ B ．m α⊥，n β⊥C ．m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥D ．αγ⊥，βγ⊥4. 圆2220x y x +-=和2240x y y ++=的位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切5. 已知a ，b 是异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论中正确的是（） A ．过P 有且只有一条直线与a ，b 都垂直 B ．过P 有且只有一条直线与a ，b 都平行C ．过P 有且只有一个平面与a ，b 都垂直D ．过P 有且只有一个平面与a ，b 都平行6. 如图，ABC △中，AB BC =，120ABC ∠=︒，若以A ，B 为焦点的双曲线的渐近线经过点C ，则该双曲线的离心率为（）ABCD7. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M ，N两点，若MN ≥，则k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[)3,0,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C．⎡⎢⎣⎦D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦BCA8. 正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能．．．是（）A ．0B ．6πC ．3π D ．2π 9.已知两点(A，(B 到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线可作4条，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．01a <<C ．01a <≤D ．02a <<10. 如图，正四面体ABCD 中，P 、Q 、R 在棱AB 、AD 、AC 上，且AQ QD =，12AP CR PB RA ==，分别记二面角A PQ R --，A PR Q --，A QR P --的平面角为α、β、γ，则（） A ．βγα>> B ．γβα>>C ．αγβ>>D ．αβγ>>二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 若圆22210x y ax y +++-=的圆心在直线y x =上，则a 的值是，半径为．12. 若直线1:60l x my ++=与()2:2320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为，它们之间的距离为．13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，外接球的表面积为．14. 已知双曲线22:1x C y m -=与椭圆22195y x +=共焦点，则m 的值为，设F 为双曲线C 的一个焦点，P 是C 上任意一点，则PF 的取值范围是．RQPD CBA 侧视图俯视图正视图15. 异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为．16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在鳖臑P ABC -中，PA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，且1A P A C ==，过点A 分别作AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ，连结EF ，当△AEF 的面积最大时，tan BPC ∠=．17. 已知椭圆22:14x C y +=上的三点A ，B ，C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC△的重心，且BMA △与CMO △的面积之比为32，则直线BC 的斜率为．三、解答题：5小题，共74分18. 已知0x >，0y >，且2520x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值．19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点．（1）求证：BG ∥平面PDE ；（2）求证：AD PB ⊥；F E CA P（3）在棱PC上是否存在一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．0,2且被x轴分成的两段圆弧长之比为1:2，直线l与20.如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点()圆C相交于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．（1）求圆C的方程；（2）求直线OM的斜率k的取值范围．21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AP ⊥，AB CD ∥，且PB BC BD ==，2CD AB ==，120PAD ∠=︒．（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．22. 如图，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，且过点12⎫⎪⎭．点P 为椭圆C 上的动点，且在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D ．DCBAP（1）求椭圆C的方程；△的面积的最大值．（2）求PCD。

浙江省杭州学军中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)

杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()+1=f x cosx sinx 的导数是（）． A. 2+cos x sinx B. 2cos x sinx - C. 2cos x cosx + D. 2cos x cosx -【答案】B 【解析】【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可. 【详解】由()()+1=f x cosx sinx 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin sin cos 2sin f x x x x x x x x x x '=-++⋅=--=-故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数()321f x x x mx +++=是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（）．A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥13．故选：C ．3.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（）．A. 121k + B.112224k k -++C. 121k -+D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k-+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（）． A. 相等 B. 互补 C. 无关 D. 相等或互补【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（）．A.3B.2D. 【答案】D 【解析】【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由135OFA ∠=︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线24y x =可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：1x =-；∴C 点坐标为（-1，0）；又弦AB 过F ，135OFA ∠=︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为1y x =-，又点A 与点B抛物线上∴两方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩，得到2610x x -+=，解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，2232x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故点(32A ++，点(32B --；∴(4CA →=++，(4CB →=-- ∴1cos 3CA CB ACB CA CB→→→→⋅∠==⋅，由于(0,)ACB π∠∈，故sin 3ACB ∠==； sintan cos ACBACB ACB∠∴∠==∠ ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B 【解析】试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD △折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C AB D --的平面角的大小为θ，则sin θ的值等（）．A.34D.45【答案】A 【解析】【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，解CAD ∆即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO CD ⊥，在矩形ABCD 中，CD BC ⊥，且AO 交BC 于点O ，CD \^平面ABC ，又AB Ì平面ABC ，故CD AB ⊥，又在矩形ABCD 中，DA AB ⊥，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ；又AC ⊂平面ACD ，故AB AC ⊥，由于CD AB ⊥，AB AC ⊥，平面CAB 平面DAB AB =，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，即=CAD θÐ，在CAD ∆中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD AC ⊥，又矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，故3C D A B ==，4AD BC ==，故3s i n 4CD AD θ== 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。

【全国校级联考】浙江省杭州地区(含周边)重点中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题(原卷版)

2017学年第一学期期末杭州地区（含周边）重点中学高二年级数学学科试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（）A. 圆锥B. 圆柱C. 圆台D. 球2. 抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.3. 直线的倾斜角大小是（）A. B. C. D.4. 已知平面与两条直线，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要5. 两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（）A. 两条平行直线B. 两条相交的直线C. 一条直线与直线外一个点D. 一条直线6. 直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是（）A. 3B.C. 2D.7. 一个结晶体的形状是平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线的长度是（）...A. B. 2 C. D.8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在点，使，且线段的中点在轴上，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.9. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 410. 如图，正方体的棱长为1，分别为线段上两个动点且，则下列结论中正确的是（）A. 存在某个位置，使B. 存在某个位置，使平面C. 三棱锥的体积为定值D. 的面积与的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11. 双曲线的焦距是__________；渐近线方程是__________．12. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为__________；最长边的大小是__________．13. 长方体中，，，则异面直线与所成角的大小是__________；与平面所成角的大小是__________．14. 点是抛物线上任意一点，则点到直线距离的最小值是__________；距离最小时点的坐标是__________．15. 已知向量，，，若是共面向量，则__________．16. 矩形与所在平面相互垂直，，现将绕着直线旋转一周，则在旋转过程中，直线与所成角的取值范围是__________．17. 若椭圆与双曲线在第一象限内有交点，且双曲线左、右焦点分别是，，点是椭圆上任意一点，则面积的最大值是_________．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 已知直线与圆相交于两个点.（1）求圆的圆心与半径；（2）若，求实数的值.19. 如图，三棱柱中，，，平面，分别是的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 平面上的动点到定点的距离与到直线的距离相等.（1）求点的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹交于两个不同的点，若，求直线的方程.21. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，是重心，是边上点，且.（1）当时，求证：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为时，求的值.22. 如图，已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点。

浙江省杭州市学军中学高二上学期期末考试数学试题

DB A 第6题杭州学军中学2017-2018学年第一学期期末试卷高二数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a >b ，c >d ，且c ，d 均不为0，那么下列不等式成立的是（ ▲ ）A ．ad >bcB ．ac >bdC ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋d 2．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题为（ ▲ ）.A 若21x ≥，则1x ≥或1x ≤- .B 若11x -<<，则21x <.C 若1x ≥或1x ≤-，则21x > .D 若1x ≥或1x ≤-，则21x ≥ 3．“4a =”是“直线+20ax y =与直线21x y +=平行”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中真命题的个数为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(000)，，，(1,0,1)，(0,1,1)，1(,1,0)2，绘制该四面体三视图时, 按照下图所示的方向画正视图，则得到侧（左）视图为（ ▲ ）6．如图，已知三棱锥D ABC -，记二面角C AB D --的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成角是1θ，直线DA 与BC 所成角是2θ，则（ ▲ ）1.A θθ≥1.B θθ≤2.C θθ≥2.D θθ≤7．若不等式2||+|2|x a x a a --≥对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（▲）第9题.1A a ≤或3a ≥ .1B a ≤ .C 2a ≥ .D 2a ≤或3a ≥8．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为（ ▲ ） A ．150° B ．135° C ．120° D ．不存在 9．如图，棱长为2的正方体ABCD -A ’B ’C ’D ’中，E 是棱CC ’的中点，点P ，Q 分别为面A ’B ’C ’D ’和线段B ’C 上的动点，则∆PEQ 周长的最小值为（ ▲ ）A.D.10．已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为（ ▲ ）.3A.4B .2C.D 二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11. 若22120x y x y a++++=表示圆方程，则a 的取值范围是_____. 12. 若x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则3x y +的最大值为_____.13. 某简单几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______. 14. P 是二面角--AB αβ棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM ，PN ，如果=4BPM BPN π∠=∠，MPN ∠=3π，那么二面角--AB αβ的大小为_____. 15. 设双曲线2213y x -=的左，右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为钝角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是_________. 16. 已知实数若x ，y 满足0x y >>且2x y +=，则413x y x y++-的最小值是____. 17. 在平面直角坐标系中，定义两点11(P x 1,)y ，222(,)P x y 间的“L 距离”为||12P P ||=1212||||x x y y -+-，则平面内与(1,1)A ，(11)B -，，(11)C --，，(11)D -，的第13题“L 距离”之和等于10的点轨迹长为_____.三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18.（本小题满分8分）如图，已知圆O ：224x y +=，过点P (1，0)的直线l 交圆O 于A ，B 两点. （Ⅰ）若直线l 斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA ，OB 为邻边，作菱形OACB ，求点C 的轨迹方程.19.（本小题满分10分）如图，设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离为1-AF .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）已知B ，C 为抛物线上的动点，且0OC OB ⋅=，直线BC 与x 轴交于点P ，求PB PC 的最小值.y lxyx20.（本小题满分12分）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF＝1，，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上，．（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF//平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．21.（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>，点3(1,)2P在椭圆上，不过原点的直线:2=0l x y m++与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q(01)x<≤是抛物线2123C x y=：上动点，过点Q作抛物线1C的切线交椭圆于M，N，求OMN∆的面积的最大值.yx杭州学军中学2017学年第一学期期末试卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

浙江省学军中学09-10学年高二数学上学期期末试题(理)新人教

某某学军中学2009学年第一学期期末考试高二数学（理）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分1．若”133“”3“,22表示双曲线方程是则=+-->∈k y k x k R k 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（） A 、1，2，3，4，5；B 、5，16，27，38，49； C 、2，4，6，8，10；D 、4，13，22，31，40． 3. 右程序运行后输出的结果为( ) A. 3 4 5 6 B. 4 5 6 7 C. 5 6 7 8 D. 6 7 8 94.用6种不同的颜色给右图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中A 、B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有．（） A ．150种 B ．1296种 C ．432种 D ．216种 5．直线y x b =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O为坐标原点，且OA OB ⊥则b 的值为（） A ．2 B ．-2 C ．1 D ．-1 6.圆锥曲线221mxny +=与直线1y x =-+相交于A ，B 两点，过原点和线段AB 中点的直线斜率为22，则mn 的值是（） A ．2- B ．22- C ．22 D ．32-7．设n nn n a a a a x a x a x a a x x 24202222102,)1(++++++++=++ 则等于（）A ．n3B ．23nC ．213-nD ．213+n8．10()a b c d +++展开式的项数有（）A ．60项B ．268项C ． 286项D ．88项9．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，x=1 y=1WHILE x<=4Z=0WHILE y<=x+2 Z=Z+1 y=y+1 WEND PRINT Z x=x+1 y=1 WEND END第3题并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都为t ，那么下列说法正确的是（） A ．l 1与l 2有交点（s ，t ） B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是（s ，t ）C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合10．设AB 为椭圆22221x y a b +=过左焦点(,0)F c -的弦，若在直线2ax c=-上存在一点P ，使ABP ∆成正三角形，则椭圆离心率e 的X 围是（） A．0e <<B1e << C．0e << D1e << 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．11．某所大学的计算机工程学院的大一新生有160人，其中男生95人，女生65人，现在要抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样，女生应抽取_____________人． 12．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，求时速在[60,70)的汽车大约有多少辆_________________． 13．投掷红、蓝两颗均匀的骰子，观察出现的点数，至多一颗骰子出现偶数点的概率是_____14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，某某数p 的取值X 围_____________．15.已知抛物线)0(2≠=a ax y 的焦点为F ，准线l 与对称轴交于点R ，过抛物线上一点P(1,2）作PQ ⊥l ，垂足为Q,那么焦点坐标为_____________．梯形PQRF 的面积为_____________．16．已知命题P ：不等式}10|{01<<<-x x x x的解集为；命题q ：在△ABC 中，“A > B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真其中正确结论的序号是.（请把正确结论的序号都．填上）三、解答题：本大题共5小题，8＋8＋8＋12＋14=50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）列出解出该题的人数ξ的概率分布表，（3）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．18．在01,01x y <<<<的条件下，任取,x y 两个数，求取出的,x y 与1恰好为钝角三角形的三条边长的概率．19．求证：若a 、b 、c 均为实数且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，则a 、b 、c 中至少有一个大于0．）20．P 为椭圆2212516x y +=上一点，左、右焦点分别为F 1，F 2．（1）若PF 1的中点为M ，O 为原点，求证：1152MO PF =-（2）若01260F PF ∠=，求12PF PF 的值．（3）求 12PF PF 的最值．21.双曲线22221x y a b -=的中心是O ，它的虚轴长为62，右焦点F （c ,0）（c ＞0），直线2:a l x c=与x 轴交于点A ，且| OF |= 3 | OA |．过点F 的直线'l 与双曲线交于P 、Q 两点．（Ⅰ）求双曲线的方程及离心率；（Ⅱ）若AQ AP •=0，求直线PQ 的方程．（Ⅲ）当直线'l 转动时，求证：PAF QAF ∠=∠附加题（供十二班做）10分边长为2的正三角形ABC ，O 是三角形重心，沿OB 把三角形OBC 翻折到使3AOC π∠=（右图所示）．（1）求AB OC 与所成角的余弦值；（2）求OAB OC 与面所成角的正弦值；（3）求二面角OA B C －－的正切值AA B某某学军中学2009学年第一学期期末考试高二数学（理）答卷一、选择题（3分×10=30分）做在答题卡上。

2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中考试数学试题【名校试卷】Word版含解析

2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．直线的倾斜角是 A ．B ．C ．D ． -2．如果直线与直线互相垂直，则实数A ． 1B ．C ．D ．3．设，满足约束条件，则的最小值是A ． 1B ．C ．D ．4．圆上的点到直线的距离的最大值是A ．B ．C ．D ．5．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是A ．B ．C ． 6D ．6．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1 所成角的正弦值为A ．B ．C ．D ．7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角的余弦值是A ．B ．C ．D ．8．已知集合 ,集合 ,若 ,则实数可以取的一个值是A ．B ．C ．D ．9．已知圆 : ,过轴上的点存在圆的割线 ,使得 ,则的取值范围是A ．B ．C ．D ．10．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．二、填空题11．直线关于直线对称的直线方程是________________ 12．如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则 _______．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号13．已知P(x，y)满足，则点构成的图形的面积为________．14．有且只有一对实数同时满足：与，则实数的取值范围是_______________15．异面直线成角，直线，则直线所成角的范围是_____________16．在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l交于另一点D．若，则点A的坐标为_________ 17．在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心C在直线上，若圆上存在点，使，则圆心的横坐标的取值范围是_______________三、解答题18．已知圆,直线(1)求证:不论取何实数,直线与圆总有两个不同的交点；(2)设直线与圆交于点，当时，求直线的方程.19．已知菱形的边长为2，，四边形是矩形，且平面，．（1）求证：平面；（2）设中点为，求证平面．20．已知以点（，且）为圆心的圆与轴交于点，，与轴交于点，，其中为坐标原点．（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．21．如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，且．（1）证明：；（2）证明：直线与平面相交；（3）求直线与平面所成角的正弦值.2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高二上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．A【解析】【分析】根据直线的斜率，利用直线倾斜角的正切等于直线的斜率可算出所求直线的倾斜角.【详解】直线化为所以斜率，设直线的倾斜角为,则，结合，可得，故选A.【点睛】本题给出直线的方程，求直线的倾斜角，着重考查了直线的基本量与基本形式等知识,属于基础题.2．B【解析】【分析】由直线的垂直关系可得，解方程可得结果.【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，直线与直线互相垂直，，解得，故选B.【点睛】对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）；（2），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.3．C【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】满足约束条件的可行域如图：化为，平移直线，经过可行域的时，目标函数取得最小值，由，解得，则的最小值是，故选C .【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．B【解析】【分析】先将圆转化为标准方程：，可得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可.【详解】圆可化为标准形式：，圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，则所求距离最大为，故选B.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及点到直线距离公式，属于难题.解答圆上点到直线距离的最值的步骤是：先求出圆心到直线的距离，然后加半径可得最大值，减半径可得最小值.5．D【解析】【分析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.【详解】点关于轴的对称点坐标是，设点关于直线的对称点，由，解得，故光线所经过的路程，故选D.【点睛】解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.6．D【解析】【分析】连接,则为与平面所成角，在计算出此角的正弦值即可.【详解】连接,在长方体中，平面，则为与平面所成角，在中，，故选D.【点睛】本題主要考查了求线面角，属于中档题. 根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，但这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解.7．D【解析】【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论.【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则可得，，设异面直线与所成的角为,则，故选D.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.8．A【解析】【分析】化简集合，可知分别表示圆及其内部，由两圆内切或内含可得，进而可得结果.【详解】集合，集合，分别表示圆及其内部，，则两圆内切或内含，且圆心距为，将选项代入，时，左边等于，不等式成立，成立，故选A.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为，两圆心间的距离，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系.9．C【解析】【分析】求得圆心，根据割线定理可得，再利用与，可得，从而可得结果【详解】由圆，可得圆心，根据割线定理可得，，，，化为，，解得，则的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查圆的方程与几何性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于难题.10．A【解析】【分析】连接,得出点在平面中，问题转化为在平面内直线上取一点，求点到定点的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点关于直线到直线的距离，从而可得结果.【详解】图1连接,则，点在平面中，且，如图1所示，在中，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，如图2所示，图2,设点关于直线的对称点为，的方程为，①，直线的方程为，②由①②组成方程组，解得，直线与的交点，对称点，，最小值为到直线的距离为，故选A.【点睛】求最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.11．【解析】【分析】先求出直线与直线的交点，再求得关于的对称的点，利用两点式可得结果.【详解】根据题意，由，得，即交点为，点在直线上，点关于直线对称点为，则直线关于直线对称的直线过点和，故所求直线方程为，即，故答案为.【点睛】本题主要考查直线关于直线对称的直线方程，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.12．【解析】【分析】由三视图知棱柱的高是，底面的三角形的高为,可表示出三棱柱的底面积，再由体积公式建立方程求出值.【详解】由三视图知棱柱的高是，底面的三角形的高是,又正三棱柱的底面是正三角形,故底面三角形的边长为，故三棱柱的体积是积是，解得，故答案为.【点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相关问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体.13．2【解析】【分析】设点，则，可得，动点的可行域为平行四边形及其内部区域，数形结合求得点构成的面积.【详解】令，由可得满足，在平面内画出点所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为，故答案为2.【点睛】本题考查线性规划，可行域的图形的面积的求法，正确画出可行域是解题的关键，考查计算能力，作图能力，意在考查数形结合思想以及转化与划归思想的应用，属于中档题.14．【解析】。

2017-2018学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．圆台D．球2．（4分）抛物线y＝x2的准线方程是（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝D．y＝3．（4分）直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是（）A．﹣B．C．D．4．（4分）已知平面α与两条直线l，m，l⊥α，则“m∥l”是“m⊥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要5．（4分）两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是（）A．两条平行直线B．两条相交的直线C．一条直线与直线外一个点D．一条直线6．（4分）l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则a2+b2的最小值是（）A．3B．C．2D．7．（4分）一个结晶体的形状是平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是（）A．B．2C．D．8．（4分）已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在点（a＞0，b＞0），使∠F1AF2＝60°，且线段AF1的中点在y轴上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．29．（4分）已知直线l：x cosα+y sinα﹣1＝0（a∈R）与圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4相切，则满足条件的直线l有（）条A．1B．2C．3D．410．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段A1B1，CC1上两个动点且EF＝，则下列结论中正确的是（）A．存在某个位置E，F，使BE⊥DFB．存在某个位置E，F，使EF∥平面A1BCD1C．三棱锥B1﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．（6分）双曲线x2﹣＝1的焦距是；渐近线方程是．12．（6分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为；最长边的大小是．13．（6分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，则异面直线AA1与BD1所成角的大小是；BD1与平面ADD1A1所成角的大小是．14．（6分）点P是抛物线x2＝4y上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是；距离最小时点P的坐标是．15．（4分）已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．16．（4分）矩形ABCD与ABEF所在平面相互垂直，AD＝AF＝AB，现将△ACD绕着直线AC旋转一周，则在旋转过程中，直线AD与BE所成角的取值范围是．17．（4分）若椭圆+＝1（t＞15）与双曲线﹣＝1在第一象限内有交点A，且双曲线左、右焦点分别是F1，F2，∠F1F2A＝120°，点P是椭圆上任意一点，则△PF1F2面积的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（14分）已知直线l：ax﹣2y+1＝0与圆C：x2+y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两个点．（1）求圆C的圆心与半径；（2）若|AB|＝2，求实数a的值．19．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，AA1⊥平面ABC，E，F分别是BB1，A1C1的中点．（1）求证：AF⊥CE；（2）求平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．（14分）平面上的动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等．（1）求点P的轨迹方程C；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两个不同的点，若＝3，求直线l的方程．21．（16分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，AB＝5，BC＝7，AC＝P A ＝8，∠P AC＝，G是△ABC重心，E是边PC上点，且＝λ．（1）当λ＝时，求证：EG∥平面P AB；（2）若PC与平面ABE所成角的正弦值为时，求λ的值．22．（16分）如图，已知椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（，1）作圆C：（x﹣）2+y2＝r2（0）的切线分别交椭圆于A，B两点，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，求出这定值；若不是，说明理由．2017-2018学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由圆锥的结构特征可知，直角三角形绕着它的一条直角边旋转而成的几何体是圆锥．故选：A．2．【解答】解：抛物线y＝x2即x2＝y，即有2p＝1，即p＝，可得准线方程为y＝﹣即y＝﹣．故选：B．3．【解答】解：直线x+3y+4＝0的斜率为﹣，∵tan＝﹣，∴直线x+3y+4＝0的倾斜角大小是，故选：C．4．【解答】解：l⊥α，∵m∥l⇒m⊥α，m⊥α⇒m∥l，∴“m∥l”是“m⊥α”的充要条件．故选：C．5．【解答】解：在A中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，两条平行的棱A1B1和D1C1在底面ABCD上的射影是两条平行线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条平行线，故A错误；在B中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面的两条相交的对角线A1C1，B1D1在底面ABCD上的射影是两条相交的直线，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是两条相交的直线，故B错误；在C中，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱A1B1和CC1在底面ABCD上的射影是一条直线与直线外一个点，故两条异面直线在同一个平面上的射影可能是一条直线与直线外一个点，故C错误；在D中，当两直线在同一个平面上的射影是一条直线时，这两个直线平行或相交，∴两条异面直线在同一个平面上的射影不可能是一条直线，故D正确．故选：D．6．【解答】解：根据题意，圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0即（x+2）2+（y﹣1）2＝4，圆心为（﹣2，1），半径r＝2；若l：ax+2by﹣4＝0被圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0所截弦长为4，则直线l经过圆心（﹣2，1），则有﹣2a+2b﹣4＝0，即b＝a+2，则a2+b2＝a2+（a+2）2＝2（a+1）2+2≥2，即a2+b2的最小值是2；故选：C．7．【解答】解：∵＝++∴＝（++）2＝+++2•+2•+2•＝1+1+1+2×＝6，∴|AC1|＝＝．故选：D．8．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由AF1的中点在y轴上，可得A的横坐标为c，即有AF2⊥x轴，如图所示；令x＝c，可得y＝±b＝±，在直角三角形AF1F2中，∠F1AF2＝60°，可得tan∠F1AF2＝＝＝，即为，即e2﹣2e﹣＝0，e＞1，解得e＝，或e＝（不合题意，舍去）；∴双曲线的离心率是．故选：B．9．【解答】解：由已知，直线l满足到原点的距离为1，到点（2，）的距离为2，满足条件的直线l即为圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4的公切线，∵圆x2+y2＝1和圆（x﹣2）2+（y﹣）2＝4外切，∴这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，∴满足条件的直线l有3条．故选：C．10．【解答】解：可设EB1＝m，CF＝n，可得m2+1+（1﹣n）2＝，即m2+（1﹣n）2＝，过C作CH∥BE，交C1D1于H，若BE⊥DF，可得CH⊥DF，即有mn＝1，这与m，n小于1矛盾，故A不成立；连接EH，可得EH∥A1D1，连接FH，若FH∥CD1，即有C1H＝C1F，即m＝1﹣n，可得m＝＜1成立，此时平面EFHEF∥平面A1BCD1，可推出EF∥平面A1BCD1，故B成立；由V＝V＝h＝h••1•1＝h，h为E到平面BC1的距离，h在变化，可得三棱锥B1﹣BEF的体积在变化，故C错误；由A到直线EF的距离和B到直线EF的距离不相等，可得△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分，将答案填在答题纸上）11．【解答】解：双曲线x2﹣＝1，可知a＝1，b＝，c＝2，所以双曲线的焦距是4，渐近线方程为：y＝x．故答案为：4；y＝x．12．【解答】解：由题意，几何体的直观图如图：是长方体的一部分，是三棱锥P﹣ABC，几何体的体积为：＝，最长的棱长为PC＝＝，故答案为：；．13．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝，∵AA1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线AA1与BD1所成角（或所成角的补角），BD1＝＝2，AD1＝＝＝，∴cos∠B1BD1＝＝，∴∠B1BD1＝45°，∴异面直线AA1与BD1所成角的大小是45°；∵AB⊥平面ADD1A1，∴∠BD1A是BD1与平面ADD1A1所成角，cos∠BD1A＝＝，∴∠BD1A＝30°，∴BD1与平面ADD1A1所成角的大小是30°．故答案为：45°，30°．14．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标（0，1）如右图，设点P（a，b）；则由图象可知，以点P为切点的直线与y＝x﹣2平行时，P到直线距离取得最小值，此时P到直线距离d＝＝，点P到直线y＝x﹣2距离的最小值是：．由y′＝x＝1可得，x＝2，故点P（2，1）；故答案为：；（2，1）．15．【解答】解：∵，，是共面向量，∴存在实数m，n，使得＝m+n，∴，解得m＝﹣1，n＝1，x＝﹣2．故答案为：﹣2．16．【解答】解：∵AF∥BE∴∠F AD（或其补角）即为异面直线AD与BE所成的角，在初始位置，直线AD与BE所成角为，如图，当△ADC旋转至△AD′C的位置，即平面AD′C⊥平面ABCD时，AD与BE所成角最小，即∠F AD′，在矩形ABCD中，∵，∴∠DAC＝，即∠D′AC＝，∴∠F AD′＝，∴直线AD与BE所成角的取值范围为[]，故答案为：[]．17．【解答】解：由t+10＞t﹣15知椭圆的焦点在x轴上，又t+10﹣t+15＝25＝16+9，所以椭圆与双曲线有相同的焦点，c＝5．由于，所以．又|AF1|2＝+|AF2|2﹣2|F1F2||AF2|cos∠F1F2A，所以＝100+﹣2×10×（﹣4）×（﹣），所以＝10，所以t＝90，故椭圆的方程为：＝1．当P是椭圆的短轴端点时，△PF1F2的面积最大，且最大值为×10×5＝25．故答案为：25．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．【解答】解：（1）圆C的圆心为（1，0），半径r＝2，（2）令C到直l：ax﹣2y+1＝0的距离为d，则|AB|＝2，∴（）2＝4﹣（）2解得a＝．19．【解答】解：（1）由题知可以B为原点，分别以BC，BA，BB1为x，y，z轴建系如图所示则有A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，0，1），F（1，1，2）故有：．由：知：CE⊥AF．（2）假设平面AEF的法向量为由，可得又平面ABC的法向量∴＝．即平面AEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值．20．【解答】解：（1）由抛物线定义知，点P的轨迹是以F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，且p＝2，则其轨迹方程为C：y2＝4x；（2）设AB的方程：x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y2﹣4ty﹣4＝0．y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，①，，由＝3，得（1﹣x1，﹣y1）＝3（x2﹣1，y2），则y1＝﹣3y2，②由①②，得，解得t＝．故所求直线l的方程是x＝，即y＝±（x﹣1）．21．【解答】解：（1）证明：由λ＝时，＝，又G是△ABC的重心，取AB边中点M，则M、G、C三点共线；且有＝＝，∴EG∥PM，又EG⊄平面P AB，PM⊂平面P AB，∴EG∥平面P AB；（2）△ABC中，由余弦定理知cos∠BAC＝＝，∴∠BAC＝；故由题意可以A为原点，AC为y轴，平面ABC为xoy平面建系如图所示；则A（0，0，0），B（，，0），C（0，8，0），P（0，﹣4，4）；∴＝（0，12，﹣4）；设E（x，y，z），＝λ，∴（x，y+4，z﹣4）＝λ（0，12，﹣4），∴E（0，12λ﹣4，（1﹣λ）4）；设平面ABE的法向量为＝（x，y，z），由，得；不妨设x＝1，得y＝﹣，z＝，∴＝（1，﹣，）；设PC与平面ABE所成的角为θ，则sinθ＝＝|cos＜，＞|＝||＝||，令t＝，化简得：11t2﹣30t+19＝0，解得t＝1或t＝；由t＝1求得λ＝，由t＝求得λ＝；综上，λ＝或λ＝．22．【解答】解：（1）∵椭圆E：的离心率为，P（，1）是椭圆E上一点．∴，解得a＝2，b＝，∴椭圆E的方程为＝1．（2）由题意：切线P A，PB斜率相反，且不为0，令P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k．P A的方程：y﹣1＝k（x﹣），即y＝kx+（1﹣），联立，∴（1+2k2）x2+4k（1﹣）x+2（1﹣）2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则有＝﹣，解得x 1＝，代入y＝kx+（1﹣），得y1＝，同理，y2＝，∴AB的斜率k AB＝＝＝，故AB的斜率为定值．。

浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(理科)(10月份) Word版含解析

2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=；若f（a）=﹣1，则a=．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则平面区域内必存在一个点在直线x0﹣2y0=3的下方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点A的坐标为（﹣m，m），直线x0﹣2y0=3的斜率为，截距式方程为y0=x0﹣，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则点A（﹣m，m）必在直线x﹣2y=3的下方，即﹣m﹣2m＞3，解得m＜﹣1．故m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）．故选：D．7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征．【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==∴tan2θ=﹣1=﹣1=，∴tanθ==≤=（当且仅当x=时取等号）；所以f（x）关于x先递增后递减．故选：C．8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0或2，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心、半径，由直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）=0，解得m=0或m=2．圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，∵|PC|==，∴最短弦长为：2=2．故答案为：0或2，2．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=5；若f（a）=﹣1，则a=1或．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；故答案为：5；1或．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据条件利用向量法得到=++，利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就．【解答】解：由题意得⊥，，设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A﹣CD﹣B的夹角为θ，则＜，＞=θ，∵=++，∴平方得2=2+2+2+2•+2•+2•，设AD=x，∵BC=CD=2，AB=3∴9=x2+4+4﹣4cosθx，即x2﹣4cosθx﹣1=0，即cosθ=∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣1≤≤1，即，即，则．∵x＞0，∴﹣2≤x≤+2，即AD的取值范围是，故答案为：14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．【考点】基本不等式．【分析】a2﹣ab+b2=3，可得ab+3=a2+b2≥2|ab|，因此﹣1≤ab≤3，令ab=t∈[﹣1，3]．==t﹣2+=f（t）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a2﹣ab+b2=3，∴ab+3=a2+b2≥2|ab|，∴﹣1≤ab≤3，当且仅当a=b=±时取右边等号，ab=﹣1时取左边等号．令ab=t∈[﹣1，3]．则==t﹣2+=f（t）．f′（t）=1﹣==∴f（t）在[﹣1，3]上单调递增．f（﹣1）=0，f（3）=．∴f（t）∈．故答案为：．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到= [λ+（1﹣）]，展开多项式乘多项式，求得=1+，再求出，代入投影公式，对λ分类求解得答案．【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，则= [λ+（1﹣）]=λ+（1﹣），又||=，||=1，∠AOB=45°，∴由余弦定理求得||=1，∴=λ+（1﹣）×=1+，===，故在上的投影=．当λ＜﹣2时，上式=﹣==∈；当λ≥﹣2时，上式=；①λ=0，上式=；②﹣2≤λ＜0，上式=∈；③λ＞0，上式=∈．综上，在上的投影的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求tan（B+C）=﹣，即可解得A的值．（Ⅱ）由已知得，由△ABC为锐角三角形，且，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得⇒∴（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且∴∴．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB=CD=DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB=BD=，AB=，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），=（，2，0）．设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，∴，取x=，得=（，﹣1，），∴cos＜，＞===﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）按照x与1进行讨论，分离常数得a≤，令φ（x）=，去掉绝对值符号化简解析式，由一次函数的性质分别求出φ（x）的范围，由恒成立问题求出a 的范围，最后取并集；（Ⅱ）由题意求出h（x），求出对称轴，由区间和对称轴对a进行分类讨论，分别由二次函数的性质判断出h（x）在区间上的单调性，并求出对应的最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；…②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，…所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…（Ⅱ），…∵a≤0，∴，①当时，即﹣2≤a≤0，（x2+ax ﹣a﹣1）max=h（2）=a+3，∵，∴h（x）max=a+3，…②当时，即﹣4≤a＜﹣2，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0，，此时，…③当时，即a＜﹣4，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0（x2+ax﹣a﹣1）max=h（1）=0，此时h（x）max=0，…综上：h（x）max=t（a）=，∴t（a）min=0．…19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PA直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1520．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）由题意知，从而可得a n+1＞a n＞a1≥1，再化简可得，（Ⅱ）化简，从而可得﹣＜＜﹣，从而利用累加法可证明a n+1＜n+1，再由a n≤n可得＞，从而证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴a n+1＞a n＞a1≥1，∴．（Ⅱ）∵，∴0＜＜1，即﹣=＜＜﹣，累加可得，﹣＜1﹣，故a n+1＜n+1，另一方面，由a n≤n可得，原式变形为故累加得，故＜a n+1＜n+1．2016年8月20日。

浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(精品解析)

，设与平面
所成的角为，二面角
的大小为，则（）
A.
B.
C.
D. 在大小关系不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
可证平面，从而利用
可计算
，它们分别是
，根据
可得的大小关系．
【详解】因为平面，平面，故
．
又因为
，
，故
平面，所以为与平面所成的角，故
且
．同理
故为二面角
的平面角，故
由
平面，
平面，故
，所以
，
因为
，故
，由都是锐角，故
，故选 C．
【点睛】空间中的角的计算，应通过构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算．注意线面角必须依
据线面垂直来构造，二面角的平面角需构造与棱垂直的平面．
二、填空题（本大题有 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分）
若平面
因为
平面
，因平面
，故
平面
，故，因
，这与平面，故
矛盾，故 B 错； .由三棱柱
可以得到
，故
，由
，
可以得到
.而
，从而有平面
，
而
平面
，故
异面直线，故 C 正确；
，又平面
，
平面
，
，故
是
若
平面，因
平面，故
.因
平面
，
平面
，故
，而
，故
平面
，又
平面
，故
，这与
矛盾，故 D 错；综上，选 C. 【点睛】异面直线的证明可以用判断定理（即与平面相交的直线与平面内不过交点的直线的是异面直线），也可以用反证法来说明.关于线面关系的判断题，也可通过反证法来说明.

2018-2019学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷1.（单选题，4分）复数3−i1−i等于（）A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i2.（单选题，4分）已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(√5，0)，则其渐近线的方程为（）A. y=±14xB.y=±4xC. y=±12xD.y=±2x3.（单选题，4分）用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A.假设a，b，c都小于0B.假设a，b，c都大于0C.假设a，b，c中都不大于0D.假设a，b，c中至多有一个大于04.（单选题，4分）已知直线l⊥平面α，直线m || 平面β，则“α || β”是“l⊥m”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件5.（单选题，4分）已知椭圆x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）与抛物线x2=2py（p＞0）的交点为A，B．A，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A. √72B. 12C. √22D. √326.（单选题，4分）设直线l：mx+（m-1）y-1=0（m∈R），圆C：（x-1）2+y2=4，则下列说法中正确的是（）A.直线l与圆C有可能无公共点B.若直线l的一个方向向量为a⃗ =（1，-2），则m=-1C.若直线l平分圆C的周长，则m=1或m=0D.若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为2 √37.（单选题，4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F || 平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（）① 点F的轨迹是一条线段② A1F与D1E不可能平行③ A1F与BE是异面直线④ tanθ≤2√2A.1B.2C.3D.48.（单选题，4分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2= π3，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（）A. √3B. √33C. √32D.19.（填空题，4分）抛物线y=2x2的焦点坐标是___ ．10.（填空题，4分）设平面α的法向量为n1⃗⃗⃗⃗⃗=(1，−2，2)，平面β的法向量为n2⃗⃗⃗⃗⃗=(2，λ，4)，若α⊥β，则|n2⃗⃗⃗⃗⃗| =___ ．11.（填空题，4分）用数学归纳法说明：1+ 12+13+⋯+12n−1＜n(n＞1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是___ 项．12.（填空题，4分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为___ ．13.（填空题，4分）圆x 2+y 2-4x-2y-8=0关于直线ax+2by-2=0（a ，b ＞0）对称，则 1a +4b的最小值为___ ．14.（填空题，4分）已知F 是双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）的、右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点， OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =| OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2，直线OA 的方程y= 2√33x ，则双曲线的离心率为___ ． 15.（填空题，4分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB || CD ，∠ABC=90°，AB=1，AC=CD=DA=2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD'M ，当平面AD'M 垂直于平面ABC 时，线段PD'长度的最小值为___ ．16.（问答题，9分）已知命题p ：方程x 2+y 2-4x+2my+2m 2-m+2=0表示圆；命题q ：方程x 2m−1 + y 25−a =1表示焦点在y 轴上的椭圆．（Ⅰ）若命题p 为真命题时．求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．17.（问答题，10分）若a 1＞0，a 1≠1，a n+1= 2a n 1+a n（n=1，2，…）．（1）求证：a n+1≠a n ；（2）令a 1= 12 ，写出a 2，a 3，a 4，a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ，并用数学归纳法证明．18.（问答题，10分）在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=12BC=1，E是PC 的中点，平面PAC⊥平面ABCD．（1）证明：ED || 平面PAB；（2）若PC=PA=√7，求二面角A-PC-D的余弦值．19.（问答题，11分）已知椭圆E：x2a2+y24=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为√53，点P是直线x=- √5a25上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•QF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0．（1）试求出实数a；（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足|PM||PN|=|MH||HN|，证明点H恒在一条定直线上．。

浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析卷)

2019学年学军中学高二上期末一、选择题：每小题4分，共40分1. 经过点()1,3A ，斜率为2的直线方程是（）A. 210x y --=B. 210x y ++=C. 210x y +-=D. 210x y -+=【答案】D【解析】【分析】根据直线的点斜式方程写出直线方程，再化成一般式方程即可.【详解】由直线点斜式得32(1)y x -=-，化为一般式得210x y -+=.故选：D【点睛】本题考查了直线点斜式方程，属于基础题. 2. 椭圆22154x y +=的焦距为（） A. 6B. 3C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程求出22,a b 的值，再利用,,a b c 之间的关系，求出c ，最后求出焦距即可.【详解】因为25a =，24b =，得1c ==，所以焦距为22c =.故选：C【点睛】本题考查了根据椭圆的标准方程求椭圆焦距问题，属于基础题.3. 已知直线m ，n 和平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是（）A. m α⊂，n β⊂，//m nB. m α⊥，n β⊥C. m α⊂，n ⊂α，//m β，//n βD. αγ⊥，βγ⊥【答案】B【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和线面垂直的性质直接判断即可.【详解】A ：两个平面相交时，两个平面存在互相平行的直线，故本选项不正确；B ：垂直于同一直线的两平面平行，故本选项正确；C ：根据面面平行的判定定理可知中：只有当直线m ，n 相交时，才能得到面面平行，故本选项不正确；D ：两个平面可以相交，故本选项不正确.故选：B【点睛】本题考查了面面平行的判定定理的应用，属于基础题.4. 圆2220x y x +-=与圆2240x y y ++=的位置关系是（） A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】先将两圆的方程化为标准方程，再根据圆与圆的位置关系的判断方法得到结论.【详解】圆2220x y x +-=化为标准方程为：22(1)1x y -+=圆2240x y y ++=化为标准方程为：22(2)4x y ++==212113=-<<+=r r r r∴两圆相交故选：C【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5. 已知a ，b 是异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论中正确的是（）A. 过P 有且只有一条直线与a ，b 都垂直B. 过P 有且只有一条直线与a ，b 都平行C. 过P 有且只有一个平面与a ，b 都垂直D. 过P 有且只有一个平面与a ，b 都平行【答案】A【解析】【分析】根据垂线的唯一性、平行公理，线面垂直的性质、线面平行性质进行逐一判断即可.【详解】A ：作a 的平行线c 与b 共面，若过P 的直线与a ，b 都垂直，则该直线垂直于b ，c ，所以垂直于b ，c 所在平面因为过平面外一点只可作一条直线与这个平面垂直，所以过P 有且只有一条直线与a ，b 都垂直.故本结论正确；.B ：如果过P 的直线都与a ，b 都平行，根据平行公理，a ，b 平行这与a ，b 是异面直线矛盾，故本结论错误；C ：如果a ，b 与过过P 的平面都垂直，那么a ，b 平行这与a ，b 是异面直线矛盾，故本结论错误；D ：若过P 与a 或b 确定的平面，就不存在与a ，b 都平行，故本结论错误；故选：A【点睛】本题考查了垂线的性质，考查了平行公理，考查了异面直线的性质，考查了线面垂直的性质，考查了推理论证能力.6. 如图，ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，若以A ，B 为焦点的双曲线的渐近线经过点C ，则该双曲线的离心率为A. 23B. 3C. 5D. 72【答案】D【解析】【分析】设AB=BC=2，取AB 的中点为O ，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC ，由余弦定理可得OC ，cos ∠COB ，求得tan ∠COB ，即为渐近线的斜率，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，即可得到．【详解】设AB=BC=2，取AB 的中点为O ，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC ，三角形OBC 中，cosB=﹣12， ∴OC 2=OB 2+BC 2﹣2OB•BC•cosB=1+4﹣2×1×2×（﹣12）=7，∴OC=7，则cos∠COB=27=7，可得sin∠COB=417-=37，tan∠COB=sin COBcos COB∠∠=32，可得双曲线的渐近线的斜率为3，不妨设双曲线的方程为22xa﹣22yb=1（a，b＞0），渐近线方程为y=±bax，可得ba=3，可得e=ca=222a ba+=21()ba+=314+=7．故选D．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线和离心率，考查学生的计算能力，属于中档题．7. 直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若23MN≥k的取值范围是( )．A.3[,0]?4- B. (－∞，34-]∪[0，＋∞)C.33[33- D.2[,0]3-【答案】A 【解析】试题分析：圆心为()3,2，半径为2，圆心到直线的距离为2311k d k +=+22231421k MN k ⎛⎫⎛⎫+∴+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ 2312311k MN k +≥∴≤+，解不等式得k 的取值范围3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 考点：直线与圆相交的弦长问题8. 正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是( )A. 0B. 6πC. 3πD. 2π 【答案】D【解析】【分析】将问题抽象为如下几何模型，平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，则可得到答案【详解】考虑相对运动，让四面体ABCD 保持静止，平面α绕着CD 旋转，故其垂线也绕着CD 旋转，如下图所示,取AD 的中点F ，连接EF ，则//EF CD 则也可等价于平面α绕着EF 旋转，在BEF 中，易得如下图示，将问题抽象为如下几何模型，平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP ，绕着圆锥的轴EF 旋转，显然则设BE 与平面α所成的角为θ，则可得考虑四个选项，只有选D.【点睛】本题考查最小角定理的应用，线面角的最大值即为BE 与CD 所成的角.，属中档题.9. 已知两点(1,63)A ，(0,53)B 到直线l 的距离均等于a ，且这样的直线可作4条，则a 的取值范围是（）A. 1a ≥B. 01a <<C. 01a <≤D. 02a <<【答案】B【解析】【分析】由题意做出简图，分别讨论,A B 在同一侧和两侧两种情况，只需a 小于,A B 两点距离的一半，再由两点间的距离公式即可求出a 的取值范围.【详解】解：由题意如图所示：因为若,A B 在直线的同一侧，可做两条直线，所以若这样的直线有4条，则当,A B 两点分别在直线的两侧时，还应该有两条，所以2a 小于,A B 的距离，因为22||(10)(6353)2AB =-+-=，所以022a <<，所以：01a <<，故选：B.【点睛】考查点到直线的距离公式，属于中档题.10. 【2018届浙江省温州市一模】如图，正四面体ABCD 中，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，分别记二面角A PQ R A PR Q A QR P ------，，的平面角为αβγ、、，在（）A. βγα>>B. γβα>>C. αγβ>>D. αβγ>>【答案】D【解析】【详解】【分析】 ABCD 是正四面体，P Q R 、、在棱AB AD AC 、、上，且12AP CR AQ QD PB RA ===，，可得α为钝角，βγ，为锐角，设P ACD 到的距离为1h P QR ，到的距离为1d Q ABC ，到的距离为2h Q PR ，到的距离为2d ，设正四面体的高为h ,可得121211=,,32h h h h h h =<，由余弦定理可得QR PR <，由三角形面积相等可得到12d d >，所以可以推出1212,h h sin sin d d γβ=<=所以γβαβγ∴>，故选D. 【方法点睛】本题主要考查二面角的求法，属于难题.求二面角的大小既能考查线线垂直关系，又能考查线面垂直关系，同时可以考查学生的计算能力，是高考命题的热点，求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角，本题很巧妙的应用点到面的距离及点到线的距离求得二面角的正弦值，再得到二面角的大小关系.二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 若圆22210x y ax y +++-=的圆心在直线y x =上，则a 的值是____________，半径为___________________.【答案】 (1).12 (2). 2【解析】【分析】对圆的方程进行配方化成标准方程形式，把圆心的坐标代入直线方程中，求出a 的值，最后求出半径的大小.【详解】圆化为标准方程为22215()24x a y a ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，圆心坐标为：1(,)2a --，由题意可知：12a -=-，所以12a =，2r ==.故答案为：12；2【点睛】本题考查了通过圆的一般求圆心和半径，考查了数学运算能力.12. 若直线1:60l x my ++=与2:(2)320l m x y m -++=互相平行，则m 的值为_____________，它们之间的距离为________________.【答案】 (1). 1- (2).3【解析】【分析】根据两平行直线系数之间的关系求出m 的值，根据平行线间距离公式直接求出两平行线间距离即可. 【详解】由题知，13(2)m m ⨯=-且126(2)m m ⋅≠-，解得1m =-，则1:60l x y -+=，22:03l x y -+=，则两平行线间距离为：3d ==.故答案为：1-；3【点睛】本题考查了已知两直线平行求参数问题，考查了平行线间距离公式，考查了数学运算能力. 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________，外接球的表面积为_____________.【答案】 (1). 24 (2). 41π【解析】【分析】根据根据三视图还原该几何体，直接根据三棱柱的体积公式求出体积，运用割补法求出外接球的表面积.【详解】根据三视图还原该几何体，直观图如图所示的直三棱柱， 344242V Sh ⨯==⨯=把该几何体补成一个长方体，可知其外接球的直径为这个长方体的体对角线，所以，2224344122r ++==，所以2441S r ππ==外接球故答案为：24;41π【点睛】本题考查了通过三视图求几何体的体积以及该几何体外接球的表面积，考查了直观想象能力.14. 已知双曲线22:1x C y m -=与椭圆22195y x +=共焦点，则m 的值为_______________，设F 为双曲线C 的一个焦点，P 是C 上任意一点，则PF 的取值范围是_______________.【答案】 (1). 3 (2). [)1,+∞【解析】【分析】第一空：根据双曲线的半焦距的平方等于椭圆的半焦距的平方，解方程即可求出m 的值；第二空：设(),P x y ，不妨设()0,2F ，求出PF 的表达式，利用双曲线的范围求出PF 的取值范围.【详解】解析、21954c m =+=-=，所以3m =；设(),P x y ，不妨设()0,2F ，所以2222||(2)33(2)21PF x y y y y =+-=-+-=-因为1y ≥或1y ≤-，所以1PF ≥，故填、3；[)1,+∞【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的半焦距公式，考查了双曲线的范围，考查了数学运算能力.15. 异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.【答案】,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】【分析】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，根据题意可以求出θ的取值范围.【详解】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，异面直线a ，b 所成角为3π，可知3a Ob π''∠=，所以16l Ob π'∠=，23l Oa π'∠=所以在1l 方向，要使l 有两条，则有：6πθ>，在2l 方向，要使l 不存在，则有3πθ<，综上所述，63ππθ<<. 故答案为：,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1AP=AC =，过点A 分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连结EF ，当AEF ∆的面积最大时，tan BPC ∠=__________.【答案】22【解析】【分析】利用PA ⊥平面ABC ，根据线面垂直的性质定理可得PA BC ⊥，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC ⊥平面PAB ，进而可以证明出BC AE ⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE ⊥平面PBC ，因此可以证明出AE PC ⊥，最后利用线面垂直定理证明出PC ⊥平面AEF ，因此得到AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点.解法1：设AB x =，BC y =，利用三角形面积公式可以求出AE 的长，在利用PFE PBC ∆∆∽，求出EF 的长，最后求出AEF ∆的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF ∆面积平方的最大值，最后求出tan BPC ∠的值；解法2：设BPC θ∠=，求出EF 、BC 、PB 、AB 的大小，再求出AE 的大小，最后求出AEF S ∆表达式，利用同角三角函数的关系中商关系和基本不等式求出最大值，根据等号成立的条件求出tan BPC ∠的值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC AE ⊥，又PB AE ⊥，所以AE ⊥平面PBC ，所以AE PC ⊥，又AF PC ⊥，所以PC ⊥平面AEF ，综上AE EF ⊥，PC AF ⊥，且F 为PC 中点. 解法1：设AB x =，BC y =，则221x y +=，又1AP=AC =，则21AE x =+，又PFE PBC ∆∆∽，可得EF =12AEF S EF AE ∆=⋅⋅=，所以()()()22222222218181x x x y S x x -==++，令21x t +=，则222222(1)(2)32123113118884464t t t t S t t t t t ---+-⎛⎫⎛⎫===-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以当134t =时即213x =，223y =，()max 18AEF S ∆=，此时tan 2BC BPC PB ∠===，故填2. 解法2.设BPC θ∠=，则tan 2EF PF θ==tan 2EF θ=.又BC θ=，PB θ=，所以AB =PA AB AE PB ⋅==所以11tan 222AEFS EF AE θ∆=⋅⋅=⋅=221tan 1tan 1428θθ+-==≤⋅= 当且仅当22tan 1tan θθ=-即tan θ=时，取等号. 故答案为：2【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，考查了基本不等式的应用，考查了配方法的应用，考查了推理论证能力和数学运算能力.17. 已知椭圆22:14x C y +=上的三点,,A B C ，斜率为负数的直线BC 与y 轴交于M ，若原点O 是ABC ∆的重心，且ABM ∆与CMO ∆的面积之比为32，则直线BC 的斜率为__________.【答案】36- 【解析】【分析】设出直线BC 的方程,将其代入到椭圆C 的方程,根据韦达定理,三角形的重心坐标公式,三角形的面积比,可求得点A 的坐标,再将A 的坐标代入椭圆方程即可得到直线BC 的斜率. 【详解】如图所示:设1122(,),(,)B x y C x y ,33(0,),(,)M m A x y ,直线BC 的方程为y kx m =+, 因为原点O 是三角形ABC 的重心,所以△BMA 与△CMO 的高之比为3,又△BMA 与△CMO 的面积之比为32,则2BM MC =,即2BM MC =, 所以1220x x +=,①联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 并整理得222(41)8440k x mkx m +++-=, 所以122814km x x k -+=+,21224414m x x k -=+,② 由①②整理得22223614m k m k =-+,③ 因为原点O 是△ABC 的重心,所以31228()14km x x x k =-+=+,3121222()[()2]14my y y k x x m k -=-+=-++=+, 因为223344x y +=,所以222282()4()41414km m k k-+=++,化简得22144k m +=,④由③④可得2112k =,因为0k <,所以k =.故答案为:6-. 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交的问题,三角形的重心坐标公式,韦达定理,运算求解能力,根据已知条件求出点A 的坐标后,再代入椭圆方程是解题关键,本题属于中档题.三、解答题：5小题，共74分18. 已知0x >，0y >，且2520x y +=. （1）求xy 的最大值；（2）求11x y+的最小值.【答案】（1）10（2 【解析】【分析】（1）对等式左边直接使用基本不等式即可求出xy 的最大值；（2）对11x y+变形：11111(25)20x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后运用基本不等式求解即可.【详解】解析、（1）0x ，0y >，25x y ∴+≥（当且仅当25x y =时取等号，即当5,2x y ==时）10xy ∴≤，因此xy 的最大值为10；（2）111115217(25)(7)202020y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++⋅=++⋅≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11720x y +∴+≥11x y ∴+的最小值为720+=时取到. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.19. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60DAB ∠=︒且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 的中点，E 为BC 的中点.（1）求证：//BG 平面PDE ；（2）求证：AD PB ⊥；（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）存在，当F 为PC 的中点时，能使平面DEF ⊥平面ABCD 【解析】【分析】（1）利用已知可以判定四边形DGEC 是平行四边形，利用平行四边形的性质可以得到线线平行，利用线面平行的判定定理证明出//BG 平面PDE ；（2）根据PAD 为正三角形可以得到AD PG ⊥，再根据ABD ∆是等边三角形得到AD BG ⊥，这样根据线面垂直的判定定理可以证明AD ⊥平面PGB ，再利用线面垂直的性质定理可以证明出AD PB ⊥；（3）可以猜想F 为PC 的中点时.根据已知侧面PAD 垂直于底面ABCD ，可以通过面面垂直的性质定理可以得到PG ⊥平面ABCD .这样利用中位线可以证明出OF ⊥平面ABCD ，这样证明出猜想是正确的. 【详解】（1）由已知，//DG BE ，DG BE =所以四边形DGEC 是平行四边形.//BG DE ∴. 又BG ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，//BG ∴平面PDE .（2）连接PG .PA PD =，AD PG ∴⊥.ABD ∆是等边三角形，AD BG ∴⊥又PG BG G =，AD ∴⊥平面PGB .AD PB ∴⊥.（3）当F 为PC 的中点时，能使平面DEF ⊥平面ABCD .证明如下、平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PG AD ⊥，PG ⊂平面PAD ，PG ∴⊥平面ABCD .连结CG 交DE 于O .则O 是CG 的中点，//OF PG ∴.OF ∴⊥平面ABCD 又OF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面ABCD .【点睛】本题考查了线面平行的判定定理，考查了利用线面垂直证明线线垂直，考查了数学探究能力，考查了推理论证能力.20. 如图，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点()0,2且被x 轴分成的两段圆弧长之比为1:2，直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）求直线OM 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）22(4)(2)16x y ++-=（2）304k ≤≤或43k ≤- 【解析】【分析】（1）依题意可设圆心(),2C r -，根据圆的性质可以得出120PCQ ∠=︒，进而可以求出圆的标准方程；（2）解法1.依题意知，只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率，设其直线方程为y tx =()0t >，根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式，可以求出t 的取值范围，根据点M在劣弧PQ 上，点N 在劣弧PQ 上，求出直线OM 的斜率，进而求出直线OM 的斜率的取值范围，在讨论线OM 的斜率为零时，是否满足，最后确定直线OM 的斜率k 的取值范围；解法2.当0k ≠时，直线OM 的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式，求出斜率k 的取值范围，再以1k-代k 求出斜率k 的取值范围，接着讨论0k =时，是否满足条件，最后确定斜率k 的取值范围.【详解】（1）依题意可设圆心(),2C r -.设圆C 与x 轴交于点PQ ，因为圆C 被x 轴分成的两段圆弧之比为1:2，所以120PCQ ∠=︒.于是4r =，圆心()4,2C -.所以圆C 的方程为22(4)(2)16x y ++-=. （2）解法1.依题意知，只需求出点N （或M ）在劣弧PQ 上运动时的直线ON （或OM ）斜率，设其直线方程为y tx =()0t >，此时有2241t <≤+，解得304t <≤.若点M 在劣弧PQ 上，则直线OM 的斜率k t =，于是304k <≤; 若点N 在劣弧PQ 上，则直线OM 的斜率1k t =-，于是43k ≤-.又当0k =时，点N 为()0,2，也满足条件综上所述，所求的直线OM 的斜率k 的取值范围为304k ≤≤或43k ≤-解法2.当0k ≠时，直线OM 的方程为y kx =241k ≤+，解得34k ≤.以1k -代k 得，134k -≤，解得43k ≤-或0k >. 当0k =时，也满足题意.综上所述，k 的取值范围是304k ≤≤或43k ≤- 【点睛】本题考查了圆的切线性质，考查了直线与圆的位置关系，考查了有斜率的两直线垂直时斜率的关系，考查了圆的几何性质，考查了数学运算能力.21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AP ⊥，//AB CD ，且PB BC ==6BD =,222CD AB ==，120PAD ∠=.（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ10【解析】【分析】（Ⅰ）取CD 中点E ，利用平面几何知识得到四边形ABED 是矩形，从而得到CD AD ⊥，而易得CD AP ⊥，因此CD PAD ⊥平面，进而有平面PAD ⊥平面PCD ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标角系，设出各点坐标，利用方程组解出平面PBC 的法向量，即可求出根据线面角的向量公式求出．【详解】（Ⅰ）取CD 中点E ，,BC BD E =为CD 中点，BE CD ∴⊥．//AB CD ，∴//AB DE ，且AB DE =，即有四边形ABED 是矩形．∴CD AD ⊥．又AB AP ⊥，//AB CD ，∴CD AP ⊥．而ADAP A =，∴CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标角系，如图所示：6,222,120PB BC BD CD AB PAD =====∠=︒，2222622,622,PA PB AB AD BE BD AB ∴=-=-===-=-=则(()0,3,0,2,0,P D -)2,0,0,B()22,2,0,C∴()()()0,3,3,2,1,3,2,2,0PD BP BC =-=--=．设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =,则220230n BC x y n BP x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取2x ，得32,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭．设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ,3110sin cos ,10123PD n PD n PD nθ⋅--=<>===⋅⋅．∴直线PD 与平面PBC 所成的角的正弦值为105．【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理的应用，以及线面角的向量求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)的离心率为32，且过点1(3,)2，点P 在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，P A交y轴于点C，PB交x轴于点D.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求△PCD面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=；（221.【解析】【分析】（1）根据离心率和点1(3,)2在椭圆上，列方程组解得2a和2b即可得到结果；（2）l AP：y＝k(x＋2)，通过联立方程求得,,P C D的坐标，再根据S△PCD＝S P AD－S△CAD＝12×AD×|y P－y C|求出面积，然后求出最值即可得解.【详解】(1) 由题意得：2222231143a bcaa b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得224,1a b==，故椭圆C的标准方程为：2214xy+=.(2) 由题意知(2,0)A-，(0,1)B，设l AP：y＝k(x＋2)，因为点P在第四象限，所以102k-<<，所以C(0，2k)，由22(2)14y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以x A x P ＝2216414k k -+，由x A ＝－2得x P ＝222814k k-+，故y P ＝k (x P ＋2)＝2414k k +，所以P 222284(,)1414k k k k-++，设D (x 0，0)，因B (0，1)，P ，B ，D 三点共，所以k BD ＝k PB ，故2202411142814k k k x k -+=--+，解得x 0＝2(12)12k k +-，得D 24(,0)12k k+-，所以S △PCD ＝S P AD －S △CAD ＝12×AD ×|y P －y C | 12=2244(2)|2|1214k k k k k ++⋅--+ 3214|28|21214k k k k -=⨯⨯-+222|2(14)|1214k k k k -=⨯-+ 22|2(12)(12)|1214k k k k k-+=⨯-+ 因为102k -<<，所以222(12)(12)1214PCD k k k S k k --+=⨯-+△228414k k k +=-+ 222(41)4214k k k++-=-+22(12)214k k -=-++，令t ＝1－2k ，则1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以g (t )＝－2＋221(1)t t +-＝－2＋2222t t t -+ ＝－2＋222t t+-≤-2－1，当且仅当t时取等号，此时k＝12，所以△PCD－1. 【点睛】本题考查了根据椭圆性质求椭圆方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了斜率公式，基本不等式求最值，运算求解能力，属于中档题.。

2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题 1．复数31ii--等于（） A ．B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】C【解析】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i --++===+--+,故选C.2．已知双曲线221-=x ky 的一个焦点是()5，，则其渐近线的方程为（）A ．14y x =±B ．12y x =±C ．2y x =±D ．4y x =±【答案】C【解析】先根据题意求出k 的值，从而得出双曲线方程，即可写出渐近线方程．【详解】由221-=x ky 变形可得2211-=y x k，又双曲线221-=x ky 的一个焦点是()5，，所以()21150+=>k k，所以14k =，所以双曲线方程为2214y x -=，所以其渐近线方程为为2y x =±．故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线的性质及其渐近线方程，解题的关键是会根据焦点坐标求方程中参数的值．3．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是 A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0C ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于0D ．假设a ，b ，c 中都不大于0【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”，从而得出结论.详解：用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a ，b ，c 中都不大于0”. 故选：D.点睛：用反证法证明命题的基本步骤 (1)反设，设要证明的结论的反面成立．(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾． (3)否定反设，得出原命题结论成立．4．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果. 详解：若//l αβα⊥，，则l β⊥，又//m β，所以l m ⊥；若l m ⊥，当//m β时，直线l 与平面β的位置关系不确定，无法得到//αβ. 综上，“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与抛物线()220x py p =>的交点为A ，B ．A ，B连线经过抛物线焦点F ，且线段AB 的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（）A ．B ．12C ．2D 【答案】B【解析】先由题意根据抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程求出2234b a =，再根据c e a =，222c a b =-即可求出离心率．由抛物线和椭圆的对称线可设2，⎛⎫- ⎪⎝⎭p A b ，2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b ，将点2，⎛⎫ ⎪⎝⎭p B b 代入椭圆和抛物线方程可得22222214b p a b b p ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2234b a =，所以12===c e a ．故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质和离心率，解题的关键是找出a ，b ，c 间的关系． 6．设直线l ：()()110+--=∈mx m y m R ，圆C ：()2214x y -+=，则下列说法中正确的是（）A ．直线l 与圆C 有可能无公共点B ．若直线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则1m =- C ．若直线l 平分圆C 的周长，则0m =D ．若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN的长的最小值为【答案】D【解析】直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点；若直线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则2m =；因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，所以1m =；线段MN的长的最小值为．【详解】由直线l ：()()110+--=∈mx m y m R 变形可得()()10+-+=m x y y ，联立100y x y +=⎧⎨+=⎩，解得直线l 过定点()1,1P -，圆C ：()2214x y -+=的圆心()10C ，半径2r =，点()1,1P -与圆心()1,1C -的距离1=<PC r ，所以点P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 一定有公共点，所以A 项错误；由线l 的一个方向向量为()1,-2=ra ，则21=--mm，解得2m =，故B 项误；因为l 平分圆C 的周长，所以直线过圆心()10C ，，即10m -=，所以1m =，故C 项错误；若直线l 与圆C 有两个不同交点M 、N ，则线段MN 的长的最小值为22224123-=-=r PC ，故D 项正确．故选：D 【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，以及弦长公式，解题关键是熟练掌握圆的有关性质． 7．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F ∥平面D 1AE ，记A 1F 与平面BCC 1B 1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（） ①点F 的轨迹是一条线段 ②A 1F 与D 1E 不可能平行 ③A 1F 与BE 是异面直线 ④22tan θ≤A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，推出面A 1MN ∥平面D 1AE ，即可得出结论；在②中F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行；③中A 1F 与BE 既不平行也不相交；在④中当F 与MN 重合时B 1F 最小，此时()11max 122θ==A B tan B F【详解】在①中设平面D 1AE 与直线BC 交于点G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取BB 1、C 1B 1的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，所以A 1M ∥平面D 1AE ，MN ∥平面D 1AE ，所以平面A 1MN ∥平面D 1AE ，又A 1F ∥平面D 1AE ，所以F 应在线段MN 上运动，故①正确；在②中由①知当F 与M 重合时，A 1F 与D 1E 平行，故②错误；在③中A 1F 与BE 既不平行也不相交，故③正确；在④中当F 与M ，N 重合时B 1F 最小，此时()11max 122θ==A B tan B F，故④正确．故选：C 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面关系、线线关系及线面角．8．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）. A ．3B 3C ．lD 3【答案】B 【解析】【详解】设1PF m =，()2PF n m n =>.椭圆方程为2222111x y a b -=，双曲线方程为2222221x y a b -=两曲线的半焦距为1c 、2c ，且12c c =. 由圆锥曲线定义得12m n a +=，22m n a -=.于是，12m a a =+，12n a a =-. 又由余弦定理得()()()()222222221212121212124444m n mn c c a a a a a a a a c c +-==⇒++--+-== 22221212344a a c c ⇒+==2212134e e ⇒+=.由均值不等式得122212134e e e e =+≥≥.当1e =，2e =时，上式等号成立.二、填空题9．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标__________________ 【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】先把抛物线化成标准型，再求焦点坐标. 【详解】由题意知212x y =，所以抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用抛物线的方程求解焦点坐标，注意要把非标准方程化为标准形式，再进行求解.10．设平面α的法向量为()1122n =-u r ，，，平面β的法向量为()224n λ=u u r，，，若α⊥β，则2n =u u r_____．【答案】【解析】根据题意可知1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r •2n =u u r 0，解出λ的值，从而得出2n u u r，利用模长公式求出向量模长即可．【详解】平面α的法向量为()1122n =-u r ，，，平面β的法向量为()224n λ=u u r，，，因为α⊥β，所以1n u r ⊥2n u u r ，所以1n u r •2n =uu r 2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以2n =u u r （2，5，4），所以2n ==u u r故答案为：35 【点睛】本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题． 11．用数学归纳法证明: 1111(1)2321n n n +++⋯⋯+<>-,在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是__________（用含有k 的式子作答).【答案】2k【解析】假设n=k 成立，即111 (2321)k k +++<-，则n=k+1成立时有11111......123212221k k k k k ++++++<+-+-，所以左边增加得项数是： 221(21)2k k k k +---=12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．53【解析】先由三视图分析出原图为一个三棱柱剪去一个三角锥，所以几何体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积．【详解】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V 1为：1232232⨯=剪去的三棱锥体积V 2为：113231323⨯⨯=所以几何体的体积为：332333=．故答案为：533【点睛】本题主要考查三视图以及几何体体积的计算方法，解题关键是能根据三视图还原几何体．13．圆x 2+y 2﹣4x ﹣2y ﹣8＝0关于直线ax +2by ﹣2＝0（a ，b ＞0）对称，则14a b+的最小值为_____．【答案】9【解析】先由直线过圆心得出1a b +=，再由基本不等式即可出14a b+的最小值．【详解】由圆方程为224280+---=x y x y 可转化为()()222+113--=x y 圆心为()21，，由题意可知圆心在直线220+-=ax by 上，所以1a b +=，14a b +=（14a b+）（a +b ）＝54b a a b ++≥5+4＝9，当且仅当4b aa b =，因为a ，b ＞0，a 13=，b 23=时取最小值9．故答案为：9 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是熟练应用基本不等式．14．已知F 是双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点，A 是双曲线上位于第一象限内的一点，2OA OF OF ⋅=u u u v u u u v u u u v ，直线OA 的方程为y x ，则双曲线的离心率为__________．【解析】分析：由2OA OF OF ⋅=u u u v u u u v u u u v ，可得AF x ⊥轴，从而求得2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线OA 的方程为y =，可得结果. 详解：2cos OA OF OA OF AOF OF ⋅=⋅<=u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v Q ，cos OA AOF OF ∴<=u u u v u u u v u u u v，AF x ∴⊥轴，令x c =，得22,,A b b y A c a a ⎛⎫=∴⎪⎝⎭，又OA Q 的方程为23y x =，223b a c ∴=，22223b a c ac ac -∴==，即123e e -=，22310e e --=，3e =，故答案为3.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．15．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝1，AC ＝CD ＝DA ＝2，动点M 在边DC 上（不同于D 点），P 为边AB 上任意一点，沿AM 将△ADM 翻折成△AD 'M ，当平面AD 'M 垂直于平面ABC 时，线段PD '长度的最小值为_____．15【解析】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，根据H 到直线AB 的距离最小值及勾股定理计算即可．【详解】过D ′作AM 的垂线，垂足为H ，由题意可知D′A ＝DA ＝2，随着点M 在边DC 上向点C 方向移动，DM 逐渐变大，即D 'M 越来越大，又D ′H 为三角形AD 'M 中AM 边上的高，D′A 长度不变，D 'M 越来越大，所以垂足为H 越来越靠近点A ，所以当点M 与C 重合即折痕为AC 时，H 到直线AB 的距离最小，又AC ＝CD ＝DA ＝2，所以AC ＝CD ′＝D′A ＝2，此时H 为AC 的中点，所以D ′H ＝DH 3=H 到直线AB 的最小距离为h 12=BC 3=PD ′2215'D H h +=．故答案为：2【点睛】本题主要考查立体几何中的综合应用，利用勾股定理求线段长．三、解答题16．已知命题p ：方程22242220x y x my m m +-++-+=表示圆；命题q ：方程22115x y m a+=--表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12m -<<;（2）45a ≤<.【解析】试题分析：(1) 若命题p 为真命题，根据圆的一般方程与椭圆的标注方程满足的条件建立不等式关系，即可求实数m 的取值范围；(2) 若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø，从而建立关于实数a 的不等关系. 试题解析：（1）若命题p 为真命题时，则由方程22242220x y x my m m +-++-+=即()()22222x y m m m -++=-++表示圆，∴220m m -++>解之得 ∴12m -<<（2）由q 成立得510a m ->-> ∴16m a <<-，若p 是q 的必要不充分条件，则q p Ø， ∴162a <-≤解之得45a ≤< ∴45a ≤<17．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）．（1）求证：1+≠n n a a ；（2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．【答案】（1）证明见解析（2）23452481635917a a a a ====，，，，猜想：a n 11221n n --=+，证明见解析【解析】（1利用反证法假设1n n a a +=，代入121+=+n n na a a 进而得出此数列是0或1的常数列，与10a >，11a ≠矛盾，所以假设错误；（2）由112a =在通过递推公式直接写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，猜想出11221--=+n n n a ，再用数学归纳法进行证明．【详解】（1）证明：假设1n n a a +=，又a n +121n na a =+，解得a n ＝0或a n ＝1，从而1210-=====L n n a a a a 或1211-=====L n n a a a a ，这与题设10a >或11a ≠ 相矛盾，所以1n n a a +=不成立．故1+≠n n a a 成立．（2）由题意得12345124816235917a a a a a =====，，，，，由此猜想：11221--=+n n n a ． ①当n ＝1时，a 10021212==+，猜想成立， ②假设n ＝k 时，11221--+=k k k a 成立，当n ＝k +1时，()()1111111112222221212121121-+--+-+--⨯+====+++++k k k k k k k k k k k a a a ，所以当n ＝k +1时，猜想也成立，由①②可知，对一切正整数，都有a n 11221n n --=+成立．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．18．在四棱锥P ﹣ABCD 中，112AD BC AD AB DC BC ====P ，，E 是PC 的中点，平面PAC ⊥平面ABCD ．（1）证明：ED ∥平面PAB ；（2）若7PC PA ==A ﹣PC ﹣D 的余弦值．【答案】（1）证明见解析（25309 【解析】（1）取PB 的中点F ，连接AF ，EF ，通过证明四边形ADEF 是平行四边形，得到DE ∥AF ，从而证出ED ∥平面P AB ；（2）通过做辅助线找到二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角，求出其余弦值即可．【详解】（1）证明：取PB 的中点F ，连接AF ，EF ．∵EF 是△PBC 的中位线，∴EF ∥BC ，且EF 12BC =．又AD ＝BC ，且AD 12=BC ，∴AD ∥EF 且AD ＝EF ， ∴四边形ADEF 是平行四边形．∴DE ∥AF ，又DE ⊄面ABP ，AF ⊂面ABP ，∴ED ∥面P AB ．（2）解：取BC 的中点M ，连接AM ，则AD ∥MC 且AD ＝MC ，∴四边形ADCM 是平行四边形，∴AM ＝MC ＝MB ，则A 在以BC 为直径的圆上．∴AB ⊥AC ，可得AC 3=过D 作DG ⊥AC 于G ，∵平面P AC ⊥平面ABCD ，且平面P AC ∩平面ABCD ＝AC ，∴DG ⊥平面P AC ，则DG ⊥PC ．过G 作GH ⊥PC 于H ，则PC ⊥面GHD ，连接DH ，则PC ⊥DH ，∴∠GHD 是二面角A ﹣PC ﹣D 的平面角．在△ADC 中，GD 2231()1242AC AD =-=-=，连接AE，cos∠ACE3 23727 ==⨯，AE7731332342227=+-⨯⨯⨯=，∵点P到AC的距离d135742=-=，∴点A到PC的距离5352127⨯==d．GH1521228d==．在Rt△GDH中，HD221751034112112DG HG=+=+=，∴cos∠GHD521530928103103112===GHHD．即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为5309．【点睛】本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法．19．已知椭圆E：2224x ya+=1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，5P是直线x25a=上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足11PF QF⋅=u u u r u u u r0．（1）试求出实数a；（2）设直线PQ 与直线OQ 的斜率分别为k 1与k 2，求积k 1•k 2的值；（3）若点P 的纵坐标为1，过点P 作动直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，在线段MN 上取异于点M 、N 的点H ，满足PM MH PN HN =，证明点H 恒在一条定直线上．【答案】（1）a ＝3（2）49-（3）证明见解析【解析】（1）根据椭圆的离心率列方程求出实数a 的值；（2）由（1）可设点P（t ），Q （x 0，y 0），根据11PF QF ⋅=u u u r u u u r 0得出004ty x =再由点Q 在椭圆E 上得出2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，用斜率公式及可求出k 1•k 2的值；（3）设过P（5-，1）的直线l 与椭圆交于两个不同点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），点H （x ，y ），代入椭圆方程得出22114936x y +=，22224936x y +=，再设PMMHPN HN ==λ，即PM PN λ=u u u u r u u u r ，MH HN λ=u u u u r u u u r ，代入数据整理即可得出点H 恒在一条定直线上．【详解】（1）解：设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可得224c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得a ＝3；（2）解：由（1）可知，直线x 255=-=-，点F 1（0）．设点P（，t ），Q （x 0，y 0）， ∵11PF QF ⋅=u u u r u u u r 0，∴（，﹣t ）•（x 0，﹣y 0）＝0，得004ty x =+． ∵点Q （x 0，y 0）在椭圆E 上，∴2200194x y +=，即2200419x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴k1•k22200 00002200000445444959 959595x xyxx x x x x---=⋅===-+++，∴k1•k2的值是49-；（3）证明：设过P（955-，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），则22114936x y+=，22224936x y+=，设PM MHPN HN==λ，则PM PNλ=u u u u r u u u r，MH HNλ=u u u u r u u u r，∴（x195+，y1﹣1）＝λ（x295+，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），整理得21951x xλλ-=-，x121x xλλ+=+，1121y yλλ-=-，y121y yλλ+=+，从而222212951x xxλλ-=-，y2221221y yλλ-=-，由于22114936x y+=，22224936x y+=，∴365x-9y()()2222222222222112112224949449911x y x yx x y yλλλλλ+-+--+===---36．∴点H恒在直线36593605x y-+=．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．。

2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学试卷

2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷试题数：21.满分：1001.（单选题.3分）设集合A={x|x2-x-12＞0}.B={x|-2≤x≤6}.则（∁R A）∪B=（）A.RB.[-3.6]C.[-2.4]D.（-3.6]2.（单选题.3分）已知tanα=2.则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A.1B.-1C.2D.-23.（单选题.3分）下列函数中.在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=log a xB.y=x3+xC.y=3xD.y=- 1x4.（单选题.3分）已知函数f（x）=4x-2x-2.则它的零点是（）A.（-1.0）B.（1.0）C.-1D.15.（单选题.3分）在△ABC中.点D是BC延长线上一点.若BC=2CD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 43AC⃗⃗⃗⃗⃗ - 13AB⃗⃗⃗⃗⃗B. 43AB⃗⃗⃗⃗⃗ - 13AC⃗⃗⃗⃗⃗C. 32AC⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AB⃗⃗⃗⃗⃗D. 32AB⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AC⃗⃗⃗⃗⃗6.（单选题.3分）设函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .f （f （a ））≤3.则实数a 的取值范围为（） A.（-2.4） B.（-2.0] C.[0. √3 ） D.（-∞. √3 ]7.（单选题.3分）在矩形ABCD 中.AD=3. EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CE⃗⃗⃗⃗⃗ .P 是边DC 上的动点.记 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 43PE ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.λ=（） A. 43B. 34C.- 43D.- 348.（单选题.3分）设a∈R .b∈[-π.2π].若对任意实数x.都有cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）.则满足条件的有序实数对（a.b ）的对数为（） A.1 B.2 C.3 D.49.（单选题.3分）已知函数f （x ）=sin （2x+ π3 ）.若存在x 1.x 2.…x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤ 176 π.且|f （x 1）-f （x 2）|+|f （x 2）-f （x 3）|+…+|f （x m-1）-f （x m ）|=11（m≥2.m∈N *）.则m 的最小值为（） A.5 B.6 C.7 D.810.（单选题.3分）函数y= √2sinα)t−√2|√t 2−2√2tcosα+2（t∈R .α∈（0. π2））的最大值是（）A. √2B. √3C.2D. √511.（填空题.4分）若f （x ）为幂函数.且满足 f (8)f (2) =8.则f （16）=___ ．12.（填空题.4分）已知半径为120厘米的圆上.有一条弧所对的圆心角为α（0＜α＜π）.若cosα=- 12 .则这条弧长是___ 厘米．13.（填空题.4分）若△ABC 是边长为2的正三角形.则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ． 14.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）= 35 .则tanα的值为___ ． 15.（填空题.4分）已知f （x ）为定义在R 上的偶函数.当x≥0时.有f （x+1）=-f （x ）.且当x∈[0.1）时.f （x ）= log √2 （x+1）.给出下列命题： ① f （2017）+f （-2018）=0 ② 函数f （x ）是周期为2的函数 ③ 函数f （x ）值域为（-2.2）④ 直线y=2x 与函数f （x ）图象有2个交点其中正确的是___ ．16.（填空题.4分）已知函数f （x ）=sin （πx+ π3 ）.g （x ）=alog 2x- 32 .若存在x 1.x 2∈[2.4].使f （x 1）=g （x 2）成立.则实数a 的取值范围是___ ．17.（填空题.4分）设函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.则正实数a 的最大值为___ ． 18.（问答题.8分）已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9.2）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2）．（Ⅰ）若 BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求x.y 的值；（Ⅱ）若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3.求| BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．19.（问答题.10分）定义在（0.+∞）上的函数f （x ）满足f （2x ）=x 2-2x ．（Ⅰ）求函数y=f （x ）的解析式；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）= 3a+25−a 在（1.4）上有实根.求实数a 的取值范围．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的图象与y 轴的交点为（0.-1）.它在y 轴右侧的第一个最小值点坐标为（x 0.-2）.与x 轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）若将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位得到奇函数.求实数m的最小值．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=|x2-1|-4a.g（x）=x2-ax+4a．（Ⅰ）若F（x）=f（x）+g（x）在区间[0.2]上有两个零点x1.x2．① 求实数a的取值范围；② 若x1＜x2.求1x1+1x2的最大值；（Ⅱ）记h（x）=| xg(x)|.若h（x）在（0.1]上单调递增.求实数a的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1001.（单选题.3分）设集合A={x|x2-x-12＞0}.B={x|-2≤x≤6}.则（∁R A）∪B=（）A.RB.[-3.6]C.[-2.4]D.（-3.6]【正确答案】：B【解析】：先求出集合A的补集.再根据并集定义求出结果【解答】：解：∵A={x|x2-x-12＞0}.∴（∁R A）={x|x2-x-12≤0}=[-3.4].∵B={x|-2≤x≤6}=[-2.6]∴（∁R A）∪B=[-3.6]故选：B．【点评】：本题考查了集合并集和补集的运算.属于基础题2.（单选题.3分）已知tanα=2.则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：弦化切.即可求解．【解答】：解：已知tanα=2.由sinα+cosα2sinα−cosα = tanα+12tanα−1= 2+12×2−1=1．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数关系式和弦化切的思想应用.属于基本知识的考查．3.（单选题.3分）下列函数中.在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=log a xB.y=x3+xC.y=3xD.y=- 1x【正确答案】：B【解析】：运用奇偶性的定义和导数的运用.结合常见函数的奇偶性和单调性.即可得到既是奇函数又是增函数的函数．【解答】：解：对于A．则为对数函数.定义域为（0.+∞）.则函数没有奇偶性.故A不满足条件；对于B．定义域为R.f（-x）=-x3-x=-f（x）.即有f（x）为奇函数.又f′（x）=3x2+1＞0.则f（x）在R上递增.故B满足条件；对于C．则为指数函数.f（-x）≠-f（x）.则不为奇函数.故C不满足条件；对于D．则为反比例函数.定义域为（-∞.0）∪（0.+∞）.f（-x）=-f（x）.则f（x）为奇函数. 且在（-∞.0）和（0.+∞）均为增函数.故D不满足条件．故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断.注意运用奇偶性和单调性的定义结合常见函数的奇偶性和单调性.属于基础题和易错题．4.（单选题.3分）已知函数f（x）=4x-2x-2.则它的零点是（）A.（-1.0）B.（1.0）C.-1D.1【正确答案】：D【解析】：根据题意.令f（x）=0解可得2x=2.结合指数的运算性质可得x的值.由函数零点的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=4x -2x -2. 若f （x ）=4x -2x -2=0.解可得2x =2或2x =-1（舍）若2x =2.则x=1. 故选：D ．【点评】：本题考查函数的零点的定义.关键是掌握求函数零点的方法.属于基础题． 5.（单选题.3分）在△ABC 中.点D 是BC 延长线上一点.若BC=2CD.则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 43 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 13 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 32 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【正确答案】：C【解析】：由已知中点D 是BC 延长线上一点.BC=2CD.结合向量减法的三角形法则.可得答案．【解答】：解：∵点D 是BC 延长线上一点.若BC=2CD. ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .即 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2 AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = 32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C ．【点评】：本题考查的知识点是平面向量的基本定理.难度中档．6.（单选题.3分）设函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .f （f （a ））≤3.则实数a 的取值范围为（） A.（-2.4） B.（-2.0] C.[0. √3 ） D.（-∞. √3 ] 【正确答案】：D【解析】：根据已知中函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .分类讨论求解f （f （a ））≤3.综合可得答案．【解答】：解：当a≤-2时.f （a ）=a 2+2a≥0.f （f （a ））=-（a 2+2a ）2≤3恒成立. 当-2＜a ＜0时.f （a ）=a 2+2a∈[-1.0）.f （f （a ））=（a 2+2a ）2+2（a 2+2a ）≤3恒成立. 当a=0时.f （a ）=-a 2=0.f （f （a ））=-a 4=0≤3成立.当a ＞0时.f （a ）=-a 2＜0.由f （f （a ））=（-a 2）2+2（-a 2）≤3得：-3≤-a 2＜0.解得：0 ＜a ≤√3综上可得：a 的取值范围为（-∞. √3 ]．故选：D ．【点评】：本题考查的知识点是分段函数的应用.不等式的解法.难度中档．7.（单选题.3分）在矩形ABCD 中.AD=3. EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CE⃗⃗⃗⃗⃗ .P 是边DC 上的动点.记 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 43 PE⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.λ=（） A. 43 B. 34C.- 43D.- 34【正确答案】：C【解析】：把 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .把 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ .在结合E 为BC 的三等分点. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ .化简分析可得．【解答】：解：∵ EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PE ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +43CE ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +43CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |= |(λ+43)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3+43)CE ⃗⃗⃗⃗⃗ | . ∴当 λ=−43 时.上式取得最小值．故选：C ．【点评】：此题考查了平面向量基本定理.向量之间的转化.难度适中．8.（单选题.3分）设a∈R .b∈[-π.2π].若对任意实数x.都有cos （4x- 2π3）=sin （ax+b ）.则满足条件的有序实数对（a.b ）的对数为（） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：D【解析】：由cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）可得 −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsinax+sinbcosax.可知a=±4.分别讨论当a=4和a=-4时的情况即可求出b 的值.即可得出满足条件的有序实数对（a.b ）的对数．【解答】：解：∵cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）. ∴ −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsinax+sinbcosax. 依题意有a=±4.若a=4.则 −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsin4x+sinbcos4x 于是 {−12=sinb √32=cosb .∴b 的终边在第四象限.又b∈[-π.2π]. 故b=- π6或b=11π6；若a=-4.则 −12cos4x+ √32sin4x=-cosbsin4x+sinbcos4x 于是 {−12=sinb √32=−cosb .∴b 的终边在第三象限.又b∈[-π.2π]. 故b= −5π6或b= 7π6 .综上满足条件的（a.b ）共有4对．故选：D．【点评】：本题考查了三角恒等式的运用.考查了分类讨论的思想.考查了计算能力.属于中档题．9.（单选题.3分）已知函数f（x）=sin（2x+ π3）.若存在x1.x2.…x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤ 176π.且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x m-1）-f（x m）|=11（m≥2.m∈N*）.则m的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】：C【解析】：由正弦函数的有界性可得.对任意x i.x j（i.j=1.2.3.….m）.都有|f（x i）-f（x j）|≤f（x）max-f（x）min=2.要使n取得最小值.尽可能多让x i（i=1.2.3.….m）取得最高点.然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】：解：∵f（x）=sin（2x+ π3）对任意x i.x j（i.j=1.2.3.….m）.都有|f（x i）-f（x j）|≤f（x）max-f（x）min=2.要使m取得最小值.尽可能多让x i（i=1.2.3.….m）取得最高点.考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤ 17π6.|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x m-1）-f（x m）|=11.按图取值即可满足条件.即有|1-（-1）|+|-1-1|+|1-（-1）|+|-1-1|+|1-（-1）|+|0-1|=11．则n的最小值为7．故选：C．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质.考查正弦函数的有界性的应用.考查分析问题和解决问题的能力.考查数学转化思想方法.属于中档题．10.（单选题.3分）函数y= √2sinα)t−√2|√t2−2√2tcosα+2（t∈R.α∈（0. π2））的最大值是（）A. √2B. √3C.2D. √5【正确答案】：B【解析】：函数y的几何意义为点（0.0）到直线（t- √2cosα）x+ √2sinαy+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0的距离.求得直线恒过定点P（-cosα- √2sinα.sinα- √2cosα）.由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值.运用两点的距离公式和同角的平方关系.即可得到所求最大值．【解答】：解：函数y= √2sinα)t−√2|√t2−2√2tcosα+2（t∈R.α∈（0. π2））= √2sinα)t−√2|√(t−√2cosα)+(√2sinα)的几何意义为点（0.0）到直线（t- √2cosα）x+ √2sinαy+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0的距离. 由直线（t- √2cosα）x+ √2ysinα+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0即为t（x+cosα+ √2sinα）+（√2ysinα- √2xcosα- √2）=0.由x+cosα+ √2sinα=0且√2ysinα- √2xcosα- √2 =0.可得x=-cosα- √2sinα.y=sinα- √2cosα.则直线恒过定点P（-cosα- √2sinα.sinα- √2cosα）.由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值.可得|OP|= √(cosα+√2sinα)2+(sinα−√2cosα)2= √cos2α+sin2α+2sin2α+2cos2α = √3．故选：B ．【点评】：本题考查函数的最值的求法.注意运用点到直线的距离公式.以及转化思想.直线恒过定点的求法.考查化简整理的运算能力.属于难题．11.（填空题.4分）若f （x ）为幂函数.且满足 f (8)f (2) =8.则f （16）=___ ．【正确答案】：[1]64【解析】：设f （x ）=x a .由f (8)f (2) =8.解得a= 32 .从而f （x ）= x 32 .由此能求出f （16）．【解答】：解：∵f （x ）为幂函数.∴设f （x ）=x a .∵满足 f (8)f (2) =8.∴ 8a 2a =8.解得a= 32 . ∴f （x ）= x 32 .∴f （16）= 1632=64．故答案为：64．【点评】：本题考查函数值的求法.考查对数函数的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.4分）已知半径为120厘米的圆上.有一条弧所对的圆心角为α（0＜α＜π）.若cosα=- 12 .则这条弧长是___ 厘米．【正确答案】：[1]80π【解析】：由已知可求圆心角.代入扇形的弧长公式：l=α•r 求出弧长即可．【解答】：解：∵0＜α＜π.cosα=- 12 .∴α= 2π3 .∴由扇形的弧长公式得：弧长l=α•r= 2π3 ×120=80πcm .故答案为：80π．【点评】：本题考查弧长公式的应用.要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示.不能用度数.属于基础题．13.（填空题.4分）若△ABC 是边长为2的正三角形.则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：可先画出图形.根据投影的计算公式进行计算即可．【解答】：解：如图：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°.则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为： |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=2×12=1 ．故答案为：1．【点评】：考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义.以及计算公式．14.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）= 35 .则tanα的值为___ ．【正确答案】：[1]- 43【解析】：利用诱导公式.任意角的三角函数的定义.先求得t 的值.可得tanα的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）=-cosα= 35 .即cosα=- 35 = √9t 2+1 .∴t=- 14 ．则tanα= 13t =- 43 .故答案为：- 43 ．【点评】：本题主要考查诱导公式.任意角的三角函数的定义.属于基础题．15.（填空题.4分）已知f （x ）为定义在R 上的偶函数.当x≥0时.有f （x+1）=-f （x ）.且当x∈[0.1）时.f （x ）= log √2 （x+1）.给出下列命题：① f （2017）+f （-2018）=0② 函数f （x ）是周期为2的函数③ 函数f （x ）值域为（-2.2）④ 直线y=2x 与函数f （x ）图象有2个交点其中正确的是___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据函数的奇偶性.及当x≥0时.有f（x+1）=-f（x）.且当x∈[0.1）时.f（x）= log√2（x+1）.画出函数的图象.逐一分析四个结论的真假性．【解答】：解：f（x）为定义在R上的偶函数.当x≥0时.有f（x+1）=-f（x）.且当x∈[0.1）时.f（x）= log√2（x+1）.故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：f（2017）+f（-2018）=0+0=0. ① 正确；由图象知函数f（x）在定义域上不是周期函数. ② 错误；函数f（x）的值域为（-2.2）. ③ 正确；直线y=2x与函数f（x）的图象有1个交点. ④ 错误；综上.正确的命题序号有：① ③ ．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查了函数的图象和性质的应用问题.根据题意画出满足条件的函数图象是解题的关键．16.（填空题.4分）已知函数f（x）=sin（πx+ π3）.g（x）=alog2x- 32.若存在x1.x2∈[2.4].使f（x1）=g（x2）成立.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ 14 .5 2 ]【解析】：根据条件确定函数f（x）的值域和g（x）的值域.进而根据f（x1）=g（x2）成立.推断出f（x）与g（x）的值域的交集不等于空集.即可得到结论．【解答】：解：x 1∈[2.4]时.2π+ π3 ≤πx+ π3 ≤4π+π3 .∴f （x 1）∈[-1.1]．x 2∈[2.4]时.g （x 2）∈[a - 32 .2a- 32 ]．依题意有两函数的值域有公共元素.则 {a −32≤12a −32≥−1.解得 14≤ a ≤52 ．故答案为[ 14 . 52 ]．【点评】：本题考查的知识点是方程的根.存在性问题.集合关系的判断.其中将已知转化为两个函数的值域A.B 的有公共元素.是解答的关键．属于中档题．17.（填空题.4分）设函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.则正实数a 的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 9124【解析】：由题意可得（x 1-x 2）（ x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k ）≤0.k 3-ak 2+ 1k ≥-k-a.即为a≤k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3].求得右边函数的最大值.即可得到所求a 的最大值．【解答】：解：函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.可得 12 x 12+（k 3-ak 2+ 1k ）x 1+7a≤ 12 x 22+（k 3-ak 2+ 1k ）x 2+7a.即有（x 1-x 2）（ x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k）≤0. 由x 1-x 2＜0.可得 x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k≥0. 由x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有x 1+x 22 ∈[k+a .k+ 7a 4 ]. k 3-ak 2+ 1k ≥-k-a.即为a≤k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3]. 设g （k ）= k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3]. 即有g （k ）=k- 1k + 32(k−1) + 32(k+1). g′（k ）=1+ 1k 2 - 32 （ 1(k−1)2 + 1(k+1)2 ） = (1+k 2)(k 4−5k 2+1)k 2(k 2−1)2. 由k 4-5k 2+1=0.解得k= √5+√212 ∈[2.3].显然k∈[2. √5+√212）.g （k ）递减. 在k∈（ √5+√212 .3）.g （k ）递增.g （2）= 72 .g （3）= 9124且g （2）＜g （3）.则0＜a≤ 9124 .可得a 的最大值为 9124 .故答案为： 9124 ．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法.注意运用转化思想和构造函数法.运用导数判断单调性.求最值.考查化简整理的运算能力.属于难题．18.（问答题.8分）已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9.2）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2）．（Ⅰ）若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求x.y 的值；（Ⅱ）若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3.求| BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的垂直和平行即可求出.（Ⅱ）根据向量的数量积可得x=2y-2.再根据向量的模和二次函数的性质即可求出．【解答】：解（Ⅰ）由题意得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9+x.2+y ）.又若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .则2x+y=0.（9+x ）+2（2+y ）=0；解得x=-1.y=2（Ⅱ）由 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3得-x+2y=2 即x=2y-2.∴| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= √x 2+y 2 = √(2y −2)2+y 2 = √5y 2−8y +4 = √5(y −45)2+45. 则当y= 45 时.| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值 2√55 ．【点评】：本题考查了向量的数量积.以及向量的平行垂直和向量的模.属于基础题．19.（问答题.10分）定义在（0.+∞）上的函数f（x）满足f（2x）=x2-2x．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）= 3a+25−a在（1.4）上有实根.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）令t=2x.则x=log2t.代入函数f（x）.即可得到所求解析式；（Ⅱ）运用配方.求得函数f（x）的值域.再由分式不等式的解法.可得所求范围．【解答】：解：（Ⅰ）令t=2x.则x=log2t.由f（2x）=x2-2x得f（t）=（log2t）2-2log2t.即f（x）=（log2x）2-2log2x.x＞0；（Ⅱ）f（x）=（log2x）2-2log2x=（log2x-1）2-1= 3a+25−a.由x∈（1.4）.可得log2x∈（0.2）.（log2x-1）2-1∈[-1.0）.即-1≤ 3a+25−a＜0.即为7+2a5−a ≥0且a＞5或a＜- 23.解得- 72≤a＜- 23．【点评】：本题考查函数的解析式的求法.以及函数方程的转化思想.考查二次函数的最值求法和二次不等式的解法.属于中档题．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的图象与y轴的交点为（0.-1）.它在y轴右侧的第一个最小值点坐标为（x0.-2）.与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）若将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位得到奇函数.求实数m的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意知：A=2.x=0时.y=-1.求解φ.顶点与第一个交点的横坐标距离是四分之一个周期.即可求解ω.可得函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）根据余弦函数的性质即可求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律.得到奇函数.即可求解实数m的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知：A=2.图象与y轴的交点为（0.-1）.即f（0）=2cosφ=-1.∵0＜φ＜π.∴φ= 2π3第一个最小值点坐标为（x0.-2）.与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．∴ π4 = 14T .即T=π那么ω=2．可得函数y=f（x）的解析式为f（x）=2cos（2x+ 2π3）（Ⅱ）由（Ⅰ）解析式：f（x）=2cos（2x+ 2π3）令2kπ-π≤2x+ 2π3≤2kπ.k∈Z即kπ- 5π6≤x≤kπ- π3.∵x在[0.π]上.∴递增区间：[ π6 . 2π3]令2kπ≤2x+ 2π3≤2kπ+π.k∈Z即kπ- π3≤x≤kπ +π6.k∈Z∵x在[0.π]上.∴单调递减区间区间：[0. π6 ].[ 2π3.π]（Ⅲ）将函数函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位. 得到g（x）=2cos（2x+2m+ 2π3）∵g（x）奇函数.∴2m+ 2π3 = π2+kπ .k∈Z解得：m= k 2π−π12. ∵m ＞0. ∴m 的最小值为 5π12 ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.根据信息求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=|x 2-1|-4a.g （x ）=x 2-ax+4a ．（Ⅰ）若F （x ）=f （x ）+g （x ）在区间[0.2]上有两个零点x 1.x 2．① 求实数a 的取值范围；② 若x 1＜x 2.求 1x 1+1x 2的最大值；（Ⅱ）记h （x ）=|x g (x ) |.若h （x ）在（0.1]上单调递增.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ） ① 化为分段函数.即可得到 {a ≥1(1−a )(7−2a )≤0 解得即可. ② 由题意x 1= 1a .x 2= a+√a 2+8a.代值计算.根据函数单调性即可求出. （Ⅱ）h （x ）=|1x+4a x −a |.x∈（0.1].分类讨论.根据函数单调性即可求出．【解答】：解：（Ⅰ） ① F （x ）=）=|x 2-1|-4a+x 2-ax+4a= {2x 2−ax −1，x ∈[1，2]1−ax ，x ∈[0，1). 由题意得： {a ≥1(1−a )(7−2a )≤0解得1≤a≤ 72 .检验a=1不合题意.故1＜a≤ 72 ； ② 由题意x 1= 1a .x 2=a+√a 2+8a . 所以 1x 1+1x 2 =a+ a+√a 2+8 = 12 （a+ √a 2+8 ）.它在（1. 72 ]上单调递增.当a= 72 时. 1x 1+1x 2 取得最大值4；（Ⅱ）h （x ）=| x g (x ) |=| x x 2−ax+4a |=| 1x+4a x −a |.x∈（0.1]. （1）当a=0时.h （x ）= 1x .x∈（0.1]单调递减.不合题意（2）当a＜0时.h（x）=| 1x+4ax −a|.在（0.1]上单调递增.则x+ 4ax-a＜0对任意x∈（0.1]恒成立.所以1+4a-a＜0.解得a＜- 13；（3）当a＞0时.h（x）=| 1x+4ax −a|.在（0.1]上单调递增.则2 √a≥1且x+ 4ax-a＞0对任意x∈（0.1]恒成立.所以a≥ 14且1+4a-a＞0.解得a≥ 14；综上a≥ 14或a＜- 13【点评】：本题考查了分段函数.函数的单调性.参数的取值范围.考查了转化能力.和分类讨论的能力.属于中档题。

浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学(理)

侧视图正视图俯视图浙江杭州学军中学18-19学度高二上年末试题-数学（理）高二数学〔理〕试卷一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分1、“2x >且2y >”是“4x y +>”的〔〕 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件2.椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=那么〔〕 A.1C 与2C 顶点相同 B.1C 与2C 长轴长相同C.1C 与2C 短轴长相同D.1C 与2C 焦距相等3、某简单几何体的三视图如下图，其正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，那么那个几何体的体积为 ( ) A 、43B 、83C 、4D 、8A 、命题“假设21x =，那么1=x ”的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠”B 、命题“假设x y =，那么sin sin x y =”的逆否命题为真命题C 、命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈均有210x x ++<”D 、“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件5.空间三条直线.l m n 、、假设l 与m 异面，且l 与n 异面，那么〔〕A 、m 与n 异面B.m 与n 相交C 、m 与n 平行D.m 与n 异面、相交、平行均有可能6、过圆224x y +=外一点(4,2)P 作圆的两条切线，切点分别为,A B ，那么ABP ∆的外接圆方程是〔〕A 、22(4)(2)1x y -+-=B 、22(2)4x y +-=C 、22(2)(1)5x y +++=D 、22(2)(1)5x y -+-=7、直三棱柱111ABC A B C -(三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，假设90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，那么异面直线1BA 与1AC 所成的角等于〔〕A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为〔〕A.22154x y -= B.22145x y -= C.22136x y -= D.22163x y -= 9、如图有公共左顶点和公共左焦点F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a 1和a 2，半焦距分别为c 1和c 2，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心、那么以下结论不．正确的选项是() A 、a 1＋c 1>a 2＋c 2B 、a 1－c 1＝a 2－c 2C 、a 1c 2<a 2c 1D 、a 1c 2>a 2c 110、如图在长方形ABCD 中，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，那么K 所形成轨迹的长度为() A、2πB 、3πC 、23D 、332【二】填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分、 11、向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=，假设a ⊥b ，那么=x ______. 12、假设直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，那么实数m ＝________.13、从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体〔或平面图形〕的4个顶点，这些几何体〔或平面图形〕是___________〔写出所有正确的结论的编号〕 ①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面基本上等边三角形的四面体 14、动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，那么此动圆必过定点____、 15、设,A B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上。

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（）
A. (1, 0), 3
B. (1, 0), 3
C. (1, 0), 3
D. (1, 0), 3
2.在空间中，设α，表示平面，m，n 表示直线.则下列命题正确的是
（）
A.若 m∥n，n⊥α，则 m⊥α
B. 若α⊥，mα，则 m⊥
C.若 m 上有无数个点不在α内，则 m∥α D.若 m∥α，那么 m 与α内的任何直线平行
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18.(本题满分 14 分) 已知直线 l 经过直线 3x 4 y 2 0与x 3y 4 0 的交点 P ,且垂直于直线 x 2 y 1 0.
（1）求直线 l 的方程；（2）求直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积.
1(a
0,b
0)
的顶点为
A1, A2 ，P 为双曲线上一点，直线 PA1 交
双曲线 C 的一条渐近线于 M 点，直线 A2M 和 A2P 的斜率分别为 k1, k2 ，若 A2M PA1 且
k1 4k2 0 ，则双曲线 C 离心率
17．已知点 P 是正方体 ABCD A1B1C1D1 表面上一动点，且满足 | PA | 2 | PB | ，设 PD1 与平面 ABCD 所成的角为，则的最大值是
11.双曲线x2－y2＝1 的渐近线方程是 43
；实轴长为___________.
12.已知直线 l：mx＋y－2m－1＝0，圆 C：x2＋y2－2x－4y＝0，直线恒过定点
;
当直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时，实数 m＝
．
13.已知抛物线 y2＝mx 的焦点坐标 F 为(2,0)，则 m 的值为
杭州学军中学 2018 学年第一学期期末考试
高二数学试卷
参考公式：球的体积公式:V= 4 πR3 其中 R 表示球的半径 3
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.圆 (x 1)2 y2 3 的圆心坐标和半径分别是
A. 2 1 m 1 2 B.2 m 1 2 C. 1 2 m 2 D. 2 m 2
6.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为 6 的正三角形、侧棱长均为 5，
其正视图，俯视图如图所示，则其侧视图
（）
A.形状是等腰三角形，面积为 3 13
B.形状是等腰三角形，面积为 3 39 2
19.（本题满分 15 分）如图，四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是矩形， E ， F 分别是 AB ， PD 的中点．若 PA AD 3 ， CD 6 。（1）求证： AF // 平面 PCE ；（2）求直线 FC 与平面 PCE 所成角的正弦值。
C.不是等腰三角形，面积为 3 13
3 39
D.不是等腰三角形，面积为
2
7.已知直二面角α－l－β，点 A∈α，AC⊥l，C 为垂足，B∈β，BD⊥l， D 为垂足，若 AB＝2，AC＝BD＝1，则 D 到平面 ABC 的距离等于( )
A. 2 3
3 B． 3
6 C． 3
D．1
(第 6 题)
8．已知直线 l : x cos y sin 2( R) ，圆 C : x 2 y 2 2 cos x 2 sin y 0
3.已知 a, b 为实数，则“ a ＞ b ”是“ 1 ＜ 1 ”的
（
ab
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
4.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积为( )
A．6
B．3 2
C．12
D．6 2
）
(第 4 题)
5.曲线 C：x y 2 2 y 与直线 l : x y m 0 有两个交点，则实数 m 的取值范围（）
3
（
）
A．圆的一部分
B．椭圆的一部分
C．抛物线的一部分
D．双曲线的一部分
10.已知在△ABC 中， ACB ，AB=2BC，现将△ABC 绕 BC 所在 2
直线旋转到△PBC，设二面角 P﹣BC﹣A 大小为θ，PB 与平面 ABC 所成角为α，
(第 9 题)
PC 与平面 PAB 所成角为β，若 0＜θ＜π，则
( R) ，则直线 l 与圆 C 的位置关系一定不是
A．相交
B．相切
C．相离
（） D．无法确定[
9．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动点，
点 P 是△A1C1D 内的动点（不包括边界），记直线 D1P 与 MN 所成角为θ，

若θ的最小值为，则点 P 的轨迹是
;
若点 P 在抛物线上，点 A(5,3)，则|PA|＋|PF|的最小值为
.
14．如图，在三棱锥 S—ABC 中，若底面 ABC 是正三角形，侧棱长 SA=SB=SC= 3
(第 14 题)
M、N 分别为棱 SC、BC 的中点，并且 AM MN，则异面直线 MN 与 AC 所成角为_____;
三棱锥 S—ABC 的外接球的体积为
(第 19 题)
20．(本题满分 15 分) 如图，由半圆 x2 y2 1( y 0) 和部分抛物线 y a(x2 1)（ y 0 ， a 0 ）合成的曲线 C 称为“羽毛球形线”，且曲线 C 经过点 (2, 3) . （1）求 a 的值；（2）设 A(1, 0) , B(1, 0) ，过 A 且斜率为 k 的直线 l 与“羽毛球形线”相交于 P , A , Q 三
.
15.已知两圆 C1 : x2 y2 2x 0 ，C2 : (x 1)2 y2 4 的圆心分别为 C1,C2 ，P 为一个动
点，且 | PC1 | | PC2 | 2 2 ，则动点 P 的轨迹方程为_______________.
16.设双曲线 C
:
x2 a2

y2 b2
（）
A. (0, ],sin (0, 3 )
3
3
B. (0, ],sin (0, 30, ],sin (0, 1)
3
2
D. (0, ],sin (0, 1)
6
2
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）