垂线的定义和性质
垂线的画法
垂线段是连接一点和它在给定直 线上垂足的线段。
垂线段与垂足概念
垂线段
从直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫做点到直线的距离 。
垂足
如果两直线的夹角为直角，那么 就说这两条直线互相垂直，其中 一条直线叫做另一条直线的垂线 ，他们的交点叫做垂足。
垂线性质及其应用
垂线的性质
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最 短。简称：垂线段最短。
若两点都在直线外，则先确定其中一点到直线的垂足，再以该垂足和另一点为端点 画直线。
在复杂图形中确定垂足位置
观察图形特点，找出 与已知直线构成直角 的点或线段。
在确定垂足位置后， 按照过一点或两点作 已知直线垂线的方法 进行绘制。
使用直角三角板或量 角器等工具进行辅助 ，确定垂足位置。
04
垂线在几何图形中应用举 例
垂线的性质：垂线段最短，即垂足到线段两 个端点的距离相等。
04
1. 将三角板的一条直角边与已知直线重合 。
2. 沿着直线移动三角板，直到另一条直角 边与已知点重合。
05
06
3. 沿着这条直角边画一条直线，这条直线 就是已知直线的垂线。
学生自我评价报告分享
学生可以分享自己在垂线画法学习过 程中的心得体会，如遇到的困难、如 何克服这些困难以及取得的进步等。
使用铅笔沿着直尺的另一条边轻轻地 画出垂线，使其经过已选定的点。
放置直尺
将直尺的一条边与已有点所在的直线 重合，确保直尺边与直线紧密贴合。
使用量角器和三角板辅助绘制
选择量角器和三角板
01
选择一个合适的量角器和三角板组合，确保能够准确地测量和
绘制所需角度。
放置量角器
02
《认识垂线》课件
利用直角三角形的边作垂线
准备直角三角形：选择任意一个直角三角形
确定垂线位置：在直角三角形的任意一条边上确定垂线的位置
画垂线：从确定的位置垂直于直角三角形的边画一条并验证垂线的长度是否等于直角三角 形的斜边长度
利用勾股定理作垂线
准备工具：直尺、 圆规、铅笔
利用其他性质判定
利用平行线判定：两条直线平行，第三条直线垂直于其中一条，则第三条直线垂直于 另外一条。
利用三角形判定：三角形内角和为180度，如果其中一个角为90度，则另外两个角互为垂直。
利用四边形判定：四边形内角和为360度，如果其中一个角为90度，则另外三个角互为垂直。
利用圆判定：圆内任意一点到圆心的距离等于半径，如果圆心到圆周上任意一点的距 离等于半径，则该点与圆心连线垂直于圆周。
垂线具有方向性，即 垂直于平面的方向
垂线具有长度，即从 一点到另一点的距离
垂线具有位置，即相 对于平面的位置
垂线具有方向，即垂 直于平面的方向
垂线具有长度，即从 一点到另一点的距离
垂线具有位置，即相 对于平面的位置
垂线在生活中的应用
建筑设计：垂直线在建筑设计中的应用，如高楼大厦、桥梁等 服装设计：垂直线在服装设计中的应用，如西装、衬衫等 绘画艺术：垂直线在绘画艺术中的应用，如风景画、肖像画等 广告设计：垂直线在广告设计中的应用，如海报、广告牌等
垂线的性质
垂直于平面的直线 长度无限长 方向固定 两端无限延伸
垂线的判定方法
第三章
利用定义判定
垂线定义：从一点向另一点延伸的线
判定方法：通过两点确定一条直线，然后判断这条直线是否垂直于另一条直线
判定步骤：首先确定两点，然后连接两点形成一条直线，最后判断这条直线是否垂直于另一条 直线
三角形垂线定义
三角形垂线定义三角形垂线是指从三角形的顶点到对边上某一点的垂直线段。
它在三角形内部垂直于对边，且与对边有唯一交点。
垂线的性质在几何学中有着重要的应用和意义。
我们来探讨垂线的基本性质。
对于任意一个三角形ABC，如果从顶点A向边BC引一条垂线AD，那么垂线AD与边BC的交点D将成为三角形ABC的高。
垂线AD与边BC垂直相交，所以可以得出角BAD和角CAD都是直角。
这意味着垂线是三角形内部唯一一条与对边垂直的直线。
垂线的另一个重要性质是垂线的长度。
根据勾股定理，我们可以得出垂线的长度与三角形的边长有关。
设三角形ABC的底边为BC，高为AD，则根据勾股定理可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2AB^2 = AD^2 + BD^2BC^2 = CD^2 + BD^2其中，AC、AB、BC分别表示三角形的三条边长，AD表示垂线的长度，CD和BD分别表示三角形BC和AB的两条边长。
通过这些关系式，我们可以计算出垂线的长度。
垂线还有一个重要的性质是垂线的交点与三角形的重心和外心有关。
重心是指三角形三条垂线的交点，而外心是指三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
对于任意一个三角形ABC，垂线的交点D将成为三角形ABC的重心，即AD、BD和CD三条垂线相交于一点。
而外心则是三角形ABC外接圆的圆心，即三角形的三个顶点到外心的距离相等。
这些特点使垂线在解决三角形相关问题时起到了重要的作用。
垂线还有一个重要的应用是求解三角形的面积。
根据垂线的定义，我们可以利用垂线将三角形分为两个直角三角形，然后计算两个直角三角形的面积再相加，即可得到整个三角形的面积。
设垂线的长度为h，底边的长度为b，则三角形的面积S可以表示为：S = (1/2) * b * h这个公式被广泛应用于计算三角形的面积。
除了以上的基本性质和应用，垂线还有许多其他有趣的性质。
例如，三角形ABC的顶点A到垂线的距离等于三角形BC的面积除以底边BC的长度。
这个性质可以用来计算三角形的面积。
第二节垂线
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 例如、如图，a、b互相垂 b 直,O叫垂足.a叫b的垂线， O b也叫a的垂线。 从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
B C 1
O
n
O
A
练习： 1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F A
F
C D M A P
B
E
2、如图，过P分别作OA、 OB的垂线。 O 解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
N
B
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图，他 在P点，应选择什么样的路线尽快游到岸边 m呢？
垂线段最短
C
想一想： 已知： 如图AD＜AE ＜AC＜AB 能说AD的长是A到BC的 A 距离吗？
答：不能。
B D EC
例2：如图2-22，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D， DE⊥BC于E．试比较四条线段AC，CD，DE和AB 的大小 解：∵ AC⊥BC于C，(已知) ∴ AC＜AB．(垂线的性质二) 又∵ CD⊥AD于D，(已知) ∴ CD＜AC．(垂线的性质二) ∵ DE⊥CE于E，(已知) ∴ DE＜CD．(垂线的性质二) ∴ AB＞AC＞CD＞DE．
七年级垂线知识点
七年级垂线知识点在中学数学中，垂线是一个重要的概念。
垂线是指从一个点到一个平面或直线上的垂直线。
在本文中，我们将介绍一些关于垂线的基本知识和应用。
一、垂线的定义与性质定义：垂线是一个点到直线或平面的垂直线。
性质：1. 垂线所在的直线或平面上的所有点到直线或平面的距离相等。
2. 垂线所在的直线或平面与另一个线段或平面的垂线相交，相交角为90度。
3. 如果两条直线相交，它们的垂线相交于同一点。
二、垂线的作用垂线在几何中具有广泛的应用，特别是在三角形的研究中。
以下是一些垂线的应用：1. 三角形的垂心：三角形的三条垂线交于同一点，称为垂心。
2. 斜线段分成两部分：斜线段上的垂线可以将斜线段分成两部分。
3. 两线段之间的距离：两条不相交的线段之间的距离可以通过将它们分别延伸成垂线并测量垂线之间的距离来计算。
三、垂线的构造在几何中，可以使用直尺和圆规等工具来构造垂线。
以下是一些常用的构造方法：1. 已知一条直线和一点，可以使用圆规和直尺构造垂线。
2. 已知一个角度，可以使用圆规和直尺构造垂线。
3. 已知两条平行线，可以使用圆规和直尺构造垂线。
四、垂线的实例垂线是几何学中的一个基本概念，它在现实生活中也具有广泛的应用。
以下是一些垂线的实例：1. 电信杆：电信杆上的天线和垂直于地面的支柱之间的线段是垂线。
2. 照明杆：路灯杆上的灯和垂直于地面的支柱之间的线段也是垂线。
3. 射击训练：射击训练中的靶心上的垂线可以帮助射手确定枪口的位置。
结论垂线是一个重要的几何概念，在许多不同的几何问题中都有应用。
了解垂线的定义、性质和应用可以帮助学生进一步理解和掌握几何知识。
垂线段的性质
垂线段的性质
定义：从直线L外一点P向直线L作垂线，垂足记为O，则线段PO叫做点P到直线L的垂线段。
要确定垂线段，只须找到它的两个端点即可。
性质直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称“垂线段最短”。
性质： 1、在同一平面内，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直。
2、从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短。
垂线是两条直线的两个特殊位置关系。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足。
垂线段最短。
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补。
三角形中的垂线
三角形中的垂线三角形是几何学中的一个基本概念，它有着丰富的性质和特点。
在三角形中，垂线是一种重要的特殊线段，它有着独特的性质和应用。
本文将探讨三角形中的垂线及其相关内容。
一、垂线的定义在三角形ABC中，假设点D在线段BC上，如果线段AD和BC垂直相交，那么我们称线段AD为三角形ABC的垂线。
垂线是由三角形的某一个顶点引出，并与对边垂直相交。
二、垂线的性质1. 垂线的独特性质三角形中的垂线具有以下独特性质：（1）垂线与对边垂直相交，即垂线和对边之间的夹角为直角；（2）垂线长度相等，即从三角形的顶点引出的所有垂线长度相等；（3）垂线对三角形的内心有着特殊作用，垂线上每一点与三角形的内心连线的长度都相等。
2. 垂线的保角性质三角形中的垂线具有保角性质，即通过垂线使得两个角保持不变。
如果在三角形ABC的三个顶点上分别引出垂线AD、BE和CF，那么∠ADC = ∠BEC = ∠CFA。
三、垂心垂心是指三角形的三条垂线的交点。
在任意三角形中，三条垂线的交点都是一个固定点，被称为垂心。
垂心是三角形的一个重要点，它具有诸多重要性质。
（1）垂心到三角形三个顶点之间的连线构成的三角形，称为垂心三角形。
垂心三角形的三个角是90°，因为以垂心为顶点的三个角的对边分别为三角形的垂线。
（2）垂心与三个顶点之间的连线构成的三角形是全等三角形。
即∠AHD = ∠BHE = ∠CFD，并且以垂心为顶点的三个角相等，都是90°角。
四、垂线的应用垂线作为几何学的一个重要概念，在实际应用中有着广泛的运用。
1. 三角形面积的计算通过三角形的某一顶点引出垂线，可以将三角形分割为两个直角三角形。
根据直角三角形面积的计算公式（面积 = 底×高÷2），可以通过垂线的长度计算出三角形的面积。
2. 三角形的相似性质垂线具有保角性质，通过垂线可以建立三角形之间的相似关系。
相似三角形的边长之比等于相应的垂线之比。
高中几何知识解析垂直线的性质与判定
高中几何知识解析垂直线的性质与判定在几何学中，垂直线是一种重要的概念。
垂直线的性质与判定在解决几何问题时起着重要的作用。
本文将对高中几何知识中垂直线的性质与判定进行详细解析。
一、垂直线的性质垂直线的性质主要表现在以下几个方面：1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交的情况下，相交角度为90度的直线。
就是说，两条直线互相垂直。
在数学上，通常用垂直符号“⊥”来表示垂直关系。
2. 垂直线的特点垂直线的特点主要体现在以下几个方面：(1) 垂直线的斜率积为-1。
斜率是直线的一个重要性质，垂直线的斜率之积为-1。
(2) 垂直线上的线段等于零度线段。
两个垂直线上的线段，在相交点处等于零度线段。
3. 垂直线的性质应用在实际生活和学习中，垂直线的性质应用广泛。
比如，在建筑设计中，为了保证立柱的稳定性，垂直线的使用是必不可少的。
此外，在地图测量、平面布局等方面，垂直线的运用也十分重要。
二、垂直线的判定方法在几何学中，判定两条线是否垂直是非常重要的。
有以下几种常见的判定方法：1. 通过斜率判定两条直线的斜率之积为-1时，可以判定这两条直线垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条直线的斜率。
(2) 如果两条直线的斜率之积等于-1，则可以判断这两条直线垂直。
2. 通过向量判定两条非零向量的数量积为0时，可以判定这两条向量垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 计算两条向量的数量积。
(2) 如果两条向量的数量积等于0，则可以判断这两条向量垂直。
3. 通过坐标判定两条线段所在直线的法向量相同时，可以判定这两条线段垂直。
具体的判定步骤如下：(1) 确定两条线段的方向向量。
(2) 计算两条线段方向向量之间的夹角。
(3) 如果两条线段方向向量之间的夹角为90度，则可以判断这两条线段垂直。
三、垂直线的应用举例1. 正交坐标系在二维平面几何中，正交坐标系是一种常见的坐标系形式。
正交坐标系的特点就是两条坐标轴垂直。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度。
垂线
2.如图, AC⊥BC, ∠C=900 ,线段AC、BC、CD 中最短的是( C )
(A) AC (B) BC (C) CD (D) 不能确定 C B
A
D
3.直线I上有ABC三点，直线I外有一点，且 PA=2,PB=3，PC=5,那么P到直线I的距离 （ ） Ａ等于2 B小于2 C小于或等于2 Ｄ大于2且小于3 4.如图所示，何大伯从A处牵牛到河边I处饮 Ａ 水，应沿怎么的路线最近？ 。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a, 若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
B
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义) ∵ ∠DOE= 50° （已知） B A O ∴ ∠DOB=40°(互余的定义) C F ∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等） 又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义） ∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130° ∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－ 80°=100°(邻补角定义)
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离.
l
例：如图，是一个同学跳远的位置 A 跳远成绩怎么表示? l 回顾：两点距离、点到线的距离 解:过P点作PA⊥l于 P 点A ，垂线段PA的长 A 度就是该同学的跳远成 绩.
书本习题。
1、选择题：
1、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
垂线的知识点归纳总结
垂线的知识点归纳总结一、垂线的定义在平面几何中，如果一条线段和另一条直线相交时，交点与这条直线上的一点形成的线段叫做这两条线段的垂线。
在数学上，我们通常用符号“⊥”表示两条线段之间存在垂线关系。
垂直这个概念最早见于古希腊，阿基米德大约在公元前300年的《圆的测量》一书中提到垂直的概念，把垂线称为铅垂线。
在中国古代数学中，北宋李冶的《尺牍方程》中就有铅垂线及其应用。
二、垂线的性质1. 垂线与直线的关系：如果两条线段垂直，则它们的斜率乘积为-1。
2. 垂线的构造：可以通过已知一点和一直线来构造垂线，方法是作两个以该点为端点的相交弧，使得该弧的终点在直线上。
3. 垂线的判定：两个非垂直线段存在垂线关系的充分必要条件是它们的斜率乘积为-1。
4. 垂线的性质：垂线与平行线之间的关系较为复杂，具体情况需根据具体问题来论断。
三、垂线的应用1. 垂线的应用范围广泛，不仅在几何证明中起着重要的作用，而且在日常生活和工程测量中也有广泛的应用。
比如建筑工程中，设计一栋平稳结构的建筑物时，需要利用垂线来保证建筑物的垂直性。
又如几何图形的证明过程中，常常需要用到垂线的性质来证明两个角或线段的垂直关系。
2. 在物理学中，垂线也有着重要的作用。
比如在静力学中，物体受到的重力和支撑力通常是垂直于支撑面的。
四、相关定理1. 垂直平分线定理：设AB为一线段，M为AB的中点，则对于任何一点P在AB上，如果PM=PB，则AP⊥BP。
2. 垂线性质定理：如果直线l与两直线a和b垂直，那么a和b平行。
3. 两条垂线的交角定理：两条垂线的交角是90度。
4. 垂线与平行线定理：如果一条直线与一对平行线的交线垂直，那么这两条平行线互相垂直。
五、总结垂线是几何中的基础概念之一，它不仅有着丰富的性质和定理，而且在几何证明和日常生活中都有广泛的应用。
通过对垂线的定义、性质、应用和相关定理的总结，我们可以更好地理解和掌握垂线的知识，为解决具体的几何问题提供理论支持，并为日常生活中的工程测量和建筑设计提供帮助。
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
华东师大版七年级数学上册精品教学课件 垂线——垂线的定义与性质 课件
例2 如图，直线AB，CD相交于点O，过O点画射线OE， OF，使OE⊥CD，OD平分∠BOF. 如果∠BOE＝ 50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF的度数．
导引：根据∠AOC与∠BOD是对顶角， 且∠BOD与∠BOE互余，即可 求出∠AOC的度数；根据OD平 分∠BOF，∠EOF＝∠BOE＋2∠BOD即可求出 ∠EOF的度数；根据∠AOF与∠BOF互补可求得 ∠AOF的度数．
2.推理格式： 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)． 反过来：因为AB⊥CD(已知)， 所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射 线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引： 要判断OE，OF是什么位置关 系，其实质是说明OE，OF是 否垂直，即要看∠EOF是否为 90°；要让∠EOF＝90°，需说明∠EOF＝ ∠AOC或∠EOF＝∠BOC都可，这样就把问题 转化为说明∠AOE＝∠COF(已知)了．
知识点 3 垂线的基本事实
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已 知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
1 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
七年级垂线的知识点归纳
七年级垂线的知识点归纳垂线是初中数学中一个基础而重要的概念，也是许多几何问题的基础。
在七年级的数学学习中，垂线的知识点也是必须掌握和理解的。
本文将对七年级垂线的知识点进行归纳，帮助学生更好地掌握该知识点。
一、垂线的定义垂线是指从一个点到线段所在直线的垂直线段。
它与线段的两端点连线的夹角为90度。
二、垂线的性质1.相交于一点：一条垂线一定与所在的直线相交于一个点。
2.垂线段最短：如果从一个点到直线只能沿着该直线或沿着它的垂线段到达时，垂线段是最短的。
3.构成的两个角互补：垂线所构成的两个角为90度和一个角度，两个角互补。
三、垂线的作用1.判断是否垂直：找到两条线段之间的垂线可以判断它们是否垂直。
2.求垂足：线段上的任意一点都可以通过线段的垂线构造出它到线段的垂足。
3.解决几何问题：垂线在许多几何问题中都起着重要的作用，例如在求解三角形的中线、高线等问题中。
四、垂线的实例应用1.求互相垂直的直线：两条直线互相垂直，意味着它们形成的角度为90度。
为判断两条直线是否垂直，可以通过找到它们的交点和垂线的方法。
2.求线段上的垂足：当需要通过一点到达直线时，可以通过垂线的方法，在直线上找到垂足。
3.求解几何问题：许多几何问题可以通过垂线的构造找到答案，例如求三角形的中线或高线、判断一个点是否在三角形内部等。
以上是七年级垂线的知识点归纳。
希望这些知识点可以帮助学生更好地掌握和理解垂线的概念和作用。
同时，在学习中还需多多联系，提高自己的应用能力，达到真正的掌握和灵活运用。
垂线的知识点总结
垂线的知识点总结一、垂线的定义垂线指的是两条线段或直线之间的垂直关系。
具体来说，如果一条线段或直线与另一条线段或直线交于一点，并且与后者所在的平面垂直，则这条线段或直线就称为与后者垂直，即为垂线。
二、垂线的性质1. 垂线的引理：垂线的引理是垂线的一个重要性质。
它指出，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面也是垂直的。
这个引理在证明许多几何问题时经常使用。
2. 垂线的对称性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么这两条线段在垂直平面内是对称的。
这个性质也是垂线的一个重要特点，它可以帮助我们简化几何问题的分析。
3. 垂线的垂直交角：如果两条直线相交于一点，并且它们分别与另一条直线垂直，那么它们之间的交角是直角。
这是垂线的一个重要性质，它直接体现了垂线的垂直关系。
4. 垂线的长度关系：如果两条垂线相交于一点，并且它们与另一条直线平行，那么它们的长度之比等于平行线之间的距离之比。
这个性质可以帮助我们计算垂线的长度，解决实际问题。
5. 垂线的平行性：如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们的垂直平面内的相交线段互相平行。
这个性质在建筑设计和工程测量中有着广泛的应用。
三、垂线的定理1. 垂线定理：垂线定理是关于垂线性质的一个重要定理。
它指出，如果两条直线相交，那么它们的垂线相交的线段互相垂直。
这个定理在证明几何问题时经常使用。
2. 垂线分割定理：垂线分割定理是关于垂线长度关系的一个重要定理。
它表明，如果一条垂线将一个三角形的底边平分，那么它被底边分割的两个线段之比等于与底边垂直的两个高之比。
这个定理在计算三角形的边长和面积时非常有用。
3. 垂线延长定理：垂线延长定理是关于垂线的对称性的一个重要定理。
它表明，如果一条线段与另一条线段垂直，那么它们所在的两个平面内的任意一点与对称点的连线垂直于两条垂直直线的交点。
这个定理在证明对称性问题时非常有用。
四、垂线的相关应用1. 在三角形中的应用：垂线在三角形中有着广泛的应用。
垂线及其性质
垂线及其性质垂线是几何学中的一个基本概念，它在我们日常生活和数学研究中都起着非常重要的作用。
垂线有许多特性和性质，理解并掌握这些性质对于深入研究几何学非常重要。
本文将介绍垂线的定义、性质以及相关应用。
一、垂线的定义在几何中，垂线指的是一个与给定线段或直线相交的线段或直线，并且与给定线段或直线的交点成直角。
垂线可以理解为垂直于给定线段或直线的线段或直线。
二、垂线与垂直关系垂直是几何学中一个非常重要的概念，与垂线密切相关。
当两条线段或直线的夹角为90度时，我们称它们为相互垂直或互相垂直。
垂线与给定线段或直线垂直相交，因此可以说垂线与给定线段或直线垂直。
三、垂线的性质1. 垂线的长度：垂线长度等于两点之间的距离。
根据勾股定理，在平面几何中，如果A、B两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则垂线AB的长度可以通过勾股定理计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
2. 垂线交点的唯一性：给定一条线段或直线和一个点，通过这个点可以作一条唯一的垂线与给定线段或直线相交。
3. 垂线的方向：垂线始终垂直于所给定的线段或直线，在二维平面几何中，与给定线段或直线的夹角为90度。
4. 垂线的对称性：通过某点可以引出的垂线与通过该点的直线互相垂直，并且垂线与直线关于该点对称。
5. 垂线的应用：垂线可以应用于求解几何图形的性质，如求解三角形的高、中位线等，也可以用于实际生活问题的解决，如建筑设计、地理测量等。
四、垂线的应用举例1. 三角形内心：对于任意一个三角形ABC，如果以三角形的三条边为直径作圆，这三个圆的交点就是三角形的内心。
内心到三角形的三边上的点可以通过作垂线来求解。
2. 平行线的判定：当两条直线与一条第三线相交，且交点处的对应角相等时，可以判定两条直线平行。
可以通过作垂线来判断两条直线是否平行。
3. 同类四边形的证明：对于一个四边形ABCD，如果有两组对边互相平行，并且对应边的长度相等，则可以证明该四边形为同类四边形。
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有且只有一条直线垂直于已知直线；③在同一平面
内，过一点可以画一条直线垂直于已知直线；④在
同一平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．
A．1个 C．3作直线l的垂线和斜线，叙述正确的 是( ) A．都能作且只能作一条 B．垂线能作且只能作一条，斜线可作无数条 C．垂线能作两条，斜线可作无数条 D．均可作无数条
知1－导
知1－讲
要点精析： (1)在两条直线相交所成的四个角中，只要其中有一
个角是直角，即可由邻补角与对顶角的性质，得 到另三个角也是直角． (2)垂直定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已 知线垂直得直角． (3)垂线是直线：当遇到线段与射线的垂直问题时， 都是指它们所在的直线互相垂直．
知1－讲
知1－练
3 如图，点O在直线AB上且OC⊥OD，若∠COA＝ 36°，则∠DOB的大小为( ) A．36° B．54° C．55° D．44°
知1－练
4 已知在同一平面内：
①两条直线相交成直角；
②两条直线互相垂直；
③一条直线是另一条直线的垂线．
那么下列因果关系：①→②③；②→①③；③→①
②中，正确的有( )
知1－讲
总结
知1－讲
判断两直线(线段、射线所在直线)互相垂直， 主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所成 的四个角中有一个角是直角即可．
知1－练
1 (2015·济南)如图，OA⊥OB，∠1＝35°，则∠2 的度数是( ) A．35° B．45° C．55° D．70°
知1－练
2 如图，CD⊥EF，垂足为O，AB是过点O的直线， ∠1＝50°，则∠2的度数为( ) A．50° B．40° C．60° D．70°
归纳
知1－导
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角， 那么称这两条直线互相垂直(perpendicular)，其中的 一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做 垂足.
通常用符号“⊥”表示两条直 线互相垂直.如图2-4,直线AB与直 线CD垂直，记作AB⊥CD；
如图2-5, 直线l与直线m垂直， 记作l ⊥ m.其中，点O是垂足.
解：画出的直线m，n，p如图.
知2－讲
总结
知2－讲
过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已 知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成 的角是90°.
知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线，三角板放法正确 的是( )
知2－练
2 过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在 () A．这条线段上 B．这条线段的端点处 C．这条线段的延长线上 D．以上都有可能
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
知识点 2 垂线的画法
知2－导
做一做 (1)你能借助三角尺在一张白纸上
画出两条互相垂直的直线吗？ (2)如果只有直尺，你能在右图方格
纸上画出两条互相垂直的直线吗？ (3)你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
1.垂线的画法：
知2－讲
经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤
例1 如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射线 OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
导引：要判断OE，OF是什么位置关系， 其实质是说明OE，OF是否垂直， 即要看∠EOF是否为90°；要说 明∠EOF＝90°，需说明 ∠EOF＝∠AOC或∠EOF＝∠BOC.
解： 射线OE，OF互相垂直． 理由如下： 因为OC⊥AB，所以∠AOC＝90°. 又因为∠AOE＝∠COF， 所以∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE， 即∠AOC＝∠EOF＝90°. 所以OE与OF互相垂直(垂直定义)．
1.推理格式： 如图， 因为∠AOC＝90°(已知)， 所以AB⊥CD(垂直定义)． 反过来：因为AB⊥CD(已知)， 所以∠AOC＝90°(垂直定义)．
2.平面内两直线的位置关系： (1)相交；(2)平行．垂直是相交的特殊情况．
注意：判断两直线的位置关系，就是判断两直线是平行 关系还是垂直关系．
知1－讲
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
第2课时 垂线的定义 与性质
1 课堂讲解 垂线的定义
垂线的画法
2 课时流程 垂线的性质
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
复
习
回
顾
平面内，两条直线有哪些位置关系？
知识点 1 垂线的定义
知1－导
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有 什么特殊的位置关系?
1.有关垂线或垂直的题目中，一定要明确垂线，直角与垂直之 间存在如影随形的关系，只要知其一，即可得到90°的角， 并由此找到解题的切入点．
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，由垂线的 性质可知，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线 垂直，所以A，B，C三点在一条直线上，且点B在直线l上．
知3－练
1 下列说法正确的有( ) ①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线
垂直于已知直线；②在同一平面内，过直线外一点
知识点 3 垂线的性质
知3－导
想一想 (1)如图, 点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能
画出多少 条？如果点A在直线l外呢？
归纳
知3－导
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
知3－讲
例3〈厦门〉已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l， 垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以 是图中的( C )
如下：
(1)靠线：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；
(2)过点：沿直线移动，使直角三角板的另一条直角边经过已
知点；
(3)画线：沿直角边画线，则这条直线就是经过这个点的已知
直线的垂线．如图.
要点精析：
知2－讲
(1)过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的
垂线，垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线
上，如图.
(2)画垂线时是实线，此时如需延长线段或反向延长射线， 要用虚线画延长线或反向延长线．
知2－讲
例2 如图，M是三角形ABC中BC边上的任意一点，请 你按照下列要求画图： (1)过M点画直线AB的垂线m； (2)过M点画直线BC的垂线n； (3)过M点画直线AC的垂线p.
导引：观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画已知 直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知直线的垂线， 所以按照“一靠、二过、三画”的方法画图即可．