泛函分析在最优控制中的应用

泛函分析在最优控制中的应用

炉子热过程的优化包括最优设计和最优控制两个方面,都属泛函的范畴,在最优控制研究中,目标函数表达式的确定是一大难点。因为目标函数表达式往往不能等价于真实目标。对此很有必要进行深入的研究。

1. 简化模型优化研究的现状与误区

炉内换热由炉膛辐射换热和被加热金属内部导热两部分组成。在求解时,这两部分是相互藕合,互为边界条件的。如果描述这两部分的模型都以能量平衡为基,则称为完全模型,如段法,流法等【1、2】都属于这类模型。如果对炉膛换热进行充分简化,而只保留金属内部导热以能量平衡为基础来描述,则称为不完全模型,在线控制模型【3.4】即属此类。为满足在线实时的要求,控制模型的简化是必要的。但简化也为控制的最优化带来困难。这主要是因为目标函数表达式中的参量和目标本身可能已完全脱藕。而这一点并没有引起足够的重视。例如,为实现燃耗最小化,取炉温的加权和作为目标函数【5】

∑=2i i t w J （1）

式中的权重i w 对优化结果有重大影响,但i w 的选取又有很大的任意性。又如, 以炉内金属的焙对时间的积分【6】,或表面温度对时间的积分【7】为目标函数：

⎰=1011

τττd t J t

（2）

定性看来,这与强化炉头供热的原则【8】是一致的,从直观概念上看也是可行的。然而,以上的真实目标都是燃耗最小,那么式（1）、（2）实质上都只是替代目标。替代目标与真实目标是否等价,尚有待于进一步论证。 燃耗最小化的真实目标是：

⎰=10)(τττd B J (3)

求解J min 是实现最小燃耗的关键。因为控制模型充分简化了炉膛换热,使得模型函数式里的参量,如炉温f t 金属温度),,(τy x t s 等,已同燃料供给量)(τB 完全脱耦,也就是说无法构成函数关系。这正是确定目标函数式困难的本质原因。 综上所述,要解决确定替代目标的困难,必须从被简化的部分入手,寻找真实目标和简化模型中的保留参量之间的内在联系,进而导出与真实目标等价或近似

等价的解析解或可供数值求算的函数式。所谓保留参量,是指不完全模型和完全模型都具备的参量,例如金属温度即是保留参量。至于炉温,是不完全模型在简化中引进的,而不是从完全模型中继承下来的,所以不是保留参量。

2. 变分法在炉子优化控制中的应用

假定炉子为均匀制度、对流制度,被加热金属在与受热面垂直的截面上温度呈抛物线分布【8】,忽略炉体热损失,于是可列出如下诸方程：

g g n s g s D t c BV t t KF BH BQ +-=+)( （4）

上式为炉膛能量平衡方程,左边两项分别为带入炉内的化学热与物理热,右边两项为传给金属的热量和炉气带出的热量,式中

n n n f f t c L t c H +=

λ)2(11

++=k s a K 平板1=k ，柱体2=k

为使最终解具有一般意义,以理论燃烧温度)()(g n D f c V H Q t +=

对式（4）进行无因次化,并定义无因次炉气温度τθt t g g =和无因次金属平均温度τθt t s g =。

同样可列出金属换热方程及其无因次式

)(g g s g f

s g t t KF t c m -= （5）

g g g A θθθ-='2 （6）

s s

s KF c m A =2 （7） 综合式（5）（6）（7）可得B 与θ、升温速度'θ之间的函数关系

)1(212

s f s s f A A A B θθθ--=

（8）

这样,真实目标式（3）便可表为

⎰--=f

d A A A J s f s s f ττθθθθ0212)1()(

（9）

可见,式（9）与真实目标式（3）近似等价是有理论依据的。之所以说近似，

是因为式（9）还基于某些必要的假定,而且也还带有集总参数的性质。但它毕竟实现了真实目标与模型简化后保留下来的参数之间的藕合,这正是本文开头指出的,重要的而且往往被忽略的环节。

式（9）是以)(τθ为宗量的泛函,最优供燃函数)(τB 所对应的最优升温曲线)(τθ应在满足泛函（9）的边界条件

c s f s t ,0,)(,)0(θθθθ== （10）

在所有物性参数恒定或可取平均值的条件下,泛函（9）可获满足边界条件（10）的解析解,由简单泛函求极的欧拉方程的简化形式,即θ不显含τ的形式

C B

B =∂∂-''θθ

（11） 最终可解得

0,,21211ln 1

)1(s c s f A AA A AA B θθτ---=+=

（12） 对于变物性问题,可求式(11)的数值解来实现优化。对于辐射制度,可以导出 4

4''g s CF s s g n D s s s T T F c m c V H Q T

c m B +Φ-+=θσ （13） C T B

T B s g =∂∂='

'

（14） 其优化可归结为求式(14)的数值解。

3 讨论

控制模型属于不完全模型,其参量不完整,要构成与真实目标等价的替代目标函数,必须补充一个简化的能量平衡式。在此基础上可得到泛函形式,以之作为优化准则,在机理上是比较严密的,而且在计算上也是简便易行的。例如本文导出的式(11)和(14)均为常微分方程,求其数值解比式(l)和(2)的寻优会方便得多。前者可直接获得最佳升温曲线,然后一次反算出最优炉温制度,后者需反复变更炉温制度以进行加热计算才能选出最优升温曲线。

本文的研究属首次探索,还有一定的局限性。例如,用最大值原理将会比本文所采用的经典变分法更适应复杂的条件和取得更普遍的结果。