专题复习：等腰三角形、等边三角形和直角三角形
三角形的特征认识等边等腰和直角三角形
三角形的特征认识等边等腰和直角三角形三角形的特征认识：等边、等腰和直角三角形三角形是几何学中最基本的形状之一，具有独特的特征和性质。
在三角形中，有一些特殊类型的三角形，包括等边、等腰和直角三角形。
本文将详细介绍这些三角形的特征和性质。
一、等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
一个等边三角形的特点是它的三个角都是60度。
这种三角形具有以下性质：1. 所有边长相等：在等边三角形中，三条边的长度都完全相等。
2. 所有角度相等：等边三角形的三个内角都是60度。
3. 对称性：等边三角形具有三条边的对称性，任意一条边都可以作为对称轴。
等边三角形是一种特殊的三角形，具有明显的对称性和规则性。
在实际应用中，等边三角形常常出现在建筑设计、制图和几何问题中。
二、等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
一个等腰三角形的特点是它的两个底角（顶角以外的两个角）相等。
这种三角形具有以下性质：1. 两边相等：等腰三角形的两条边（即两条底边）的长度完全相等。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角（顶角以外的两个角）的度数相等。
3. 对称性：等腰三角形具有一条对称轴，可以将三角形分为两个相等的部分。
等腰三角形常常在几何学和实际生活中出现。
例如，在建筑设计中，我们可以使用等腰三角形来设计对称美观的柱子或天花板形状；在数学课堂上，我们可以通过等腰三角形的性质来解决各种几何问题。
三、直角三角形直角三角形是指其中一个内角度数为90度的三角形。
直角三角形的特征是其两个边与直角之间的关系，即勾股定理。
这种三角形具有以下性质：1. 直角边：直角三角形的两条边与直角（90度角）的夹角相邻。
2. 斜边：直角三角形的直角边之外的边称为斜边，是直角三角形的最长边。
3. 勾股定理：直角三角形的三条边之间满足勾股定理，即直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形是几何学中最重要的三角形之一，具有广泛的应用。
在实际生活中，直角三角形的性质经常被用于测量距离、规划建筑和解决实际问题。
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形
初中数学专题复习等腰三角形与直角三角形在初中数学的学习中，等腰三角形和直角三角形是两个非常重要的几何图形。
它们具有独特的性质和定理，在解决数学问题时经常会用到。
下面我们就来对这两个图形进行一次系统的复习。
一、等腰三角形1、定义有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
相等的两条边称为腰，另一边称为底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
2、性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、等腰三角形中的常见计算（1）已知等腰三角形的顶角，求底角：底角＝（180°顶角）÷ 2 。
（2）已知等腰三角形的底角，求顶角：顶角＝ 180° 2×底角。
5、等腰三角形的周长和面积（1）周长：等腰三角形的周长＝腰长× 2 ＋底边。
（2）面积：通常可以通过作底边的高，将等腰三角形分成两个直角三角形，然后利用三角形面积公式 S ＝ 1/2×底×高来计算。
二、直角三角形1、定义有一个角为 90°的三角形叫做直角三角形。
2、性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3、判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4、直角三角形中的常见计算（1）已知直角三角形的两条直角边 a、b，求斜边 c：c ＝√（a²＋b²) 。
中考数学专题复习全攻略第三节 等腰、等边及直角三角形
第三节 等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形1.等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴.（2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.变式练习3：一个等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为( )A. 17B. 15C. 13D. 13或17【解析】A ①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3＋3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3＋7＋7＝17，故这个等腰三角形的周长是17.变式练习4：如图，O 为数轴原点，A ，B 两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰△ABC ，连接OC ，以O 为圆心，CO 长为半径画弧交数轴于点M ，则点M 对应的实数为．变式练习5： 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为( C ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．16或20 当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论°，则另外两个角的度数三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其的中点，则三角形的形状是等腰三2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角 为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形.C 9.变式练习2： 在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，若CD ＝2，过点D 作DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F ，求EF 的长．解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝60°，∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2，在Rt △DEF ，∵∠DEF ＝90°，DE ＝2，∴DF ＝2DE ＝4，∴EF ＝DF 2－DE 2＝42－22＝2 3.变式练习3： 如图，△ABC 是等边三角形，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且CE ＝1，∠E ＝30°，则BC ＝__2__.知识点二 ：角平分线和垂直平分线1.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的 两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．B）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线°，所以当等边三角形出现高时，°角的性质，即变式练习：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD=2，则AC=6.知识点三：直角三角形的判定与性质1.直角三角形的性质 (1)两锐角互余.即∠A ＋∠B ＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B ＝30°则AC ＝12AB ； (3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .2.直角三角形的判定(1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C ＝90°，则△ABC 是Rt △；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD ＝BD ＝CD ，则△ ABC 是Rt △(3) 勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2 ＝c 2， 则△ABC 是Rt △.3.直角三角形相似判定定理1).斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
中考一轮复习--第16讲 等腰、等边与直角三角形
又AD⊥BC,∴△AEF是等腰三角形.∴∠E=∠F;
∵AB=BE,∴∠ABC=2∠E;
同理,得∠ACB=2∠F;∴∠ABC=∠ACB,
即AB=AC,△ABC是等腰三角形;
④在△ABC中,AD⊥BC,根据勾股定理,得
AB2-BD2=AC2-CD2,
即(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD);
. 35°
解析:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,∴BD是中
线,∴AD=BD=CD,∴∠DBC=∠C=55°,∴∠ABD=90°-55°=35°.
考法1
考法2
等腰(边)三角形的性质与判定
例2(2019·重庆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)若∠C=42°,求∠BAD的度数;
(2)若点E在边AB上,EF∥AC交AD的延长线于点F.求证:AE=FE.
分析:(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD,根据三角形
的内角和即可得到∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°;(2)根据等腰三角形
的性质得到∠BAD=∠CAD,根据平行线的性质得到∠F=∠CAD,等量
代换得到∠BAD=∠F,于是得到结论.
∵∠D=90°,∴CD2+DF2=FC2,
∴CD2+12=32,∴CD=2 2 .
方法总结勾股定理是直角三角形中的一个重要性质,可以由角的
关系得到三角形的边的关系,常用的方法是已知直角三角形的两边
求第三边,或者是已知直角三角形三边之间的关系,列方程求出某
些边长.
考法1
考法2
对应练1(2019·安徽萧县期末)如图,在△ABC
中考数学专题复习第4章三角形第14讲等腰三角形和直角三角形含答案
第14讲 等腰三角形和直角三角形☞【基础知识归纳】☜☞归纳 一、等腰三角形1.等腰三角形的定义： 有两条边相等 的三角形是等腰三角形．2.等腰三角形的性质①等腰三角形两个底角 相等 ；②等腰三角形 顶角的平分线 、 底边上的中线 、 底边上的高 互相重合， 简称：“三线合一”③等腰三角形是轴对称图形，有 1 条对称轴． 3.等腰三角形的判定方法①定义判定：一个三角形中，如果有两条边 相等 ，那么这个三角形是等腰三角形． ②判定定理：等角对等边；即一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边 相等 ．4.等边三角形的性质①等边三角形的各角都 相等 ，并且每—个角都等于 60 度； ②等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴． 5.等边三角形的判定①三边都 相等 的三角形是等边三角形； ②三个角都 相等 的三角形是等边三角形； ③有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形.☞归纳二、直角三角形 1.直角三角形的定义 有一个角是 直角 的三角形叫做直角三角形 2.直角三角形的性质①直角三角形的两个锐角 互余 ；②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 ； ③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的 一半 3.直角三角形的判定①两个内角和为 90° 的三角形是直角三角形；②一边上的中线等于这条边的 一半 的三角形是直角三角形 4.勾股定理及逆定理【勾股定理】如果直角三角形两条直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么222a b c += 【逆定理】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、等腰三角形【例1】(2016贺州) 一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（ ）A. 12B. 16C. 20D. 16或20【答案】C【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 8时，因为4+4=8，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为4, 8, 8时，因为4+8>8符合题意，此时它的周长为4+8+8=20【例2】（2016邵阳）如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A. AC＞BCB. AC=BCC.∠A＞∠ABCD. ∠A=∠ABC 【答案】A【解答】∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，∴∠ABC＞∠A，所以C选项和D选项错误；∴AC＞BC，所以A选项正确；B选项错误．【举一反三】1. (2016湘西州) 一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A. 13cmB. 14cmC. 13cm或14cmD. 以上都不对【答案】c【分析】当等腰三角形的三边为4, 4, 5时，因为4+4>5，符合题意，此时它的周长为4+4+5=13cm;当等腰三角形的三边为4, 5, 5时，因为4+5>5符合题意，此时它的周长为4+5+5=142. (2016通辽) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数为【答案】69°或21°【解答】分两种情况讨论：①若∠A＜90°，如图1所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90°，∵∠ABD=48°，∴∠A=90°﹣48°=42°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=69°；②若∠A＞90°，如图2所示：同①可得：∠DAB=90°﹣48°=42°，∴∠BAC=180°﹣42°=138°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=21°；综上所述：等腰三角形底角的度数为69°或21°．3. (2016淮安) 已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的 周长是 【答案】10【分析】当等腰三角形的三边为2,2,4时，因为2+2=4，不符合题意，舍去；当等腰三角形的三边为2,4,4时，因为2+4>4符合题意， 此时它的周长为2+4+4=104. (2016随州) 已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程28150x x -+=的根， 则该等腰三角形的周长为 【答案】19或21或23【解答】解方程28150x x -+=得x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21； 当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去； 当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19； 综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，5. (2016安顺) 已知实数,x y 满足480x y --=，则以,x y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对 【答案】B【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得4080x y -=⎧⎨-=⎩，解得48x y =⎧⎨=⎩， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．6. (2016荆门) 已知3是关于x 的方程2(1)20x m x m -++=的一个实数根，并且这个 方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D【分析】把x=3代入已知方程求得m 的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为27120x x -+=，解得123,4x x ==，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，①当△ABC 的腰为4，底边为3时，则△ABC 的周长为4+4+3=11； ②当△ABC 的腰为3，底边为4时，则△ABC 的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC 的周长为10或11．7. (2016荆门) 如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB=5，AD=3， 则BC 的长为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10 【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，BD=CD ，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD=CD ，∵AB=5，AD=3，∴22AB AD -，∴BC=2BD=8，☺ 题型二、直角三角形【例3】(2015毕节) 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）3,4,523【答案】B【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 22212)3)+=，所以能够组成直角三角形【例4】(2016南充) 如图，在Rt△ABC 中，∠A=30°，BC=1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 1+3 【答案】A【解析】如图，∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴BC=12AB, 又∵BC=1 ∴AB=2BC=2．又∵点D 、E 分别是AC 和BC 的中点， ∴DE 是△ACB 的中位线，∴DE=12AB=1．故选A ．【举一反三】1. (2015来宾) 下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ）A. 1, 2, 3B. 2, 3, 4C. 4, 5, 6D. 1,2,3 【答案】D【分析】如果三角形三边长,,a b c 满足222a b c +=，那么这个三角形是 直角 三角形；因为 2221(2)(3)+=，所以能够组成直角三角形2. (2016甘孜州) 直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3， 则此直角三角形的面积为 ． 【答案】6【分析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，∴另一直角边长为4．该直角三角形的面积S =12×3×4=63. (2016泉州) 如图3，在Rt △ABC 中，E 是斜边AB 的中点，若AB=10，则CE= ．图3 图4 【答案】5【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE= 12AB=1102⨯=5.4. (2016百色) 如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（ ） A. 6 B. 62 C. 63 D.12 【答案】A【解答】∵∠C=90°，∠A=30°，AB=12，∴BC=12sin30°=12×12=6，5. (2016深圳龙岭期中) 如图，在△ABC 中，AB=AC ，DE∥BC， 则下列结论中不正确的是（ ）A. AD=AEB. DB=ECC. ∠ADE=∠CD. DE=12BC 【答案】D【分析】由DE 与BC 平行，得到△ADE ∽△ABC ，由相似得比例，根据AB=AC ，得到AD=AE ，进而确定出DB=EC ，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C， 而DE 不一定为中位线，即DE 不一定为BC 的一半，即可得到正确选项．☞【巩固提升自我】☜1. (2014广东) 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A. 17 B. 15 C. 13 D. 13或17 【答案】A【分析】①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17．2. (2015广州) 已知2是关于x 的方程2230x mx m -+=的一个根，并且这个方程的 两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为（ ） A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 【答案】B【分析】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．当m=4时，原方程为28120x x -+=， 解得：122,6x x ==，∵2+2=4＜6，∴此等腰三角形的三边为6、6、2， ∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．3. (2016广州) 如图3，已知△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，DE 是AC 的垂直平分线， DE 交AB 于点D ，连接CD ，则CD=（ ）图3 图4A. 3B. 4C. 4.8D. 5【答案】D【解答】∵AB=10，AC=8，BC=6， ∴222BC AC AB +=，∴△ABC 是直角三角形， ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE ∥BC ，且线段DE 是△ABC 的中位线，∴DE=3， ∴AD=DC=22AE DE +=5．4. (2015南宁) 如图4，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C . 45° D . 50° 【答案】A若测得AM 的长为1.2km ，则M ，C 两点间的距离为（ ）图5 图6A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.9kmD. 1.2km【答案】D解：∵△ABD 中，AB=AD ，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD ，∴∠C=（180°﹣∠ADC ）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°【分析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km6. (2015丹东) 如图6，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A. 15°B. 17.5°C. 20°D. 22.5°【答案】A解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ACE=∠A+∠ABC，即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，∴2∠1=2∠3+∠A，∵∠1=∠3+∠D，∴∠D=12∠A=12×30°=15°7. (2016海南) 如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD 对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B. 62332【答案】D解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，BC=6，∴BD=ED=3，即△EDB是等腰直角三角形，∴×3=。
初中数学特殊三角形(等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形)常考题及答案解析
特殊三角形（等腰三角形、等边三角形、30°直角三角形）常考题及答案解析1．（2020秋•喀什地区期末）下列说法错误的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等D．等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍2．（2020秋•顺城区期末）已知等腰三角形的周长为17cm，一边长为4cm，则它的腰长为（）A．4cm B．6.5cm C．6.5cm或9cm D．4cm或6.5cm 3．（2017•海南）已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）条．A．3B．4C．5D．6 4．（2019•白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．5．（2013•凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．6．（2020秋•五常市期末）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．（1）求证：AB＝AC；（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．7．（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（）A．3B．4C．5D．6 8．（2006•烟台）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020秋•慈溪市期中）已知：如图，AB＝BC，∠A＝∠C．求证：AD＝CD．10．（2014秋•青山区期中）已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．11．（2018秋•六合区期中）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，DE ∥BC交AB于点E．（1）求证：△ADE是等边三角形．（2）求证：AE＝AB．12．（2017•裕华区校级模拟）已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．13．（2012秋•姜堰市校级期中）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC ＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）△COD是什么三角形？说明理由；（2）若AO＝n2+1，AD＝n2﹣1，OD＝2n（n为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？14．（2000•内蒙古）如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．15．（2020秋•连山区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．816．（2020秋•肇州县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 17．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．4.5B．5C．5.5D．618．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为．19．（2020秋•宽城区期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（）A．10B．8C．6D．420．（2020秋•无棣县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（）A．4B．4.5C．5D．721．（2020秋•云县期中）如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.822．（2020秋•北碚区校级期中）如图，已知∠AOB＝60°，P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝5，则ON的长度是（）A．9B．6.5C．6D．5.523．（2020秋•天宁区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P 在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个24．（2020秋•连江县期中）如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE ⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（）A．2﹣x B．3﹣x C．1D．2+x 25．（2020秋•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC 的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长是（）A．5B．2C．4D．326．（2019秋•勃利县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D 作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（）①∠DCB＝∠B；②CD＝AB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF．A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④27．（2019春•秦淮区期末）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a28．下列说法中，正确的个数是（）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形A．1个B．2个C．3个D．4个29．（2020•和平区三模）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BD＝CD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（）A．B．C．D．30．（2020秋•天心区期中）下列说法错误的是（）A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等C．等腰三角形的角平分线，中线，高相互重合D．三个角都相等的三角形是等边三角形．31．（2019春•杏花岭区校级期中）关于等边三角形，下列说法中错误的是（）A．等边三角形中，各边都相等B．等腰三角形是特殊的等边三角形C．两个角都等于60°的三角形是等边三角形D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形32．（2019•城步县模拟）一个六边形的六个内角都是120°（如图），连续四条边的长依次为1，3，3，2，则这个六边形的周长是（）A．13B．14C．15D．16 33．（2018•柳州一模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝90°，AB＝2，则CD长的取值范围是（）A．＜CD＜B．CD＞2C．1＜CD＜2D．0＜CD＜34．（2018秋•罗庄区期中）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案与试题解析1．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质即可判断A；根据三角形的高、角平分线、中线的定义和等腰三角形的性质即可判断B；根据角平分线的性质即可判断C；根据三角形的外角性质和等腰三角形的性质即可判断D．【解答】解：A．等腰三角形的两底角相等，故本选项不符合题意；B．等腰三角形的两个底角的高、角平分线和中线不一定互相重合，故本选项符合题意；C.过O作OM⊥AB于M，OQ⊥AC于Q，ON⊥BC于N，∵O是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴OM＝ON，ON＝OQ，∴OM＝ON＝OQ，即三角形的两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故本选项不符合题意；D.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠EAC＝∠B+∠C，∴∠EAC＝2∠B，即等腰三角形顶角的外角是其底角的2倍，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．2．【考点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】分两种情况讨论：当4cm为腰长时，当4cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．【解答】解：①若4cm是腰长，则底边长为：20﹣4﹣4＝12（cm），∵4+4＜12，不能组成三角形，舍去；②若4cm是底边长，则腰长为：＝6.5（cm）．则腰长为6.5cm．故选：B．【点评】此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题难度不大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．3．【考点】等腰三角形的判定．【专题】三角形．【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．故选：B．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．4．【考点】等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．【解答】解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°∴特征值k＝＝②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k＝＝综上所述，特征值k为或故答案为或【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的度数，要分∠A是顶角和底角两种情况，以免造成答案的遗漏．5．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长＝4+8+8＝20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．6．【考点】等腰三角形的判定．【专题】几何图形．【分析】（1）首先过点A作AF⊥BC于点F，由AD＝AE，根据三线合一的性质，可得DF＝EF，又由BD＝CE，可得BF＝CF，然后由线段垂直平分线的性质，可证得AB＝AC．（2）根据等腰三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF，∴AB＝AC．（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．7．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】数形结合；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】过点E作EG⊥BC，交BC于点G，先证明△ABC是等边三角形，再证明∠AFE ＝90°，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，最后将EF与DE相加即可．【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．8．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】先根据图形折叠的性质得出BC＝CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE＝AE＝BE，进而可判断出△BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论．【解答】解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．【点评】考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力．9．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】连接AC，根据等边对等角得到∠BAC＝∠BCA，因为∠A＝∠C，则可以得到∠CAD＝∠ACD，根据等角对等边可得到AD＝DC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCD，∴∠CAD＝∠ACD．∴AD＝CD．【点评】重点考查了等腰三角形的判定方法，即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．10．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】由△ABC是等边三角形，AD＝BE＝CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF＝DE，同理可得DF＝EF，即可证得：△DEF是等边三角形．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】几何图形．【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC＝60°，∠ADE＝∠C＝60°．∴△ADE是等边三角形．（2）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC．∵BD平分∠ABC，∴AD＝AC．∵△ADE是等边三角形，∴AE＝AD．∴AE＝AB．【点评】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．12．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据等边△ABC中AD＝BE＝CF，证得△ADE≌△BEF≌△CFD即可得出△DEF 是等边三角形．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，∴AE＝BF＝CD，又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形判定，根据已知得出△ADE≌△BEF≌△CFD是解答此题的关键．13．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】（1）根据旋转的性质可得CO＝CD，∠OCD＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解答；（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO＝90°，从而求出∠ADC＝150°，再根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得α＝∠ADC；（3）根据周角为360°用α表示出∠AOD，再根据旋转的性质表示出∠ADO，然后利用三角形的内角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD＝∠ADO，∠AOD＝∠DAO，∠ADO＝∠DAO三种情况讨论求解．【解答】解：（1）△COD是等边三角形．理由如下：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）∵AD2+OD2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝AO2，∴△AOD是直角三角形，且∠ADO＝90°，∵△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠ADC＝∠ADO+∠CDO＝90°+60°＝150°，根据旋转的性质，α＝∠ADC＝150；（3）∵α＝∠ADC，∠CDO＝60°，∴∠ADO＝α﹣60°，又∵∠AOD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∴∠DAO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝180°﹣190°+α﹣α+60°＝50°，∵△AOD是等腰三角形，∴①∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，解得α＝125°，②∠AOD＝∠DAO时，190°﹣α＝50°，解得α＝140°，③∠ADO＝∠DAO时，α﹣60°＝50°，解得α＝110°，综上所述，α为125°或140°或110°时，△AOD是等腰三角形．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，（3）用α表示出△AOD的各个内角是解题的关键，注意要分情况讨论．14．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】首先延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，得出△BEF为等边三角形，进而求出△ECB≌△EDF，从而得出EC＝DE．【解答】证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°，在△ECB和△EDF中∴△ECB≌△EDF（SAS），∴EC＝ED．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定等知识，作出辅助线是解决问题的关键．15．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠A＝60°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC、AB的长，然后根据BD＝AB﹣AD计算即可得解．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∵AD＝2，∴AC＝2AD＝4，∴AB＝2AC＝8，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．16．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EA，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝15°，根据三角形的外角的性质求出∠AEC＝30°，根据直角三角形的性质计算．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．18．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】推理填空题．【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC＝AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE＝BC＝1.85m，故答案为：1.85m．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．19．【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC ＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．【考点】垂线段最短；含30度角的直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】在Rt△ABC中，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求出AB的长，由点P是BC边上一动点结合AC，AB的长，即可得出AP长的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝2AC＝6．∵点P是BC边上一动点，∴AC≤AP≤AB，即3≤AP≤6．故选：D．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及垂线段最短，通过解含30度角的直角三角形，求出AB的长是解题的关键．21．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】求出AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD，即可求出答案．【解答】解：∵点D是AB的中点，AB＝7.2，∴AD＝AB＝3.6，∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°，∵∠A＝30°，∴DE＝AD＝1.8，故选：A．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，能根据含30°角的直角三角形的性质得出DE＝AD是解此题的关键．22．【考点】等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】过P作PC⊥MN于C，先由等腰三角形的性质得CM＝CN＝2.5，再由含30°角的直角三角形的性质求出OC的长，然后由OC+CM求出ON的长即可．【解答】解：过P作PC⊥MN于C，如图所示：∵PM＝PN，MN＝5，∴CM＝NC＝MN＝2.5，在Rt△OPC中，∠AOB＝60°，∴∠OPC＝30°，∴OC＝OP＝4，则ON＝OC+CM＝4+2.5＝6.5，故选：B．【点评】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．23．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．【点评】此题考查等腰三角形的判定，关键是根据等腰三角形的判定和含30°的直角三角形的性质解答．24．【考点】列代数式；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用等边三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，∵PD⊥BC，DE⊥AC，∴BD＝PB，CE＝CD，∵P A＝x，∴BP＝4﹣x，∴BD＝PB＝2﹣x，∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，∴CE＝1+x，∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，故选：B．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．25．【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF 的长．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°，∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵AB＝6，∠B＝30°，∴AD＝AB＝3，∴DF＝3，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，能求出AD＝DF是解此题的关键．26．【考点】等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形．【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确；由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CD＝AB正确；易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形；由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，∵∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确；∴CD＝BD，∵AD＝CD，∴CD＝AB；故②正确；∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误；∵若∠E＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°，∴CF＝DF，∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB 的中点是解此题的关键．27．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形．【分析】延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，证出四边形AEPH、四边形PDCG 均为平行四边形，得出PE＝AH，PG＝CD．证出△FGP和△HPD也是等边三角形，得出PF＝PG＝CD，PD＝DH，得出PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC即可．【解答】解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．28．【考点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．【专题】三角形．【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断；【解答】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确．③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确．故选：D．【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．29．【考点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，最后根据线段和可得CM的长．【解答】解：∵等边三角形边长为2，BD＝CD，∴BD＝，CD＝，∵等边三角形ABC中，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B＝60°，∵∠EDF＝90°，∴∠BDE＝30°，∴DE⊥BE，∴BE＝BD＝，DE＝，如图，连接DM，则Rt△DEF中，DM＝EF＝FM，∵∠FDC＝∠FCD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF＝，∴CM垂直平分DF，∴∠DCN＝30°，DN＝FN，∴Rt△CDN中，DN＝，CN＝，∵M为EF的中点，∴MN＝DE＝，∴CM＝CN+MN＝+＝，故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．30．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质和判定逐个进行分析判断，即可得到答案．【解答】解：A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不合题意；B．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，故本选项不合题意；C．等腰三角形顶角的角平分线，底边的中线，高相互重合，说法错误，故本选项符合题意；D．三个角都相等的三角形是等边三角形，故本选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键．31．【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．。
第18讲 等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。
中考数学专题复习 三角形(等腰三角形、等边三角形)练习试题
币仍仅州斤爪反市希望学校3、三角形〔等腰三角形、等边三角形〕知识点〔3〕有一个角是 的等腰三角形是等边三角形【能力训练】1、用长度为8cm ，9cm ，10cm 的三条线段_______构成三角形．〔•填“能〞或“不能〞〕2、现有2cm 、4cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为 。
3、三角形三边长为3，4，假设第三边长为偶数，那么第三边长为_______4、三角形的三个外角中，钝角的个数最多有______个，锐角最多_____个．5、一个三角形三个内角度数的比是2∶3∶4，那么这个三角形是 三角形。
6、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，DE=6cm ，那么BC=_____cm.7、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝40º，AC ∥BD ，那么∠ABD ＝__________。
8、如图，△ABC 的边BC 的垂直平分线MN 交AC 于D ，假设AC ＝6cm ，AB ＝4cm ，那么△ADB 的周长＝___。
9、如下列图，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的两条角平分线，∠A=100°，那么∠BOC 的度数为〔 〕． A ．80° B ．90° C ．120° D ．140°10、如图工人师傅砌门时，常用木条EF 固定矩形门框ABCD ，使其不变形，这种做法的根据〔 〕。
A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性11、小华在 中问小明：“一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.〞小华根据小明的提示作出的图形正确的选项是〔 〕 12、等腰三角形的两边长分别为4和9，那么第三边长为 ． 13、等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，那么∠A ＝_____B CA D DA B N C M 6题7题 8题9题 10题14、假设等腰三角形的一个内角是80◦，那么它的底角是 。
等腰三角形和直角三角形
总复习第20课时
§等腰三角形和直角三角形
等腰三角形与等边三角形
等角对等边；等边对等角；等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。
等边三角形：每个角是60°；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形：勾股定理；直角三角形斜边上的中线是斜边一半；两个锐角互余；30度所对的直角边是斜边一半，另一直角边是其3倍；
中垂线性质：线段中垂线上的点到线段两个端点的距离相等。
角平分线性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
练习：
1、已知：点D在等边⊿ABC的边BA的延长线上，点E、F在BC的延长线
上，且AD=BE=CF，求证：AC∥DF；DC=DE。
2、已知点P在⊿ACB的平分线上，PD⊥CA，PE⊥CB，垂足分别是D、E，DG
∥PE交CP于F，垂足一G，DE交CP于点O，求证：DE、PF互相垂直平分于点O。
3、已知：在⊿ABC中，∠ACB是90°，AC=BC，CD⊥AB，垂足为D，CE平分
1AF。
∠ACD，BF⊥CE，垂足是G，交CD 于点H，求证：DH=
2
4、已知：C是线段AB上的一点，且AC：CB=1：2，⊿ACD和⊿BCE均是等边
三角形，求：∠DEB的度数。
5、在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，AF和DE交于点P，求
证：CP=CD。
6、已知：⊿ABC中，∠ACB=9°0，O在ABC内一点，且S
⊿OAB =S
⊿OBC
=S
⊿OAC
，求
证：OA2+OB2=5OC2。
北师大版八年级数学下册等腰三角形和直角三角形复习课件
选一选 你真棒
6.下列关于直角三角形的判定，正确的有（ D） (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形. (定义) (2)两内角互余的三角形是直角三角形。 (3)一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的
角是直角，则这个三角形是直角三角形。 (4)较小两边的平方和等于较大边的平方的三角形是
直角三角形. (勾股定理的逆定理)
则底角度数为______顶角度数为_______。
2 如图，已知在直角△ABC中， ∠C=90 °， BD平分∠ABC交AC于D；
（1）若∠BAC=30 °，则AD=——； A
D
B
C
例1.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，
CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：
BM=CM。 A
▪ 证明：∵AB=AC
▪ ∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）
▪ ∵ BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ▪ ∴∠BEC=∠CDB=90° ▪ ∴∠1+∠ACB=90°，
∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余）
E
Mபைடு நூலகம்
D
1 B
2 C
说明：本题易习惯性地用全等来
▪ ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ▪ ∴BM=CM（等角对等边）
（1）求证ME=MF；
课后思考 （2）若CD为AB边上的高， ME+MF与CD有什
么数量关系？
（3）若M在BC上移动,ME+MF为定值吗？试说明理由。
总结：许多问题可以用基本的性质、判定解决，
用探讨研究的精神去看待
3. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
专题复习等腰(边)三角形与直角三角形
专题复习:等腰(边)三角形与直角三角形专题等腰（边）三角形与直角三角形☞解读考点☞2年中考【2019年题组】1．（2019来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1【答案】D．【解析】试题分析：A．1+2≠3，不能组成直角三角形，故错误；2222+3≠4B．，不能组成直角三角形，故错误； 222C．4+5≠6，不能组成直角三角形，故错误；D．1+=，能够组成直角三角形，故正确．故选D．考点：勾股定理的逆定理．2．（2019南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）222222A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．3．（2019来宾）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°【答案】D．【解析】试题分析：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．4．（2019内江）如图，在△ABC中， AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°【答案】A．【解析】试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．5．（2019荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【答案】C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（2019广州）已知2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个2根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．【解析】2试题分析：∵2是关于x的方程x-2mx+3m=0的一个根，∴2-4m+3m=0，m=4，2∴x-8x+12=0，解得x=2或x=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．7．（2019丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）2A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．8．（2019龙岩）如图，ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）ABCD．1【答案】D．【解析】1试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=2∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．9．（2019乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）ABCD【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．10．（2019资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm【答案】A．B．cm Ccm D．cm考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．（2019德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．75°【答案】C．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，1∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=2∠CED=30°．故选C．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．12．（2019眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（）A．23 B．2 C．43 D．4【答案】A．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．13．（2019荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）11A．3 B1 C．2 D．4【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，AC，又1∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=2AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE1AC，∴tan∠DBC=BE==3．故选A．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．14．（2019襄阳）如图，在△A BC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）AB．1 CD．2【答案】B．考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．15．（2019北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5km B．0.6km C．0.9km D．1.2km【答案】D．【解析】1试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=2AB=AM=1.2km．故选D．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．16．（2019天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，，3点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为2，则点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A．考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．17．（2019龙岩）如图，的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）ABCD．1【答案】D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．18．（2019龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【答案】A．【解析】试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，1111∴△ABF中，=3，∴2×8×3=2×5×PD+2×5×PE，12=2×5×（PD+PE），PD+PE=4.8．故选A．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．19．（2019安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）33232A． B． C．3 D．6【答案】A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．20．（2019滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分【答案】B．【解析】11试题分析：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=2AB=2A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．21．（2019烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2019的值为（）2019112019()2019()2019A． B． C．2 D．2【答案】C．考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题． 22．（2019烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 【答案】B．【解析】试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x-6x+n-1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x-6x+n-1=0得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；2②当a=b时，方程x-6x+n-1=0有两个相等的实数根，∴△=(-6)﹣4（n﹣1）=0，222解得：n=10，故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论． 23．（2019崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】B．考点：1．规律型；2．综合题． 24．（2019宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．【答案】5．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线． 25．（2019常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用． 26．（2019南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．【答案】52．考点：等腰三角形的性质． 27．（2019苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．【答案】27．【解析】试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG1是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=2AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△1ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=2BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质． 28．（2019西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．【答案】110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论． 29．（2019南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质． 30．（2019攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题． 31．（2019昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题． 32．（2019淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．【答案】120，150．【解析】试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△AB D与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题． 33．（2019黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________cm．【答案】126或66．2考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题． 34．（2019庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）【答案】【解析】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，cm．故答案为：BC=3cm，由勾股定理得：AC===考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．35．（2019朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1=1.41=1.73）．【答案】2.9．考点：勾股定理的应用． 36．（2019辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．【答案】8．【解析】试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，．故答案为：8．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理． 37．（2019柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．【答案】（1）3；（2）6．考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理． 38．（2019柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？110【答案】（1）4；（2）t=6或13．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．【2019年题组】 1．（2019²江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D．【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180︒-40︒2=70°．故选D．考点：等腰三角形的性质．2.（2019²桂林）下列命题中，是真命题的是（） A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似 C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似【答案】B．【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B．考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质. 3.（2019湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）1A．4【答案】C．1B．2C． 1 D． 2考点：等腰直角三角形．4.（2019贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10 【答案】A．【解析】试题分析：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，⎧2a-3b+5=0⎧2a+3b-13=0，∴⎧⎧a=2⎧b=3，解得⎧当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选A．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．5.（2019张家界）如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=60︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（）A．4B C .8D. 【答案】B．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理． 6.（2019吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）A．【答案】DB． 2C．D．考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．7.（2019吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣1，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，∴B （0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．故C′的坐标为（﹣1，2）．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质. 8.（2019毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．3【答案】2．考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用☞考点归纳归纳 1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点
等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点等边三角形、等腰三角形和直角三角形是基础的三角形类型，它们都有各自独特的特点和性质。
本文将分别探讨等边三角形、等腰三角形和直角三角形的特点，并对比它们之间的异同点。
一、等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角都是60度。
由于其特殊的性质，等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等：等边三角形的三条边长度都相等，符号为a = b = c，其中a、b、c代表等边三角形的三条边的长度。
2. 三个角度相等：等边三角形的每个角都是60度，符号为A = B =C = 60°，其中A、B、C分别代表等边三角形的三个角度。
3. 具有对称性：等边三角形是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。
任意一条中线都是等边三角形的对称轴。
二、等腰三角形的特点等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，它的两个底角也相等。
等腰三角形的特点如下：1. 两条边相等：等腰三角形的两条边长度相等，符号为a = b，其中a、b代表等腰三角形的两条边的长度。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角大小相等，符号为A = B，其中A、B代表等腰三角形的两个底角。
3. 具有对称性：等腰三角形也是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。
任意一条中线都是等腰三角形的对称轴。
三、直角三角形的特点直角三角形是一种具有一个90度角的三角形，它的两条边与直角相邻。
直角三角形的特点如下：1. 一条边是直角边：直角三角形有一个边是直角边，与直角相邻，符号为90°。
2. 底边和对边关系：在直角三角形中，直角边的对边为对边，直角边的底边为底边，这两边之间满足勾股定理的关系。
3. 具有对称性：直角三角形也具有对称性，其中的直角是对称中心。
四、等边三角形、等腰三角形和直角三角形的异同点1. 边的关系：等边三角形三条边长度相等，而等腰三角形只有两条边相等，直角三角形没有边相等的情况。
初中复习方略数学第十七讲 等腰三角形、直角三角形
道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平分线．下列说法正确的是( A )
A．l 是线段 EH 的垂直平分线 B．l 是线段 EQ 的垂直平分线 C．l 是线段 FH 的垂直平分线 D．EH 是 l 的垂直平分线
【提分要点】 1．“等边对等角”，可以证明两个角相等，也可以计算角的大小； 2．“三线合一”，利用这个性质可以证明线段相等、角相等、线段垂直，可以计算线 段的长度，角的大小．
2．等边三角形
定义 ___三__边____相等的三角形
性质
(1)等边三角形的三个内角都___相__等____,并且每一个内角都等于 ___6_0_°___ (2)等边三角形是轴对称图形,并且有___三____条对称轴 (3)等边三角形每边上的中线,该边上的高线,该边所对角的角平 分线互相重合
AC＝_4__8_米．
考点四 直角三角形的性质 【典例 4】(2020·荆州中考)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°.C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A 的坐标为( B )
A．( 3 ， 3 ) C．(2，1)
B．( 3 ，1) D．(2， 3 )
1．(2021·乐山中考)如图，已知直线 l1，l2，l3 两两相交，且 l1⊥l3，若 α＝50°，则 β
【特别提醒】勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应 先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方．
1．一条边等于另一条边的一半的三角形：若直角三角形的一条直角边等于斜边的一 半，则较短边所对的角是 30°；若直角三角形一条直角边等于另一条直角边的一半， 则不会有 30°的角；若此三角形不是直角三角形，也不会有 30°的角． 2．一条边上的中线等于这个边的一半的三角形：这个三角形一定是直角三角形．
1-1等腰三角形1-2直角三角形复习2022-2023学年北师大版数学八年级下册
角形；
（2）若∠BAC=∠DAE≠60° ①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请 直接写出结论并画出相应的图形．
解：（1）∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形， ∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC， ∴△EAB≌△DAC， ∴∠EBA=∠C=60°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB=∠ABC=60°， ∵在△EFB中，∠EFB=∠EBA=60°，
B
30°
的正北方向，此时它与灯塔的距离是
_2_0___3_海里(结果保留根号).
A
C
东
小结（2分钟）
（考点）
1、等腰三角形的性质与判定： 等边对等角、三线合一
2、等边三角形的性质定理及其判定定理 3、直角三角形的性质定理及其判定定理 4、反证法的证明步骤，互逆命题、互逆定理的概念
（易错点） 1.做没有图形的几何问题求边长或角度时应注意：
是否进行分类讨论
2.做互逆命题的问题应注意：
注意互逆命题的语言的准确性
当堂训练（15分钟） 1、如图，长方形纸片ABCD,AD∥BC，将长方
形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C’ 处，折痕为EF,则 △BEF为 等腰 三角形.
2.如图,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=8, 点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则ON=( B )
②AB=AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），
以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，
∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连 接BE．
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4.下列条件中，不能得到等边三角形的是（ D ） A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形 C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
考点：等边三角形的判定．
分析：根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为 60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都 是等边三角形． 解答：A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知 另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符 合题意；B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符 合题意；C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本 选项不符合题意；D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相 等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是 等边三角形．故本选项符合题意；故选D．
2.（2015•苏州）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点， ∠BAD=35°，则∠C的度数为（C ） A．35° B．45° C．55° D．60°
考点：等腰三角形的性质． 分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角 形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论． 解答：解：AB=AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线， ∠B=∠C，∵∠BAD=35°，∴∠BAC=2∠BAD=70°，∴∠C=
课堂精讲
考点1 等腰、等边三角形的判定和性质 1.（2015•陕西）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC， BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE， 则图中等腰三角形共有（ ） D
A．2个
B．3个
C．4个 D．5个
考点：等腰三角形的判定与性质． 分析：根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据 等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．
3．直角三角形 (1)性质： ①直角三角形的两锐角互余；②直角三角形 300 角所对的直角边等 于斜边的 一半 ；③直角三角形中，斜边上的 中线 长等于斜边 的长的一半． (2)判定：
①有一个角是 直角 的三角形是直角三角形； ②有一边上的中线是这边的 一半 的三角形是直角三角形． (3)勾股定理及逆定理 ①勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； ②勾股定理的逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三 边的平方，则这个三角形是直角三角形．
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专题复习：等腰三角形、等边三角 形和直角三角形
课前预习
1.如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，∠ABC的平 分线交AC于D，则图中共有等腰三角形（ D）
A．0个 C．2个
B．1个 D．3个
考点：等腰三角形的判定． 分析：由已知条件，根据等腰三角形的定义及等角对等边先 得出∠ABC的度数，由∠ABC的平分线交AC于D，得到其它 角的度数，然后进行判断0．
解析：∵在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°， ∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=72°=∠C， ∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形； ∵BD平分∠ABC交AC于D， ∴∠ABD=∠DBC=36°．∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三 角形；∵∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C， ∴△BDC是等腰三角形；∴共有3个等腰三角形． 故选D． 点评：本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质及三角形内 角和定理；求得各角的度数是正确解答本题的关键．
2.（2015•南宁）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，
则∠C的度数为（ ）
A
A．35° C．45°
B．40° D．50°
考点：等腰三角形的性质． 分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定 义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论． 解答：解：∵△ABD中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°， ∵AD=CD，∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°） ÷2=35°，故选：A． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角 相等是解答此题的关键．
考点：直角三角形的性质． 分析：利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出 ∠COA的度数，即可得出答案． 解答：解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°， ∴∠COA=90°﹣20°=70°， ∴∠BOC=90°+70°=160°． 故选：B. 点评：此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA的度 数是解题关键．
2．等边三角形 (1)定义：三边相等的三角形是等边三角形； (2)性质：①等边三角形的三边相等，三角相等，都等于 600;②“三线合一”；③等边三角形是轴对称图形，有
三 条对称轴 ． (3)判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形．
解答：解：∵AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC= ∠ABC=36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD=AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中， ∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，
考点2 含30°的直角三角形的性质
1.（2015•毕节市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD=
．
2
考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质． 分析：根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角 的直角三角形性质求出AD即可得BD． 解答：解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，AD平 分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2，故答案为 2． 点评：本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分 线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键．
考点梳理
1．等腰三角形 (1)定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形． (2)性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的 两底角相等；即“等边对等角”；③等腰三角形的顶角 平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，即“三 线合一”．④等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴， 对称轴是底边的 垂直平分线 ． (3)判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；② 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等 边”．
等边三角形，∵AB=5，BD=3，∴AD=AB﹣BD=2，∴△ADE 的周长为6，故选B． 点评：本题主要考查等边三角形的性质和判定，由条件证明 △ADE是等边三角形是解题的关键．
4.（2015•菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若 ∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ B ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
0.5×（180°﹣70°）=55°． 故选C． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一 的性质是解答此题的关键．
3.（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边 上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
考点：等腰三角形的性质． 分析：根据三角形三线合一的性质可得∠CAD=∠BAD，根 据同角的余角相等可得：∠CBE=∠CAD，再根据等量关系 得到∠CBE=∠BAD. 解答：证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD， ∴∠CBE=∠BAD. 点评：考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形 的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE=BC， ∴BD=BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°， ∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°， ∴∠A=∠ADE， ∴DE=AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个．故选D．
3.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB=5， BD=3，则△ADE的周长为（ B ）
A．2 C．9
B．6 D．15
考点：等边三角形的判定与性质．
分析：由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件可证明△ADE为等边三角形，且可求得AD=2， 可求得其周长．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥BC，∴∠ADE=∠AED=∠B=∠C=60°，∴△ADE为