高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 新人教A版选修2-2
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4．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4)2 ， … ， 根 据 上 述 规 律 ， 第 四 个 等 式 为 _1_3_＋__2_3_＋__3_3＋__4_3_＋__5_3_＝__(1_＋__2_＋__3_＋__4_＋__5_)_2_．
特征 归纳推理是由__部__分__到_整__体__、由个别 类比推理是由_特__殊__到_特__殊__的推
到一般的推理
理
• 2．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_观__察__、_分__析___、比较、 含义 _联__想___，再进行_归__纳___、__类__比__，然后提出_猜__想___的推理．我们把它们统
• 『规律总结』 (1)由已知数式进行归纳推理的步骤 • ①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变
化规律或结构形式的特征．
• ②提炼出等式(或不等式)的综合特点． • ③运用归纳推理得出一般结论．
• (2)归纳推理在图形中的应用策略
• 〔跟踪练习1〕
• 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个 图案，则第六个图案中有菱B形纹的正六边形的个数是( )
称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理
从具体问 题出发 → 观察、分析、 比较、联想 → 归纳、 类比 过程
→ 提出__猜__想___
• 1．(2018·周口期末)下列表述正A确的是( )
• ①归纳推理是由部分到整体的推理；
• ②归纳推理是由一般到一般的推理；
• ③类比推理是由特殊到一般的推理；
类比推理．
3．等差数列{an}中，an>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等 比数列{bn}中，若 bn>0，q>1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系_b_4_＋__b_8>_b_5_＋__b_7．
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4＋b8>b5＋b7．
• 2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人 的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的
．因此，它们在形状上也应该B类似，“锯子”应该是齿形 的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B．类比推理
• C．没有推理
D．以上说法都不对
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基 本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明 过程语言条理、逻辑规范的好习惯．
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患 头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一点 血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发， 又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起了他的 注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效 应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现 在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎 样的数学知识呢？
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第二章
推理与证明
同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人 们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴 赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警 察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都 离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
[解析] 本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前三个式子可得出如下 规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次加 1， 等号的右边是从 1 开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1，因此，第四 个等式为 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2．
互动探究学案
• 1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的_部__分__对__象_具有某些特征， 推出该类事物的全__部__对__象__都具有这些特 征的推理，或者由_个__别__事__实_概括出一般 结论的推理，称为归纳推理(简称_归__纳_)
由两类对象具有_某__些__类__似__特__征_和 其中一类对象的_某__些__已__知__特__征_， 推出另一类对象也具有这__些__特__征__ 的推理称为类比推理(简称类比)
13＋23＝32 13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 请你归纳出一般结论．
[思路分析] (1)通过观察几组数字之间的关系列式； (2)通过观察等式左右各自特点找通项．
[解析] (1)因为 5＋6－9＝2 6＋6－10＝2 6＋8－12＝2 ∴V＋F－E＝2． (2)各等式左边是几个连续自然数的立方和，右边是这几个连续自然数的平方， 即一般结论为 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．
• A．26 • C．32 D．36
B．31
• [解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 个数
第一个
第二个
第三个
…
6
11
Hale Waihona Puke Baidu
16
…
• 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱
命题方向1 ⇨归纳推理
典 例 (1)观察分析下表中的数据：
1
多面体
面数(F)
三棱柱
5
五棱锥
6
立方体
6
顶点数(V) 6 6 8
棱数(E) 9 10 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E 所满足的等式是_V_＋__F_－__E_＝__2____．
(2)(2017·聊城高二检测)由下列各式： 13＝12
• ④演绎推理是由一般到特殊的推理；
• ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
• A．①④⑤
B．②③④
• C．②③⑤ D．①⑤
• [解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理 ．故①对②错；
• 由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对； • 类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错， • 则正确的是①④⑤， • 故选A．
特征 归纳推理是由__部__分__到_整__体__、由个别 类比推理是由_特__殊__到_特__殊__的推
到一般的推理
理
• 2．合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过_观__察__、_分__析___、比较、 含义 _联__想___，再进行_归__纳___、__类__比__，然后提出_猜__想___的推理．我们把它们统
• 『规律总结』 (1)由已知数式进行归纳推理的步骤 • ①分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变
化规律或结构形式的特征．
• ②提炼出等式(或不等式)的综合特点． • ③运用归纳推理得出一般结论．
• (2)归纳推理在图形中的应用策略
• 〔跟踪练习1〕
• 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个 图案，则第六个图案中有菱B形纹的正六边形的个数是( )
称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理
从具体问 题出发 → 观察、分析、 比较、联想 → 归纳、 类比 过程
→ 提出__猜__想___
• 1．(2018·周口期末)下列表述正A确的是( )
• ①归纳推理是由部分到整体的推理；
• ②归纳推理是由一般到一般的推理；
• ③类比推理是由特殊到一般的推理；
类比推理．
3．等差数列{an}中，an>0，公差 d>0，则有 a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等 比数列{bn}中，若 bn>0，q>1，写出 b5，b7，b4，b8 的一个不等关系_b_4_＋__b_8>_b_5_＋__b_7．
[解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有 b4＋b8>b5＋b7．
• 2．鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人 的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的
．因此，它们在形状上也应该B类似，“锯子”应该是齿形 的．该过程体现了( )
• A．归纳推理
B．类比推理
• C．没有推理
D．以上说法都不对
• [解析] 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 的判断的思维过程，上述过程是推理，由性质类比可知是
本章我们将学习两种基本推理——合情推理与演绎推理．学习数学证明的基 本方法——分析法、综合法、反证法等．要通过本章的学习养成言之有据，证明 过程语言条理、逻辑规范的好习惯．
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
《内经·针刺篇》记载了这样一个故事：有一个患 头痛的樵夫上山砍柴，一次不慎碰破脚趾，出了一点 血，但头不疼了．当时他没有注意．后来头疼复发， 又偶然碰破同一脚趾，头疼又好了．这次引起了他的 注意，以后每次头疼时，他就有意刺破该处，都有效 应(这个樵夫碰的地方，即现在所称的“大敦穴”)．现 在我们要问，为什么这个樵夫以后头疼时就想到要刺破原脚趾处呢？这里面有怎 样的数学知识呢？
新课标导学
数学
选修2-2 ·人教A版
第二章
推理与证明
同学们，你知道人造地球卫星在太空中是怎样运行与工作的吗？你知道人 们怎样认识浩瀚无际的宇宙的吗？你看过《福尔摩斯探案集》吗？你了解哥德巴 赫猜想吗？你知道考古学家怎样推断遗址的年代，医生怎样诊断病人的疾病，警 察怎样破案，气象专家怎样预测天气，数学家怎样论证命题的真伪吗？这一切都 离不开推理．而证明的过程更离不开推理．
[解析] 本小题主要考查抽象概括能力和推理能力．由前三个式子可得出如下 规律：每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数的立方和，且个数依次加 1， 等号的右边是从 1 开始的连续正整数和的完全平方，个数也依次加 1，因此，第四 个等式为 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2．
互动探究学案
• 1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的_部__分__对__象_具有某些特征， 推出该类事物的全__部__对__象__都具有这些特 征的推理，或者由_个__别__事__实_概括出一般 结论的推理，称为归纳推理(简称_归__纳_)
由两类对象具有_某__些__类__似__特__征_和 其中一类对象的_某__些__已__知__特__征_， 推出另一类对象也具有这__些__特__征__ 的推理称为类比推理(简称类比)
13＋23＝32 13＋23＋33＝62 13＋23＋33＋43＝102 请你归纳出一般结论．
[思路分析] (1)通过观察几组数字之间的关系列式； (2)通过观察等式左右各自特点找通项．
[解析] (1)因为 5＋6－9＝2 6＋6－10＝2 6＋8－12＝2 ∴V＋F－E＝2． (2)各等式左边是几个连续自然数的立方和，右边是这几个连续自然数的平方， 即一般结论为 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2．
• A．26 • C．32 D．36
B．31
• [解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 个数
第一个
第二个
第三个
…
6
11
Hale Waihona Puke Baidu
16
…
• 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱
命题方向1 ⇨归纳推理
典 例 (1)观察分析下表中的数据：
1
多面体
面数(F)
三棱柱
5
五棱锥
6
立方体
6
顶点数(V) 6 6 8
棱数(E) 9 10 12
猜想一般凸多面体中，F，V，E 所满足的等式是_V_＋__F_－__E_＝__2____．
(2)(2017·聊城高二检测)由下列各式： 13＝12
• ④演绎推理是由一般到特殊的推理；
• ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
• A．①④⑤
B．②③④
• C．②③⑤ D．①⑤
• [解析] 根据题意，归纳推理，就是由部分到整体的推理 ．故①对②错；
• 由所谓演绎推理是由一般到特殊的推理．故④对； • 类比推理是由特殊到特殊的推理．故⑤对③错， • 则正确的是①④⑤， • 故选A．