第二节 函数的求导法则
函数的求导法则
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
返回
六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
y ′ = (2 x sin x ) ′
= 2( x )′ sin x + 2 x (sin x)′
sin x = + 2 x cos x x
例3：求 y = tan x 的导数 . 解
y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明（略）
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
故结论成立.
推论: 推论 1) (Cu )′ = Cu′ ( C为常数 )
2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′
同理可得
(csc x)′ = − csc x cot x.
内容小结 1、和、差、积、商的求导法则
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
第2节 求导法则
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2
cos x 1 5 (1 cos x)2
1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
微积分求导法则
(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x
2
′ 1 −(cos x)′ = sinx (sec x)′ = = 2 cos2 x cosx cos x
注：此法则可推广到多个中间变量的情形. ：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
y
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列各函数的导数. 求下列各函数的导数. 解:
= f ′( ln cos(ex ) )⋅ [−ex tan( ex )]
含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
例12. 设下列各函数的导数
(1) y = f [ f (sin x)] ; (2) y = f (ln x)e f (x) .
解：(1) y′ = f ′[ f (sin x)] ⋅ f ′(sin x) ⋅ cos x
函数求导法则
1 x2 ,
x 1,
例4
已知f (x)
(1
x)(2
x), 1
x
2,
求 f (x), f (0)
(2
x),
2 x ,
2x , x 1,
f (x)
2x 3,
1<x 2,
1, 2 x ,
f (0)=0
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
例3
已知 f (x) x sin x ,
1 cos x
求 f (x)
x sin x . 1 cos x
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
解: y ( x ) ( x3 4 cos x sin1)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
y x1
高等数学2-2
x a cost 例12 求椭圆 在t 处的切线方程和法线方 程.
解
4 y b sin t dy b cos t b dy dt cot t , dx dx a sin t a dt
可得
k切
b b dy cot , dx t a 4 a
1 , 求y . 例3 设y sin 1 x
解
y
1 cos 1 x
1 1 1 cos . 2 1 x (1 x) 1 x
2
例4 设y sin e x , 求y . 解
y ( sin e )
1 2 sin e 1
x2
1 x x2 1 1 x x2 1
2
x
x 2 x2 1
2x 1 2 2 x 1
1 x 1
2
x2 1 例6 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例1 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
例13 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
二节基本的导数公式与运算法则-精选
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
第二节函数的求导法则-精品
x
(arcsin x ) 1 1 x2
(arctan
x )
1 1 x2
(arccosx) 1 1 x2
(
arccot
x)
1
1 x
2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u u( x), v v( x)都可导，则
则复合 yf函 {[(数 x)]的 } 导数为
dydydu dv. dx du dv dx
例8 求函y数 lnsix n的导 . 数
解 yln u,usix n .
dy dy du
1 cos
x
cos
x
dx du dx u
sin x
coxt
例9
2x
y
s
in 1
lim [
]
x 0
v( x x )v( x )x
[u ( x x ) u ( x )]v ( x ) u ( x )[ v ( x x ) v ( x )]
lim
x 0
v( x x )v( x )x
u(x x) u(x) v(x) u(x) v(x x) v(x)
lim[u(x x) u(x) v(x x) u(x) v(x x) v(x)]
x0
x
x
lim u(x x) u(x) lim v(x x)
x0
x
x0
v(x x) v(x)
u(x) lim
]
x0
x
u(x)v(x) u(x)v(x)
第二节 导数基本公式与求导法则
ad − bc a (cx + d ) − (ax + b )c = = 2 2 (cx + d ) (cx + d )
(6) y = e x (sin x − 2 cos x )
解：
e x (sin x − 2 cos x ) ′
= (e x )′(sin x − 2 cos x ) + e x (sin x − 2 cos x )′
第二节 导数基本公式与求导 法则
一、用导数的定义求函数的导数举例 二、函数四则运算求导法则
一、由定义求导数
步骤: 步骤 (1) 求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x);
∆y f ( x + ∆x) − f ( x) (2) 算比值 ; = ∆x ∆x ∆y ′ = lim (3) 求极限 y . ∆x→0 ∆x
【3-2-2】
′ = lim [ f ( x + ∆x ) ± g ( x + ∆x )] − [ f ( x ) ± g ( x )] ∴ [ f ( x ) ± g ( x )] ∆→ 0 ∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = f ′( x ) (2) Q f ( x ), g ( x )在x可导 ∴ lim ∆x → 0 ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x ) lim = g ′( x ) ∆x → 0 ∆x
同理可得 (csc x)′ = − csc x cot x.
例4
求下列函数的导数
1 (1) y = , f ( x ) ≠ 0, 且f ( x )可导 f ( x)
解：
1 ′ − f ′( x ) f ( x ) = [ f ( x )]2
第二节 导数运算(知识梳理)
第二节 导数运算复习目标学法指导能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单复合函数(仅限于形如y=f(ax+b)的复合函数)的导数.1.熟记基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,是解决复杂导数问题的基础.2.注意导数的运算法则的符号.3.复合函数求导,要分清复合函数的结构,恰当引入中间变量,将复合函数分解成较为简单的函数,然后求导.一、导数的运算法则1.[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g ′(x).2.[f(x)g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g ′(x).3.[()()f xg x ]′=()()()()()2f xg x f x g x g x ''-⎡⎤⎣⎦(g(x)≠0).二、复合函数的导数复合函数y=f(ax+b)的导数和函数y=f(u),u=ax+b的导数间的关系为y x′=[f(ax+b)]′=af′(u).与导数运算有关的结论(1)若c为常数,则[cf(x)]′=cf′(x);(2)[f1(x)+f2(x)+…+f n(x)]′=f′1(x)+f′2(x)+…+f′n(x);(3)[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f n(x)]′=[f′1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f n(x)]+[f1(x)·f′2(x)·f3(x)·…·f n(x)]+[f1(x)·f2(x)·f′3(x)·…·f n(x)]+…+[f1(x)·f2(x)·f3(x)·…·f′n(x)];(4)设y=f(u),u=g(x),则复合函数y=f(g(x))的导数为y′x=y′u·u′x.1.曲线y=13x3-2在点(-1,-73)处的切线的倾斜角为( B )(A)30°(B)45°(C)135° (D)-45°2.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( C )(A)2e (B)e (C)2 (D)1解析:对y=xe x-1求导,得y′=e x-1+xe x-1,由导数的几何意义,得所求切线的斜率k=y′|x=1=2,故选C.3.若函数f(x)的导函数的图象关于原点对称,则函数f(x)的解析式可能是( A )(A)f(x)=3cos x (B)f(x)=x3+x2(C)f(x)=1+2sin x (D)f(x)=e x +x解析:A 中f ′(x)=-3sin x 为奇函数,B 中 f ′(x)=3x 2+2x 非奇非偶函数,C 中f ′(x)=2cos x 为偶函数,D 中f ′(x)=e x +1非奇非偶函数. 故选A.4.已知函数f(x)=x 3-3x,函数f(x)的图象在x=0处的切线方程是 ;函数f(x)在区间[0,2]内的值域是 . 解析:函数f(x)=x 3-3x,切点坐标(0,0),导数为y ′=3x 2-3,切线的斜率为-3,所以切线方程为y=-3x; 3x 2-3=0,可得x=±1,x ∈(-1,1),y ′<0,函数f(x)是减函数,x ∈(1,+∞),y ′>0,函数f(x)是增函数,f(0)=0,f(1)=-2,f(2)=8-6=2, 函数f(x)在区间[0,2]内的值域是[-2,2]. 答案:y=-3x [-2,2]5.已知函数f(x)=(ax+1)ln x,f ′(x)为f(x)的导函数,若f ′(1)=3,则实数a 的值为 .解析:根据题意,f ′(x)=1 ax x +aln x,所以f ′(1)=a+1=3,故a=2. 答案:2考点一 导数的四则运算 [例1] 求下列各函数的导数. (1)y=4x+1x ; (2)y=e x sin x;(3)y=ln xx;(4)y=cos(2x+5).解:(1)y=4x+1x ,则y′=4-21x.(2)y=e x sin x,则y′=e x sin x+e x cos x.(3)y=ln xx ,则y′=21ln xx-.(4)y=cos(2x+5),则y′=-sin(2x+5)·(2x+5)′=-2sin(2x+5).导数的计算方法(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. 求满足下列条件的函数f(x).(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;(2)f(x)是二次函数,且x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.解:(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),则f′(x)=3ax2+2bx+c,由已知得()()()()03,00,1323,21240.⎧==⎪'==⎪⎨'=++=-⎪⎪'=++=⎩f df cf a b cf a b c解得a=1,b=-3,c=0,d=3,故f(x)=x 3-3x 2+3.(2)由题意设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0), 则f ′(x)=2ax+b.所以x 2(2ax+b)-(2x-1)(ax 2+bx+c)=1, 化简得(a-b)x 2+(b-2c)x+c=1, 因为此式对任意x都成立,所以,2,1,=⎧⎪=⎨⎪=⎩a b b c c解得a=2,b=2,c=1, 故f(x)=2x 2+2x+1.考点二 导数运算的综合问题[例2] (1)设曲线y=11x x +-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2(2)设函数f(x)在R 上可导,f(x)=x 2f ′(1)-2x+1,则f(a 2-a+2)与f(1)的大小关系是( )(A)f(a 2-a+2)>f(1) (B)f(a 2-a+2)=f(1) (C)f(a 2-a+2)<f(1) (D)不确定解析:(1)因为y=11x x +-, 所以y ′=-()221x -.因为x=3,所以y ′=-12即切线斜率为-12, 因为切线与直线ax+y+1=0垂直, 直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以-12·(-a)=-1得a=-2.故选D.(2)由题意,f ′(x)=2f ′(1)x-2,则f ′(1)=2f ′(1)-2,可得f ′(1)=2,则f(x)=2x 2-2x+1,由二次函数性质可知,函数f(x)在(12,+∞)上单调递增,因为a 2-a+2=(a-12)2+74>1>12,所以f(a 2-a+2)>f(1),故选A.[例3] (1)设函数f(x)=g(x)+x 2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率是( )(A)4 (B)-14 (C)2 (D)-12(2)已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则a= .解析:(1)由导数的几何意义,得g ′(1)=2,求导函数得 f ′(x)=g ′(x)+2x,k=f ′(1)=g ′(1)+2=4,故选A. (2)法一 因为y ′=1+1x , 所以y ′|x=1=2,所以y=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y-1=2(x-1), 所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切, 当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a ≠0,由()221,21,y ax a x y x ⎧=+++⎪⎨=-⎪⎩得ax2+ax+2=0,因为Δ=a2-8a=0,所以a=8.法二因为y′=1+1x,所以y′|x=1=2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1), 所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,当a=0时,y=2x+1与y=2x-1平行,故a≠0.因为y′=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-12,代入y=2x-1,得y=-2,所以点(-12,-2)在y=ax2+(a+2)x+1的图象上,故-2=a×(-12)2+(a+2)×(-12)+1,所以a=8.答案:(1)A (2)8[例4] 设函数y=x2-2x+2的图象为C1,函数y=-x2+ax+b的图象为C2,已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直.(1)求a,b之间的关系;(2)求ab的最大值.解:(1)对于C1:y=x2-2x+2,有y′=2x-2,对于C2:y=-x2+ax+b,有y′=-2x+a,设C1与C2的一个交点为(x0,y0),由题意知过交点(x0,y0)的两条切线互相垂直.所以(2x 0-2)·(-2x 0+a)=-1, 即420x -2(a+2)x 0+2a-1=0,①又点(x 0,y 0)为C 1与C 2的交点,故有200020022,,y x x y x ax b ⎧=-+⎪⎨=-++⎪⎩ ⇒220x -(a+2)x 0+2-b=0.②由①②消去x 0,可得a+b=52.(2)由(1)知,b=52-a, 所以ab=a(52-a)=-(a-54)2+2516. 所以当a=54时,(ab)max =2516. 曲线f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为Ax+By+C=0有三层含义:一是点在曲线上,二是点在切线上,三是函数f(x)在点x=x 0处的导数等于切线的斜率,即f ′(x 0)=- A B .1.若函数f(x)满足f(x)=13x 3-f ′(1)·x 2-x,则f ′(2)的值为( A ) (A)3 (B)1 (C)0 (D)-1 解析:f ′(x)=x 2-2f ′(1)x-1,令x=1,得f ′(1)=-2f ′(1) ,解得f ′(1)=0, 所以f ′(x)=x 2-1. 所以f ′(2)=3. 故选A.2.设函数f(x)=ax 3+3x,其图象在点(1,f(1))处的切线l 与直线x-6y-7=0垂直,则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( B )(A)1 (B)3 (C)9 (D)12解析:f′(x)=3ax2+3,由题设得f′(1)=-6,所以3a+3=-6,a=-3,所以f(x)=-3x3+3x,f(1)=0,切线l的方程为y-0=-6(x-1),即y=-6x+6.所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×1×6=3.故选B.3.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( C )(A)2 (B)-1 (C)1 (D)-2解析:因为y=x3+ax+b,所以y′=3x2+a;由题意得13,3,13,ka ka b+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩解得2,1,3,kab=⎧⎪=-⎨⎪=⎩则2a+b=-2+3=1.故选C.4.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点,则P点处切线倾斜角α的取值范围为( C )(A)[0,π2)∪[5π6,π) (B)[2π3,π)(C)[0,π2)∪[2π3,π) (D)(π2,5π6]解析:因为y′=3x2-3≥-3,故切线斜率k≥-3,所以切线倾斜角α的取值范围是[0,π2)∪[2π3,π).故答案为C.类型一导数的计算1.设f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),……,f n+1(x)=f′n(x),x∈N,则f2 020(x)等于( C )(A)cos B·cos C=14(B)-cos x(C)sin x (D)-sin x解析:根据题意,f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x)=cos x,f2(x)=f′1(x)=-sin x,f3(x)=f′2(x)=-cos x,f4(x)=f′3(x)=sin x,则有f0(x)=f4(x),f1(x)=f5(x),……则f2 020(x)=f4(x)=sin x.故选C.2.已知函数f(x)的导函数为f′(x),满足f(x)=2xf′(2)+x3,则f′(2)等于( B )(A)-8 (B)-12 (C)8 (D)12解析:因为f(x)=2xf′(2)+x3,所以f′(x)=2f′(2)+3x2;令x=2,则f′(2)=2f′(2)+12,得f′(2)=-12.故选B.类型二导数运算的综合问题3.直线y=12x+b与曲线y=-12x+ln x相切,则b的值为( A )(A)-1 (B)-2 (C)-12(D)1解析:设切点为(x0,-12x0+ln x0),则斜率为k=-12+1x,由题意知-12+1x=12,所以x0=1.所以切点为(1,-12),又因为切点在切线y=12x+b上,所以-12=12+b.所以b=-1.故选A.4.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,如果f′(x)是二次函数,f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为那么曲线y=f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( B )(A)(0,π3] (B)[π3,π2)(C)[π2,2π3] (D)[π3,π)解析:由题意知f′(x)=a(x-1)2所以f′(x)=a(x-1)2即tan所以α∈[π3,π2).故选B.5.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.解析:y′=3(x2+3x+1)e x,故切线斜率k=y′|x=0=3,故切线方程为y=3x. 答案:y=3x6.已知函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P 处的切线的斜率k=f ′(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0. 答案:x-y-2=07.已知f(x)=ln x,g(x)=12x 2+mx+72(m<0),直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切,且与f(x)图象的切点为(1,f(1)),则m 等于 . 解析:因为f ′(x)=1x, 所以直线l 的斜率为k=f ′(1)=1,又f(1)=0,所以切线l 的方程为y=x-1.g ′(x)=x+m,设直线l 与g(x)的图象的切点为(x 0,y 0), 则有00020001,1,17,22x m y x y x mx ⎧⎪+=⎪=-⎨⎪⎪=++⎩又m<0,于是解得m=-2.答案:-28.已知函数f(x)=12x 2-aln x,(a ∈R). (1)若y=f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b 的值;(2)若f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a 的取值范围.解:(1)因为f ′(x)=x-a x(x>0), 又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,所以2ln 22,21,2a b a -=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以2,2ln 2.a b =⎧⎨=-⎩(2)因为f(x)在(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x)=x-a x≥0在(1,+∞)上恒成立. 即a ≤x 2在(1,+∞)上恒成立,所以有a ≤1.。
高等数学第二章第二节函数的求导法则课件
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (uv) uv u v
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)
[
f
1 1 (
y)]
或 d y dx
1
dx
dy
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
f (x) lim y lim x0 x y0
1 ln
a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
1
1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x
2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(uv) uv uv
3. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
注意: 1)
(uv) uv,
u v
u v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
思考与练习
1.
1 x
x
1 x
3
4
3 4
第二节求导法则与初等函数求导
u v
u v
பைடு நூலகம்
2）分段函数求导时，分界点导数用左右导数求.
3）反函数的求导法则：注意成立条件;
4）复合函数的求导法则：注意函数的复合过 程,合理分解正确使用链式法法则;
2020/6/11
例13 y sin3(5x)1,求y.
解 y { [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 } 1 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 1 2 [ s in 3 ( 5 x ) 1 ] 2
第二节 函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法 则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.
一、函数和、差、积、商的求导法则 二、反函数求导法则 三、复合函数的求导法则 四、初等函数的导数
2020/6/11
一、函数和、差、积、商的求导法则 定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处
熟练之后, 计算时可以不写出中间变量, 而直接 写出结果.
如 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
d d x y1(0 x21)9(x21)1(0 x21)92x2x 0(x21)9.
又如
y
sin
e
1 x
,
求
y.
解y(esin1 x)esin1 x(sin1)
sin1
ex
cos
1
(1)
x
xx
1 x2
1 (1 1 (11)) 2xxx 2xx 2x
2020/6/11
4 x2x x2 x1 . 8 x x x x2x x
例21 求函数 yfn[n(sixnn)]的导数.
第二节 函数的求导法则2003
2
=（7）（secx）’ =secx tanx（14）（arccosx）’
1 （8）（cscx）’ =-cscx cotx （15）（arctanx）’ =
1 （16）（arccotx）’ =1 x2
例：y 2x3 5x2 3x 7, 求y' 解：y'=（2x3 5x2 3x 7）’ =(2x )' (5x )' (3x)' (7)'
1 4 （3）y=2 x x x 1 4 1 y'=(2 x x ) ' =(2 x ) ' ( ) ' ( 4 x ) ' x x
=2(x ) ' (x 1 ) ' (x ) '
1 =2 x 2
1 2 1 1 2
1 2
1 4
(1) x
11
1 x 4
1 32 2 当x0 = 时，y0 =(x -1)(x+1) 1 x0 = 3 27 3
1 32 曲线y=(x2 -1)(x+1)在(-1,0)和（ ， - ）处的切线平行于x轴. 3 27
=(x-1)(x-2)(x-3)+x(x-2)(x-3)+x(x-1)[(x-2)'(x-3)+(x-2)(x-3)'] =(x-1)(x-2)(x-3)+x(x-2)(x-3)+x(x-1)[(x-3)+(x-2)]
=(x-1)(x-2)(x-3)+x(x-2)(x-3)+x(x-1)(2x-5)
3 2
=2( x )' 5( x )' 3( x)' 0
第二节 函数的求导法则
x
arcsin x
x x ( a ) arcsin x
x x a (arcsin x )
1 x 1 x 2 a arcsin x 2
x a
x
ln a arcsin x
x a
x
1 1 x 2
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3、函数商的求导法则 法则4 两个可导的函数的商当除数函数（或分母） 不为０时可导，它们商的导数等于被除函数（分 子）的导数乘于除数（分母）减去被除函数（分 子）乘于除数（分母）的导数后，再除于除数函 数（分母）的平方，即
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三、基本求导法则和求导公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x
2 (tan x ) sec x
1 ( x ) x
(cos x ) sin x
2 (cot x ) csc x
(sec x ) sec x tan x
2 10
Q dy dx dy du
dy dx
dy du
10u ,
9
du dx
2x
9 2 9
du dx
1 0 x 1 2 x 2 0 x x 1
2
2 9 2
解2
10( x 1) ( x 1)
10( x 1) 2 x 20 x ( x 1) .
x x ( a ) a ln a
(csc x ) csc x cot x
'
10
7 2
5
7
1
x
2
1 2e x 2
3 2
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v
(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v 2 ( x)
于(v(是x) 0) . 证明v = vu(x=) 在u(
于lim是[ul(ixm ux()xv(vx x0 x0
)v( xx)
=xv(
第二节 函数的求导法则 这些法则可简记为
(u v) = u v 推广 (u + v - w) = u + v - w
x
y
解 y(sin(xs)3e(xccs6xoe)cscx8o)x(sx52s5xisn1e101cx)xx2(4ctoa2nsxx), (2c.scxy) seccsxcx cot x x
cos2 x sin 2 x co(sc2oxsx)
c os x
第二节 函数的求导法则
二、反函数的求导法则
例4*设设 y
x2
2x x5 1
2
,求y.解第二节 函数的求导法则
例5y
设 (yx
2 2x = tan
x
2, )求(xy5(.x1)5
(x2 1)2
2x
2)(
x5
1) y
解 例6y设
((y2ta=x(ntsaxen2)c第)x(x)x二,5求节css1(ioen)xycs函52xx.(x数x1,)2(2的co2求txxy导) 2法)se则5ccxs24c2x
定理2 如果函数 x = f (y) 在区间 Iy 单调、可导且
f (y) 0， 则它的反函数 y = f -1(x) 在区间
Ix = { x | x = f (y) , y Iy } 内也可导，且
[ f 1(第x)]二 节 1函数或的求d导y 法 则1 .
函数 x
=f
(y)
在区间
f ( y) dx dx Iy 单调、可导，证dy明[ f 1(x)]
y
dy dx
dy
f (u) g f (u)
(x) 或 g(x)
=
f [g(x)]
dy dy dx du
在点 x
du . dx
可导
dx
证明 由于 y = f (u) 在点 u 可导，因此
lim lim 推广
设
u 0
y=uyf(uf)
,(uu)=
y (v) u,
v=f(u(x))，则( 复合函数0)
(1) [u(x) v(x)] =第u二(x
(1) [u(x) v(x)] = u(x) v(x)； 证明(2)u[u=(xu)(xv()x在)] x= 处u
(2)
[u(x)
v(x)]
=
u(x)
v(x)
+
u(x)
v(x)；证明v =(3v)u(x=)uv在(u(xx())xx)
处在
(3)
u(x)
π
2
y 1π 12x 2
的
反函例数8 ，求而反正x =切s函in数y 在y =I yarctaπ2 n, π2x 的内导单数调、. 可导，且
的 反所 所反 函以 以例解 解函 数， ，9 数 ，yy求yy==y==，而对aala而orr数rx(ccgca(ts(a=arxt函ailcaornxn第=acsng((数ix(ysttxnat0axa二i在axn在nxn在y<)(n)x节-yy(=)xy)(-)(--l在 <1(<=o函s=x1gi,nl<xc11Ins<a1数oye)1y<xy)ascxx)是的内2<1(2+y,<ay(,>+求每 xπ2l+>(n>c,a)0=oπ.2导一 x0r01)是sc,)a)内 ,y,c法点y内a内ox(单则 -t处1x单=每x)调 1可t调)一a<的、n导、y点导y可<1，可处数+导1并导可xπ2，2.且)，导y的且且，π2
解 y = (2x5 –第3二x3节+ 4函x –数9的) 求导法则
例2 f (=x)(=2xx53)+–4(s3ixn3)x +– c(4oxs1)0–, (求9)f (x) 及 f () .
解
f
=2 (x) =
5(xx第34 +–二43节sin3x函x2–+数c4o的s1求0 导) 法则
= 10x4 – 9x2 + 4 .
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理1 如果 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处可导，则
它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点第x二处节
可导，且
2x xy2
可ln 看sin作x由,
u0
y = f {[(yx)]}f的(u链)导u 公 式为u
dyy dxx
dduy f dd(uuv) dduxxv
.
u x
y
u u
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例10 设
y
ysins1in21xx22
x , x
2求,
求dy dx
dy . dx
.
解
第二节 函数的求导法则
例y 11sin设1
1 f ( y)
证明 由于 x = f (y) 在 Iy 内单调、可导(从而连续),
-1
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例7 求反正弦函数 y = arcsin x 的导数 .
解
y
=
ar(casric第nsixn二(x-节)1 函x1数 11的x)2是求, (导xar=c法cso则isnxy)
(u v) = uv + uv v = C (Cu) = Cu (C 为常数)
(u v) = uv + uv 推广 (uvw) = uvw + uvw + uvw
u v
uv uv v2
u=1
1 v
v v2
v=x
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例1 y = 2x55 – 3x3 + 4x – 9 , 求 y .
例3 y = exx=(s3inx2x++4cos x ), , 求 y .
解
yf (=)(e=x)3 (s2in-
4. x+
cos
x
)
+
ex
(sin
x
+
cos
x
)
= ex (sin x + cos x ) + ex (cos x – sin x ) = 2excos x .
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
并且
y (arctanyx)
y
1
1 x2
1
2
第二节 函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
定定理理33
如果函数 如果函数
u u
= =
g(x) g(x)
在点 在点
x x
可导，而 可导，而
y y
= =
f (u) f (u)
在点 在点
u u
= =
g(x) g(x)
且其导数为
可导，则复合函数 可导，则