定积分的应用练习题

题型

1.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求面积

2.由已知条件，根据定积分的方法、性质、定义，求体积

容

一．微元法及其应用

二．平面图形的面积

1.直角坐标系下图形的面积

2.边界曲线为参数方程的图形面积

3. 极坐标系下平面图形的面积

三．立体的体积

1.已知平行截面的立体体积

2.旋转体的体积

四．平面曲线的弦长

五．旋转体的侧面积

六．定积分的应用

1.定积分在经济上的应用

2.定积分在物理上的应用

题型

题型I微元法的应用

题型II求平面图形的面积

题型III 求立体的体积

题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用

自测题六

解答题

4月25日定积分的应用练习题

一．填空题

1. 求由抛物线线x x y 22

+=，直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________

2.抛物线x y 22

=把圆82

2

≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________

3. 由曲线y x y y x 2,42

2==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3

3

1x x y -

=

相应于区间[1，3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32

=

r 相应于2

2

π

θπ

≤

≤-

上的一段弧所围成的图形面积

为 ． 6.椭圆)0,0(1

sin 1

cos b a t b y t a x ⎩⎨

⎧+=+=所围成的图形的面积为

二．选择题

1. 由曲线2

2

,y x x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．

31 B ． 32 C ． 21 D ． 2

3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ ）

A ．

223a π B ． 243a π C ． 2

8

3a π D ． 23a π 3. 曲线2

x

x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）

A ． 2a a e e -+

B ． 2

a

a e e -- C ．

12++-a a e e D ．12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。

A.dy y ⎰

2

1

ln B.

dy e e x

⎰

2

C.dy y ⎰

2

ln 1

ln D.

()d x e x

⎰-2

1

2

三．解答题

1. 求曲线2

2,2,4

x y x xy y ===所围成的平面图像的面积.

2. 求C 的值（0＜C ＜1＝，使两曲线2x y =与3Cx y =所围成图形的面积为3

2

3. 已知曲线)0(2

>=k ky x 与直线x y -=所围图形的面积为

48

9

，试求k 的值．

4. 求a 的值，使曲线)1(2

x a y -=)0(>a 与在点（-1，0）和（1，0）处的法线所围成的

平面图形的面积最小．

5.在第一象限求曲线12

+-=x y 上的一点，使该点处的切线及两坐标轴所围成图形的面积

最小，并求此最小面积

6. 求椭圆1322

=+y x 与13

22

=+y x 所围公共图形的面积

7.求由下列各平面图形的面积：

（1）ϑcos 2a r = （2）θsin 2=r 与1=r 的公共部分 （3）)cos 1(3θ+=r （4）θsin 2=

r 与θ2cos 2=r 的公共部分

8. 求由下列曲线所围区域的面积:(②,③,④图应补全)

①摆线

)

0(sin ,cos 33>==a t a y t a x ; ②

431,t y t t x -=-=;

③⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈==2,0,sin ,cos 4

4

πt t y t x ; ④3

222,2t t y t t x -=-=.

4月26日定积分的应用练习题

基础题：

1. 由曲线x y sin =和它在2

π=

x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积是

__________,以及它绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为__________

2. 星形线t a x 3

cos =，t a y 3

sin =的全长为________

3. 由抛物线2

x y =及x y =2

所围成图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体

积为__________

4. 半立方抛物线()32

132

-=

x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度为__________ 5. 轴与求抛物线x x x y 2

2-=所围成的图形绕y 轴旋转所成的旋转体体积为___________

6. 由3

,2,0y x x y ===所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两个旋转体的体积分别为

______________

7.由曲线4,==x y x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为

（ ）

A ． π16

B ． π32

C ． π8

D ． π4

8. 曲线2

x

x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 （ ）

A ． 2a a e e -+

B ． 2

a

a e e -- C ．

12++-a a e e D ．12-+-a a e e 9． 水下由一个矩形闸门，铅直地浸没在水中．它的宽为2m ，高为3m ，水面超过门顶2m ，则闸门上所受水的压力为（ ）

A ． 245kN

B ． 245N

C ． 205．8N

D ． 205．8kN

10．.（1）由曲线x y x y =

=,2

所围成的图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积