4多自由度系统振动之一动力学方程解析
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多自由度系统振动
主讲：周利东
太原科技大学
机械工程学院
2010-10-26
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响 c
k2
c2
k2
c2
m m 轮
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式：
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
坐标间的耦合项
• 多自由度系统的动力学方程
• • • • • 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1
k2
P2(t)
m2
x2
k3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x1、x2
P2(t)
1、 2 加速度 x x
k 1
M1 (t )
M 2 (t ) 2
k
k 3
I2
I1
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
受力分析：
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
k2(x1-x2)
m2
k3x2
1 m1 x
2 m2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P 1 (t ) 力量纲 m2 x2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t )
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 11
, 角加速度 1 2
k 2 (1 2 )
k 1
M1 (t )
1
k 2
M 2 (t )
2
k 3
I2
M1 (t )
I1 1
I1
k 2 (2 1 )
k 3 3
M 2 (t )
I 2 2
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
P2(t)
k1
m1
k2
m2
k3
1 k1 k2 x m1 0 m 0 k x 2 2 2
k2 x1 P 1 (t ) x P (t ) k 2 k3 2 2
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
1 k1 k2 x m1 0 m 0 2 k2 2 x
例2：转动运动
两圆盘
外力矩 M 1 (t ), M 2 (t )
转动惯量 I 1 , I 2
轴的三个段的扭转刚度
1
k 1 , k 2 , k 3
2
k 1
M1 (t )
k 2
M 2 (t )
k 3
I2
I1
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标：
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
矩阵形式：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 ) k 2 (2 1 )
k 3 3
M1 (t )
I1 1
M 2 (t )
Βιβλιοθήκη Baidu
I 2 2
建立方程：
k k ( ) M (t ) I 1 1 1 1 2 1 2 1 I 2 2 k 2 ( 2 1 ) k 3 3 M 2 (t )
主讲：周利东
太原科技大学
机械工程学院
2010-10-26
多自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 间的相互影响 c
k2
c2
k2
c2
m m 轮
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动
教学内容
• • • • • 多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式：
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
坐标间的耦合项
• 多自由度系统的动力学方程
• • • • • 作用力方程 刚度矩阵和质量矩阵 位移方程和柔度矩阵 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质 耦合与坐标变换
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力
不计摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1
k2
P2(t)
m2
x2
k3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
x1、x2
P2(t)
1、 2 加速度 x x
k 1
M1 (t )
M 2 (t ) 2
k
k 3
I2
I1
I1 0
k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k 2 1 M 1 (t ) k 2 k 3 2 M 2 (t )
受力分析：
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
k2(x1-x2)
m2
k3x2
1 m1 x
2 m2 x
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
k1x1 k2(x1-x2)
m1
P2(t) k2(x1-x2)
m2
k3x2
建立方程：
1 m1 x
2 m2 x
m1 x1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P 1 (t ) 力量纲 m2 x2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 P2 (t )
受力分析： 设某一瞬时： 角位移 1 , 2
k 11
, 角加速度 1 2
k 2 (1 2 )
k 1
M1 (t )
1
k 2
M 2 (t )
2
k 3
I2
M1 (t )
I1 1
I1
k 2 (2 1 )
k 3 3
M 2 (t )
I 2 2
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的 弹性和阻尼 k2 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
多自由度系统振动
m人
k1
c1
m车
建模方法3：
车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮、车轮与地面之间的 相互耦合，模型较为精确
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
P1(t)
P2(t)
k1
m1
k2
m2
k3
1 k1 k2 x m1 0 m 0 k x 2 2 2
k2 x1 P 1 (t ) x P (t ) k 2 k3 2 2
多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：
例1：
1 k1 k2 x m1 0 m 0 2 k2 2 x
例2：转动运动
两圆盘
外力矩 M 1 (t ), M 2 (t )
转动惯量 I 1 , I 2
轴的三个段的扭转刚度
1
k 1 , k 2 , k 3
2
k 1
M1 (t )
k 2
M 2 (t )
k 3
I2
I1
试建立系统的运动微分方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
建立坐标：
I1 0 k 1 k 2 0 1 I 2 2 k 2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
矩阵形式：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
k2 x1 P 1 (t ) k2 k3 x2 P2 (t )
坐标间的耦合项
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
k 11
k 2 (1 2 ) k 2 (2 1 )
k 3 3
M1 (t )
I1 1
M 2 (t )
Βιβλιοθήκη Baidu
I 2 2
建立方程：
k k ( ) M (t ) I 1 1 1 1 2 1 2 1 I 2 2 k 2 ( 2 1 ) k 3 3 M 2 (t )