同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分
§1 对弧长的曲线积分
计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
若()()
:x x t L a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(
,,b L a
f x y ds f x t y t =⎰⎰ 若()()()
:x x t L y y t a t b z z t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪
=⎩，则
()()()()(
,,,,b
L
a
f x y z ds f x t y t z t =⎰⎰
注意：上限一定要大于下限
1． 计算下列对弧长的曲线积分
（1）ds y x ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：
222()L
x y ds +=
⎰
22()L
a ds ⎰
4L
a ds =⎰45(2)2a a a ππ==
法二：cos :02sin x a L y a θθπθ
=⎧≤≤⎨
=⎩，
222()L
x y ds +⎰
()()2
22
[cos sin ]a a π
θθθ=+⎰
2550
2a d a π
θπ==⎰
（2）ds e
L y x ⎰+2
2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界；
解：
22
()x y L
OA
AB
BO
e
ds +=++⎰
⎰⎰⎰，其中
:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩，cos :,0sin 4x a AB y a θπ
θθ=⎧≤≤⎨=⎩
，:02x x BO x a y x =⎧≤≤⎨=⎩
a
oA
=⎰
⎰
1a x a e dx e ==-⎰
a AB
AB
e ds =⎰
⎰4
a
a
AB
ae e
ds π==
⎰
（或
AB
⎰
4
π
θ=⎰
4
4
a
a
ae e ad ππθ=
=
⎰）
BO
=
⎰
1a e ==-
故
22
(2)24
x y a L
e
ds e a π
+=+
-⎰
（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧； 解：由2
:0121
x
x L x y x =⎧≤≤⎨
=-⎩，得
1
L
xds =⎰
⎰
32120
2
(116)1
3
32
48
x +==
（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=
t t a y t t a x ； 解：
[]
220
(1cos )L
y
ds a t π
=-⎰
⎰
523
2
(1cos )t dt π
=-⎰
5
2
322
(2sin)
2
t
dt
π
=⎰235
8sin
2
t
a dt
π
=⎰（令2tθ=）
35
16sin
a d
π
θθ
=⎰
3533
2
42256
32sin32
5315
a d a a
π
θθ
==⨯⨯=
⎰
（5）ds
xy
⎰，其中L为圆周2
2
2a
y
x=
+；
解：利用对称性
1
4
L L
xy ds xy ds
=
⎰⎰，其中1cos
:0
sin2
x a
L
y a
θπ
θ
θ
=
⎧
≤≤
⎨
=
⎩
11
44
L L L
xy
ds xy ds xyds
==
⎰⎰⎰
2
4(cos)(sin
a a
π
θθθ
=⎰
3323
22
4cos sin2sin2
a d a a
ππ
θθθθ
===
⎰
（6）ds
z
y
x
⎰Γ
+
+2
2
2
1
，其中Γ为曲线t
e
x t cos
=，t
e
y t sin
=，t e
z=上相应于t从0变到
2的弧段；
解：
222
1
ds
x y z
Γ++
⎰
=⎰
22
(1)
22
t
e dt e
--
==-
⎰
（7）ds
y
⎰Γ，其中Γ为空间圆周：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
Γ
x
y
z
y
x2
:
2
2
2
.
解：由
2222
x y z
y x
⎧+
+=
⎨
=
⎩
，得22
22
x z
+=，令
cos
02
x
z
θ
θπ
θ
=
⎧⎪
≤≤
⎨
=
⎪⎩
故
cos
:cos02
x
y
z
θ
θθπ
θ
⎧=
⎪
Γ=≤≤
⎨
⎪
=
⎩。

故
y ds Γ
⎰
20
cos π
θθ=
⎰
20
cos d πθθ=
3222
30
2
2
cos cos cos ]d d d π
ππππθθθθθθ=-+=⎰⎰⎰2． 螺旋形弹簧一圈的方程为： )20( sin cos π≤≤⎪⎩
⎪
⎨⎧===t kt z t a y t a x ，设它的线密度为
222),,(z y x z y x ++=ρ，求：
（1） 它关于z 轴的转动惯量z I ；（2）它的重心坐标. （1）()2
2z L I x
y ds ρ=
+⎰
()()22222L
x y x y z ds =+++⎰
(222
22
a a k t
π
=+
⎰()22
220
a
a
k t dt π
=+
2222
4)3
a a k ππ=+ （2）()()2
2
2
2
2
2
L
L
x x y z ds x x y z ds
++=++⎰⎰
2222cos a t a k t π
+=
()()22
22
2
22
2
2
2
22
cos 634a k t a tdt ak a k a k t dt
π
π
π
+==
++⎰⎰（分子采用分部积分法）
()()2222
2
2
L L y x y z ds
y x
y z
ds
++=
++⎰⎰
(2222sin a t a k t π
+=
2222
6 34ak a k ππ-=+ ()()2
2
2
2
2
2
L
L
z x y z ds z x y z ds
++=
++⎰⎰
2222kt a k t π
+=
=222222
3(2)34k a k a k
πππ++ §2 对坐标的曲线积分
无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
1计算公式：若()()
::x x t L t y y t αβ=⎧⎪→⎨=⎪⎩，（其中,αβ分别始点和终点对应的参数），则 ()()()()()()()()()()'',,[,,]L
P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt β
α
+=+⎰
⎰
若()
()()
::x x t L y y t t z z t αβ=⎧⎪
=→⎨⎪
=⎩，（其中,αβ分别始点和终点对应的参数），则
()()(),,,,,,L
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰
()()()()()()()()()()()()()()()'''[,,,,,,]P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt β
α
=++⎰
注意：（1）对定向曲线才能说对坐标的曲线积；定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数
方程的不同：
① 定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小：:t αβ→ ② 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式：a t b ≤≤ （2）①弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限
②对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数，下限是始点的参数，而不管上限是否一定要大于下限 2：两类曲线积分的关系
（1） 定向曲线的切向量及其方向余弦
若()()::x x t L t y y t αβ=⎧⎪→⎨=⎪⎩
①当αβ<时
切向量为：()()()
'
'
,x t y t ；
方向余弦为
''cos x t y t αβ=
=
②当αβ>时
切向量为：()()()
'',x t y t --；
方向余弦为
''cos x t y t αβ--=
=
类似可以推广到空间曲线。

（2） 两类曲线积分的关系
()()()(),,[,cos ,cos ]L
L
P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds αβ+=+⎰⎰
其中cos ,cos αβ为定向曲线切向量的方向余弦
注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。

特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。

1． 把对坐标的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(化为对弧长的曲线积分，其中L 为： （1）从点（0，0）沿抛物线2x y =到点（1，1）； 解：2
::01x x L x y x
=⎧→⎨
=⎩，由01<，故在(),x
y 处切向量为()1,2x
，所以
cos
α=
=
，
cos β=
=
所以
()(),,L
P x y dx Q x y dy +⎰
()()[,cos ,cos ]L
P x y
Q x y ds αβ=+⎰
=⎰
（2）从点（0，0）沿上半圆周x y x 222
=+0≥y 到点（1，1）.
解：::01x x L x y =⎧⎪→⎨=⎪⎩
，由01<，故在(),x y 处切向量为⎛⎫
⎝，所以
cosα==
cos1x
β==-，所以()()
,,
L
P x y dx Q x y dy
+
⎰
()()
[,cos,cos]
L
P x y Q x y ds
αβ
=+
⎰
(,)(1)(,)]
L
x y x Q x y ds
=+-
⎰
（或[(,)(1)(,)]
L
yP x y x Q x y ds
=+-
⎰）
法二
1cos
:,:
sin2
x
L
y
θπ
θπ
θ
=+
⎧
→
⎨
=
⎩
，由
2
π
π>，
故切向量为()
(sin),cos
θθ
---，即()
sin,cos
θθ
-
所以
cos sin y
αθ
===，
cos cos1x
βθ
==-=-，所以
()()
,,
L
P x y dx Q x y dy
+
⎰()()
[,cos,cos]
L
P x y Q x y ds
αβ
=+
⎰
[(,)(1)(,)]
L
yP x y x Q x y ds
=+-
⎰
2．计算下列对坐标的曲线积分：
（1）⎰-
L
dx
y
x)
(2
2，其中L为抛物线2x
y=上从点（0，0）到（2，4）的一段弧；
解：由
2
::02
x x
L x
y x
=
⎧
→
⎨
=
⎩
，得
()
22
2222
56
()()
15
L
x y dx x x dx
-=-=-
⎰⎰
（2）dx
xy
L
⎰，其中L为圆周)0
(
)
(2
2
2>
=
+
-a
a
y
a
x及x
的整个边界曲线弧（按逆时针方向）；
解：()
L OA AO
xy dx xydx
=+
⎰⎰⎰，
其中::02
x x
OA x a
y
=
⎧
→
⎨
=
⎩
，
cos ::0sin x a a AO y a θθπθ
=+⎧→⎨=⎩
（注意此方程不是的极坐标方程，故不能说在极坐标系下θ的范围:0θπ→，事实上极坐标方程为2cos,:02
r a π
θ=→
，故在极坐标系下θ的范围为:02
π
θ→
）
20
00a
OA
xydx x dx =⨯=⎰
⎰
()()0
cos sin cos AO
xydx a a a d a π
θθθ=++⎰
⎰
()3220
sin sin cos a d πθθθθ=-+⎰
3
2
2220
[2sin sin cos ]a d d π
π
θθθθθ=-+⎰⎰
3
3
(0)22
a a ππ=-+=-
故
3
3
0()2
2
L
a a xy dx ππ=+-
=-
⎰
（3）⎰++L dy x dx xy 2)21(，L 为从点（1，0）到点（-1，0）的上半椭圆周)0(1222≥=+y y x ；
解：由cos ::02
x L y θθπθ=⎧⎪
→⎨=
⎪⎩，得 2(12)L
xy dx x dy ++⎰
20
[12cos (
)](sin )cos cos ]22
d π
θθθθθθ=+-+⎰
23
0sin sin cos cos 2
d d d π
π
πθθθθθθθ=--+
⎰⎰
20
cos sin sin d π
πθ
θθ=
2
(1sin )sin 2d πθθ+
-⎰
2=-
+30
sin sin 3π
θθ⎫-⎪⎝⎭
2002=--+=-
（4）⎰+--+L
y
x dy
y x dx y x 2
2
)()(，其中L 为圆周222a y x =+（按逆时针方向）；
解：由cos ::02sin x a L y a θ
θπθ
=⎧→⎨
=⎩，得
22
()()L
x y dx x y dy
x y +--+⎰ 22
(cos sin )(sin )(cos sin )cos a a a a a a d a π
θθθθθθ
θ+---=⎰
20
2d π
θπ=-=-⎰
（5）⎰Γ-+-+-dz z x dy z x dx y z )()()(，其中Γ为椭圆周：⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+21
22z y x y x ，且从z 轴正方
向看去，Γ取顺时针方向；
解：由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+21
2
2
z y x y x 得cos :sin :202cos sin x y z θ
θ
θπθθ
=⎧⎪Γ=→⎨⎪=-+⎩
，故 ()()()z y dx x z dy x z dz
Γ
-+-+-⎰
222[(4cos sin )4(cos sin )cos sin d π
θθθθθθθ=--++⎰
3003ππ=-++=-
（注意：易知
22220
cos sin d d π
π
θθθθ=⎰
⎰，所以
22220
cos sin π
π
θθ=⎰
⎰
222
01(cos sin )2d πθθθ=
+⎰2012
d πθπ==⎰ （6）⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线：⎪⎩⎪
⎨⎧===32t
z t y t
x 上t 由0到π2的一段弧.
解：
222()2y z dx yzdy x dz Γ
-+-⎰
()26457
643843257
t t dt π
ππ=-=-
+⎰
3．计算⎰-++L dy x y dx y x )()(，其中L ：（1）抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段；
（3）曲线1,1222+=++=t y t t x 上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧.
解：（1）由2
::12x y L y y y
⎧=→⎨
=⎩，得
()()L
x y dx y x dy ++-⎰
222
134()2()3
y y y y y dy ⎡⎤=+•+-=⎣⎦⎰ （2）由::1412
33x x
L x y x =⎧⎪
→⎨=+⎪⎩
，得
()()L
x y dx y x dy ++-⎰
4112121()()1133333x x x x dx ⎡⎤
=++++-=⎢⎥⎣
⎦⎰ （3）由22
21:011
x t t t y t ⎧=++⎪→⎨=+⎪⎩，得 ()()L
x y dx y x dy ++-⎰
()1
22
032(32)41(2)23
t t t t t t dt ⎡⎤=+++-++=⎣⎦⎰ 4．证明： l dy xy dx y x L 2)cos()sin(22≤++⎰其中l 为平面上光滑曲线L 的长度. （提示：转化为对弧长的曲线积分）
证明：
22sin()cos()L
x y dx xy dy ++⎰
22[sin()cos cos()cos ]L
x y xy ds αβ=
++⎰
其中cos ,cos αβ是切向量的方向余弦，故满足2
2
cos cos 1αβ+=。

22sin()cos()L
x y
dx xy dy ++⎰
22sin()cos cos()cos L
x y xy ds αβ≤++
⎰
=⎰
=⎰
≤⎰=⎰
=≤=⎰
⎰
法二：证明：
22sin()cos()L
x y dx xy dy ++⎰
2
2[sin()cos cos()cos ]L
x
y xy ds αβ=
++⎰
其中cos ,cos αβ是切向量的方向余弦，故满足2
2
cos cos 1αβ+=。

22sin()cos()L
x y dx xy dy ++⎰
22sin()cos cos()cos L
x y xy ds αβ≤++⎰
设向量()
22sin(),cos()n x y xy =+，()cos ,cos e n αβ=则
22sin()cos cos()cos e x y xy n n αβ++=•
e n n ≤=≤
故
2
2sin()cos()L
x
y dx xy dy ++≤
⎰22sin()cos cos()cos L
x y xy ds αβ++⎰
⎰
=
§3 Green 公式
1． 用曲线积分计算下列曲线所围平面图形的面积： （1）椭圆：
12
22
2=+
b
y a
x ；
解：若：cos ::02sin x a L y b θ
θπθ=⎧→⎨
=⎩，则
12
D L
A d xdy ydx σ==
-⎰⎰⎰
22201cos sin 2ab ab d ab πθθθπ⎡⎤=+=⎣
⎦⎰ （2）星形线：t a y t a x 33sin ,cos ==，)20,0(π≤≤>t a .
解：若：33
cos ::02sin x a t L t y a t
π⎧=⎪
→⎨=⎪⎩，则 12
D
L
A d xdy ydx σ==
-⎰⎰⎰
22422420
13cos sin 3sin cos 2a t t a t t dt π⎡⎤=+⎣⎦⎰
2242242
3cos sin 3sin cos 2a t t a t t dt π
⎡⎤=+⎣⎦⎰
22220
3sin cos 2a t tdt π
=⎰
2220
3sin 28a tdt π
=⎰
2220
31cos 43
8
28
a t dt a π
π-==⎰
2．用格林公式计算下列曲线积分
（1）⎰-L ydx x dy xy 22，其中L 为圆周)0(>a ，取逆时针方向；
（2）⎰---L
x dy y y dx y e ])sin ()cos 1[(，其中L 为闭区域x y x D sin 0,0:≤≤≤≤π的正向边
界. 解：（1）
2222,,Q P
P x y Q xy x y x y
∂∂=-=∴
-=+∂∂， 又L 逆时针方向，设2
2
2
:D x y a +≤，所以
()2222L
D
xy dy x ydx x y d σ-=+⎰
⎰⎰
224001
2
a d r rdr a πθπ==⎰⎰ （注意
()22222L
D
D
xy dy x ydx x y d a d σσ-=+≠⎰
⎰⎰⎰⎰，为什么？）
（2）
(1cos ),(sin ),x x Q P
P e y Q y y ye x y
∂∂=-=--∴
-=-∂∂ 所以⎰---L
x dy y y dx y e ])sin ()cos 1[(
sin 0
x
x
x D
ye d dx ye dy πσ=-=-⎰⎰⎰⎰
sin 0
x
x e dx ydy π=-⎰⎰
2
01sin 2
x e xdx π=-
⎰ 011cos 222
x x e dx π-=-⎰
01[cos 2]4x x e dx e xdx π
π=--⎰⎰
()111
(1)1(1)4205
e e e πππ=-+-=- （其中
20
cos 2cos 22sin 2x x
x e xdx e x
e xdx π
π
π=+⎰
⎰
20
12[sin 22cos 2]x x e e x
e xdx π
ππ
=-+-⎰
14cos 2x e e xdx ππ=--⎰
所以
()0
1cos 215
x e xdx e π
π
=
-⎰
） 3．计算积分⎰+-L
y x ydx xdy 2
24，其中L 为圆周)1()1(222≠=+-R R y x （按逆时针方向）；
解
2222
,,044y x Q P P Q x y x y x y
-∂∂=
=∴-=++∂∂ （1）故当1R <时，2222
,44y x P Q x y x y
-=
=++在222
(1)(1)x y R R -+≤≠所围的区域D 内有连续偏导，满足格林公式条件。

22004L
D xdy ydx
d x y
σ-==+⎰⎰⎰ （2）故当1R >时，2
2
2
(1)(1)x y R R -+≤≠所围的区域D 含有(0,0)点，故
2222
,44y x
P Q x y x y -∴=
=++在区域D 有点没有连续偏导，不满足格林公式条件。

不能直
接用格林公式条件。

做曲线2
2
2
:4l x y ε+=（ε取得足够小保证l 含在L 所围区域）方向为逆时针，即
1cos :022sin x l y εθθπεθ
⎧
=⎪→⎨⎪=⎩。

则曲线L l -
+围成复连通区域1D 且为1D 的正向边界。

故在复连通区域1
D 22
4L l xdy ydx
x y -
+-+⎰
满足格林公式条件，故
1
22004L l D xdy ydx
d x y
σ-
+-==+⎰
⎰⎰即 222222444L l l xdy ydx xdy ydx xdy ydx
x y x y x y ----=-=+++⎰⎰⎰
222222
11
cos sin 22d π
εθεθθε
+=⎰ 2012
d π
θπ=
=⎰ （注之所以取曲线2
2
2
:4l x y ε+=是方便计算，若取222
:l x y ε+=则计算麻烦）
4．证明下列曲线积分在xoy 面上与路径无关，并计算积分. （1）⎰-+-)
4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy 解：
23226,63P xy y Q x y xy =-=-，所以单连通区域xoy 面有连续偏导，且
2123Q P
x y x y
∂∂=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面上与路径无关。

法一：⎰-+-)
4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy
2322()(6)(63)AB
BC
xy y dx x y xy dy =+-+-⎰⎰
其中::132x x AB x y =⎧→⎨
=⎩3
::24x BC y y y
=⎧→⎨=⎩
3
231
(622)x dx =⨯-⎰4222
(6333)236y y dy +⨯⨯-⨯⨯=⎰
法二设：23(,)(6)u x y xy y dx =-⎰
()223
3x y xy y ϕ=-+
则()2263d y u x y xy y dy ϕ∂=-+∂2263x y xy =-得()d y dy ϕ=0 223(,)3u x y x y xy C =-+，故
(3,4)
2322(1,2)
(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰
(3,4)(1,2)236u u =-=
（2）⎰-++-)
1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy 解：
42323,4P xy y Q x xy =-+=-，所以单连通区域xoy 面有连续偏导，且
324Q P
x y x y
∂∂=-=∂∂，所以曲线积分在xoy 面上与路径无关。

法一：
(2,1)
423
(1,0)
(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰
423()(23)(4)AB
BC
xy y dx x xy dy =+-++-⎰⎰
其中::120x x AB x y =⎧→⎨=⎩2::01x BC y y y =⎧→⎨=⎩
2
4
1
(2003)x dx =⨯-+⎰1
230
(242)5y dy +-⨯⨯=⎰
法二设：()()424(,)(23)3u x y xy y dx y x y xy x y ϕϕ=-++=-++⎰
()2323
44d y u x xy x xy y dy ϕ∂=-+=-∂，得()d y dy ϕ=0，所以 24(,)3u x y x y xy x C =-++，
故⎰-++-)
1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy =(2,1)(1,0)5u u -= 5．用适当的方法计算下列曲线积分
（1）⎰-+-L dy y x dx y y x )12cos ()2sin (2，
其中L 为圆周222R y x =+
依逆时针方向到点) ,0(R 的弧段；
解：由 2
sin 2,cos 21P x y y Q x y =-=-，有
1Q P
x y
∂∂-=∂∂ 2(sin 2)(cos 21)OA L BO
D
x y y dx x y dy d σ
++-+-=⎰
⎰⎰
其中::00x x OA x R y =⎧→⎨
=⎩，0
::0x BO y R y y
=⎧→⎨
=⎩
2(sin 2)(cos 21)L
x y y dx x y dy -+-⎰
2(sin 2)(cos 21)OA L BO
x y y dx x y dy
++=
-+-⎰
2[](sin 2)(cos 21)OA
BO
x y y dx x y dy -+-+-⎰
⎰
2[](sin 2)(cos 21)D
OA
BO
d x y y dx x y dy σ=-+-+-⎰⎰⎰
⎰
2
(sin(20)0)(0cos 21)4
R
R
R x dx y dy π=
-⨯---⎰⎰
2
2
0(0cos 21)4
4
R
R R y dy R ππ=
---=
-⎰
（2）
2
L
ydx xdy
x
-⎰
，其中L 为从点)1 ,2(到点)2 ,1(的直线段. 解：由 21
,y P Q x x
=
=-
，有0Q P x y ∂∂-=∂∂ 积分与路径无关，则
2
2[]L
AC CB ydx xdy ydx xdy
x x --=+⎰
⎰⎰ 其中::211x x AC x y =⎧→⎨
=⎩，1
::12x CB y y y
=⎧→⎨
=⎩
22[]L
AC CB ydx xdy ydx xdy x x --=+⎰
⎰⎰1222
213
12
dx dy x -=+=-⎰⎰ （注意：若应用积分与路径无关，则必须保证在添加的曲线与原曲线所围的区域是单连通的，和,P Q 在区域有连续偏导数，如该题中区域就不能含原点） 6．解下列全微分方程
（1）0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x ； 解： 3
2
3
2
3,3P x xy Q y x y =-=-，在xoy 面有6Q P
xy x y
∂∂=-=∂∂，得方程为全微分方程。

法一()()()32
,3u x y x xy dx y ϕ=
-+⎰()422
1342
x x y y ϕ=-+，故 ()23233d y u x y y x y y dy ϕ∂=-+=-∂，得()3d y y dy ϕ=，即()
1
4
y ϕ=所以方程通解为
4224
131424
x x y y C -+= 法二，令()(,)
3232(0,0)
,(3)(3)x y u x y x xy dx y x y dy =
-+-⎰
3232()(3)(3)OA
AB
x xy dx y x y dy =+-+-⎰⎰
其中::00x x OA x x y =⎧→⎨
=⎩::0x x AB y y y y
=⎧→⎨=⎩
3
(30)0x
x x dx =-⨯++⎰320
0(3)y
y x y dy ++-⎰
4422113442
x y x y =
+- 所以方程通解为4224
131424x x y y C -+=
（2）
012
2
=+++++ydx xdy y
x ydy xdx .
解：,P y Q x =+=
+，在xoy 面有
Q P
x y
∂∂=∂∂，得方程为全微分方程。

法一(
)(
)(),u x y y dx y xy y ϕϕ⎛⎫⎪=+=+⎪⎭
⎰，故
(
)d y u x x y dy ϕ∂=+=+∂，得
()0d y dy ϕ=，即()0y ϕ=
xy C = 法二，令(
)(,)
(0,0)
,x y u x y xdy ydx =
+⎰
(OA
AB
xdy ydx =++⎰⎰
其中::00x x OA x x y =⎧→⎨
=⎩::0x x
AB y y y y
=⎧→⎨=⎩
0x
=+
⎰
0)y
x dy ++⎰
1)
y
xy =+
10)xy =-
1xy =-
1xy C -= 7．计算曲线积分⎰+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2)()(，其中L ：
（1）闭区域)0(2222>>≤+≤a b b y x a 的正向边界；
2222()(),x y x y P Q x y x y +--=
=++，则P Q
y x
∂∂=∂∂
显然在)0(2222>>≤+≤a b b y x a 内2222
()()
,x y x y P Q x y x y
+--=
=++有连续偏导数，满足格林公式条件，故
22
()()()0L D x y dx x y dy Q P d x y x y σ+--∂∂=-=+∂∂⎰⎰⎰ （2）圆周222a y x =+)0(>a 按逆时针方向； 解：圆周222a y x =+所围区域含原点，故2222
()()
,x y x y P Q x y x y
+--=
=++在其内没有连续偏导，数，不能用格林公式。

直接计算cos ::02sin x R L y R θ
θπθ
=⎧→⎨
=⎩，故
2
2222
0()()2L x y dx x y dy a d x y a πθπ+---==-+⎰⎰
（3）从点) ,(ππ--A 沿曲线x y cos π=到点
,(πB 解：由P Q y x
∂∂=∂∂，则积分路径无关，故： 22
()()AE
x y dx x y dy x y +--+⎰
22
()()AC CE x y dx x y dy
x y ++--=+⎰ 22()()EB
x y dx x y dy
x y
+--+⎰ 22
()()ED DB x y dx x y dy
x y ++--=+⎰， 其中::x AC y y y π
ππ=-⎧-→⎨=⎩::x x
CD x y πππ=⎧-→⎨
=⎩，::x DB y y y
π
ππ=⎧→-⎨
=⎩
故： ⎰+--+L
y
x dy
y x dx y x 2
2
)()(
22
()()[]
AE
EB
x y dx x y dy
x y +--=++⎰⎰
22
()()[]
AC
CE
ED
DB
x y dx x y dy
x y
+--=++++⎰⎰⎰⎰
22
()()[]
AC
CD
DB
x y dx x y dy
x y +--=+++⎰⎰⎰
22()()L x y dx x y dy
x y +--+⎰()22()y dy y
ππππ----=-+⎰2
2()x dx x ππππ-+++⎰22()y dy y ππππ---++⎰ 22
y dy y π
πππ-+=+⎰
22x dx x ππππ-+++⎰22y dy y ππππ-+++⎰223x dx x πππ
π-+=+⎰ 223x dx x π
πππ-+=+⎰
222233x dx dx x x πππππππ--=+++⎰⎰22006dx x πππ=++⎰ 03
6arctan 2
x πππ==
8．利用曲线积分与路径无关的条件，求待定参数或函数.
（1）确定a 的值，使曲线积分dy y y x dx xy x I a a L )56()4(4214-++=-⎰与路径无关； 解：4
1
244,65a
a P x xy Q x
y y -=+=-，欲使曲线积分与路径无关当且仅当
P Q y x
∂∂=∂∂，即 ()122461a a xay a x y --=-，即()46121
12a a a a =-⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩
得3a = （2）求可微函数)(y ϕ，e =)1(ϕ，使曲线积分 xdy y y
e dx y y I L y
⎰-+=))(()(ϕϕ 在0>y 的开区域内与积分路径无关.
解：(),(())y e P y y Q y x y ϕϕ==-，积分与路径无关当且仅当P Q
y x ∂∂=∂∂，即
()()()y
d y
e y y y dy y
ϕϕϕ+=-，得
2()()0y d y y e dy y y
ϕϕ+-=，（这是以y 自变量()y ϕ为未知函数的一阶线性微分方程）
又e =)1(ϕ得()2y
e y y
ϕ=
9．证明⎰=∂∂-∂∂L dx y v
dy x v 0的充分必要条件为：
02
222=∂∂+∂∂y v x v 其中L 是单连通开域G 内的一条简单闭曲线，),(y x v 在G 内具有连续的二阶偏导数 证明：对曲线积分
L v v dy dx x y ∂∂-∂∂⎰,v v P Q y x
∂∂=-=∂∂，故⎰=∂∂-∂∂L dx y v
dy x v 0的充分必要条件为P Q
y x ∂∂=∂∂，又22P v y y ∂∂=-∂∂，22Q v x x
∂∂=∂∂ 故⎰=∂∂-∂∂L dx y v
dy x v 0的充分必要条件为22
22v v y x ∂∂-=∂∂， 即02222=∂∂+∂∂y
v x v
§4 对面积的曲面积分
1．计算下列曲面积分 （1）
dS ∑
⎰⎰
，其中∑为抛物面22
2()z x y =-+在xoy 面上方的部分; 解：2
2
:2()z x y ∑=-+()22
,,:2xy xy x
y D D x y ∈+≤
则dS ==
=
故
xy
D dS ∑
=
⎰⎰⎰⎰
20
d πθ=
⎰
2
12(41)8r π=⨯
+()3
22213
[14433
r ππ=⨯+=
（2）
2
2
()x
y dS ∑
+⎰⎰，其中∑为锥面z =1z =所围成闭区域的边界曲面.
解：如图
12∑=∑+∑，其中
1:z ∑=()22,,:1x y D D x y ∈+≤
2:1,z ∑=()22,,:1x y D D x y ∈+≤，故
2
2()x
y dS ∑
+⎰⎰=1
22()x y dS ∑+⎰⎰+2
22()x y dS ∑+⎰⎰
=22
(D x y +⎰⎰
+
22(D
x y +⎰⎰
)2
21()D x
y dxdy =+⎰⎰
)2120
01
1
(12
d r rdr πθπ=
=⎰
⎰
（3）
()xy yz zx dS ∑
++⎰⎰
，其中∑为锥面z =
222(0)x y ax a +=>所截
得的部分;
解：:z ∑=
()22,,:2x y D D x y ax ∈+≤
则dS =
=
=
故
()(D
xy yz zx dS xy ∑
++=+⎰⎰⎰⎰
D
xydxdy =
⎰⎰D
+
⎰⎰]+⎰⎰
00=+
（区域关于x
轴对称，函数xy 是关于y 奇函数）
2cos 20
2
cos a d r r rdr π
θ
πθθ-=•
⎰
2cos 320
2
cos a d r dr π
θ
πθθ-=⎰
4
5
22
cos d π
πθθ-=⎰
4
52
cos d π
θθ=
⎰
444253=⨯⨯=
（4）
2
2()x
y dS ∑
+⎰⎰
，其中∑为上半球面z =
解：:z ∑=
()22,,:4x y D D x y ∈+≤，则
dS =
=
=
故：
2
2
()x
y dS ∑+
⎰⎰2
2
(D
x y =+
⎰⎰222
d πθ=⎰⎰
220
4(r d π=
⎰2
2
4[π=
2]+⎰
()3
22
2
1648[43
3
r ππ=--=
3． 计算曲面壳
2
21:()(01)2
z x y z ∑=
+≤≤的质量，面密度z ρ=. 解：质量M dS zdS ρ∑
∑
==⎰⎰⎰⎰ 其中2
21:()2
z x y ∑=
+，()22,,:2x y D D x y ∈+≤
dS ==
则2
21(2
D M zdS x y ∑
=
=+⎰⎰⎰⎰
20
12
d r πθ=⎰
0π=
()3
2220113d r π=+
(
)(
)3
3
22
2222
1[11]3
3
r r
r dr π=+-+
)322
2
1(1)]3
r d r
π
=
+
+
(
)5
22
2135
r π
=
+
2(115
π
=
+ 4．
求密度为常数ρ的均匀半球壳z =
Oz 轴的转动惯量z I .
解：22()z I x y dS ρ∑
=
+⎰⎰ ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：2
2
2
x y a +≤
22()z I x y dS ρ∑
=+
⎰⎰22
(xy
D x y ρ=+
⎰⎰220
a
a d πρθ=⎰⎰
2
02(a
a r d ρπ=
⎰220
2[]a
a ρπ=+⎰
2
2
2[()]a a r ρπ=--⎰
()322420242[]33
a
a a r a ρππρ=--=
§5对坐标的曲面积分
计算联合形式
Pdxdy Qdydz Rdzdx ∑
++⎰⎰
法一：直接计算：则分别计算Pdxdy ∑
⎰⎰，Qdydz ∑
⎰⎰，Rdzdx ∑
⎰⎰
（1） 计算
Pdxdy ∑
⎰⎰时
（Ⅰ）将曲面∑投影在xoy 面（且只能投影xoy 面，即使投影为曲线而非区域，此时
0Pdxdy ∑
=⎰⎰）为区域xy
D
，即根据∑方程解出：(,),(,)xy z z x y x y D =∈，并确定曲
面是朝上还是朝下
1计算下列对坐标的曲面积分 （1）
zdxdy xdydz ydzdx ∑
++⎰⎰
，其中∑是柱面22x 1y +=
第一卦限内部分的前侧; 解：（1）计算
zdxdy ∑
⎰⎰
∑在xoy 面投影为0，故0zdxdy ∑
=⎰⎰
（2） 计算
xdydz ∑
⎰⎰
曲面∑朝yoz 投影为:01,03yz D y z ≤≤≤≤ 故:x ∑=(),:01,03yz y z D y z ∈≤≤≤≤，前侧
故
yz
D xdydz ∑
=+⎰⎰⎰⎰ 13
dy dz ==⎰⎰
⎰
⎰
3=⎰
（令cos )y t =
220
33cos 4
tdt π
π==
⎰ （3） 计算
ydzdx ∑
⎰⎰
曲面∑朝xoz 投影为:01,03xz D x z ≤≤≤≤
故:y ∑(),:01,03xz x z D x z ∈≤≤≤≤，右侧
故
xz D ydzdx ∑
=+⎰⎰
10
dx =⎰
⎰
3
34
dz π
==
⎰⎰ 故
zdxdy xdydz ydzdx ∑
++⎰⎰
=
zdxdy xdydz ydzdx ∑
∑
∑
++⎰⎰⎰⎰⎰⎰3330442
πππ
=+
+=
（2）
2
()z x dydz zdxdy ∑
+-⎰⎰，其中∑是抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间的部分的下侧;
解：法一（直接计算）：计算
zdxdy ∑
-⎰⎰，将∑投影到xoy 面为xy
D
224x y +≤
()221
:(),,2
xy z x y x y D ∑=+∈，朝下，故
22
1()2xy D zdxdy x y dxdy ∑
-=--+⎰⎰⎰⎰22200142d r rdr πθπ==⎰⎰
计算
2
()z
x dydz ∑
+⎰⎰将∑投影到yoz 面为yz D ，如图
12∑=∑+∑
，其中()1:,yz x x y D ∑=∈
()2:,yz x x y D ∑=∈，朝后，故
1
2
22()()()z x dydz z x dydz ∑
∑∑+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2(yz
D z dydz =⎰⎰2(yz
D z dydz -⎰⎰
yz
D =⎰⎰2
221
2
2
2y
dy -=⎰⎰23
2
222
122
12(2)
3
y z y dy -=-⎰
322222(4)3y dy -=-⎰3
222
4(4)3y dy =-⎰（其中令2sin y θ=） 420
416cos 43d π
θθπ==⎰ 故
2()8z x dydz zdxdy π∑
+-=⎰⎰ 法二（投影面转换法）因为2
21()2
z x y =
+，xy D ：224x y +≤，朝下，x z x =，所以 2
()z
x dydz zdxdy ∑+-⎰⎰
2[()()]z x x z dxdy ∑
=+--⎰⎰ 22()z x x z dxdy ∑
=-++⎰⎰
22222211
[[(()()]]
42xy D x y x x x y dxdy =--++++⎰⎰22222211
(()()]42xy
D x y x x x y dxdy
=++++⎰⎰22222211
(()[()]42xy xy D D x y xdxdy x x y dxdy =++++⎰⎰⎰⎰
2221
0[()]2xy
D x x y dxdy =+++⎰⎰
22
2220
()8xy
D x y dxdy d r rdr π
θπ=+==⎰⎰⎰⎰
（其中利用对称性：
2221(()04xy
D x y xdxdy +=⎰⎰， 由于xy D ：22
4x y +≤易知：
22xy xy
D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰，即2
22
1()2xy
xy
D D x dxdy x y dxdy =
+⎰⎰⎰⎰） 2把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分： （1）
(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++⎰⎰∑：平面1z x +=被柱面
22x 1y +=所截部分的下侧;
解：曲面在(,,)x y z 处的法向量为(1,0,1)--，故：
cos 2
α=
=-
cos 0β=
=，cos 2
γ=
=-
，故 (,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++⎰⎰
[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]P x y z Q x y z R x y z dS αβγ∑
=++⎰⎰
[(,,)(,,)]2P x y z R x y z dS ∑
=-
+⎰⎰ （注意对于非定向曲面1z x +=可为(1,0,1)，或(1,0,1)(1,0,1)-=--，但对于定向曲面朝下则第三个分量应为负）
（2）(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++⎰⎰
∑：抛物面22
2y x z =+被平面2y =所截
的部分的左侧.
解：曲面在(,,)x y z 处的法向量为(4,1,2)x z -，故：
cos α=
=
cos β=，cos γ=
(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑
++⎰⎰
[(,,)cos (,,)cos (,,)cos ]P x y z Q x y z R x y z dS αβγ∑
=++⎰⎰
∑
=
（注意对于非定向曲面2
2
2y x z =+可为(4,1,2)x z -，或(4,1,2)(4,1,2)x z x z --=--，但对于定向曲面朝做则第二个分量应为负） 3．计算曲面积分
[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑
+++++⎰⎰
其中(,,)f x y z 为连续函数，∑是平面1x y z -+=在第四卦限内的上侧.
解：由∑是平面1x y z -+=在第四卦限内的上侧，故曲面在(,,)x y z 处的法向量为(1,1,1)-
故cos α=
，cos β=，cos γ=，则 [(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑
+++++⎰⎰
{[(,,)[2(,,)]([(,,)f x y z x f x y z y f x y z z dS ∑
=+++++⎰⎰ 1
()332x y z dS dS ∑∑
=
-+==⎰⎰⎰⎰ （其中平面∑的面积为
cos xoy γ
∑在面投影区域面积
）
5． 计算
22()x y dzdx zdxdy ∑
++⎰⎰，∑为锥面z =上满足0x ≥，0y ≥，1z ≤的那部分曲面的下侧.
解：（采用投影面转换法计算较为简单） 由y z =
22()x y dzdx zdxdy ∑
++⎰⎰ 22[()()]y x y z z dxdy ∑
=+-+⎰⎰
()z dxdy ∑
=-⎰⎰
又∑为锥面z =
xy D ：221x y +≤，0x ≥，0y ≥，朝下，
22()()x y dzdx zdxdy z dxdy ∑
∑
++=-⎰⎰⎰⎰
(xy
D dxdy =--⎰⎰1
2200
(1sin )d r r dr π
θθ=--⎰⎰
1
1
3
2220
sin d r dr d r dr π
π
θθθ=-⎰⎰⎰⎰
1
320
1sin 6
46
d r dr ππ
π
θθ=-
=
-⎰⎰ §6 Gauss 公式与Stokes 公式
1．利用高斯公式计算下列曲面积分. （1）333x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰其中∑是球面2
221x
y z ++=的外侧.
解
333x dydz y dzdx z dxdy ∑
++⎰⎰
222(333)x y z dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰
2223()x y z dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰
21
220
sin d d r r dr ππθϕϕ=⎰⎰⎰
（本题中若写成2223()3x y z dxdydz dxdydz Ω
Ω
++=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰是错误的，为什么？）
2）
22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-⎰⎰
其中∑为由曲面z =
z =立体的表面的外侧. 解：
22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑
+-⎰⎰ (22)z z z dxdydz Ω
=+-⎰⎰⎰zdxdydz Ω
=⎰⎰⎰
（若采用先二后一的方法计算三重积分）
12Ω=Ω+Ω
，其中1:01,z z D z Ω≤≤≤
2:1z z D z Ω≤≤≤
zdxdydz Ω
⎰⎰⎰
10
1
z
z
D D dz zdxdy zdxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰
1
1
z
z
D D zdz dxdy dxdy =+⎰⎰⎰
⎰⎰1
3
20
1
(2)2
z dz z z dz π
π=+-=
⎰
（若采用柱坐标方法计算三重积分）
:1,02r z r θπΩ≤≤≤≤≤≤
21
2
r
zdxdydz d rdr zdz ππ
θΩ
==
⎰⎰⎰
⎰⎰
2．计算下列曲面积分： （1）
2yzdzdx dxdy ∑
+⎰⎰，∑是球面2
224(0)x
y z z ++=≥的上侧.
解；作曲面22
1:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝下。

则
2yzdzdx dxdy ∑
+⎰⎰
1
2yzdzdx dxdy ∑+∑=
+⎰⎰1
2yzdzdx dxdy ∑-+⎰⎰
zdxdydz Ω
=⎰⎰⎰1
2yzdzdx dxdy ∑-+⎰⎰
其中222
:4(0)x y z z Ω++≤≥
zdxdydz Ω
⎰⎰⎰
20
z
D dz zdxdy =⎰⎰⎰2
20
4z z dz ππ==⎰（先二后一）
由22
1:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝下，有
1
2yzdzdx dxdy ∑+⎰⎰1
02dxdy ∑=+⎰⎰28xy
D dxdy π=-=-⎰⎰，故
212yzdzdx dxdy π∑
+=⎰⎰
（2）
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑
++⎰⎰，∑为抛物面2
24z x
y =--被平面0z =所截下的
部分的下侧.
解；作曲面2
2
1:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上。

则
322
23x dydz xz dzdx y dxdy ∑
++⎰⎰
1
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑+∑=
++⎰⎰1
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑-++⎰⎰
2(300)x dxdydz Ω
=-++⎰⎰⎰1
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑-++⎰⎰
其中22
:4(0)z x y z Ω≤--≥
2
22
42
220
cos r x dxdydz d rdr r dz πθθ-Ω
=⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
2
22
42
3
cos r d r dr dz π
θθ-=⎰⎰⎰
()2320
1643
r r dr π
π=-=
⎰ （用柱坐标2
:04,02,02,z r r θπΩ≤≤-≤≤≤≤） 由2
2
1:0,:4xy z D x y ∑=+≤，朝上有
1
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑++⎰⎰1
2
003y dxdy ∑=++⎰⎰
22
2
32
33sin xy
D y dxdy d r dr πθθ==⎰⎰⎰⎰22
2
300
3sin 12d r dr π
θθπ==⎰⎰
故
32223x dydz xz dzdx y dxdy ∑
++⎰⎰161228πππ=--=- （其中利用定积分的几何意义有
222222
01cos sin (sin cos )2
d d d π
π
πθθθθθθθπ==
+=⎰
⎰⎰） 3：计算曲面积分
2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰
其中∑为0z =
和
z =.
解：
2
2
32()(2)xz dydz x
y z dzdx xy y z dxdy ∑
+-++⎰⎰
22
2
2
2220
()sin a
z x y dxdydz d d r r dr π
π
θϕϕΩ
=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
222
520
2
sin 5
a
d d r r dr a π
π
θϕϕπ==⎰⎰⎰
4．设f 是连续可导函数，计算曲面积分
33311[()]+[(
)]y y
x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z
∑
+++⎰⎰
其中∑为锥面
x =
2221x y z ++=及2224x y z ++=所围立体表面的外侧.
解：
33311[()]+[()]y y
x dydz f y dzdx f z dxdy z z y z
∑
+++⎰⎰
2'2
'22211(3()3()3)y y x f y f z dxdydz z z z z
Ω
=+
+-+⎰⎰⎰ 222(333)x y z dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰
22
2240
1
sin d d r r dr π
π
θϕϕ=⎰⎰⎰
22
2240
1
93(2sin 5
d d r r dr π
π
θϕϕπ==
⎰⎰⎰ 5．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分:
（1）⎰Γ++xdz zdy ydx ，Γ为圆周：2222
x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，从z 轴正向看去，取逆时针方
向.
解：原积分=
dydz dzdx dxdy
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy x y z y z x
∑
∑∑∂∂∂
=---=-++∂∂∂⎰⎰
⎰⎰⎰⎰ （其中∑如图它是0x y z ++=在球内的部分，朝上。

）
∑的法向量为()1,1,1，故
dydz dzdx dxdy dS ∑
∑
=-++=-⎰⎰⎰⎰
2dS a ∑
==
（2）⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y )()()(，Γ为椭圆222
(,0)1x y a a b x z a b
⎧+=⎪
>⎨+=⎪⎩，从z 轴正向
看去，取逆时针方向.
解：原积分=
222dydz
dzdx dxdy dydz dzdx dxdy x y z y z
z x
x y
∑
∑∂∂∂
=---∂∂∂---⎰⎰
⎰⎰ 2dydz dzdx dxdy ∑
=-++⎰⎰（其中∑它是1x z
a b +=在圆柱内的部分，朝上）
∑的法向量为(),0,b a ，故
原积分2
2dydz dzdx dxdy dS ∑
∑
=-++=-⎰⎰⎰⎰
dS ∑
=-
⎰⎰2
2()a a a b a ππ=-=-+
第十章 自测题
1．（1）求 zds Γ
⎰，其中Γ为曲线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，0(0)t t ≤≤；
解：
zds Γ
⎰
t =⎰
t =⎰()03
2
2
23
t t +
=
3220
(2)3
t +-=
（2）求
(sin 2)(cos 2)x
x L
e
y y dx e y dy -+-⎰，其中L 为上半圆周222()x a y a -+=，
0y ≥，沿逆时针方向.
解：sin 2,cos 2x
x
P e y y Q e y =-=-，
2Q P x y
∂∂-=∂∂ 做直线段:0,:02OA y x a =→，则
(sin 2)(cos 2)x x L
e y y dx e y dy -+-⎰
(sin 2)(cos 2)x x L OA
e y y dx e y dy +=-+-⎰(sin 2)(
x OA
e y y dx
e --
+
⎰2D
dxdy =⎰⎰(sin 2)(cos 2)x x OA
e y y dx e y dy --+-⎰
2(sin 2)(cos 2)x x OA
a e y y dx e y dy π=--+-⎰
由:0,:02OA y x a =→有
(sin 2)(cos 2)x x OA
e y y dx e y dy -+-⎰
20
(sin 020)00a
x e dx =-⨯+=⎰
故
2(sin 2)(cos 2)x x L
e y y dx e y dy a π-+-=⎰
2．计算下列各题： （1）
∑
其中∑为界于0z =与(0)z H H =>222
R .。