同济六版高数练习册答案第十章曲线积分与曲面积分
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第十章 曲线积分与曲面积分
§1 对弧长的曲线积分
计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
若()()
:x x t L a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(
,,b L a
f x y ds f x t y t =⎰⎰ 若()()()
:x x t L y y t a t b z z t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪
=⎩，则
()()()()(
,,,,b
L
a
f x y z ds f x t y t z t =⎰⎰
注意：上限一定要大于下限
1． 计算下列对弧长的曲线积分
（1）ds y x ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：
222()L
x y ds +=
⎰
22()L
a ds ⎰
4L
a ds =⎰45(2)2a a a ππ==
法二：cos :02sin x a L y a θθπθ
=⎧≤≤⎨
=⎩，
222()L
x y ds +⎰
()()2
22
[cos sin ]a a π
θθθ=+⎰
2550
2a d a π
θπ==⎰
（2）ds e
L y x ⎰+2
2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的
扇形的整个边界；
解：
22
()x y L
OA
AB
BO
e
ds +=++⎰
⎰⎰⎰，其中
:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩，cos :,0sin 4x a AB y a θπ
θθ=⎧≤≤⎨=⎩
，:02x x BO x a y x =⎧≤≤⎨=⎩
a
oA
=⎰
⎰
1a x a e dx e ==-⎰
a AB
AB
e ds =⎰
⎰4
a
a
AB
ae e
ds π==
⎰
（或
AB
⎰
4
π
θ=⎰
4
4
a
a
ae e ad ππθ=
=
⎰）
BO
=
⎰
1a e ==-
故
22
(2)24
x y a L
e
ds e a π
+=+
-⎰
（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧； 解：由2
:0121
x
x L x y x =⎧≤≤⎨
=-⎩，得
1
L
xds =⎰
⎰
32120
2
(116)1
3
32
48
x +==
（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=
t t a y t t a x ； 解：
[]
220
(1cos )L
y
ds a t π
=-⎰
⎰
523
2
(1cos )t dt π
=-⎰
5
2
322
(2sin)
2
t
dt
π
=⎰235
8sin
2
t
a dt
π
=⎰（令2tθ=）
35
16sin
a d
π
θθ
=⎰
3533
2
42256
32sin32
5315
a d a a
π
θθ
==⨯⨯=
⎰
（5）ds
xy
⎰，其中L为圆周2
2
2a
y
x=
+；
解：利用对称性
1
4
L L
xy ds xy ds
=
⎰⎰，其中1cos
:0
sin2
x a
L
y a
θπ
θ
θ
=
⎧
≤≤
⎨
=
⎩
11
44
L L L
xy
ds xy ds xyds
==
⎰⎰⎰
2
4(cos)(sin
a a
π
θθθ
=⎰
3323
22
4cos sin2sin2
a d a a
ππ
θθθθ
===
⎰
（6）ds
z
y
x
⎰Γ
+
+2
2
2
1
，其中Γ为曲线t
e
x t cos
=，t
e
y t sin
=，t e
z=上相应于t从0变到
2的弧段；
解：
222
1
ds
x y z
Γ++
⎰
=⎰
22
(1)
22
t
e dt e
--
==-
⎰
（7）ds
y
⎰Γ，其中Γ为空间圆周：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
Γ
x
y
z
y
x2
:
2
2
2
.
解：由
2222
x y z
y x
⎧+
+=
⎨
=
⎩
，得22
22
x z
+=，令
cos
02
x
z
θ
θπ
θ
=
⎧⎪
≤≤
⎨
=
⎪⎩
故
cos
:cos02
x
y
z
θ
θθπ
θ
⎧=
⎪
Γ=≤≤
⎨
⎪
=
⎩
。故