总体平均数与方差的估计

第 5 章用样本推断总体

5.1 总体平均数与方差的估计

【知识与技能】

1. 掌握用样本平均数估计总体平均数

2. 掌握用样本方差估计总体方差.

【过程与方法】通过对具体事例的分析、探讨，掌握简单随机样本在大多数情况下，当样本容量足够大时，样本的平均数和方差能反应总体相应的情况.

【情感态度】感受数学在生活中的应用.

【教学重点】样本平均数、方差估计总体平均数、方差的综合应用.

【教学难点】体会统计思想，并会用样本平均数和方差估计总体平均数和方差.

一、情景导入，初步认知一所学校要从两名短跑速度较快的同学中选拔一名去参加市里的比赛，为了使选拔公平，每名同学都进行10 次测试，结果两名同学测试的结果的平均数是相同的，那么，派谁去参加比赛更好呢？

【教学说明】通过具体事例的引入，提高学生学习的兴趣.

二、思考探究，获取新知

1. 我们在研究某个总体时，一般用数据表示总体中每个个体的某种数量特性，所有这些数据组成一个总体，而样本则是从总体中抽取的部分数据，因此，样本蕴含着总体的许多信息，这使我们有可能通过样本的某些特性去推断总体的相应特性.

2. 从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想，用样本平均数，样本方差分别去估计总体平均数，总体方差就是这一思想的体现，实践和理论都表明：对于简单的随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种估计是合理的.

3. 思考：（1）如何估计某城市所有家庭一年内平均丢弃的塑料袋个数？

（2）在检查甲、乙两种棉花的纤维长度时，如何估计哪种棉花的纤维长度比较整齐？

【归纳结论】由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差分别去估计总体的平均数与方差.

4. 探究：某农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两个品种的水稻各100亩. 如何确定哪个品种的水稻在该地区更有推广价值呢？

为了选择合适的稻种，我们需要关心这两种水稻的平均产量及产量的稳定性（即方差），于是，待水稻成熟后，各自从这100亩水稻随机抽取10 亩水稻，记

录它们的亩产量（样本），数据如下表所示：

我们可以求出这10 亩甲、乙品种的水稻的平均产量. 因此，我们可以用这个产量来估计这两种水稻大面积种植后的平均产量.

我们还可以计算出这10 亩甲、乙品种的水稻的方差，从而利用这两个方差来估计.

这两种水稻大面积种植后的稳定性（即方差），从而得出哪种水稻值得推广.

5. 通过上面的探究，怎样用样本去估计总体，才能使估计更加合理？【归

纳结论】①抽取的样本要具有随机性；②样本容量要足够大.

6. 如何用样本方差估计总体方差？

【归纳结论】方差能够反映一组数据与其平均值的离散程度的大小. 方差越大，离散程度越大，稳定性越差. 用样本方差估计总体方差的具体方法为：①计算样本平均数；②计算样本方差；③用样本方差估计总体方差.

【教学说明】引导学生思考，让学生讨论，合作完成. 培养学生互助、协作的精神.

三、运用新知，深化理解

1. 见教材P143例题.

2.2014 年宁波市初中毕业生升学体育集中测试项目包括体能（耐力）类项目和速度（跳跃、力量、技能）类项目．体能类项目从游泳和中长跑中任选一项，速度类项目从立定跳远、50米跑等 6 项中任选一项．某校九年级共有200名女生

在速度类项目中选择了立定跳远，现从这200 名女生中随机抽取10名女生进行测试，下面是她们测试结果的条形图．（另附：九年级女生立定跳远的计分标准）

九年级女生立定跳远计分标准：

（注：不到上限，则按下限计分，满分10 分）

（1）求这10 名女生在本次测试中，立定跳远距离的极差，立定跳远得分的众数和平均数；

（2）请你估计该校选择立定跳远的200 名女生得满分的人数．

解：（1）从小到大排列出距离为：174，183，189，195，197，199，200，

200，201，205，

得分为7，8，9，9，10，10，10，10，10，10．

∴立定跳远距离的极差=205-174=31（cm）．

所以立定跳远得分的众数是10（分），立定跳远的平均数=110

（7+8+9+9+10+10+10+10+10+1）0 =9.3 （cm）．（2）因为10 名女生中有 6 名得满分，所以估计200 名女生中得满分的人数

是200× 610=120（人）．

3. 某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛，抽查了两

人在最近10 次选拔赛中的表现，他们的成绩（单位:cm）如下：你认为该派谁参加？

分析：此题可从平均数，方差两方面去分析. 当平均数相差不大时，再看

方

差.

所以应该派甲去.

4. 如图所示，为了了解A、B两个旅游点的游客人数变化情况，抽取了从2002 年至2006年“五一”的旅游人数变化情况，制成下图.根据图中所示解答以下问题：

（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？

（2）从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；

分析：本题综合考查平均数、方差的计算，关键是公式应用要准确，数据不要遗漏.

解：(1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2005 年．

从2002至2006年，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A 旅游点较B 旅游点的旅游人数波动大．

【教学说明】这组反馈练习，从多个角度考察学生掌握及运用新知的情况，在学生独立完成过程中，不仅巩固了知识，也学会多角度思考问题，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，发散了思维，学会做数学.

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结. 教师作以补充.

布置作业: 教材“习题 5.1 ”中第 1 、2 、3题.

通过本节课的学习，使学生形成一定的数学思想和方法. 同时教师也了解了学生的真实情况，便于帮助学生认识自我，建立自信，也便于下一堂课作适当的调整与准备.