直线与圆锥曲线的综合应用

＝0交于A、B两点，
AB恰是该圆的直径，且AB的斜率为－12，求
此椭圆的方程．
思维启迪：可设出A、B两点的坐标，分别代 入椭圆方程，得到的两式相减，得出直线的斜 率，又已知AB是圆的直径求解．
解 圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝52，
其圆心为(2,1)，直径|AB|＝ 10. 设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，
解
(1)过点P作PN垂直于直线y＝－
3 2
于点N，
依题意得|PF|＝|PN|，所以动点P的轨迹是以
F
0，32
为焦点，直线y＝－
3 2
为准线的抛物
线，即曲线W的方程是x2＝6y.
(2)如图所示，依题意，直线 l1，l2 的斜率存在 且不为 0，设直线 l1 的方程为 y＝kx＋32，由 l1⊥l2 得 l2 的方程为 y＝－1kx＋32. 将 y＝kx＋32代入 x2＝6y，化
探究提高 由直线与圆锥曲线的方程联立解
方程组是解决这类问题的通法，而相关的最
值的讨论求解往往需要建立目标函数，进一
步转化为函数法或不等式法来求解．
变式训练2 已知椭圆C：ax22＋by22＝1 (a>b>0)的
离心率为
6 3
，短轴的一个端点到右焦点的
距离为 3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原
简得
x2－6kx－9＝0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6k，x1x2＝－9， ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝6(k2＋1)．
同理可得|CD|＝6k12＋1， ∴四边形 ACBD 的面积 S＝12|AB|·|CD| ＝18(k2＋1)k12＋1＝18k2＋k12＋2≥72. 当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，Smin＝72， 故四边形 ACBD 面积的最小值是 72.
2．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、 对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要 充分重视韦达定理和判别式的应用． 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达 定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦 长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直 线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还 应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵 活转化，往往就能事半功倍． 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定 理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．
5．(2010·辽宁)设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F， 准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为 垂足，如果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF| 等于( B ) A．4 3 B．8 C．8 3 D．16
解析 如图所示，直线AF的方程为 y＝－ 3(x－2)，与准线方程x＝－2联立得 A(－2,4 3)． 设P(x0,4 3)，代入抛物线 y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝ 6， ∴|PF|＝x0＋2＝8.
3．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 __2_x_－__y＋___4_＝__0__．
解析 由y＝3x2－4x＋2，得y′＝6x－4， ∴k＝y′|x＝1＝2，∴所求直线方程为y－2＝ 2(x＋1)， 即2x－y＋4＝0.
4．已知直线y＝kx－1与椭圆 x42＋ya2＝1相切，
当1－4k2≠0时，
有Δ＝(－16k)2－4(1－4k2)·(－20)＝16(5－4k2)．
(1)当1－4k2≠0且Δ<0时，即k<－
5 2
或k>
5 2
时，l与C
无公共点．
(2)当1－4k2＝0，即k＝±12时，显然方程①只有一解．
当Δ＝0时，即k＝± 25时，方程①只有一解．
故当k＝±12或k＝± 25时，l与C有唯一公共点.
(3)当1－4k2≠0，且Δ>0时，即－
5 2 <k<
5 2
且k≠±
1 2
时，方程有两解，l与C有两个公共点．
探究提高 用直线方程和圆锥曲线方程组成 的方程组解的个数，可以研究直线与圆锥曲 线的位置关系，也就是用代数的方法研究几 何问题，这是解析几何的重要思想方法．方 程组消元后要注意所得方程的二次项系数是 否含有参数，若含参数，需按二次项系数是 否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为 零时，方程才是一元二次方程，后面才可以
基础自测 1．已知椭圆x42＋y2＝1 的两个焦点为 F1、F2，
过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一 7
个交点为 P，则|PF2|＝__2____.
解析
将x＝－
3
代入椭圆方程得yp＝
1 2
，由
|PF1|＋|PF2|＝4⇒|PF2| ＝4－|PF1|＝4－12＝72.
2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q， 若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则 直线 l 的斜率的取值范围是_－__1_≤__k_≤__1___．
则k，a之间的关系式为( D )
A．4a＋4k2＝1 B．4k2－a＝1
C．a－4k2＝1
D．a＋4k2＝1
解析 由ya＝x2＋kx4－y21－，4a＝0， 得(4k2＋a)x2－8kx＋4(1－a)＝0. ∵直线与椭圆相切，∴Δ＝0， 即64k2＋4×(4k2＋a)×4(a－1)＝0， ∴a＋4k2＝1.
把y＝kx＋m代入椭圆方程整理得
(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝3－k26＋km1，x1x2＝33mk22＋－11.
∴|AB|2＝(1＋k2)33k62k＋2m122－123km2＋2－11 ＝12k2＋13k23＋k21＋21－m2＝3k2＋3k12＋91k22＋1 ＝3＋9k4＋126kk22＋1＝3＋9k2＋12k12＋6 (k≠0)
题型分类 深度剖析
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 例1 已知直线l：kx－y＋2＝0，双曲线C：
x2－4y2＝4，当k为何值时： (1)l与C无公共点； (2)l与C有唯一公共点； (3)l与C有两个不同的公共点
思维启迪：联立方程，解方程组，通过方程
的解的个数分析直线l与双曲线的关系．
解 将直线与双曲线方程联立消去y，得 (1－4k2)x2－16kx－20＝0.①
①当
a＋1 a
＝0，即a＝－1时，方程变为一元一次方
程－y－1＝0，方程恰有一组解xy＝＝－－11 ；
②若a＋a 1≠0，即 a≠－1 时，令 Δ＝0，得 1＋ 4aa＋1＝0，解得 a＝－45，此时直线与曲线相 切，有且只有一个公共点． 综上所述，当 a＝0，a＝－1 或 a＝－45时，直线与曲线 y2＝ax 恰有一个公共 点．
A、B的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又kAB＝－12，即yx11－－yx22＝－12. A、B在椭圆上，有ax212＋by212＝1，ax222＋by222＝1， 得x21－a2 x22＋y21－b2 y22＝0. ba22＝－yx11＋＋yx22yx11－－yx22＝14，
解之得 b2＝3，a2＝12. 所求椭圆方程为1x22 ＋y32＝1.
探究提高 凡涉及到弦中点问题常用“点差法”， 也可以将直线方程代入曲线方程，得到一个一元 二次方程，利用根与系数关系求解．
变式训练3 已知椭圆的两个焦点分别为F1(0，
－2
2)，F2(0，2
2)，离心率为e＝2
2 3.
(1)求椭圆方程；
点O到直线l的距离为
3 2
，求△AOB面积的
最大值．
解 (1)设椭圆的半焦距为c，
依题意得ac＝
6 3
，∴c＝ 2，b＝1.
a＝ 3
∴所求椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当l⊥x轴或l∥x轴时，|AB|＝ 3.
②当l与x轴不垂直且不平行时，
设直线l的方程为y＝kx＋m. 由已知 1|m＋| k2＝ 23，得m2＝34(k2＋1)
易错分析 (1)很多考生误以为a≠0，忽视对
a＝0的讨论，从而致误．(2)当a≠0时，转化
为一元二次方程，对二次项的系数的讨论，
也是一个易错点．
题型二 圆锥曲线中的弦长问题
例2
设点F
0，32
，动圆P经过点F且和直线y＝－
3 2
相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程；
(2)过点F作互相垂直的直线l1，l2分别交曲线W 于A，B和C，D.求四边形ACBD面积的最小值．
∴a2＝4b2.
椭圆方程化为 x2＋4y2＝4b2， 直线 AB 的方程为 y－1＝－21(x－2)， 即 y＝－12x＋2. 把直线方程代入椭圆方程得 x2＋4－12x＋22＝4b2，
即 x2－4x＋8－2b2＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|. 即 10＝1＋－122[(x1＋x2)2－4x1x2] ＝54[16－4(8－2b2)]，ห้องสมุดไป่ตู้
§8.4 直线与圆锥曲线的综合应用
基础知识 自主学习
要点梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅 有一个公共点及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入 二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情 况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆 锥曲线方程f(x，y)＝0. 由Afxx＋，Byy＝＋0C＝0 ，消元 如消去y后得ax2＋bx＋c＝0. ①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲 线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线 时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
解析 Q点坐标为(－2,0)，直线l的斜率不存在 时，不满足题意，所以可设直线l的斜率为k， 方程为y＝k(x＋2)． 当k＝0时满足． 当k≠0时，x＝1k y－2，代入y2＝8x，得y2－8ky ＋16＝0. Δ＝6k42 －64≥0，k2≤1，即－1≤k≤1 (k≠0)． 综上，－1≤k≤1.
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于
＝2px (p>0)中，以 P(x0，y0)为中点的弦所在 直线的斜率 k＝yp0.
[难点正本 疑点清源] 1．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度 可分为三类：无公共点，仅有一个公共点 及有两个相异公共点． 还可通过代数方法即解方程组的办法来研 究．因为直线与圆锥曲线有无公共点或有 几个公共点的问题，实际上是研究它们的 方程组成的方程是否有实数解或实数解的 个数问题，此时要注意用好分类讨论和数 形结合的思想方法．
≤3＋2×132＋6＝4，
当且仅当9k2＝k12，即k＝± 33时等号成立． 综上所述，|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值
Smax＝12×|AB|max×
23＝
3 2.
题型三 圆锥曲线中的弦中点问题
例3 已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆
与圆x2＋y2－4x－2y＋
5 2
用判别式Δ的符号判断方程解的个数，从而
说明直线与圆锥曲线的位置关系．
变式训练1 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线 y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值．
解 联立方程yy＝ 2＝aa＋ x 1x－1
(1)当a＝0时，此方程组恰有一组解xy＝ ＝10 ；
(2)当a≠0时，消去x，得
a＋a 1y2－y－1＝0；
②若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac.
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b．Δ = 0 时，直线和圆锥曲线相切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)， P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝ 1＋k2|x1－x2 |或|P1P2|
＝ 1＋k12|y1－y2| . (2)当斜率 k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利 用轴上两点间距离公式)． (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度，应用圆锥曲 线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长 公式简捷．
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点 差法”求解．在椭圆ax22＋by22＝1 中，以 P(x0， y0)为中点的弦所在直线的斜率 k＝－ba22xy00； 在双曲线ax22－by22＝1 中，以 P(x0，y0)为中点 的弦所在直线的斜率 k＝ba22xy00；在抛物线 y2