空间向量数量积算

《空间向量的数量积运算》说课案

今天我说课的课题《两个向量的数量积》，本节课是数学选修2-1第三章第三节的第一课时的内容，现我就教材分析、教学目标分析、教学重难点、教法与学法设计、教学过程、五个方面进行说明。恳请在座的各位评委批评指正。一、教材分析

本节课是人教A版选修2-1第三章第1.3节的内容，是在学生学习了空间向量的线性运算和空间向量基本定理的基础上进一步学习的内容，是平面向量数量积及其研究方法的推广和拓展。它丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点、新的方法，并且是本章和今后学习的重要基础1教材的地位与作用：

空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。

学生已经学习了立体几何，通常都按照传统方法解立体几何题，这就要求我们的学生需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。

整体来看，本节课在整个高中数学中占有重要的地位。

2、学情分析

本节课授课对象是高二年级的学生，他们已熟知了实数的运算体系，学习了平面向量的一些内容，理解了向量的概念，对向量的加法、减法及数乘运算都应该较熟练，具备了功等物理知识，并且通过前面的学习初步体会了研究向量运算的一般方法。

（二）根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征、及本节课在整个高中数学中的地位，对本节课我设置了如下的三维目标：

知识与技能：（1）掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；

（2）掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；

（3）掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

过程与方法：（1）经历空间向量数量积知识的形成过程

（2）体会低维与高维相互转化的思维过程

（3）发展联想、类比、探究的能力、培养数学表达和交流能力

（4）培养用联系的观点看问题，渗透数形结合的思想

情感、态度：（1）激发学生求知欲，提高学习兴趣，树立学好数学的信心（2）认识数学的科学价值、应用价值，体会数学的理性精神

三、教学重难点分析

根据教材内容和学生观察、形象思维能力强，而空间想象能力不足的特点，我制定了以下重难点

教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用

教学难点：（1）两个向量的数量积的几何意义

（2）如何把立体几何问题转化为向量计算问题

四、教法与学法分析

1、教法分析：

（1）本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。

（2）在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。

（3）通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便对已学过知识进行的复习。

2、学法分析：

在本节课的教学中，引导学生学会观察、分析讨论、类比归纳，以此增加学生的参与机会，增强学生的参与意识，让学生真正成为教学过程中的主体。五、教学过程：

学生是认知的主体，遵循学生的认知规律和本节课的特点，我设计了如下的教学过程程：

1.复习引入

1）让学生回顾平面向量数量积及其运算律。

○1平面向量的数量积定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量丨a丨丨b丨cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a.b，即：a.b=丨a丨丨b丨cos θ，其中θ是向量

○

2平面向量数量积的几何意义：数量积a.b 等于a 的长度丨a 丨与b 在a 的方向上的投影丨b 丨cos θ的乘积。

a 和

b 的夹角。

○3平面向量数量积的运算律：a.b=b.a ；（λa ）.b=λ（a.b ）=a.（λb ）； （a+b ）c=a.c+b.c

在这个环节中我会请两个学生回答平面向量的数量积的定义

及其运算律：由于我所带的学生的认知情况有限，所以同学可能回答不上，所以在这个过程当中我会进行适当的引导。

设计意图：通过复习平面向量的数量积及其运算，从学生已有认知平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫

2、讲授新课

在复习平面向量的数量积的过程中牵扯到了模长及其夹角；所以我会进一步引出本节课的第一个内容空间两个向量的夹角，空间中任何两个向量都可以进行平移，平移到同一个平面上

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，

作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；

规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>； 若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.

推广：这样设计是为了在后面的学习中容易找夹角以便于计算两个向量的数量积

（2）向量的模：

设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .

（3）向量的数量积：

已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，

作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．

（4）空间向量数量积的性质：

||cos ,a e a a e ⋅=<>．

0a b a b ⊥⇔⋅=．

2||a a a =⋅．

（5）空间向量数量积运算律：

()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．

a b b a ⋅=⋅（交换律）．

()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．

设计意图：先设计了两个向量的夹角及

其模长的概念。是为了引出数量积的内

容

3、讲解范例：

例1 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理

已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥

求证：l α⊥．

例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．

设计意图：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明，利用向量的数量积可以证明线面垂直，对于前面的有关立体几何中证明线线垂直，线面垂直的问题，我们就可以用向量数量积等于