人教版数学高二数学选修2-1 3.2空间向量的应用----求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离

湖南高明生

一、考点梳理

1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考查常规解题方法的同时，更多地关注向量法（基向量法、坐标法）在解题中的应用。坐标法（法向量的应用），以其问题（数量关系：空间角、空间距离）处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续体现法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：

1)求直线和直线所成的角

若直线AB、CD所成的角是α，cosα=|

,

cos

|>

AB

|

||

|CD

AB

CD

AB

=

2).利用法向量求线面角

设θ为直线l与平面α所成的角，ϕ为直线l的方向向量v与平面α的法向量n之间的

夹角，则有

2

π

ϕθ

=-或

2

π

ϕθ

=+。

特别地0

ϕ=时，

2

π

θ=，l α

⊥；

2

π

ϕ=时，0

θ=，lα

⊂或lα。计算公式为：

||

sin cos

||||

v n

v n

θϕ

==或

||

sin sin()cos(0)

2||||||||

v n v n

v n

v n v n

π

θϕϕ

=-=-=-=<

3).利用法向量求二面角

设1n、2n分别为平面α、β的法向量，二面角l

αβ

--的大小为θ，向量1n、2n的

夹角为ϕ，则有θϕπ

+=或θϕ

=。

计算公式为：

1212cos cos ||||

n n n n θϕ=-=

1212cos cos ||||

n n n n θϕ==

4).利用法向量求点面距离

如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，则点P 到平面的距离

θ

cos ||||PA PO d ==

||

||||||||||

n PA PA n PA n PA n •=⊗

•=

5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即为所求。n 为异面直线AD 、BC 公共垂直的方向向量，可由0n AD ⋅=及0n BC ⋅=求

得，其计算公式为：

n

α

A

P O

θ

||

||

n AB

d

n

=。其本质与求点面距离一致。

向量是新课程中引进的一个重要解题工具。而法向量又是向量工具中的一朵厅葩，解题方法新颖，往往能使解题有起死回生的效果，所以在学习中应起足够的重视。

二、范例分析

例1 已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴

1

OO

折成直二面角，如图所示，（1）证明：

1

AC BO

⊥；（2）求二面角

1

O AC O

--的大小。

分析：题干给出一个直二面角和一条对称轴

1

OO，易知

1

OO OB

⊥，

1

OO OA

⊥，故有着明显的建系条件；另外给出梯形的边长、高，则各点坐标较易求得。用坐标法求解，可避开二面角的寻找、理推等困挠，只需先求面与面OAC的法向量，再用公式计算便可。

第（1）问的作用在于证明

1

O B⊥面OAC，也就找到了一个法向量；而面

1

O AC的法向量可用由0

n AC

⋅=及

1

n O C

⋅=求得，只是解出x、y、z关系后，对z的取值要慎重，可先观察二面角的大小是锐角、直角，还是钝角。

解：（1）证明：由题设知

1

OO OA

⊥、

1

OO OB

⊥，

所以AOB

∠是所折成的直二面角的平面角，即OA OB

⊥。

故可以O为原点，OA、OB、

1

OO所在直线分别为x轴、

y轴、z轴建立空间直角坐标第，如图，则相关各点的坐标是：

(3,0,0)

A，(0,3,0)

B，(0,1,3)

C，

1

(0,0,3)

O，从而，

(3,1,3)

AC=-

1

(0,3,3)

BO=-，

1

3330

AC BO

⋅=-+⨯=，即

1

AC BO

⊥。

（2）解：因为

1

03330

C BO

⋅=-+⨯=，所以

1

OC BO

⊥。

由（1）

1

AC BO

⊥，所以

1

BO⊥平面OAC，

1

BO是平面OAC的一个法向量。

设(,,)

n x y z

=是平面

1

O AC的一个法向量，由

1

0330

n AC x y z

y

n O C

⎧⎧

⋅=-++=

⎪⎪

⇒

⎨⎨

=

⋅=⎪

⎪⎩

⎩

取3

z=，得(1,0,3)

n=。

设二面角

1

O AC O

--的大小为θ，由n、

1

BO的方向可知

1

,n BO

θ=<>，

所以1

1

1

3

cos cos,

4

||||

n BO

n BO

n BO

θ=<>==，即二面角

1

O AC O

--的大小是

3

arccos。

感悟：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：