气溶胶力学第一章6-7

④韦布尔（Weibull）分布：具有三个常数， 可用来表达生产过程中的粉尘，特别是具有以 极限最小粒径的气溶胶分布； ⑤洛森—莱姆莱尔（Rosin-Rammler）分布： 具有两个常数，用来比描述比较粗的粉尘和雾， 它是韦布尔分布的特殊情况； ⑥洛莱尔（Roller）分布：包括两个常数，用 来描述粉状工业材料； ⑦贯山—棚泽分布：三个常数，用来描述由雾 化产生的气溶胶。
e
F (u ) =
1 2π σ u
∫
u1
0
e
− ( u −u ) 2 2σ u 2
du
式中
u = ln d p , σ u = ln σ
u −u 2σ u ln d p − ln d p 2 ln σ
原式经下列变换：
x=
=
即可变为标准情况，以便利用已有的误差函数 表。
应该指出，质量分布函数q和G与p和F有相同 形式而且有相同的σ值，不同之处在于 d (NMD)代之以 d (NMD)。
粒径分布函数可用下列四种方法之一给出：数量密度函数p；重量 密度函数q；累计筛下粒子数目和重量百分率。后二者很容易转化 为累计筛上百分率。如果给出这四种分布函数的任何一种，原则 上其他三个可以从下列关系式中推导出来： （1-14）
dF dG p= ,q = d (d p ) d (d p )
（1-15）
G=
∞
0
p
pd (d p
∫ )
0
d 3 p pd (d p )
然而在某些情况下这些转换在实际工作中不容 易做到。
为了充分表达气溶胶粒子的粒径分布， 为了充分表达气溶胶粒子的粒径分布，我们所寻 求的函数通常必须具有下列性质： 求的函数通常必须具有下列性质：
（1）当
d p → 0, p = q = F = G → 0,
x=
dp −dp 2σ
则积分变为
erf ( x) =
1
π
∫
x
0
e
− x2
dx
对于正态分布，在dp= d处，p有最大值，且 p F=0.5,把密度函数p对粒径dp求二阶导数并令 其等于零，则可求出p曲线的两个拐点的位置，
即
d pi = d p ± σ
所以，标准差的大小等于拐点位置距平均粒径 之间的距离，根据该二数值可以确定标准差σ 的大小，如果F曲线是已知的，那么根据前述 的作图法可以求出p曲线。从该曲线即能可读 出dp的大小。 σ与确定后，分布函数即被确定 了。 符合正态分布的粉尘是极少见的，但它是研究 分布函数的基础。
7.1 正态分布 正态分布又叫高斯分布， 正态分布又叫高斯分布，其数学表达式为
粒子的平均粒径； 其中 d ——粒子的平均粒径； 粒子的平均粒径 p σ——标准差或均方差，是一个大于零的常数，用来描述气 标准差或均方差， 标准差或均方差 是一个大于零的常数， 溶胶粒子的发散程度， 值越大 气溶胶粒子发散程度越大， 值越大， 溶胶粒子的发散程度，σ值越大，气溶胶粒子发散程度越大， 当σ=0时，气溶胶为单一分散物，所有粒子具有相同粒径。 时 气溶胶为单一分散物，所有粒子具有相同粒径。
或
σ = d p d p1
（当
d p1 < d p
时）
而可以很容易得从对数概率图上读出。
7.3 具有粒径上限的对数正态分布 这一函数是由穆盖尔（ 这一函数是由穆盖尔（Mugele）和依文斯 ） （Evans）为描述喷雾及其它有相似形成机理 ） 的气溶胶粒径分布而提出的， 的气溶胶粒径分布而提出的，是以一综合参数 去描绘具有最大稳定滴径dpmax为上限的粒 去描绘具有最大稳定滴径 为上限的粒 径分布。 径分布。 设比率u=dp/（dpmax-dp）为对数正态分布， 方程中包括三个常数：dpmax,σ和u50.而 u50=dp50/(dpmax-dp50),
(d p − d p )2 1 p(d p ) = exp − 2 2σ 2π σ
气溶胶粒子的累积分布函数 为：
(d p − d p ) 2 dp 1 F (d p ) = ∫0 exp− 2σ 2 dd p 2π σ
p(dp)的最大值或F(dp)的拐 点发生在dp= 处。 dp
F = ∫ pd (d p )和G = ∫ qd (d p )
0 0
dp
dp
q p= ,q = ∞ q 3 d p ∫ 3 d (d p ) 0 d p
p⋅d
3
p
∫
∞
0
pd p d (d p )
3
（1-16）
F=
1
∫ ∫
∞
0
q 3 d p d (d p ) 1 d
3
∫
d
q d
d 3 p
0
d (d p ),
目前已经得到一些半经验方程用来描述气溶胶粒子的分布特 征：
①正态分布：包括两个常数。符合正态分布的 气溶胶是极少见的，但它是各种分布的基础； ②对数正态分布：包括两个常数，是广泛的经 常用的分布函数,可用来描述大气中的气溶胶 及很多生产过程中的粉尘； ③具有粒径上限的对数正态分布函数：具有三 个常数，当需要特别描述最大粒径时应用，例 如用来描述喷雾的粒径分布；
6.1 频率分布 表1.5列出了粒径 d在0～30范围内粒子数量的实测 p 值。据此，可作直方图1.1。数量频率分布 和质量 i 频率分布 分别定义为：
g
f
i
ni fi = ∑ ni
gi =
∑n d
i
ni d pi
3 3 pi
式中 ni ——第 i 区间里观测到的粒子数目； d pi——第 i 区间里粉尘粒径。
合 计
粒径范围 ∆d p / µ m 粒径区间中点 d
pi
nf 数量频率分布
粒子数目
i
500 1 1
质量频率分布 g 数量密度分布 p 质量密度分布 q 数量筛下累积分 布 F
0.05 1.5×105
8×10-3 0.0259 0.0698 0.62 0.043 0.86 0.302 1.0 1.0
7.2 对数正态分布 经常用来描述环境空气中的气溶胶和生产过 程中发生的粉尘， 程中发生的粉尘，应用起来还是相当方便 的。 我们规定参数µ为直径 的对数， 为直径dp的对数 我们规定参数 为直径 的对数，即
u = ln d p
p= dF (d p ) dd p dF (u ) du = ⋅ du dd p
表1.5 粒径分布计算表
区间编号
i
1 0～2 1 50 0.1 3.2×105
2 2～5 3.5 110 0.22 3×10-3 0.073 9.9×10-4 0.32
wk.baidu.com
3 5～10 7.5 150 0.3 4×10-2 0.06
4 10～ 20 15 120 0.24 0.258 0.024
5 20～30 25 70 0.14 0.698 0.014
自然，在实践中没有粒径是零或无限大的情况， 对于只具有两个常数的分布函数，再用来描述 具有粒径极限时会带来一定的误差，但这往往 是可以忽略的，如果要更好的表达一充分大于 零的最小粒径或表达一已知粒径上限的情况， 需要包括三个常数的更完善的分布函数。
下列分布函数具有很好的代表性： 下列分布函数具有很好的代表性：
分布方程可写为：
G=
∫ 2π ln σ
=
1
ln u
0
ln u u 50 2 exp − ( ) d (ln u ) 2 ln σ
而其中最大粒径dpmax由下式估算：
d p max d p50
d p50 (d p90 + d p10 ) − 2d p90d p10 d
2 p50
− d p90d p10
0.1
质量筛下累积分G 3.2×10- 3.03×10-3 5 布
图1.1 粒子分布直方图
6.2 密度分布 数量密度分布 p 和质量密度分布 为
q 分别定义
fi dF p= = ∆d p dd p
式中
gi dG q= = ∆d p dd p
——数量筛下累积分布； F ——质量筛下累积分布。 G 各区间的密度分布计算结果列于表1.5中，由此 结果可绘出密度分布图1.2。
这里的dp10，dp50,dp90分别为累积分布G为 10%，50%，90%时的粒径，而
σ = u 84.1 u 50
p
pm
在应用正态分布时，实验资料可绘制到对数概 率纸上，如果得到一条直线，说明粉尘分布服 从对数正态分布。此时的标准差σ仍然可按前 述方法确定：把p(u)对u求二阶导数并令其等 于零，可以得到：
u1 − u = ±σ u
即
ln
所以
d p1 dp
= ± ln σ
（当
σ = d p1 d p ,
d p1时） p >d
由上式得
du 1 = dd p d p
则
1 p(d p ) = p(u ) dp
或者
p (u ) = d p p ( d p )
在对数正态分布中，p（u）曲线是一个u的正 态分布曲线，中心在 处，数学表达式为： µ
2π σ 累积分布函数F(u)为： u
p(u ) =
1
−
( u −u ) 2 2σ 2 u
图1.3 数量累积分布和质量累积分布 累积分布为50％的地方称为中位径。由图1.3可近 似读出数量中位径为8.5，质量中位径为22。
6.4 形态直径、中位径和平均直径 利用单一粒径来描述气溶胶的粒子分布，即形 态直径，中位直径和平均直径。 在图1-2中，频率分布具有单个峰值，峰值表 示了最常发生的粒径，成为形态径。有时也有 两个峰值的频率分布，这在本章后面加以讨论。 累积分布的1/2处的粒径称为中位粒径，数目 中位粒径（NMD）位于F=0.5处；质量中位粒 径（MMD）位于G=0.5处。
而粒径大于dp1的粒子累计百分数为
F (d p > d p1 ) =
(d p − d p ) 2 ∞ 1 ∫0 exp− 2σ 2 dd p 2π σ
上式的积分值可以从误差函数表中查出，不过 要经过下列代换：
(d p − d p ) 2 d p1 1 = 1− ∫0 exp− 2σ 2 dd p 2π σ
=
[∑ f d ]
2 i pi
3 13
12
体积平均粒径：
d pv
∑ ni d = ∑ ni
pi

13
=
[∑ f d ]
i pi
7
粒径分布函数 气溶胶粒子的粒径分布对其累计分布来说大多呈“S” 形，而其密度曲线函数多呈歪斜的钟形。如图1-2所示， 研究这些图形最有效的方法是依据“密度函数”p或q 及累计分布函数F或G。本节的中心内容是找出能表达 一给定分布的简单的方程，这个方程可以把p或F(或者 是q或G)表达为dp函数，其中包括两个或三个常数， 自然，最简单的函数是只包括两个常数。其中一个常 数是用来描述气溶胶粒子的一般大小，即平均粒径， 另一个常数应描述粒径的扩展范围，而第三个常数用 来描述气溶胶中的极限粒径（最大的或最小的）。
6 粒径分布 气溶胶粒子是由各种不同粒径的颗粒组成的集合体， 显然，单纯用“平均”粒径来表征这一集合体是不够 的。粒径分布又称分散度，是指在不同粒径范围内颗 粒所含数量或质量分数。通常使用的是质量累积分布。 掌握粒径分布对选择净化设备、评价净化性能、粒子 群的扩散与凝聚行为，以及对环境造成的污染影响等 方面具有重要的意义。 粒径分布的表示方法有表格法、图形法和函数法。下 面以测定数据的整理过程说明粒径分布的表示方法和 相应的定义。
且
dp dF dq dG = = = = 0; dd p dd p dd p dd p
（2）当 d p → ∞ 时,
p = q → 0, F = G → 1
且
dp dF dq dG = = = → 0, dd p dd p dd p dd p
（3） p和q的最大值分别相应于F和G的拐点。有 这种特征的函数仅能有描述单一峰值分布的能力。
平均直径也可用来表现一气溶胶， 平均直径也可用来表现一气溶胶，一 般采用的平均粒径有几个不同的定义： 般采用的平均粒径有几个不同的定义： 数目平均粒径：
d pn
∑n d = ∑n
i
2
pi
= ∑ f i d pi
i
表面积平均粒径：
d ps
∑ ni d = ∑ ni
3
pi

12
图1.2 数量密度和质量密度分布图
6.3 累积分布 数量筛下累积分布 F 和质量筛下累积分布 分别 G 定义为
F = ∑ fi = ∫
i =1
j
j
dp
0
pdd p
G = ∑ g i = ∫ qdd p
dp i =1 0
有定义可知，筛下累积分布是指包括某一粒径 dp 的所有粒子的质量（或数量）占总质量（或数 量）分数。根据已有数据，可得数量筛下累积 分布 F 和质量筛下累积分布 G ，见表1.5和 图1.3。