傅里叶级数分析

如给出F ( n 1 )，则f t 惟一确定， ( 4 )、 ( 5 )式是一对 变换对。
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三．两种系数之间的关系及频谱图
1 F ( n 1 ) T

T
0
f ( t )e j n 1t d t
利用欧拉公式
1 T 1 T f ( t ) cosn 1 t d t j f ( t ) sinn 1 t d t T 0 T 0 1 a n jbn 2 1 T 1 T F ( n 1 ) f ( t ) cosn 1 t d t j f ( t ) sinn 1 t d t T 0 T 0 1 a n j bn 2
1 jπ F 2 1 e 4 2 1 jπ F 2 1 e 4 2
21
谱线
F0 F ( 0 ) 1 F1 F ( 1 ) 1 .12 F 1 F ( 1 ) 1 .12 F2 F ( 2 1 ) 0.5 F 2 F ( 2 1 ) 0 .5
mn mn
mn mn
10
2．级数形式
2 周期信号 f t , 周期为T1 , 基波角频率为 1 T1 在满足狄氏条件时，可展成
f ( t ) a 0 a n cosn 1 t bn sinn 1 t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
n 1
5
二．正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 sin 0 t ，系统的频率响应为 H ( ) H ( ) e j ( )， 则系统的稳态响应为
r (t ) H (0 ) sin 0t (0 )
正弦信号sin 0 t 作为激励的稳态响应为 与激励同 频率的信号，幅度由 H j 0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处 理效果。
c2
c2 1
2 0.25 π
20
1
O
1
2 1
1
O
2 1
0.15π
X
化为指数形式
1 j 1t f (t ) 1 e e j 1t 2j


π π 2 j t 2 j n t 1 1 2 j 1t 1 j 1 t 4 4 e e e e 2 整理 2 π j 1 j 1t 1 j 1t 1 jπ 1 4 j 2 1 t 4 j 2 1 t f (t ) 1 1 e 1 e e e e e 2 j 2 j 2 2
线性时不变（LTI)系统分析方法
• 基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)
（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合 来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的 响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的 线性组合来表示。 • 这些基本信号应该具备下列性质： 1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号 2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该 十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个方便的表 达式。
2π 1 T1
其他形式
余弦形式
f ( t ) c 0 c n cosn 1 t n
n 1
2
c0 a0
cn a b
2 n

2 n
a n cn cos n bn cn sin n
正弦形式
n 1
bn n arctan a n
f ( t ) d 0 d n sinn 1 t n
d 0 a0 a n d n sin n
dn
2 an

2 bn
bn d n cos n
an n arctan bn
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幅度频率特性和相位频率特性
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （ n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
0 0
1 0.15 π
1 0.15 π
2 0.25 π
2 0.25 π
n
指数形式的频谱图
F n 1
0.5
1.12
1
1.12
0 .5
2 1
0.15 π 2 1
1
0.25 π
2 1 1
O
1
1
O
0.15 π
2 1
6
7
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
8
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
• 频谱图
•函数的对称性与傅里叶级数的关系
•周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
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一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集 cosn 1t , sinn 1t 是一个完备的正交函数集
时 (t ) A sin(t
电阻 电容
1 A iR t v t sin( t ) R R
diL t d ( A sin( t )) LA cos(t )2 电感v L dt L dt
d v t d ( A sin( t )) iC t C C AC cos(t ) dt dt
1 t0 T 直流分量 a0 f (t ) d t t T 0 2 t0 T 余弦分量的幅度 a n t f ( t ) cos n 1t d t T 0 2 正弦分量的幅度 bn T

t0 T
t0
f ( t ) sin n 1 t d t
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求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。



n 2
j n 1 t F ( n ) e 1
2
指数形式的傅里叶级数的系数
1 j0.15π 1 1 . 12 e F ( 0 ) 1 F 1 2 j 1 j0.15π F 1 1 1 . 12 e 2 j
π f ( t ) 1 5 cos( 1 t 0.15π ) cos 2 1 t 4 三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
cn c 1 c0
1
2.24
c0 1
0 0
n
0.25π
c1 5 2 .236 1 0.15 π
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T 2 T 2 T 2 T 2

cosn 1 t sinm 1 t 0
T , cosn 1t cosm 1t 2 0, T T , 2 T2 sin n 1t sin m 1t 2 0,
关于的偶函数（实际 n 取正值） 关于的奇函数（实际 n 取正值） 关于的偶函数 关于 的奇函数
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n 1
π 已知f ( t ) 1 sin 1 t 2 cos 1 t cos 2 1 t ， 4 请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
22
0.25 π
三角形式与指数形式的频谱图对比
三角函数形式的频谱图
cn c 1 c0
1
2.24
n
0.25 π
c2
1
O
1
2 1
1
O
2 1
指数形式的频谱图
F n 1
0.15 π
n
0 .5
2 1
0.5
1.12
1
1.12
0.15 π 2 1
1
0.25 π
A/2
T1 2 T1 2 t
2 A A bn t sinn 1 t d t ( 1) n 1 n 1,2,3 T T1 nπ 周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 A A f t 0 sin 1 t sin 2 1 t π 2π 12
直流 基波 谐波
• 指数信号与正弦信号具有相同的特性
• 由系统的组成来说：当输入为指数信号时， 系统的输出一定也是一个指数信号，只不 过指数信号幅值发生变化。
3
指数信号通过LTI系统的输出
利用卷积法：输入为 e jt
re jt (t ) e


j
h(t )d e j (t ) h( )d
c n ~ 关系曲线称为幅度频谱图；
n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。 周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
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频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
c0 cn
离散谱，谱线
c1
c3
相位频谱
O 1
3 1

n ~ 曲线
n

O
1
3 1
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二．指数函数形式的傅里叶级数
jt

e e


jt j
h( )d e
j
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e j h( )d
jt
设 H ( j) e

h( )d 则
re jt (t ) e H ( j)
输入为正弦信号？
4
δ(t)
h（t）
e t e t d
2 1 1
O
1
1
O
0.15 π
2 1
23
0.25 π
四．总结
1．复指数正交函数集 e j n 1 t 2．级数形式 3．系数 利用复变函数的正交特性
f (t )
n


n 0 , 1, 2
j n 1 t F ( n ) e 1
4
F ( n )
1
T1
0 T1 0
f ( t ) e j n 1 t d t e j n 1 t e j n 1 t d t
1 T1 f (t )e j n1t d t T1 0
5
16
说明
f (t )
n
F ( n

1
)e
j n 1 t
4
5
1
1 T1 F n1 f (t ) e j n1t d t T1 0
周期信号可分解为 的线性组合。
, 区间上的指数信号e jn t
δ(t)，冲激响应，卷积
1
正弦信号通过LTI系统
电阻 电容
1 iR t v t R
电感
diL t v L dt
d v t iC t C dt
i L t 1 t v d L
当
iL (t ) A sin(t vC

r t e ht d

e(t)
r（t）
ejωt
H（t）
re jt (t ) e H ( j)
H（t）
jt
Sin(ωt)
r (t ) H (0 ) sin 0t (0 )
f(t)

r（t）
f (t ) a0 a n cos n1t bn sin n1t
F ( n 1 ), F ( n 1 )是复数
F n 1 F ( n 1 ) e j n
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幅频特性和相频特性
幅频特性 相频特性
an bn F ( n 1 )
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2
bn n arctan a n
A f (t ) t T1
T1 2 T 1 1 2 T1 2 T 1 1 2 T1 2 T 1 1 2
1 A a0 tdt 0 T T1 2 A an t cos n 1 t d t 0 T T1
T1 T1 t 2 2
f t