数学建模平衡点稳定性

微分方程平衡点及其稳定性理论

这里简单介绍下面将要用到的有关内容：

一、 一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程

()dx f x dt

= （1） 右端不显含自变量t ，代数方程

()0f x = （2）

的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）

如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解()x t 都满足

0lim ()t x t x →∞

= （3） 则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的（不渐近稳定）。

判断平衡点0x 是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。

将()f x 在0x 做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：

0'()()dx f x x x dt

=- （4） （4）称为（1）的近似线性方程。0x 也是（4）的平衡点。关于平衡点0x 的稳定性有如下的结论：

若0'()0f x <，则0x 是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。

若0'()0f x >，则0x 不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点

0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是

0'()0()f x t x t ce x =+ （5）

其中C 是由初始条件决定的常数。

二、 微分方程组的平衡点和稳定性

方程的一般形式可用两个一阶方程表示为

112212()(,)()(,)dx t f x x dt dx t g x x dt

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （6）

右端不显含t ，代数方程组

1212

(,)0(,)0f x x g x x =⎧⎨=⎩ （7） 的实根0012

(,)x x 称为方程（6）的平衡点。记为00012(,)P x x 如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12(),()x t x t 都满足

101lim ()t x t x →∞= 202lim ()t x t x →∞

= （8） 则称平衡点00012(,)P x x 是稳定的（渐近稳定）；否则，称P 0是不稳定的（不渐

近稳定）。

为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程

1111222122()()dx t a x b x dt dx t a x b x dt

⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （9） 系数矩阵记作

1122a b A a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

并假定A 的行列式det 0A ≠

于是原点0(0,0)P 是方程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程

det()0A I λ-=

的根λ（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：

2120()det p q p a b q A λλ⎧++=⎪=-+⎨⎪=⎩

（10）

将特征根记作12,λλ，则

121,(2p λλ=- （11） 方程（9）的解一般有形式1212t t c e c e λλ+（12λλ≠）或12()t c c t e λ+（12λλλ==） 12,c c 为任意实数。由定义（8），当12,λλ全为负数或有负的实部时0(0,0)P 是稳定的平衡点，反之，当12,λλ有一个为正数或有正的实部时0(0,0)P 是不稳定的平衡点