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2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试题

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2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题中正确的有（ ）①很小的实数可以构成集合；②集合{}21y y x =-与集合{}2(,)1x y y x =-是同一个集合；③集合{}(,)0,,x y xy x y R ≤∈是指第二和第四象限内的点集. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】根据集合的概念即可判断. 【详解】对于①，集合具有确定性，故①错；对于②，集合相等必须元素的类型相同，而前者为数，后者为点的集合，故②错； 对于③，坐标轴上的点不属于任何一个象限，故③错； 故选：A 【点睛】本题主要考查集合的概念，属于基础题.2．设0,0x y >>，下列不等式中等号不能成立的有（ ） A ．11()()4x y x y++≥ B ．11()()4x y x y++≥ C ．24≥D ．4x y ++≥ 【答案】C【解析】由基本不等式以及用基本不等式验证等号成立的条件即可求解. 【详解】 已知0,0x y >> 对于A 项，11()()224x y x y ++≥⨯=，当且仅当11,x y x y==时，即1,1x y ==时等号成立，故A 项正确，不符合题意；对于B 项，11()()4x y x y ++≥，当且仅当x y =时等号成立，故B 项正确，不符合题意；对于C 2=≥，=时等号成立，但此时x 无实数根，所以等号不成立，故C错误，符合题意；对于D 项，4x y+≥≥，当且仅当x y == 即1,1x y ==时，等号成立，故D 正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式，利用基本不等式时，务必验证等号成立的条件.3．集合(2)01x x A x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪=⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，集合103x B x x ⎧⎫+⎪⎪=>⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（ ）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分不必要 【答案】A【解析】根据条件求出集合,A B ，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】}{(2)0011x x A x x x x ⎧⎫+>⎧⎪⎪==<<⎨⎨⎬<⎩⎪⎪⎩⎭，{1013x B xx x x ⎧⎫+⎪⎪=>=>-⎨⎬-⎪⎪⎩⎭且}3x ≠， 即x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 项正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的关系应用，同时也考查了不等式组以及分式不等式的解法，比较基础.4．使关于x 的不等式23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立的实数t （ ） A ．不存在 B ．有且仅有一个 C ．有不止一个的有限个 D ．无穷多个【答案】B【解析】利用二次函数的性质23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，只需0∆≤即可.23(1)2(3)0x t x t t --+-≥恒成立，则0∆≤，即[]23(1)8(3)0t t t ----≤化简整理得2690t t ++≤，所以2(3)0t +≤，解得3t =- 故满足条件的实数t 有且只有一个. 故选：B 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，借助一元二次不等式与二次函数的关系，转化为用判别式∆求解.二、填空题5．已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2-【解析】根据补集定义直接求解可得结果. 【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2- 【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.6．若关于x 的不等式(,)x a b a b R +<∈的解集为{}24x x <<，则ab =________. 【答案】3-【解析】根据解绝对值不等式(,)x a b a b R +<∈得a b x b a --<<-； 再由不等式的解集为{}24x x <<，对应相等即可求出答案. 【详解】由(,)x a b a b R +<∈得b x a b -<+<a b x b a ⇒--<<- 又不等式的解集为{}24x x <<，24a b b a --=⎧∴⎨-=⎩ 解得31a b =-⎧⎨=⎩，所以3ab =-.故答案为：3-本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题.7．命题“若2x =-，则230x x +<”的逆否命题是________. 【答案】“若230x x +≥，则2x ≠-”【解析】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”即可解答. 【详解】命题“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”可得 逆否命题为“若230x x +≥，则2x ≠-”. 故答案为：若230x x +≥，则2x ≠- 【点睛】本题考查四种命题，掌握四种命题间的关系是解决问题的关键，属于基础题. 8．若全集U =（1，2，3，4，5，6，7，8，9），A ，B 为U 的子集，且{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=则集合A =________.【答案】{}2,3,5,7A =【解析】作出韦恩图即可得到结论. 【详解】根据集合关系作出韦恩图（如上图）{}()1,9U C A B =，{}2A B ⋂=，{}()()4,6,8U U C A C B ⋂=∴ 由韦恩图得{}2,3,5,7A =.故答案为：{}2,3,5,7A = 【点睛】本题主要考查韦恩图的应用，根据韦恩图表示集合关系是解决本题的关键.9．已知集合{},,2A a b =，{}22,,2(,)B b a a b R =∈，且A B =则b =________. 【答案】1或12【解析】首先集合相等转化元素相等，求出001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由集合元素的互异性舍去00a b =⎧⎨=⎩即可得出答案.【详解】 由A B =，22a ab b =⎧∴⎨=⎩ 或22a b b a ⎧=⎨=⎩解得 001a b b =⎧⎨==⎩或 或00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由集合元素的互异性可知00a b =⎧⎨=⎩ (舍去)，所以1b =或12b = 故答案为：1或12【点睛】本题考查集合之间的相等关系，集合相等转化为元素相等，由于集合元素的无序性，元素相等往往要分情况讨论.10．若正实数,x y 满足：31x y +=，则xy 的最大值为________. 【答案】112【解析】运用基本不等式得出31x y +=≥112xy ≤即可. 【详解】正实数,x y 满足：31x y +=，31x y +=≥∴112xy ≤，当且仅当12x =，16y =时等号成立. 故答案为：112【点睛】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件，属于容易题.11．已知集合{}230A x R x =∈-≥，{}B x R x a =∈<.若A B =∅，则实数a 的取值范围为________. 【答案】32a ≤【解析】首先解出集合A ，由A B =∅即可求出32a ≤. 【详解】由{}32302A x R x x x ⎧⎫=∈-≥=≥⎨⎬⎩⎭，{}B x R x a =∈<, 若A B =∅，所以32a ≤故答案为：32a ≤ 【点睛】本题主要考查根据集合的交并补运算求参数的取值范围，属于容易题.12．已知R x ∈，定义：()A x 表示不小于x 的最小整数．如2,(0.4)0,A A =-=( 1.1)1A -=-.若(2())5A x A x ⋅=，则正实数x 的取值范围是 ．【答案】514x <≤【解析】试题分析：由已知得，即，又因为，又因为x>0，所以，当时，显然不满足条件；当时，，从而得514x <≤；当时，显然不满足条件．故正实数 的取值范围是514x <≤． 【考点】新定义创新题．13．,,1a b R a b +∈+=，则(1)(1)a b ++的最大值为________.【答案】94【解析】根据基本不等式2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭即可求解.【详解】由题意,,1a b R a b +∈+=，则2119(1)(1)24a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当11a b +=+，即12a b ==时等号成立， 即(1)(1)a b ++的最大值为94. 故答案为：94【点睛】本题主要考查基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断、变形得出不等式的条件.14．若使集合{}2()(6)(4)0,A k x kx k x x Z =---≥∈中元素个数最少，则实数k 的取值范围是 ________. 【答案】[]3,2--【解析】首先讨论k 的取值，解不等式；再由集合A 的元素个数最少，推出只有k 0<满足，若集合A 的元素个数最少，由k 0<，集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，只需求6k k +的最大值即可，再由集合A 中x ∈Z ，只需654k k-<+<-即可求解. 【详解】由题知集合A 内的不等式为2(6)(4)0,kx k x x Z ---≥∈，故当0k =时，可得{}4A x Z x =∈<； 当0k >时， 2(6)(4)0kx k x ---≥可转化为24060x kx k -≥⎧⎨--≥⎩ 或24060x kx k -≤⎧⎨--≤⎩，因为64k k <+， 所以不等式的解集为{4x x ≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭，所以A ={4x Z x ∈≤或6x k k ⎫≥+⎬⎭当k 0<时，由64k k +<，所以不等式的解集为64x k x k ⎧⎫+≤≤⎨⎬⎩⎭，所以A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个. 综上所述，当0k ≥时，集合A 的元素个数为无限个，当k 0<时，集合A 的元素个数为有限个，故当k 0<时，集合A 的元素个数最少，且当6k k+的值越大，集合A 的元素个数越少，令6()f k k k=+（k 0<），则26()1f k k'=-，令()0f k '= 解得k =所以()f k在(,-∞内单调递增，在()内单调递减，所以max ()(f k f ==-又因为x ∈Z ，54-<-<-，所以当654k k-≤+<-，即32k -≤≤-时， 集合A =64x Z k x k ⎧⎫∈+≤≤⎨⎬⎩⎭中元素的个数最少，故32k -≤≤- 故答案为：[]3,2-- 【点睛】本题主要考查集合的运算和解不等式，综合性比较强.三、解答题15．设0,0a b >>， .≥【解析】首先由0,0a b >>==，然后由基本不等式得≥+≥. 【详解】0,0a b >>，==根据基本不等式得≥ ①≥ ② 当且仅当a b =时，①②的等号成立， ①+ ② 得+≥≥【点睛】本题主要考查基本不等式比较两个式子的大小，此题也可用“作差法”进行比较. 16．解下列不等式：（1）1211x x +-->； （2）21712xx x ≤-+.【答案】（1）113xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞【解析】（1）解绝对值不等式由“零点分界法”即可求解.（2）解分式不等式转化为整式不等式，分解因式，利用穿针引线即可求解. 【详解】 （1）当12x ≥时，12111(21)11x x x x x +-->⇒+-->⇒< 112x ∴≤< 当112x -≤<时，1121112113x x x x x +-->⇒++->⇒> 1132x ∴<< 当1x <-时，121112113x x x x x +-->⇒--+->⇒> 所以此时无解，综上所述，故不等式的解集为113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）22222(712)812100712712712x x x x x x x x x x x x --+-+-≤⇒≤⇒≤-+-+-+ 22222(812)(712)0812********x x x x x x x x x x ⎧-+-+≥-+⇒≥⇒⎨-+-+≠⎩(2)(6)(3)(4)0(3)(4)0x x x x x x ----≥⎧⇒⎨--≠⎩，如图所以不等式的解集为(]()[),23,46,-∞⋃⋃+∞ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、分式不等式的解法，解分式不等式式，转化为整式不等式后为一元高次不等式，分解因式利用穿针引线的方法进行求解.17．据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨（包含10吨和25吨），月生产总成本y （万元）x 可以看成月产量（吨）的二次函数.当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元. （1）写出月总成本y （万元）关于月产量x （吨）的函数解析式；（2）若[10,25]x ∈，当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？【答案】（1）21(15)17.5(1020)10y x x =-+≤≤ （2）当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. 【解析】（1）设出函数解析式，代入()10,20，可得函数解析式. （2）求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）由题意，设2(15)17.5(,0)y a x a R a =-+∈≠，将10,20x y ==代入上式得202517.5a =+，解得110a =21(15)17.5(1020)10y x x ∴=-+≤≤. （2）21340140103110x x y x x x x -+==+-≥= 当且仅当4010x x=，即[]2010,25x =∈时等号成立， 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元.【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是解此题的关键.18．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （Ⅰ）求实数m 的取值集合M ；（Ⅱ）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．【答案】（1）（2）或. 【解析】试题分析：（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数m 的取值集合M 可求；（2）x N ∈是x M ∈的必要条件，分、、三种情况讨论即可求a 的取值范围．(1) 由题意知，方程20x x m --=在上有解， 即m 的取值范围就为函数在上的值域，易得1|24M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭7分(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以8分 当时，解集为空集，不满足题意 9分 当时，，此时集合 则，解得12分 当时，，此时集合则11{,4422a a a <-⇒<--≥15分 综上9144a a ><-或16分 【考点】命题与逻辑、分类讨论思想.19．已知二次函数222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+.（1）若3,2,1a b c ===，解不等式组：123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩；（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，证明：123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【答案】（1）{2x x >或}1x <（2）见详解【解析】（1）把3,2,1a b c ===代入解析式，解一元二次不等式组即可求解. （2）利用反证法，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由{},,1,2,3,4a b c ∈，22240,40,40a b b c c a ->->->不恒成立，即可得证.【详解】（1）若3,2,1a b c ===，由222123(),(),()f x x ax b f x x bx c f x x cx a =-+=-+=-+则解不等式组123()0()0()0f x f x f x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即解不等式组22232021030x x x x x x ⎧-+>⎪-+>⎨⎪-+>⎩，即211`x x x x R ><⎧⎪≠⎨⎪∈⎩或， 故不等式的解集为{2x x >或}1x <.（2）若{},,1,2,3,4a b c ∈，对任意的x ∈R ，假设123(),(),()f x f x f x 中一个都没有非负，即函数123(),(),()f x f x f x 在x 轴下方均有图像，所以22240,40,40a b b c c a ->->->恒成立，所以三式相加2224440a b c a b c ++--->，即222(2)(2)(2)12a b c -+-+->，又因为{},,1,2,3,4a b c ∈，显然上式不成立， 即假设不成立，故123(),(),()f x f x f x 中至少有一个非负.【点睛】本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.。

【精品】上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试(精品解析)

【精品】上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期数学期中考试(精品解析)

上海市2018-2019学年七宝中学高一上学期数学期中考试一. 填空题1.函数的定义域为________【答案】【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.2.已知集合，，则________【答案】【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合集合故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题3.不等式的解集是________【答案】【解析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．4.“若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.5.已知，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b可化为b=a-z，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.若，，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对a进行分类讨论，根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【解析】略8.若函数，则________【答案】【解析】【分析】设,求出的解析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．9.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．【详解】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．11.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【解析】【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值【详解】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向12.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】利用a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二. 选择题13.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故选D.【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.三. 解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m 的取值范围；（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18.练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴. 学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（1），∴，当且仅当时等号成立；（2）故.当且仅当时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【详解】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x ＞0恒成立，结合即可得出．【详解】（1）。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，需熟记奇偶性的定义，属于基础题.
9．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则 时， ________
【答案】
【解析】设 ，可得 ，代入 时表达式，利用 即可求解.
【详解】
设 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性求解析式，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.
【详解】
当 时， ， ；
当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
16．已知函数 满足 ，则 的最大值是________
【答案】
【解析】令 ， ， ，解不等式可得 ，进而得出答案.
【详解】
【答案】
【解析】令 ，使 在区间 上有根，等价于 在区间 上有交点，在区间 上作出 与 的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】
令 ，
根据题意可知 在区间 上有根，
即 在区间 上有解，
令 ， ，在区间 上分别作出两函数的图像，如图：
在区间 上最大值为 ；最小值为 ，
两函数有交点，则 ，
所以实数 的取值范围是
【详解】
恒成立，
函数关于 对称，
函数 在 上单调递增，
函数在 单调递减，
关于 的不等式 ，
，
解得 ，
即 或 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查解抽象函数的不等式，考查可对称性的应用，考查了转化与化归的思想，属于中档题.
13．已知函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是________

2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。

上海市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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高一年级期中试卷一、填空题1、已知集合{}2|≤=x x A 与集合{}1|≥=x x B ，则=⋂B A .2、命题“若0652=+-x x ，则2=x 或3=x ”的逆否命题是 . 3、不等式0513<--xx 的解集是 . 4、已知函数()()21,122-+=+-=x x x g x x x f ，则()()x g x f ⋅ . 5、若集合{}Z x x x x A ∈<--=,043|2,则集合A 的子集个数为 .6、已知集合{}02|2=+-=q px x x A ，{}05|2=+-=q x x x B ，且{}3=⋂B A ,则q p += .7、已知集合{}a x x A >=|，{}R x x x B ∈<-=,22|，若“A x ∈”是“B x ∈”的必要不充分条件，则a 的取值范围 .8、定义在整数集上的函数()x f 满足()()6,20098,2009n n f n f f n n -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()2008f = .9、关于x 的不等式()()011122<----x m x m 的解集为R ，则实数m 的取值范围为 . 10、设偶函数()x f 的定义域[]55-，，若当[]50，时，()x f 的图像如图所示，则满足不等式()0<x xf 的x 的范围是.11、对于M x x ≤+2-2成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做x x 2-2+的上确界.若+∈R b a , 且1a b +=,则122a b--的上确界为 . 12、设集合{}6,5,4,3,2,1=A ,集合B 有k 个元素，且A B ≠⊂，若所有可能的B 的各个元素之和是210，则k 的所有可能值为 .二、选择题13、设R m b a ∈、、,则“mb ma =”是“b a =”的（ ）、A 充分非必要条件 、B 必要非充分条件 、C 充要条件 、D 既非充分又非必要条件14、下列四组函数中，是同一函数的是（ ）()1=x f A 、和()0x x g = 、B ()2x x f =与()x x g =、C ()31+⋅-=x x x f 与()322-+=x x x g 、D ()212+-=x x x f 与()212+-=x x x g 15、下列结论正确的是（ ）、A 若b a <且d c <，则bd ac < 、B 若b a >，则22bc ac > 、C 若0≠a ，则21≥+aa 、D 若b a <<0，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧==a x x A 1|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==b x x B 1|，则B A ⊇ 16、当一个非空数集G 满足“如果G b a ∈,，则G ab b a b a ∈-+,,,且0≠b 时，G ba ∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则G ∈2017；③集合{}Z k k x x P ∈==,2|是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）、A 1个 、B 2个 、C 3个 、D 4个三、解答题17.已知集合{}a A ,4,1=，{}2,1aB =，且A B ⊆,求实数a 的值.18.已知集合{}{}0107-|,321|2≥-+=+≤≤+=x x x B a x a x A （1）已知3=a ，求集合()B A C R ⋂(2)若B A ⊆,求实数a 的取值范围.19.已知()x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，()x x x f 22+-= （1）求()x f 的解析式并直接写出函数()x f 的单调递减区间；（2）若函数()x f 在区间[]21--a ，上单调递增，求实数a 的取值范围。

2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷

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2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“ ”是“”成立的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若实数a 、b 满足条件 ，则下列不等式一定成立的是 A ．B ．C ．D ．3．设集合 ， 对任意 恒成立，则P 与Q 的关系是 A ．B ．C ．D ．4．已知集合 2，3， ，集合 是集合A 的子集，若 且 2， ， ，满足集合B 的个数记为 ，则 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12二、填空题6.集合{},a b 的真子集的个数为_________5.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 7.“2x <”是“24x <”的__________8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”）9.函数()f x =__________. 10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________.13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________.14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值三、解答题17．已知x ，y 是实数，求证： ．18．已知全集 ，集合， ，求 ， ．19．已知命题p ：关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；命题q ：关于x 的一元二次方程 对于任意实数a 都没有实数根．若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；若命题p 和命题q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 20．已知集合 ，集合当 时，求集合 和集合B ；若集合 为单元素集，求实数m 的取值集合；若集合 的元素个数为 个，求实数m 的取值集合 21．已知集合P 的元素个数为 个且元素为正整数，将集合P 分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A 、B 、C ，即 ， ， ， ，其中 ， ， 若集合A 、B 、C 中的元素满足 ， ， ，2， ，则称集合P 为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题意得“”，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．【考点】充分不必要条件的判定．2．若实数a、b满足条件，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A、，时，有成立，故A错误；对于B、，时，有成立，故B错误；对于C、，时，有成立，故C错误；对于D、由不等式的性质分析可得若，必有成立，则D正确；故选：D．【点睛】本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．3．设集合，对任意恒成立，则P与Q的关系是A．B．C．D．【答案】C【解析】先分别求出集合P，Q，由此能求出P与Q的关系．【详解】集合，对任意恒成立，当m=0时，-1<0,满足题意，当时，结合二次函数的性质得到．与Q的关系是．故选：C．【点睛】本题考查集合的关系的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知集合2，3，，集合是集合A的子集，若且2，，，满足集合B的个数记为，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】根据和，可得，，，集合2，3，4，5，6，；集合，满足集合B的个数列罗列出来，可得答案．【详解】由题意可得，，，那么集合2，3，4，5，6，；集合，，满足集合B的个数列罗列出来，可得：3，，3，，3，，4，，4，；5，，4，，4，，5，，5，，故选：B．【点睛】本题考查子集与真子集，并且即时定义新的集合，主要考查学生的阅读理解能力．二、填空题5.集合{},a b 的真子集的个数为_________ 【答案】3 【解析】 【分析】由真子集的定义，将集合{},a b 的真子集列举出来即可. 【详解】集合{},A a b =的真子集有{}{},,a b f ， 共3个，故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.6.设集合{}21,A x x x R =-<?，集合B Z =，则A B ?__________ 【答案】{}2 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合A ，由交集的定义可得结果. 【详解】21x -<，即121x -<-<， 解得13x <<，即()1,3A =， 集合B Z =，则{}2A B?，故答案为{}2.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题. 7.“2x <”是“24x <”的__________ 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式24x <，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由24x <得22x -<<,则“2x <”是“24x <”的的必要不充分条件， 故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.8.命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹.”是__________命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 的逆否命题为“已知,x y R Î，如果0x =且2y =，那么2x y +=” 为真命題，故命题“已知,x y R Î，如果2x y +?，那么0x ¹或2y ¹” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.9.函数()f x =__________. 【答案】11,2纟ç-úçú棼 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于x 的不等式组，解之即得函数()f x 的定义域.【详解】要使函数()f x = 则121xx -+0³，等价于()()211011210x x x x ì-+?ï?<?í+?ïî， 函数()f x =11,2纟ç-úçú棼，故答案为11,2纟ç-úçú棼. 【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ＃求出.10.已知()214f x x +=-，则()f x 的解析式为__________. 【答案】()223f x x x =-- 【解析】 【分析】令1x t +=，则1x t =-，求出()f t 223t t =--,从而可得结果. 【详解】因为()214f x x +=-，\令1x t +=，则1x t =-，()()()2114f x f t t \+==-- 223t t =--，\函数()f x 的解析式为()223f x x x =--.，故答案为()223f x x x =--.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.11.集合(){}(){}2,|1,,23A x y y ax B x y y x ==+==+，A B Ç的元素只有1个，则a 的取值范围是__________.【答案】10,2禳镲-睚镲铪【解析】 【分析】由A B Ç中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出a 的范围.【详解】联立2123y ax y x ì=+ïí=+ïî 即2220ax x --=，A B Ç是单元素集，\分两种情况考虑:0a ¹，方程有两个相等的实数根，即0D=， 可得()2280a -+=,解得12a =- 0a =，方程220x --=只有一个根，符合题意，综上,a 的范围为10,2禳镲-睚镲铪故答案为10,2禳镲-睚镲铪. 【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 12.若函数()()2225f x x a x =+-+在区间()4,+?上是增函数，则实数a Î__________. 【答案】[)2,-+?【解析】 【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以2x a =-为对称轴的抛物线，利用[)4,+?为[)2,a -+?的子集可构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围.【详解】函数()()2225f x x a x =+-+的图象是开口方向朝上， 以2x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2225f x x a x =+-+在区间[)4,+?上是增函数，所以[)4,+?为[)2,a -+?的子集，则24a -?，解得2a ?，故答案为[)2,-+?.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x £或()'0f x ³恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x £时，()2f x x x =--，则()2f =__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由()f x 为R 上的奇函数即可得出()()22f f =--，并且0x £时，()2f x xx =--，从而将2x =-代入()2f x x x =--的解析式即可求出()2f -，从而求出()2f . 【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，并且0x £时，()2f x x x =--，()()()()222222f f 轾\=--=-----=犏臌，故答案为2 . 【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 14.已知函数()2x g x =，且()()2g a g b ?，则ab 的最大值是__________.【答案】14【解析】 【分析】 由()()2g a g b ?可得1a b +=，由基本不等式可得2124a bab 骣+琪?琪桫,注意等号成立的条件即可.【详解】函数()2x g x =，且有()()2g a g b =，2222,1a ba b a b +\=?\+=，0a >且210,24a bb ab 骣+琪>\?琪桫， 当且即当12a b ==时，ab 取最大值14,故答案为14.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用³或£时等号能否同时成立）.15.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()2,3-.则关于x 的不等式0cx a +<的解集为__________.【答案】10,9轹÷ê÷ê滕 【解析】 【分析】构造解集和20ax bx c ++>是同解()2,3-的不等式，然后可得出,,a b c ，再代入求0cx a +<求解即可. 【详解】()()230x x +-<的解集为()2,3-，则260x x -++>与20ax bx c ++>是同解不等式，1,1,6a b c \=-==，则关于x 的不等式0cx a +<的解集即为610x <的解集，2610\<，即()()110<，解得109x?，故关于x 的不等式0cx a +<的解集为10,9轹÷ê÷ê滕，故答案为10,9轹÷ê÷ê滕.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.设3,0a b b +=>，则当a =__________时，13aa b+取得最小值【答案】32- 【解析】 【分析】需要分类讨论，当03a <<和当0a <,分别化简13aa b+，利用基本不等式即可得到结论.【详解】3,0a b b +=>,30b a \=->，即3a <， 当03a <<时，11112739999939a ab a b a a b a b a b ++=+=++?+=， 当且仅当34a =取等号 故当34a =时，13a a b+取得最小值79， 当0a <时,11112539999939a ab a b a a b a b a b ++=--=---?+-+=， 当且仅当32a =-取等号， 故当32a =-时，13a a b+取得最小值59， 综上所述a 的值为32-时， 13a a b+取得最小值，故答案为32-. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题17．已知x，y是实数，求证：．【答案】见解析【解析】利用综合法，证明不等式即可．【详解】因为，可得，，可得，所以．【点睛】本题考查不等式的证明，综合法的应用，是基本知识的考查.18．已知全集，集合，，求，．【答案】，【解析】先求出A，B，然后进行交集、并集和补集的运算即可．【详解】；；；；，；．【点睛】考查描述法表示集合的定义，，以及交集、并集和补集的运算．19．已知命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根．若命题p为真命题，求实数m的取值范围；若命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【解析】由题意可得判别式大于0，由绝对值不等式的解法可得m的范围；考虑命题q真，运用绝对值不等式的性质和判别式小于0，解不等式可得m的范围，由p，q一真一假，解不等式即可得到所求范围．【详解】命题p：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解得；命题q：关于x的一元二次方程对于任意实数a都没有实数根，可得，由，可得无实数解，可得，即，命题p和命题q中有且只有一个为真命题，可得或或或，即有或．【点睛】本题考查二次方程和二次不等式的解法，注意运用判别式和绝对值不等式的性质，考查化简运算能力，属于基础题．20．已知集合，集合当时，求集合和集合B；若集合为单元素集，求实数m的取值集合；若集合的元素个数为个，求实数m的取值集合【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】（1）m＝2时，化简集合A，B，即可得集合∁R A和集合B；（2）集合B∩Z为单元素集，所以集合B中有且只有一个整数，而0∈B，所以抛物线y＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1的开口向上，且与x轴的两个交点都在[﹣1，1]内，据此列式可得m＝0；（3）因为A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），（A ∩B）∩Z中由n个元素，所以1﹣m2＞0，即﹣1＜m＜1；A∩B中至少有3或﹣2中的一个，由此列式可得．【详解】集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}＝{x|x≥2或x≤﹣1}，集合{x|（1﹣m2）x2+2mx﹣1＜0，m∈R}＝{x|[（1+m）x﹣1][（1﹣m）x+1]＜0}（1）当m＝2时，集合∁R A＝{x|﹣1＜x＜2}；集合B＝{x|﹣1＜x＜}；（2）因为集合B∩Z为单元素集，且0∈B，所以，解得m＝0，当m＝0时，经验证，满足题意．故实数m的取值集合为{0}（3）集合（A∩B）∩Z的元素个数为n（n∈N）个，A∩B中至少有3或﹣2中的一个，所以令f（x）＝（1﹣m2）x2+2mx﹣1，依题意有或，解得﹣1＜m＜﹣或＜m＜1∴【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算属难题．21．已知集合P的元素个数为个且元素为正整数，将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，即，，，，其中，，若集合A、B、C中的元素满足，，，2，，则称集合P为“完美集合”．若集合2，，2，3，4，5，，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？并说明理由；已知集合x，3，4，5，为“完美集合”，求正整数x的值；【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】(1)讨论集合A与集合B，根据完美集合的概念知集合C，根据ak +bk=ck,可依次判断集合P与Q是否为完美集合；（2）讨论集合AB,根据完美集合的定义，建立等式求x的值.【详解】（1）集合P＝2，为“完美集合”，令A＝{1}，B＝{2}，C＝{3}．则集合A、B、C中的元素满足a k+b k＝c k，集合Q＝2，3，4，5，不是“完美集合”，若集合Q为“完美集合”，则C中元素最小为3，若C的最小元素为3，则a1+b1＝1+2＝3，a+b2＝4+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为4，则a1+b1＝1+3＝4，a+b2＝2+5＝c2＝6不可能成立，2若C的最小元素为5，则a1+b1＝1+4＝5，a+b2＝2+3＝c2＝6不可能成立，2综上可得集合Q＝{1,2，3，4，5，6}不是“完美集合”（2）由（1）可得x≠2，若A＝{1，3}，4∈B，则5∈C，6∈B，x＝3+6＝9∈C满足“完美集合”的定义；若A＝{1，3}，5∈B，则6∈C，5∈B，x＝3+5＝8∈C满足“完美集合”的定义；【点睛】这个题目考查了集合的新概念型问题，关键是读懂题意，按照题目所给的定义求解.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 对于α：a−1a+1>0，β：关于x 的方程x 2−ax +1=0有实数根，则α是β成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合P ={0,1}，Q ={−1,0，1}，则( ) A. P ∈QB. P ⊆QC. P ⊇QD. Q ∈P 3. 若实数a <b <0，则下列不等式中正确的是( ) A. 1a <1bB. |b |>|a |C. a b +b a >2D. ab <b 2 4. 若函数f(x)=x−1x ，则方程f(4x)=x 的根为( ) A. −2 B. −12 C. 12 D. 2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A ={x|1≤x ≤2}，集合B ={x|x ≥a}.若A ∪B =B ，则实数a 的取值范围是______．6. 已知集合M ={x|0≤x <2}，N ={−1,0，1，2}，则M ∩N =______．7. 命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是__________．8. 在R 上定义运算⊙：a ⊙b =ab +2a +b ，则关于实数x 的不等式：x ⊙(x −2)<0的解集为______ ．9. 已知函数f(x)={2x ,x >0x,x ≤0，则f(1)+f(−1)为________． 10. 若f(x)=√x(x +1)，g(x)=√x ，则f(x)⋅g(x)= ______ ．11. 不等式|2x −1|<x 的解集为______ ．12. 已知不等式x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围为______ ．13. 设函数f(x)=√1−lgx 的定义域为______．14. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为________.15. 如果|x −1|+|x −9|>a 对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是______ ．16. 若集合M ={0,1，2}，N ={(x,y)|x −2y +1≥0，且x −2y −1≤0，y ∈M}，则集合N 中元素的个数为__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知集合A ={x|x 2−2x −8=0}，B ={x|x 2+ax +a 2−12=0}，且A ∪B ≠A ，求实数a 的取值范围．18.设f(x)=|x|+|x+10|．(Ⅰ)求f(x)≤x+15的解集M；(Ⅱ)当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚(0≤x≤10) 6万元，且每年的能源消耗费用H(万元)与隔热层厚度x(毫米)满足关系H(x)=403x+5设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)请解释H(0)的实际意义，并求f(x)的表达式；(2)当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f(x)最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知函数f(x)=|x|+|x−4|．(1)若f(x)≥|m+2|恒成立，求实数m的最大值；(2)记(1)中m的最大值为M，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．21.集合A={1,2，3}，B={1,2}，定义集合间的运算A+B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B}，则集合A+B中元素的最大值是________．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，求出命题的等价条件是解决本题的关键．求出α，β的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】>0得a>1或a<−1，解：α：a−1a+1β：关于x的方程x2−ax+1=0有实数根，则判别式△=a2−4≥0，得a≥2或a≤−2，∵{a|a≥2或a≤−2}⫋{a|a>1或a<−1}，∴α是β成立的必要不充分条件，故选：B．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查集合与集合的关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用集合与集合的关系直接求解．【解答】解：∵集合P={0,1}，Q={−1,0，1}，∴P⊆Q．故选：B．3.答案：C解析：【分析】本题考查了不等式的性质，考查特殊值的应用，是一道基础题．根据不等式的性质取特殊值验证即可．【解答】令b=−1，a=−2，则C正确，A，B，D错误，故选：C．4.答案：C解析：【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．【解答】解：因为函数f(x)=x−1，x=x，所以f(4x)=x即为4x−14x即4x2−4x+1=0，，解得x=12故选C．5.答案：a≤1解析：因为A∪B=B，所以A⊆B，由集合A={x|1≤x≤2}，集合B={x|x≥a}．所以a≤1.故填a≤1．根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．此题考查了子集及其运算，属于简单题．6.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．根据交集的定义计算即可．【解答】解：集合M={x|0≤x<2}，N={−1,0，1，2}，则M ∩N ={0,1}．故答案为：{0,1}．7.答案：若x 2−x <0，则x ≤2．解析：【分析】本题考查否命题的概念，属于基础题．注意否命题需要对条件和结论都否定．【解答】解：命题“若x 2−x ≥0，则x >2”的否命题是“若x 2−x <0，则x ≤2”.故答案为：若x 2−x <0，则x ≤2．8.答案：(−2,1)解析：解：由题意知：原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0⇔x 2+x −2<0⇔(x +2)(x −1)<0⇔−2<x <1．故答案为：(−2,1)．原不等式可化为x(x −2)+2x +x −2<0，解之得−2<x <1．本题借助新定义题考查了一元二次不等式的解法，根据定义把不等式转化为一元二次不等式是关键． 9.答案：1解析：【分析】本题考查了分段函数，将x 的值代入函数的解析式即可得答案．【解答】解：由函数f(x)={2x ,x >0x,x ⩽0可得f(1)+f(−1)=2−1=1， 故答案为1．10.答案：√x +1(x >0)．解析：解：由题意f(x)的定义域为{x|x ≤−1或x ≥0}，g(x)的定义域为{x|x >0}，∴f(x)g(x)的定义域为{x|x >0}，f(x)g(x)=√x +1，故答案为√x +1(x >0)．确定函数的定义域，再求出函数的解析式即可．本题考查函数解析式的求解，考查学生的计算能力，比较基础．11.答案：(13,1)解析：解：由不等式|2x −1|<x 可得−x <2x −1<x ，解得13<x <1，故不等式||2x −1|<x 的解集是(13,1)．故答案为：(13,1)．原不等式等价于−x <2x −1<x ，由此求得不等式|2x −1|<x 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：(−∞,−13)∪(1,+∞)解析：【分析】不等式恒成立，需△<0，解出即可．本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、考查学生解决问题的能力．【解答】解：∵x 2+(m +1)x +m 2>0的解集为R ，∴△=(m +1)2−4m 2<0，解得：m <−13或m >1．故答案为：(−∞,−13)∪(1,+∞)． 13.答案：(0,10]解析：解：函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0， 解得：0<x ≤10．∴函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：(0,10]．故答案为：(0,10]．由函数f(x)=√1−lgx 的定义域为：{1−lgx ≥0x >0，解不等式组即可求出答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查不等式的解法，是基础题．14.答案：5解析：解：∵x >3，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√1x−3⋅(x −3)+3=2+3=5，当且仅当x −3=1时，即x =4时取等号，故答案为：5．根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．15.答案：a<8解析：解：由于|x−1|+|x−9|表示数轴上的点x到1和9对应点的距离之和，其最小值等于8，故由题意可得a<8，故答案为：a<8利用|x+1|+|x+9|表示数轴上的点x到−1和−9对应点的距离之和，其最小值等于8，从而求得a 的取值范围．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，判断|x−1|+|x−9|的最小值等于8，是解题的关键．16.答案：4解析：【分析】本题考查元素和集合的关系的应用，属于基础题目．【解答】解：因为集合M={0,1，2}，N={(x,y)|x−2y+1≥0，且x−2y−1≤0，x，y∈M}，所以N={(0,0)，(1,1)，(1,0)，(2,1)}，所以集合N中元素个数为4．故答案为4．17.答案：解：集合A={x|x2−2x−8=0}={−2,4}，B={x|x2+ax+a2−12=0}，若A∪B=A，则B⊆A，可分为以下几种情况，(1)B=A，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2或x=4，解得a=−2；(2)B={−2}，即方程x2+ax+a2−12=0的解为x=−2，(−2)2−2a+a2−12=0，解得：a=−2(舍)或a=4；(3)B ={4}，即方程x 2+ax +a 2−12=0的解为x =4，a 2+4a +4=0，解得a =−2，此时B ={−2,4}≠{4}，故需舍弃；(4)B 为空集，即方程x 2+ax +a 2−12=0无解，a 2−4(a 2−12)<0，解得a >4或a <−4． 综上可知，若B ∪A =A ，a =−2或a ≥4，或a <−4．解析：化简集合A ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分类讨论，即可求实数a 的取值集合，本题考查实数的取值范围的求法，正确分类讨论是关键，是基础题．18.答案：解：( I)由f(x)=|x|+|x +10|≤x +15得：{x <−10−x −x −10≤x +15 ①，或{−10≤x ≤0−x +x +10≤x +15 ②，或{x >0x +x +10≤x +15③． 解①求得x ∈⌀，解②求得−5≤x ≤0，解③求得5≥x >0，故原不等式的解集为M ={x|−5≤x ≤5 }．( II)当a ，b ∈M 时，−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，不等式5|a +b||≤|ab +25|，等价于25(a +b)2≤(ab +25)2，即25(a 2+b 2+2ab)≤a 2⋅b 2+50ab +625，即25a 2+25b 2−a 2⋅b 2−625≤0，等价于(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0．而由−5≤a ≤5，−5≤b ≤5，可得a 2≤25，b 2≤25，∴a 2−25≤0，25−b 2≥0，∴(a 2−25)⋅(25−b 2)≤成立，故要证的不等式5|a +b|≤|ab +25|成立．解析：( I)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a ，b ∈M 时，等价转化不等式5|a +b|≤|ab +25|为(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0，结合题意可得(a 2−25)⋅(25−b 2)≤0成立，从而得出结论．本题主要考查绝对值不等式的解法，用分析法证明不等式，属于中档题．19.答案：解：(1)H(0)=405=8，H(0)的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f(x)的解析式为：f(x)=8003x+5+6x(0≤x ≤10)．(2)f(x)=8003x+5+6x =8003x+5+2(3x +5)−10≥2√1600−10=70．当且仅当8003x+5=2(3x +5)即x =5时取等号．∴厚度为5mm 时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：(1)将建造费用和能源消耗费用相加得出f(x)的解析式；(2)利用基本不等式得出f(x)的最小值及对应的x 的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论． 本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：(1)由已知可得f(x)={−2x +4,x ≤04,0<x <42x −4,x ≥4，所以f min (x)=4，所以只需|m +2|≤4，解得−6≤m ≤2，所以实数m 的最大值M =2；( 2)由(1)知a 2+b 2=2，又a 2+b 2⩾2ab ，∴ab ≤1，∴√ab ≤1 ①,当且仅当a =b 时取等号，又∵√ab a+b ≤12，∴ab a+b ≤√ab 2 ②，当且仅当a =b 时取等号， 由①②得ab a+b ≤12，所以a +b ≥2ab ．解析：本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．(1)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m +2|≤4，求解m 的范围，得到m 的最大值M ．(2)综合法，利用基本不等式证明即可．21.答案：5解析：【分析】本题考查集合的 新定义，属于基础题型，理解题意 是关键．【解答】解：∵A ={1,2，3}，B ={1,2}，定义集合间的运算A +B ={x|x =x 1+x 2,x 1∈A,x 2∈B}， ∴A +B ={2,3，4，5}故集合A +B 中元素的最大值是5；故答案为5．。

上海市七宝中学高一数学上学期期中试题(含解析)

上海市七宝中学高一数学上学期期中试题(含解析)

一.填空题1. 函数的定义域为________【答案】【分析】【剖析】依据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考察函数定义域，考察基本求解能力.2. 已知会合，，则________【答案】【分析】【剖析】求出会合A,B，即可获取.【详解】由题会合会合故.故答案为.【点睛】本题考察会合的交集运算，属基础题3. 不等式的解集是________【答案】【分析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考察分式不等式的解法，表现了转变的数学思想，属于中档题．4. “若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【分析】【剖析】依据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考察依据原命题写出否命题，属基础题.5. 已知，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图暗影），目标函数z=a-b 可化为 b=a-z ，可看作斜率为 1 的直线，平移直线可知，当直线经过点A（ 1， -1 ）时， z 取最小值 -2 ，当直线经过点O（0， 0）时， z 取最大值0，∴a-b 的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考察线性规划，正确作图是解决问题的重点，属中档题．6. 若，，且，则的取值范围是_【答案】【分析】【剖析】对 a 进行分类议论，依据 A 与B 的交集为空集确立出 a 的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】本题考察了交集及其运算，娴熟掌握交集的定义是解本题的重点．7. 若对于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【分析】略8. 若函数，则________【答案】【分析】【剖析】设, 求出的分析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考察函数分析式的求解，波及换元和函数的性质，属中档题．9. 若对于的不等式在上恒建立，则实数的最小值是__【答案】【分析】【剖析】对于的不等式在上恒建立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，从而求得的最小值．【详解】∵对于的不等式在上恒建立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数 a 的最小值为．故答案为．【点睛】本题考察函数的恒建立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒建立问题，一般采用参变量分别的方法进行办理，转变成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10. 已知函数，（），若不存在实数使得和同时建立，则的取值范围是________【答案】【分析】【剖析】经过 f （x）＞ 1 和 g（ x）＜ 0，求出会合A、B，利用 A∩B=?，求出 a 的范围即可．【详解】由f（ x）＞ 1，得＞ 1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜ x＜-1或 2＜ x＜ 3} ．由 g（ x）＜ 0 得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜ x＜a，a＜ 0} ．由题意 A∩B=?，所以 a≤ -2 或 - 1≤2a＜ 0，故 a 的取值范围是 {a|a ≤ -2 或 - ≤a＜ 0} ．即答案为.【点睛】本题考察分式不等式的解法，二次不等式的解法，会合的交集运算，考察剖析问题解决问题的能力．11. 当时，能够获取不等式，，，由此能够推行为，则________【答案】【分析】【剖析】本考推理，要先考前几个不等式，出律再研究推行后的式子中的p 【解】∵ x∈R+可获取不等式，∴在 p 地点出的数恰巧是分母的指数的指数次方即答案.【点睛】本考推理，解的关是理解推理的律-- 从所的特例中出律来，以之解决，推理是一个很重要的思方式，熟用推理猜想，能够大大提升新的效率，解善用推理，能够一多解指明研究的方向12. 已知数集（，）拥有性：随意、（集），拥有性与两数中起码有一个属于会合，出以下四个命：①数集；②数集拥有性；③若数集拥有性，；④若数（）拥有性，；此中真命有________（填写序号）【答案】②③④【分析】【剖析】利用a i +a j与 a j -a i两数中起码有一个属于A．即可判断出．【解】①数集中，②数集足随意、（），，故数集与不拥有性；两数中起码有一个属于会合，故数集拥有性；③若数列 A 拥有性P， a n+a n=2a n与 a n-a n=0 两数中起码有一个是数列中的一，∵0≤a1＜a2＜⋯＜ a n，n≥3，而 2a n不是数列中的，∴ 0 是数列中的，∴a1=0；故③正确；④当 n=5 ，取 j=5 ，当 i ≥2 ， a i +a5＞ a5，由 A 拥有性 P，a5-a i∈A，又 i=1 ， a5-a 1∈A，∴a5-a i ∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜ a2＜ a3＜ a4＜ a5，∴a5-a 1＞ a5-a 2＞ a5-a 3＞ a5-a 4＞ a5-a 5=0，a5-a 1=a5，a5-a 2=a4， a5-a 3=a3，从而可得 a2+a4=a5， a5=2a3，故 a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考察数列的综合应用，本题能很好的考察学生的应用知识剖析、解决问题的能力，重视于对能力的考察，属中档题．二.选择题13. 如图，为全集，、、是的三个子集，则暗影部分所表示的会合是（）A. B.C. D.【答案】 C【分析】【剖析】先依据图中的暗影部分是M∩P的子集，但不属于会合S，属于会合S 的补集，而后用关系式表示出来即可．【详解】图中的暗影部分是：M∩P的子集，不属于会合S，属于会合S 的补集 , 即是 C U S 的子集则暗影部分所表示的会合是（M∩P）∩( ?U S).应选： C．【点睛】本题主要考察了Venn 图表达会合的关系及运算，同时考察了识图能力，属于基础题．14. 以下各组函数中，表示同一函数的是（）A.与B.与C.与D.（）与（）【答案】 D【分析】【剖析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得同样，所以只需逐个判断每个选项中定义域和对应关系能否都同样即可．【详解】对于对于 B选项A 选项，f （ x）的定义域为的定义域为R，g（x）的定义域为[0 ，+∞），∴不是同一函数；的定义域为∴不是同一函数；对于 C选项， f （0） =-1 ，g（ 0） =1， f （ 0）≠ g（ 0），∴不是同一函数．对于 B 选项， f （ x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数分析式化简后为同一分析式，∴是同一函数.应选 D.【点睛】本题主要考察了函数三因素的判断，只有三因素都同样，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A.充足非必需条件B.必需非充足条件C.充要条件D.既非充足又非必需条件【答案】 A【分析】【剖析】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．而后联合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看能否正确即可获取问题解答．【详解】由题意可知：+22a，b∈R，若“ a +b ＜1”则 a2+2ab+b2＜ 1+2ab+a2?b2，∴（ a+b）2＜（ 1+ab）2∴a b+1＞ a+b．若 ab+1＞ a+b，当 a=b=2 时， ab+1＞a+b 建立，但 a2+b2＜1 不建立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ ab+1＞ a+b”的充足不用要条件．应选： A．【点睛】本题考察的是必需条件、充足条件与充要条件的判断问题．在解答的过程中间充足表现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转变的思想．16.汽车的“燃油效率”是指汽车每耗费 1 升汽油行驶的里程，以下图描绘了甲、乙、丙三辆汽车在不一样速度下的燃油效率状况 . 以下表达中正确的选项是（）A. 耗费 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米B.以同样速度行驶同样行程，三辆车中，甲车耗费汽油最多C.甲车以 80 千米 / 小时的速度行驶 1 小时，耗费 10 升汽油D.某城市灵活车最高限速 80 千米 / 小时 . 同样条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】 D【分析】试题剖析：对于A，耗费升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B,以同样速度行驶同样行程，三辆车中甲车耗费汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，耗费升汽油,故错；对于D, 车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.应选 D.考点： 1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.【此处有视频，请去附件查察】三.解答题17. 设会合，会合.（ 1）若“”是“”的必需条件，务实数的取值范围；（ 2）若中只有一个整数，务实数的取值范围.【答案】（ 1）；（2）.【分析】【剖析】（ 1）由“”是“”的必需条件，得B? A，而后分，m＞三种状况议论求解实数m的取值范围；（ 2）把中只有一个整数，分，m＞时三种状况借助于两会合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】 (1) 若“”是“”，则B? A，∵A={x| - 1≤x≤2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，此时 - 1≤2m＜ 1?；②当时， B=?，有 B? A 建立；③当时 B=?，有 B? A 建立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x| - 1≤x≤2} ，∴ ?R A={x|x ＜ -1 或 x＞ 2} ，①当时， B={x|2m ＜x＜ 1} ，若 ( ?R A)∩B中只有一个整数，则 - 3≤2m＜ -2 ，得②当 m当时，不切合题意；③当时，不切合题意；综上知， m的取值范围是.【点睛】在会合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再联合数轴进行会合的运算，若端点地点不准时，要注意对端点的地点进行议论求解，本题是中档题．18. 练习册第21 页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还能够有以下证法：（当且仅当时等号建立），∴.学习以上解题过程，试试解决以下问题：（ 1）证明：若，，，则，并指出等号建立的条件；（ 2）试将上述不等式推行到（）个正数、、、、的情况，并证明.【答案】 (1) 看法析；（ 2）看法析 .【分析】【剖析】（ 1）依据题设例题证明过程，类比可得证明；（ 2）依据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（ 1），∴，当且仅当时等号建立；（2）故. 当且仅当时等号建立；【点睛】本题考察基本不等式的运用，考察不等式的证明，考察求函数的最值，属于中档题．19.某企业有价值 10 万元的一条流水线，要提升该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提升产品附带值，假定附带值万元与技术改造投入万元之间的关系知足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，此中为常数，且.（ 1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（ 2）求出附带值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（ 1），；（2）.【分析】【剖析】（1）列出 f （ x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，联合二次函数的图象及单一性解决，注意分类议论．【详解】（ 1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t 为常数，；（ 2）因为定义域中函数在上单一递减，故.【点睛】本题考察函数的应用问题，函数的分析式、二次函数的最值及分类议论思想，牵涉字母太多，简单犯错．20. 设数集由实数组成，且知足：若（且），则.（ 1）若，试证明中还有此外两个元素；（ 2）会合能否为双元素会合，并说明原因；（ 3）若中元素个数不超出 8 个，全部元素的和为，且中有一个元素的平方等于全部元素的积，求会合 .【答案】 (1)， ;(2) 看法析；（ 3）.【分析】【剖析】（ 1）依据会合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把 2 代入进行考证；（ 2）能够假定A为单元素会合，求出其等价条件，从而进行判断；（ 3）先求出会合 A 中元素的个数，=1，求出 x 的值，从而求出会合 A．【详解】（ 1）证明：若x∈A，则又∵ 2∈A，∴∵- 1∈A，∴∴A中此外两个元素为，；（2），，，且，，，故会合中起码有 3 个元素，∴不是双元素会合；（ 3）由，，可得，全部元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考察了元素和会合的关系，考察会合的含义，分类议论思想，是一道中档题．21. 已知，设，，（，为常数） .（ 1）求的最小值及相应的的值；（ 2）设，若，求的取值范围；（ 3）若对随意，以、、为三边长总能组成三角形，求的取值范围.【答案】（ 1），；（2）；（3）.【分析】【剖析】（ 1）代入利用基本不等式即可得出；（ 2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（ 3）因为 b＞ a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对 x＞ 0 恒建立，联合即可得出．【详解】（ 1）。

上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题

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绝密★启用前上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2．已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ） A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.P Q ∈D.P Q ∉3．若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（ ） A.a b c +>B.11a c b c<-- C.||||a c b c >D.222211ab a b c c <++ 4．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ）A.若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B.若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C.若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D.若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B =R ,则实数a 的取值范围是_______ .6．若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______ .7．命题：“若 不为零，则 都不为零”的逆否命题是 。

上海市闵行区七宝中学2019_2020学年高一数学上学期9月月考试题(含解析)

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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一数学上学期9月月考试题（含解析）一：填空题。

1.点(2,3)P -关于y 轴对称的点的坐标为________ 【答案】(2,3) 【解析】 【分析】根据点关于y 轴对称点的特征，求得P 点关于y 轴的对称点.【详解】点关于y 轴对称，横坐标相反，纵坐标相同，故()2,3P -关于y 轴对称点的坐标为()2,3.故填：()2,3.【点睛】本小题主要考查点关于y 轴对称点的特征，属于基础题.2.函数y =x 的取值范围是________ 【答案】35x <≤ 【解析】 【分析】根据分母不为零，偶次方根被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数定义域. 【详解】依题意3050x x ->⎧⎨-≥⎩，解得35x <≤.故填：35x <≤.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要考虑分式的分母、偶次方根的被开方数，属于基础题.3.已知反比例函数ky x=（0k ≠），当0x <时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y kx k=-的图像不经过第________象限 【答案】三 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性求得k 的范围，由此判断出一次函数不经过的象限. 【详解】由于函数k y x=0x <时递增，故k 0<，由()1y kx k k x =-=-可知，直线过()1,0，且斜率小于零，由此可判断一次函数y kx k =-不经过第三象限.故填：三.【点睛】本小题主要考查反比例函数的单调性，考查一次函数过定点以及一次函数经过的象限，属于基础题.4.x =-的解的集合为________ 【答案】{}1- 【解析】 【分析】先求得x 的范围，然后两边平方求得方程的解的集合.【详解】依题意0x -≥，解得0x ≤x =-两边平方得22x x +=，解得1x =-或2x =，由于0x ≤，故1x =-，所以方程的解的集合为{}1-.故填：{}1-.【点睛】本小题主要考查含有根式的方程的解法，解题过程中要注意x 的取值范围，属于基础题.5.反比例函数2y x=的图像与一次函数y x b =-+的图像在第一象限内有交点，则b 的最小值为________【答案】22【解析】【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式，利用判别式为非负数且0b>列不等式组，解不等式组求得b的最小值.【详解】由于反比例函数2yx=过第一、三象限，一次函数y x b=-+斜率为10-<，两个函数公共点在第一象限，故0b>，由2yxy x b⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y得220x bx-+=，其判别式280b-≥，结合0b>解得22b≥，故b的最小值为22.故填：22.【点睛】本小题主要考查反比例函数、一次函数的图像交点问题，考查一元二次方程有解的条件，属于基础题.6.如图，过△ABC的重心G作BC的平行线，分别交AB、AC于点E、F，若4EF=，则BC=_______【答案】6【解析】【分析】根据三角形重心的性质列方程，解方程求得BC的长.【详解】由于G是三角形ABC的重心，且//EF BC，所以23EFBC=，所以362EFBC==. 故填：6.【点睛】本小题主要考查三角形重心的性质，考查平行线的性质，属于基础题.7.已知0x y z ++≠，a 、b 、c 均不为0，且x a y z =+，yb x z=+，z c x y =+，则111a b ca b c++=+++_______ 【答案】1 【解析】 【分析】化简已知条件，由此求得表达式的化简结果. 【详解】由xa y z=+，yb x z=+，zc x y=+得1,1,1x y z x y z x y za b c y z x z x y ++++++=+=+=++++，所以111,,111y z x z x y a x y z b x y z c x y z +++===+++++++++，所以111a b ca b c ++=+++1x y z x y z x y z x y z++=++++++. 故填：1.【点睛】本小题主要考查代数式的运算，属于中档题.8.已知点(1,1)A 和点(3,2)B ，在直线y x =-上有一个点P ，满足PA PB +最小，则PA PB +的最小值是________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据对称性求得A 关于直线y x =-对称点的坐标'A ，由'A B 求得PA PB +的最小值.【详解】由于()1,1A 在y x =上，所以点A 关于直线y x =-的对称点为()'1,1A --，所以PA PB +的最小值为'5A B ==.故填：5.【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点问题，考查类似将军饮马的最短距离和问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.已知方程|53||54|7x x ++-=，则x 的取值范围是_______ 【答案】3455x -≤≤ 【解析】 【分析】化简原方程，利用绝对值的几何意义，求得x 的取值范围. 【详解】由|53||54|7x x ++-=得347555x x ++-=，方程表示数轴上到35-和45的距离和为75的点，而35-和45的距离是75，故符合题意的x 的范围是3455x -≤≤.故填：3455x -≤≤. 【点睛】本小题主要考查利用绝对值的几何意义解方程，属于基础题.10.关于x 方程221(43|43|)2x x x x k -+--+=有两个不同的根，则k 的取值范围是_____ 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】根据x 的取值范围去绝对值，求得方程左边的表达式，根据方程根的个数，结合图像，求得k 的取值范围.【详解】当1x ≤或3x ≥时，方程为0k =，不符合题意.当13x <<时，方程为()()2431,3x x k x -+=∈，画出()()2431,3y x x x =-+∈的图像如下图所示，由图可知，要使方程()()2431,3x x k x -+=∈有两个不相同的根，则需()1,0k ∈-. 故填：(1,0)-.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的方程的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知集合{1,2,3,,}M n =⋅⋅⋅（1n >，*n ∈N ），则M 的所有非空子集的元素和为_______（只需写出数学表达式）【答案】22()2n n n -+⋅【解析】 【分析】求得含1个元素的子集的元素和、求得含2个元素的子集的元素和、以此类推，求得含n 个元素的子集的元素和，然后相加，求得M 所有非空子集的元素和. 【详解】含1个元素的子集的元素和为()()11112n n n C C -+++⋅-L ，含2个元素的子集的元素和为()()22112n n n C C -+++⋅-L ，……以此类推含1n -个元素的子集的元素和为()()11112n n n n n C C ---+++⋅-L ，含n 个元素的子集的元素和为()12nn n C +++⋅L .上述n 个式子相加得()()()1212111112n n n n n n n n n n C C C C C C ----+⎡⎤+++++++⎣⎦L L ()2122222n n n n n n --+=⋅=+⋅. 故填：()222n n n -+⋅.【点睛】本小题主要考查集合非空子集元素和的计算，考查等差数列前n 项和公式，考查二项式展开式的二项式系数和公式，属于中档题.12.当一个非空数集F 满足条件“若,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”时，称F 为一个数域，以下四个关于数域的命题： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2019F ∈； （3）集合{|3,}P x x k k ==∈Z 为数域； （4）有理数集为数域；其中，真命题的编号为________（写出所有真命题的编号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据新定义数域的概念，对四个命题逐一分析，由此得出真命题的编号. 【详解】对于（1），当a b =时，0a b F -=∈，故（1）正确. 对于（2），当a b =时，1aF b=∈，所以11,21,,20181+++L 都是F 的元素，故（2）正确. 对于（3）由于33,3P P ∈∉，故P 不是数域.对于（4）有理数集满足,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈.故（4）正确.综上所述，正确的命题编号为：（1）（2）（4）. 故填：（1）（2）（4）.【点睛】本小题主要考查新定义集合的理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题.二.选择题13.已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围是（ ） A. 7m > B. 1m >C. 17m ≤≤D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】由于一次函数是单调函数，依题意有2705270m m m m -+->⎧⎨+->⎩，解得7m >，故选A.【点睛】本小题主要考查一次函数的性质，考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.14.m 是一个完全平方数，则（ ） A. 1m -一定是完全平方数 B. 1m -一定不是完全平方数 C. 2m +一定是完全平方数 D. 2m +一定不是完全平方数【答案】D【分析】对m 取特殊值，排除错误选项，从而得出正确结论.【详解】当4m =时，13m -=不是完全平方数，26m +=不是完全平方数，由此排除A,C 两个选项.当1m =时，10m -=是完全平方数，由此排除B 选项.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查完全平方数的特点，考查特殊值解选择题的方法，属于基础题.15.如图，反比例函数3y x=-（0x >）图像经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连结EF 、OE 、OF ，则△OEF 的面积是（ ）A.32B.94C.73D.52【答案】B 【解析】 【分析】设出A 点坐标，求得,,B E F 的坐标，利用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求得三角形OEF 的面积.【详解】设(),0,0A a a >，则366,,,,,2a E a B a F a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩形OABC 的面积为66a a ⋅=，三个直角三角形的面积为131********222222424a a a a a a ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=，所以三角形OEF 的面积为159644-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查反比例函数上点的坐标的特点，考查利用割补法求三角形面积，属于基础题.16.如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个A. 17个B. 64个C. 81个D. 72个【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式组求得x 的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数. 【详解】由9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩得98a bx ≤<，不妨设1n =，故a 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种可能，b 可取9,10,11,12,13,14,15,16共8种可能，可以满足整数解有1个，为1.所以有序数对(),a b 共有9872⨯=个，故选D.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.三.解答题17.求3232x x x ++-除以2x -的商式与余数. 【答案】商式23715x x =++，余式28=. 【解析】 【分析】设商为2ax bx c ++，利用()()22x ax bx c -++的展开式与3232x x x ++-比较，求得,,a b c的值，进而求得商式和余式.【详解】设商为2ax bx c ++，()()22x ax bx c -++()()32222ax b a x c b x c =+-+--，所以32121a b a c b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得3,7,15a b c ===，()()223715x x x -++22330x x x =++-，由()32223233028x x x x x x ++--++-=可知，余式为28.【点睛】本小题主要考查多项式除法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数】【答案】202m【解析】【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积.【详解】连接,,OA OB AB ，过O 作OG CD ⊥交AB 于E ，交劣弧»AB 于F .过A 作AH CD ⊥交CD 于H ，过B 作BI CD ⊥交CD 于I .由于228AB AE BE ===，5OB OA ==，所以3,2,3OE FE OF OE EG EF FG ==-==+=，所以3AH BI ==，在直角三角形ADH 中，3tan ,tan 56,2AH D DH DH DH===o ，同理求得2CI =，所以28212CD =++=，故梯形ABCD 的面积为8123302+⨯=.在直角三角形OAE 中4sin 0.85AOE ∠==，故53,106AOE AOB ∠≈∠=o o ，所以扇形OAFB 的面积为1063522360⨯⨯≈，而三角形AOB 的面积为183122⨯⨯=，所以弓形AFB 的面积为221210-=，故阴影部分面积为2301020m -=.【点睛】本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题.19.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，弧AC 的圆心为B ，过弧AC 上的点P 作弧AC 的切线，与AD 、CD 分别相交于点E 、F ，BP 的延长线交AD 边于点G .（1）设AE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当2AE =时，求EG 的长.【答案】（1）3666x y x -=+，(0,6)x ∈；（2）52. 【解析】【分析】（1）根据切线长定理求得,PE PF 的长，在直角三角形DEF 中利用勾股定理求得y 与x 的关系式.（2）以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，又,E F 坐标，求得直线EF 的斜率，进而求得直线BP 的斜率，由此求得AG 长，进而求得EG 的长.【详解】（1）根据切线长定理得,PE AE x PF CF y ====，且6,6DE x DF y =-=-，直角三角形DEF 中由勾股定理得()()()22266x y x y +=-+-，化简得3666x y x -=+，由066x <-<，解得06x <<，也即函数定义域为()0,6.所以函数解析式为()()3660,66x y x x-=∈+.（2）当2AE =时，由（1）知3CF =.以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,6,6,0,2,6,6,3A C E F ，所以直线EF 的斜率为633264-=--，所以与EF 垂直的直线BG 的斜率为43，而4tan tan 3AB AGB GBC AG ∠=∠==，所以3942AB AG ==，所以95222EG AG AE =-=-=.即EG 长为52.【点睛】本小题主要考查圆的切线长定理，考查勾股定理，考查坐标法求解几何问题，属于中档题.20.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为函数()f x 的不动点.（1）已知函数2()f x ax bx b =+-（0a ≠）有不动点(1,1)和(3,3)--，求a 、b ；（2）若对于任意的实数b ，函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，3b =；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）根据不动点的定义列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）根据不动点的概念列式，利用一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意()()11393943f a b b a f a b b a b ⎧=+-==⎪⎨-=--=-=-⎪⎩，解得1,3a b ==. （2）首先0a ≠，依题意20000()f x ax bx b x =+-=有两个不同的解，即()20010ax b x b +--=有两个不同的解，所以()2140b ab ∆=-+>，即()24210b a b +-+>对任意b R ∈都成立，所以()24240a ∆=--<，即216160a a -<，()10a a -<，解得01a <<.所以实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查一元二次不等式根的个数与判别式的关系，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.21.设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1}}n k A t t t t αα==⋅⋅⋅∈（1,2,,k n =⋅⋅⋅），对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=⋅⋅⋅和12(,,,)n y y y β=⋅⋅⋅，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+--++--+⋅⋅⋅++--. （1）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α、β，当α、β相同时，(,)M αβ是奇数，当α、β不同时，(,)M αβ是偶数，求集合B 中元素个数的最大值.【答案】（1）(,)2M αα=，(,)1M αβ=；（2）4.【解析】【分析】（1）利用(,)M αβ的定义，求得(,)M αα和(,)M αβ的值.（2）当4n =时，根据α、β相同时，(,)M αβ是奇数，求得此时集合B 中元素所有可能取值，然后验证α、β不同时，(,)M αβ是偶数，由此确定集合B 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当4n =时，依题意当α、β相同时，(,)M αβ()()()()1122334412x x x x x x x x =+++++++⎡⎤⎣⎦1234x x x x =+++为奇数，则1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”或者“1个1和3个0”.当α、β不同时：①当1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”时，元素为()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1.②当1234,,,x x x x 中有“1个1和3个0”时，元素为()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，经验证可知(,)Mαβ是偶数，符合题意，集合B 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.最多有4个元素()()()()综上所述，不管是①还是②，集合B中元素个数的最大值为4.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解

2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合A＝{x|x≤2019}，B＝{x|x＞a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是2．若集合M＝{1，﹣3}，N＝{a﹣3，2a+1，a2+2}，若M∩N＝{﹣3}，则实数a＝3．命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的否命题是．4．科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：2a+b﹣1，如把（3，﹣2）放入其中，就会得到2×3+（﹣2）﹣1＝3，现将实数对（m，﹣3m）放入其中，得到实数﹣9，则m＝5．设函数，若f（x0）＝3，则x0＝6．已知函数，，则f（x）•g（x）＝7．已知不等式|x﹣1|＜m的解集中有且只有5个整数，则实数m的取值范围是8．若关于x的不等式x2﹣2x≤4﹣a在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是9．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数的定义域为10．设x＞0，y＞0，且+＝2，则2x+y的最小值为．11．已知不等式|3x﹣a|＞x﹣1对任意x∈（0，2）恒成立，则实数a的取值范围是12．对于集合M，定义函数，对于两个集合M、N，定义集合M*N＝{x|f M（x）•f N（x）＝﹣1}，用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，若A＝{1，2，4，8}，B＝{2，4，6，8，10}，则能使Card（X*A）+Card（X*B）取最小值的集合X的个数为．二.选择题13．α：x＝1，β：x2＝1，则α是β的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．已知集合P＝{a，b}，Q＝{M|M⊆P}，则P与Q的关系为（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P∈Q D．P∉Q15．若实数a、b、c满足a＞b＞c，则下列不等式正确的是（）A．a+b＞c B．C．a|c|＞b|c|D．16．已知a、b、c为实数，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1），记集合S＝{x|f（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x）＝0，x∈R}，则下列命题为真命题的是（）A．若集合S的元素个数为2，则集合T的元素个数也一定为2B．若集合T的元素个数为2，则集合S的元素个数也一定为2C．若集合S的元素个数为3，则集合T的元素个数也一定为3D．若集合T的元素个数为3，则集合S的元素个数也一定为3三.解答题17．已知集合，函数的定义域为集合B，且A⊆B，求实数a的取值范围．18．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若x2+3比4接近1，求实数x的取值集合M；（2）若a、b均属于（1）中集合M，求证：a+b比ab+1接近0．19．近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？20．已知M是满足下述条件的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x）定义域内的任意两个自变量x1、x2，均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．（1）已知定义域为R的函数f（x）＝kx+b∈M，求实数k、b的取值范围；（2）设定义域为[﹣1，1]的函数g（x）＝ax2+x，且g（x）∉M，求正实数a的取值范围；（3）已知函数的定义域为R，求证：h（x）∈M．21．对于正整数集合A＝{a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），如果去掉其中任意一个元素a i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”．（1）判断集合{1，2，3，4，5}是否为“和谐集”，并说明理由；（2）求证：集合{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”；（3）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数．2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：∵A＝{x|x≤2019}，B＝{x|x＞a}，且A∪B＝R，结合数轴可知，a≤2019故答案为：（﹣∞，2019]2．【解答】解：∵集合M＝{1，﹣3}，N＝{a﹣3，2a+1，a2+2}，M∩N＝{﹣3}，∴或，解得实数a＝﹣2．故答案为：﹣2．3．【解答】解：先否定命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的题设，得到否命题的题设“若a•b为零”，再否定命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的结论，得到否命题的结论“至少有一个为零”，∴命题“若a•b不为零，则a，b都不为零”的否命题是：若a•b为零，则a，b至少有一个为零．故答案为：若a•b为零，则a，b至少有一个为零．4．【解答】解：根据定义直接代入2m+（﹣3m）﹣1＝﹣9，解之得m＝8．故答案为：8．5．【解答】解：根据题意，函数，若f（x0）＝3，当x0≤1时，f（x0）＝x02+1＝3，解可得x0＝±，又由x0≤1，此时x0＝﹣；当x0＞1时，f（x0）＝2x0+1＝3，解可得x0＝1，又由x0＞1，此时x0＝1舍去；综合可得：x0＝﹣；故答案为：﹣．6．【解答】解：，∴f（x）•g（x）＝1（x＞0）．故答案为：1（x＞0）．7．【解答】解：由|x﹣1|＜m，得﹣m+1＜x＜m+1．∵不等式|x﹣1|＜m的解集中有且只有5个整数，∴，∴2＜m≤3，∴m的取值范围为（2，3]．故答案为：（2，3]．8．【解答】解：不等式x2﹣2x≤4﹣a，即（x﹣1）2≤5﹣a，因为左边完全平方式≥0，要使不等式在R上的解集为∅，所以5﹣a＜0，即a＞5．故答案为：a＞5．9．【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，1），∴要使g（x）有意义，则，解得1＜x＜2，∴g（x）的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．10．【解答】解：∵+＝2，∴2x+y＝2x+y+1﹣1＝（2x+y+1）•（+）﹣1＝（2+2++）﹣1≥2﹣1+×2＝1+2＝3，当且仅当x＝1，y＝1时取等号，故2x+y的最小值为3，故答案为：3．11．【解答】解：|3x﹣a|＞x﹣1等价于3x﹣a＞x﹣1或3x﹣a＜1﹣x，解得或x＜，当，即a＜3时，不等式解集为R，显然符合题意．当a≥3时，（0，2）⊆（﹣∞，）∪（，+∞），所以或，解得a≥7或a≤1（舍去），综上，实数a的取值范围是a≥7或a＜3．故答案为：（﹣∞，3）∪[7，+∞）．12．【解答】解：∵函数，f M（x）和f N（x）的可能值为1或﹣1．根据集合M、N的定义，有f M（x）＝1且f N（x）＝﹣1或者f M（x）＝﹣1且f N（x）＝1即，所以X*A中元素最少时X*A＝{1，2，4，8}，X*B中元素最少时X*B＝{2，4，6，8，10}所以Card（X*A）+Card（X*B）取最小值时X的个数为{2，4，8}的子集个数23＝8，故答案为：8．二.选择题13．【答案】A【解答】解：当x＝1时，x2＝1，即充分性成立，若x2＝1，解得x＝±1，即必要不充分条件，则α是β的充分不必要条件，故选：A．14．【答案】C【解答】解：因为集合P的子集有∅，{a}，{b}，{a，b}，所以集合Q＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，所以p∈Q．故选：C．15．【答案】B【解答】解：∵a＞b＞c，∴A．a+b＞c错误，比如﹣4＞﹣5＞﹣6，得出﹣4﹣5＜﹣6；B．a﹣c＞b﹣c＞0，∴，∴该选项正确；C．a|c|＞b|c|错误，比如|c|＝0时，a|c|＝b|c|；D．ab2﹣a2b＝ab（b﹣a），ab（b﹣a）＝0时，ab2＝a2b，∴，∴该选项错误．故选：B．16．【答案】D【解答】解：x2+bx+c＝0，两边除以x平方，得，如果两个根不为o，x2+bx+c＝0与cx2+bx+1＝0的根互为倒数，f（x）＝0有一个根为x＝﹣a，如果a≠0，g（x）＝0一定有一个根x＝﹣，这两个根也是互为倒数，若f（x）有两个根x＝﹣a（a≠0），另外一个根为0，则g（x）只有一个根x＝﹣，故A不成立，同理B不成立，若g（x）有三个根，其中一个根为x＝﹣，则a不等于0，cx2+bx+1＝0有2个与﹣不同的根，其中都不为0，否则得到1＝0，显然不成立，那么这三个根的倒数必然存在，且不相等，故f（x）也有三个不同的根，所以D成立，反之，根据以上分析，C 不一定成立，故选：D．三.解答题17．【解答】解：由条件知，集合A＝{x|2＜x＜3}；函数f（x）的定义域为：B＝{x|x＜a﹣1或x＞a+1}；∵A⊆B；∴a﹣1≥3或a+1≤2；a≥4或a≤1，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，1]∪[4，+∞）．18．【解答】解：（1）x2+3比4接近1，∴|x2+3﹣1|＜|4﹣1|，即|x2+2|＜3，∴﹣1＜x＜1，∴实数x的取值集合M＝{x|﹣1＜x＜1}；（2）证明：a、b均属于（1）中集合M，即a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），∴要证a+b比ab+1接近0，只需证|a+b|＜|ab+1|，只需证a2+b2+2ab＜a2b2+2ab+1，即证（1﹣a2）（1﹣b2）＜0，∵a∈（﹣1，1），b∈（﹣1，1），∴1﹣a2＜0，1﹣b2＜0，∴（1﹣a2）（1﹣b2）＜0成立，∴a+b比ab+1接近0．19．【解答】解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装太阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）由C（0）＝＝24，得k＝2400…所以F＝15×+0.5x＝+0.5x，x≥0…（7分）（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5＝57.5，…（10分）当且仅当＝0.5（x+5），即x＝55时取等号…（13分）所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）20．【解答】解：（1）∵g（x）＝kx+b∈M，∴使得任意x1、x2∈R，均有|g（x1）﹣g（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．即存在|g（x1）﹣g（x2）|＝|k||x1﹣x2|≤2|x1﹣x2|，所以k∈[﹣2，2]，b∈R；（2）g（x）＝ax2+x，x∈[﹣1，1]，g（x）∉M，即存在x1、x2∈[﹣1，1]，有|g（x1）﹣g（x2）|＞2|x1﹣x2|成立，即|x1﹣x2||a（x1+x2）+1|＞2|x1﹣x2|，由，|a（x1+x2）+1|≥a|x1+x2|+1＞2，得a＞，故a∈；（3）证明：的定义域为R，任意两个自变量x1、x2，只需证明|h（x1）﹣h（x2）|＝||≤2|x1﹣x2|成立，根据基本不等式，，故＝成立，所以h（x）∈M．21．【解答】解：（1）对于集合{1，2，3，4，5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，所以集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．（2）证明：设A＝{1，3，5，7，9，11，13}，当去掉元素1时，有3+5+7+9＝11+13；当去掉元素3时，有1+9+13＝5+7+11；当去掉元素5时，有9+13＝1+3+7+11；当去掉元素7时，有1+9+11＝3+5+13；当去掉元素9时，有1+3+5+11＝7+13；当去掉元素11时，有3+7+9＝1+5+13；当去掉元素13时，有1+3+5+9＝7+11．所以集合A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．（3）证明：设“和谐集”A＝{a1，a2，…，a n}所有元素之和为M．由题可知，M﹣a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，因此a i（i＝1，2，…，n）的奇偶性相同．（ⅰ）如果M为奇数，则a i（i＝1，2，…，n）也均为奇数，由于M＝a1+a2+…+a n，所以n为奇数．（ⅱ）如果M为偶数，则a i（i＝1，2，…，n）均为偶数，此时设a i＝2b i，则{b1，b2，…，b n}也是“和谐集”．重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．综上所述，集合A中元素个数为奇数．。

2019-2020 学年上海中学高一(上)期中数学试卷

2019-2020 学年上海中学高一(上)期中数学试卷

．
二.选择题
11．（3 分）下列命题中正确的有（ ）
①很小的实数可以构成集合；
②集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；
③集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集；
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
12．（3 分）设 x＞0，y＞0，下列不等式中等号能成立的有（ ）
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【分析】作出文氏图，根据集合关系进行求解即可． 【解答】解：作出文氏图， 由（∁UA）∩B＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8} 得 A＝{2，3，5，7}， 故答案为：{2，3，5，7}
．
4．（3 分）若全集 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A、B 为 U 的子集，且（∁UA）∩B
＝{1，9}，A∩B＝{2}，（∁UA）∩∁UB＝{4，6，8}，则集合 A＝
．
5．（3 分）已知集合 A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}（a，b∈R），且 A＝B，则 b＝
．
6．（3 分）已知正实数 x，y 满足 x+3y＝1，则 xy 的最大值为
18．已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式 x2﹣x﹣m＝0 成立”是真命题， （1）求实数 m 的取值集合 M； （2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0 的解集为 N，若 x∈N 是 x∈M 的必要条件，求 a 的取值范围．
19．已知二次函数
，
，
．
（1）若 a＝3，b＝2，c＝1，解不等式组：
；
（2）若 a，b，c∈{1，2，3，4}，对任意 x∈R，证明：f1（x）、f2（x）、f3（x）中至少 有一个非负； （3）设 a、b、c 是正整数，求所有可能的有序三元组（a，b，c），使得 f1（x）＝0，f2

2019年七宝中学高一期中考试题

2019年七宝中学高一期中考试题

七宝中学高一期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 函数12sin(4)y x =-的最小正周期是2. 函数cos2y x =的对称轴方程是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin2θ=4. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 5. 函数2sin(2)3y x π=-的单调递减区间为6. 已知2sin 5x =-（32x ππ<<），则x = （用反正弦表示）7. 方程sin x x =的解是8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且224()S a b c =+-， 则cos C = 9. 若将函数()cos()8f x x πω=-（0ω>）的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的 函数为偶函数，则ω的最小值是 10. 已知函数sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)()||22x x x x f x ππππ+-=+，对任意x ∈R ，都有不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立，则21||x x -的最小值为 11. 已知函数1sin()()20192019x xx f x π-=+（x ∈R ），下列命题：① 函数()f x 是奇函数；② 函数()f x 在区间[2,2]ππ-上共有13个零点； ③ 函数()f x 在区间(0,1)上单调递增； ④ 函数()f x 的图像是轴对称图形.其中真命题有 （填所有真命题的序号） 12. 已知k 是正整数，且12019k ≤≤，则满足方程sin1sin2sin sin1sin2sin k k ︒+︒+⋅⋅⋅+︒=︒⋅︒⋅⋅⋅︒的k 有 个二. 选择题13. “[,]22x ππ∈-”是“sin(arcsin )x x =”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分条件又非必要条件 14. 将函数sin()12y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位，得到点P '，若 P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6πB. t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为12πD. 2t =，s 的最小值为12π15. 若方程212cos sin 0x x a --+=有实数解，则实数a 的取值范围（ ） A. 9(,]8-∞ B. 9[2,]8- C. 9[0,]8 D. 9[1,]8- 16. 如图，在△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，O 是△ABC 的外心，OD BC ⊥于D ，OE AC ⊥于E ， OF AB ⊥于F ，则::OD OE OF 等于（ ）A. ::a b cB. cos :cos :cos A B CC. sin :sin :sin A B CD. 111::a b c三. 解答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值.18. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2a b -=，4c =，sin 2sin A B =. （1）求△ABC 的面积S ；（2）求sin(2)A B -的值.19. 已知函数()2sin 2f x x x =-. （1）求()y f x =的最小正周期和对称中心；（2）将()f x 的图像向左移α（0α>）个单位得函数()y g x =的图像，若(0,)2πα∈，()y g x =的一条对称轴为12x π=，求()y g x =，[0,]2x π∈的值域.20. 如题所示：扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60°的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道PQ 、QR 、RP ，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，直线PQ 表示第三条街道.（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、QR 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元，200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？（精确到1万元）21. 给出集合{()|(2)(1)(),}M f x f x f x f x x =+=+-∈R . （1）若()sin3xg x π=，求证：函数()g x M ∈；（2）由（1）可知，()sin3xg x π=是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M 中的元素都是周期函数；命题乙：集合M 中的元素都是奇函数，请对此给 出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；（3）设P 为常数，且0P ≠，x ∈R ，求()sin h x px M =∈的充要条件并给出证明.参考答案一. 填空题 1.2π2. 2k x π=，k ∈Z3. 354. 33655. 511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z6. 2arcsin 3π+7. 7212x k ππ=+或13212x k ππ=+，k ∈Z 8. 0 9. 3210. 38 11.②④ 12. 11二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）4cos 5θ=，3sin 5θ=-；（2）38.18.（1；（2）32.19.（1）T π=，(,0)122k ππ+，k ∈Z ；（2）[-.20.（1）2+；（2）1222万元.21.（1）略；（2）甲真命题，周期为6，乙假命题，如cos3xy π=；（3）略.。

上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若3log 2a =，则a =．2．设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}1,3B =，则U A B = ð.3．已知幂函数()()222m f x m m x =--的定义域为R ，则实数m =.4．“若1a b +>且1ab >，则1a >且1b >”是命题.（填“真”或“假”）5．化简114141x x -+=++.6．已知0,0a b >>，化简：121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪=.7．已知2310a b ==，则6log 25=（结果用a ，b 表示）.8．()lg lg 2lg 23x y x y +=-，则y x 的值为．9．已知0,0a b >>，且211a b +=，则2a b +的最小值是.10．“0a <”是关于x 的方程“2220ax x ++=至少有一个负数根”的条件.（用“充分非必要”，“必要非充分”，“充要”，“既非充分又非必要”填空）11．已知函数32kx y x +=+(常数k ∈Z )在区间[3,)+∞上是严格减函数，且在[3,)+∞上存在自变量使得函数值为正，则满足条件的整数k 的所有取值为.12．设x 、R y ∈，若426x x y y +-++-≤，则23x y xy ++的取值范围为.二、单选题13．下列关于幂函数y x α=的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都经过点()0,0和()1,1；B ．幂函数的图象不经过第三象限；C ．当指数α取1，3，12时，幂函数y x α=是其定义域上的严格增函数；D ．若幂函数的图像过点1,84⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的图像也经过点19,18⎛⎫ ⎪⎝⎭.14．设0b a >>，c ∈R ，则下列不等式中正确的是（）A ．1122a b >B ．11c c a b -<-C ．22a a b b +>+D ．22ac bc <15．已知集合(){},20A x y x ay a =++=，(){},10B x y ax ay =+-=，则下列结论正确的是（）A ．存在a ∈R ，使得A =∅B ．当1a =-时，13,22A B ⎛⎫⋂=- ⎪⎝⎭C ．当A B =∅ 时，1a =D ．对任意的a ∈R ，都有A B≠16．定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0a >，0b >，则ln ()ln b a b a ++=；②若0a >，0b >，则ln ()ln ln ab a b +++=+；③若0a >，0b >，则ln ()ln ln aa b b +++=-；④若0a >，0b >，则ln ()ln ln ln2a b a b ++++≥++；其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．已知集合10x A x x ⎧⎫-=>⎨⎬⎩⎭，集合{}22B x m x m =-<<-.(1)当1m =时，求A B ⋂；(2)已知全集为R ，记A 的补集为A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围.18．（1）已知,a b ∈R且,0a b >（2）已知2x y +<，1x y -<，求证：711x y +<.19．为了保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月处理量最多不超过300吨．当月处理量为x 吨时，月处理成本为()2200400000300x x x ≤-+<元，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元．(1)若要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围?(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低为多少元?20．已知全集为R ，关于x 的不等式：()2320x a x a b ++++≥的解集为M ，(1)若|1{M x x =≤或4}x ≥，求a b ，的值；(2)若2b =，记M 的补集为M ，M 中恰好有3个整数，求实数a 的取值范围；(3)若1b =，集合[)0,N =+∞，且满足N M ⊆，求实数a 的取值范围.21．设集合A 是至少有两个元素的实数集，集合{,,B z z xy x y A ==∈且}x y ≠，称集合B 为集合A 的积集.(1)当{}1,3,7A =时，写出集合A 的积集B ；(2)若A 是由4个正实数构成的集合，求其积集B 中元素个数的最小值；(3)判断是否存在5个正实数构成的集合A ，使其积集{}2,3,5,6,10,12,18,24B =，并说明理由.。

第3讲 解三角形(专题测试)解析版

第3讲 解三角形(专题测试)解析版

第3讲 解三角形(专题测试）【基础题】 一、单选题1．（2019·上海市七宝中学高三期中）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，则△ABC A ．一定是钝角三角形 B ．一定是锐角三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】A【分析】结合三角形大边对大角原则和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原则确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-<可判断C 为钝角 故选A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于基础题 2．（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）ABC ∆中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】因为cos cos a bB A=， 所以22222222a ba cb bc a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-， 所以224224a c a b c b -=-， 所以22244()c a b a b -=-， 所以22222()()0a b c a b ---=， 所以220a b -=或222c a b =+， 所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 3．（2019·上海市向明中学高一期中）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若1a =且2B A =，则b 的取值范围是（ ）A． B．(C．)2D ．()0,2【答案】A【分析】先由正弦定理可得2cos b A =，再结合ABC 为锐角三角形可得64A ππ<<，代入求解即可.【详解】解：因为1a =且2B A =， 由正弦定理sin sin a bA B=可得：sin sin 2a b A A =， 则2cos b A =，又ABC 为锐角三角形，则0202222A A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<+<⎪⎩，解得：64A ππ<<，即cos A ∈⎝⎭，即b ∈，故选：A.【点睛】本题考查了正弦定理及正弦的二倍角公式，重点考查了三角函数的值域的求法，属中档题. 4．（2020·上海市沪新中学高一期中）△ABC 中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是 A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定三角形的形状. 【详解】由cos cos a bB A=，得sin cos sin cos ,sin 2sin 2A A B B A B ==，22A B ∴=，或22A B π+=，即A B =，或2A B π+=，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故选：D.【点睛】本题考查正弦定理、二倍角公式判断三角形的形状，属于基础题. 二、填空题5．（2020·上海浦东新区·高一期中）在△ABC中，若b =3B π=，1sin 4A =，则a =________ 【答案】1【分析】利用正弦定理可直接求得结果.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=得：1sin 1sin b A a B ===.故答案为：1.【点睛】本题考查正弦定理解三角形的问题，属于基础题.6．（2020·上海市进才中学高一期中）在ABC中，若b =π4B =，1sin 3A =，则a =__________．【答案】43【分析】由题中条件，根据正弦定理，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为在ABC中，b =π4B =，1sin 3A =，由正弦定理可得sin sin a bA B=，所以1sin 4sin 32b A a B ===. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型.7．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一期中）在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________ 【答案】6π【分析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；【详解】311sin sin sin sin 232a bB A BB=⇒=⇒=， a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.8．（2020·上海浦东新区·高一期中）某高一学生骑车行驶，开始看见塔在南偏东30°方向，沿南偏东60°方向骑行2千米后，看见塔在正西方向，则此时这名学生与塔的距离大约为________千米（结果保留两位有效数字） 【答案】1.2【分析】根据方位角和余弦定理可构造方程求得结果.【详解】设该高一学生最初的位置为A ，骑行后2千米后停留的位置为B ，塔的位置为C ，作AD BC ⊥，垂足为D ，如下图所示：由题意可知：603030BAC ∠=-=，906030ABD ∠=-=，2AB =，AC BC ∴=且120ACB ∠=，2222cos AC BC AC BC ACB AB ∴+-⋅∠=，即22224BC BC AB +==，解得：231.2BC =≈（千米）. 故答案为：1.2.【点睛】本题考查解三角形的实际应用问题，涉及到余弦定理和方位角的知识，属于基础题. 9．（2020·上海市金山中学高三期中）在ABC 中，若3,6,4b c C π===，则角B 的大小为______．【答案】13π或23π【分析】利用正弦定理sin sin b cB C=，即可得到答案.【详解】由正弦定理sin sin b c B C=得：3sin 2B =解得sin B =，又因为0B π<<，所以13B π=或23π.故答案为：13π或23π 10．（2017·上海浦东新区·华师大二附中高一期末）在ABC ∆中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对应的边，1tan 3A =，1tan 2B =，如果1a =，则b =________.【分析】首先利用同角三角函数的基本关系求出sin ,sin A B ，再利用正弦定理即可求解. 【详解】在ABC ∆中，1tan3A =，sin 1cos 3A A ∴=，即cos 3sin A A =， 22cos sin 1A A +=，210sin 1A ∴=，即21sin 10A =，0A π<<，sin A ∴=， 1tan2B =，sin 1cos 2B B ∴=，即cos 2sin B B =， 22cos sin 1B B +=，25sin 1B ∴=，即21sin 5B =，0B π<<，sin B ∴=， 由正弦定理得sin sin a b A B=，1a =，1sin sin a B b A ∴===【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦定理解三角形，需熟记公式，属于基础题.三、解答题11．（2020·上海杨浦区·复旦附中高一期中）△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1b c +=，且()()()a c a c b b c +-=-. （1）求角A 的大小； （2）求三角形面积ABCS 的最大值.【答案】（1）3A π=；（2. 【分析】（1）将()()()a c a c b b c +-=-化简为222b c a bc +-=，然后用余弦定理即可求解； （2）先求出角A 的正弦值，然后可得1sin 2ABCSbc A =，再根据基本不等式即可求出ABCS 的最大值.【详解】（1）由()()()a c a c b b c +-=-可得222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，因为角A 为三角形内角，所以3A π=；（2）由（1）知3A π=，所以sin A =，又1b c +=，所以211sin sin 222ABCb c Sbc A A +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭12==b c 时取“=”，所以三角形面积ABCS 的. 【点睛】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式，解题时涉及到用基本不等式求最值.12．（2020·上海浦东新区·高一期中）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，已知sin C C =.（1）求C ；（2）若c =△ABC 的面积为2，求△ABC 的周长.【答案】（1）3C π=；（2）5【分析】（1）由题意可得得tan C =C 的范围可得结果；（2）利用三角形面积公式求得ba ，根据余弦定理化简可求得b a +，进而求得结果.【详解】（1）由条件sin C C ，可得tan C =()0,C π∈,所以3C π=（2）11sin sin 223ABC S ab C ab π∆====所以6ab =由余弦定理得：()22222cos 3c b a ba C b a ba =+-=+-7c = ()271825b a ∴+=+=，即5b a +=ABC ∆∴的周长5L a b c =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及余弦定理和三角形面积公式的应用，是常考题型.属于基础题. 13．（2020·上海市七宝中学高一期中）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222a c b ac +-=．（1）求B ；（2）若6a c +=，三角形的面积ABC S ∆=b ．【答案】（1）3B π=；（2）b =【分析】(1)由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，已知222a c b ac +-=即可求B ；(2)根据1sin 2ABC S ac B ∆=，可得ac ，已知6a c +=、222a c b ac +-=即可求b【详解】(1)由余弦定理知：222cos 2a c b B ac +-=，而222a c b ac +-=∴1cos 2B =，而(0,)B π∈，故3B π=(2)由1sin 2ABC S ac B ∆==8ac =，且6a c +=∵222a c b ac +-=知：22()3362412b a c ac =+-=-=∴b =【点睛】本题考查了余弦定理，及三角形面积公式；根据余弦定理边角关系求角，由三角形面积公式求两边之积，结合已知求出第三边，属于简单题 【提升题】一、单选题1．（2018·上海普陀区·曹杨二中高一期中） 如图所示，为了测量某湖泊两侧,A B 间的距离，李宁同学首先选定了与,A B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案：（ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别记为,,a b c ）：① 测量,,A C b ② 测量,,a b C ③测量,,A B a 则一定能确定,A B 间距离的所有方案的序号为 A ．①② B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】D试题分析：①测量,,A C b ，因为知道,A C ，可求出B ，由正弦定理可求出c ；② 测量,,a b C ，已知两边及夹角，可利用余弦定理可求出c ；③测量,,A B a ，因为知道,A B ，可求出C ，由正弦定理可求出c ，故三种方法都可以． 考点：解三角形．2．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）在△ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边的长，若2222020a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅+的值为A ．1B ．2018C ．2019D ．2020【答案】C【分析】先利用商数关系将2tan tan tan (tan tan )A B C A B ⋅+，转化为sin sin 2cos cos sin sin sin cos cos cos A BA BC A B C A B ⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再通分结合两角和的正弦公式得到22sin sin cos sin A B CC，再利用正弦定理将角转化为边，然后利用余弦定理结合2222020a b c +=求解.【详解】sin sin 22tan tan cos cos sin sin sin tan (tan tan )cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B ⋅⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2sin sin cos sin (sin cos cos sin )A B CC A B A B =+ ，22sin sin cos sin A B CC=， 222222cos 2019ab C a b c c c+-===. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）已知函数()sin f x x =，a b c 、、分别为ABC ∆的内角、、A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定成立的是（ ）.A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin sin f A f B ≤C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤【答案】A【分析】结合已知条件和余弦定理判断出2A B π+≤，进而判断出0sin cos 1A B <≤<，由此得出()()sin cos f A f B ≤.【详解】由222334a b c ab +-=可得()2222222334a b c a b a b ab +-=+-+-()220a b =--≤，所以222a b c +≤，故222cos 02a b c C ab+-=≤，所以2C ππ≤<，故2A B π+≤，所以022A B ππ<≤-<，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数， 所以0sin sin 12A B π⎛⎫<≤-<⎪⎝⎭，所以0sin cos 1A B <≤<，所以()()sin cos f A f B ≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）已知ABC 中，cot A 、cot B 、cot C 成等差数列，则以下结论中正确的是（ ） A ．角B 有最大值 B ．角B 有最小值 C ．ABC 为锐角三角形 D ．ABC 为钝角三角形【答案】A【分析】先根据等差数列性质列等量关系，再根据两角和正弦公式、正弦定理以及余弦定理化得边的关系，最后根据余弦定理确定角B 范围，结合范围判断选择. 【详解】因为cot A 、cot B 、cot C 成等差数列， 所以2cos cos cos 2cos sin()2cot cot cot sin sin sin sin sin sin B A C B A C B A C B A C B A C+=+∴=+∴=2cos sin sin sin sin B BB A C∴=222222222cos 2ac B b a c b b a c b ∴=∴+-=∴+=222221cos 242a c b a c B ac ac +-+∴==≥（当且仅当a c =时取等号）(0,)(0,]3B B ππ∈∴∈，因此角B 有最大值，无最小值当ABC 为正三角形时满足题意，所以排除D当22222222cos 0(,)2222b bc a c b c A A bc bc ππ+--<⇒==<⇒∈即ABC 为钝角三角形，也满足题意，所以排除C 故选：A【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列性质以及两角和正弦公式，考查基本分析转化判断能力，属中档题.5．（2017·上海市南洋模范中学高一期末）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ，∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA ，∴tanA=﹣1， ∵π2＜A ＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin a C A =， ∵a=2，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ，∴C=π6， 故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.二、填空题6．（2020·上海市沪新中学高一期中）在ABC ∆中，已知():():()4:5:6b c c a a b +++=，给出下列结论： ①由已知条件这一三角形被唯一确定；②ABC ∆一定是一个钝角三角形；③sin :sin :sin 7:5:3A B C =；④若8+=b c ，则ABC ∆． 其中正确结论的序号是_____________.【答案】②③【分析】由题可得::7:5:3a b c =,无法得到确定唯一的三角形；由“大边对大角”,利用余弦定理求得cos A ,即可判断三角形是否为钝角三角形；利用正弦定理的边角关系判断③；由8+=b c 求得,b c ,进而求出三角形面积即可【详解】由():():()4:5:6b c c a a b +++=,可得::7:5:3a b c =,即只知道三边的比例关系,无法确定唯一的三角形,故①错误；则2221cos 22b c a A bc +-==-,即23A π∠=,即ABC 是钝角三角形,故②正确； 由正弦定理可得,sin :sin :sin ::7:5:3ABC a b c ==,故③正确；因为8+=b c ,则5b =,3c =,所以11sin 532224ABC Sbc A =⋅=⨯⨯⨯=,故④错误； 故答案为：②③【点睛】本题考查正弦定理的应用,考查三角形的形状的判定,考查三角形面积公式的应用7．（2017·上海杨浦区·复旦附中高一期中）如图所示，在塔底B 测得山顶C 的仰角为60，在山顶测得塔顶A 的仰角为45，已知塔高20AB =米，则山高DC =_______米.【答案】(103+【分析】设CD xm =，则()20AE x m =-，求出BD ，在ACE ∆中列出关系式，解出x 即可.【详解】设CD x m =，则20AE x m =-，如下图所示：tan 60CD BD =，()tan 603BD x m CD x ∴===.在AEC ∆中，203x x -=，解得(103x m =，故山高CD 为(103m .故答案为：(103+. 【点睛】本题考查测量高度问题，解题时要选择合适的三角形，利用解三角形相应知识求解，考查计算能力，属于中等题.8．（2020·上海市沪新中学高一期中）已知ABC 的一个内角为120，并且三边长满足关系：84a b c +=+=，则ABC 的面积为______________.【答案】【分析】根据三角形边角关系，可得120︒所对的边为c ，由余弦定理建立c 的方程，求出c ，进而得到,a b 即可.【详解】84,,a b c c a c b +=+=∴>>，120∴︒所对的边为c ，222222cos120(8)(4)(8)(4)c a b ab c c c c ∴=+-︒=-+-+--，整理得218560c c -+=，解得14c =或4(8c c =>，舍去），016,10,sin1202ABC a b S ab ∴==∴==△故答案为：【点睛】本题考查求三角形面积、余项定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.9．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数学九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC 中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别为,,a b c ，则ABC 的面积S =根据此公式若cos (3)cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则△ABC 的面积为______________.【分析】根据cos (3)cos 0a B b c A ++= ，变形利用正弦定理得，sin 3sin cos C C A =-，解得1cos 3A =-，再利用余弦定理得到222b c a +-，bc ，代入S =. 【详解】因为cos (3)cos 0a B b c A ++= ，所以cos cos 3cos a B b A c A +=-，由正弦定理得sin cos sin cos 3sin cos A B B A C A +=-，即sin 3sin cos C C A =-， 所以1cos 3A =-， 由余弦定理得2222cos 2b c a bc A +-==-，所以3bc =，所以S ==【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．（2020·上海奉贤区·高一期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为A 、B 、C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =︒，ABC ∆的面积为0.5，那么b 为______.【分析】先根据三角形面积公式求出ac 的值，再用等差中项的性质得出2a c b +=，最后用余弦定理即可解出b 的值.【详解】解：由11sin 22ABC S ac B ac ==△.10.52=，所以2ac =，因为,,a b c 成等差数列所以2a c b +=，两边同时平方得22224c ac a b ++=，即22244a c b +=-，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，代入数据得2244222b b =--⨯⨯，所以2b =，解得=b .【点睛】本题主要考查解三角形问题，解题过程中涉及到余弦定理和三角形面积公式以及等差中项. 11．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）如图，三个全等的三角形ABF 、BCD △、CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．【答案】26【分析】如果设AE x =，根据题意可知CD AE x ==，2EF DE x ==，且60CAE ACE ∠+∠=︒，由此在ACE中借助于正弦定理，构造出ACE ∠的方程，再根据2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθ===++计算可得．【详解】解：如图，设ACE θ∠=，22EF AE x ==，因为ABF BCD CAE ≅≅，且ABC 与DEF 均为为等边三角形， 所以ACE BAF ∠=∠，所以60ACE CAE CAE BAF ∠+∠=∠+∠=︒，所以60CAE θ∠=︒-．结合22EF AE x ==可得CD AE x ==，2DE EF x ==，所以3CE x =，在ACE 中，由正弦定理得sin sin AE CE ACE CAE =∠∠，即3sin sin(60)x x θθ=︒-， 即sin(60)3sin θθ︒-=1sin 3sin 2θθθ-=，7sin 2θθ=，解得tan θ=．所以222222sin cos 2tan 7sin 22sin cos sin cos tan 11θθθθθθθθθ=====+++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题.12．（2020·上海市控江中学高一期中）ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若满足60A ∠=︒，4a =的ABC 恰有一个，则c 的取值范围是___________.【答案】c =或04c <≤ 【分析】利用正弦定理表示c 为sin C 的函数，即可求解. 【详解】由正弦定理可得sin sin a C c A =,20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 又60A ∠=︒，4a =，所以c =20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有唯一解，故c =或04c <≤故答案为：c =04c <≤ 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，考查函数零点个数问题，注意转化思想的应用，属于中档题.三、解答题13．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）如图，岛A 、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C 103海里的E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，5sin ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？ 【答案】（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元.【分析】（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B =∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V ⎫⎫=++=++⎪⎪⎝⎭⎭，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（Ⅰ）如图，根据题意得：10CD =，103CE =，107AC =704030DCE ∠=-=．在CDE ∆中，由余弦定理得， ()222232cos 10103210103102DE CD CE CD CE DCE =+-⋅⋅∠+-⨯⨯⨯=, 所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）．因为CD DE =，所以30DEC DCE ∠=∠=，所以18030150AEC ∠=-=．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时， 小张到岛A所用的时间至少为2303t ==小时． 由于2116t t >+， 所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠= 所以()()0sin sin 180sin sin cos cos sin B BAC ACB BAC ACB BAC ACB BAC ACB ⎡⎤=-∠+∠=∠+∠=∠∠+∠∠⎣⎦3455=-=. 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()2115050122f V V V V V ⎫⎫=++=++≥⎪⎪⎝⎭⎭((]0,30V ∈)， 当且仅当1502V V =，即10V =时，()min f V =. 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需14．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一期中）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A 、B 、C 分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点C 的南偏西36°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为3海里.（1）求A 、C 两点间的距离；（精确到0.01）（2）某一时刻，我国一渔船在A 点处因故障抛锚发出求救信号.一艘R 国舰艇正从点C 正东10海里的点P 处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为P →C →A （直线行进），而我东海某渔政船正位于点A 南偏西60°方向20海里的点Q 处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M 处，再折向点A 直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于R 国舰艇赶到进行救助？说明理由．【答案】(1)14.25海里；（2）渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助．试题分析：（1）这是解三角形问题，图形中ABC ∆，已知3AB =，要求AC ，因此由正弦定理知应该知道它们所对的两角，由题中已知的三个方位角，可求出11CAB ∠=︒，54ACB ∠=︒，115ABC ∠=︒，故易求得结论；（2）只要求出两船到达A 点的时间即可，R 国舰艇路程为PC AC +，我渔政船路程为QM MA +，这里要在AMQ ∆中求出AM ，已知20,8,60AQ MQ AQM ==∠=︒，因此应用余弦定理可求出AM ，从而得出结论．试题解析：（1）求得11,115CAB ABC ∠=︒∠=︒， 由14.25sin11sin115AB AC AC =⇒≈︒︒海里. （2）R 国舰艇的到达时间为：14.2510 1.3518+≈小时. 在AQM 中，222240064cos602320AQ MQ AM AM AQ MQ +-+-︒==⋅⋅ 得17.44AM ≈海里， 所以渔政船的到达时间为：17.448 1.1622+≈小时. 因为1.16 1.35<，所以渔政船先到.答：渔政船能先于R 国舰艇赶到进行救助.考点：(1)正弦定理；（2）余弦定理．15．（2020·上海市控江中学高一期中）如图所示，扇形AOB ，圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P .（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的大小；（2）设COP θ∠=，求POC ∆面积的最大值及此时θ的值.【答案】（1）113PC -+=（2）6πθ=时，()S θ3 【分析】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==，由余弦定理即可求边长PC ； （2）在POC ∆中，利用正弦定理，得到3CP θ=，33OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可.【详解】（1）在POC ∆中，23OCP π∠=，2,1OP OC ==， 由22222cos 3OP OC PC OC PC π=+-⋅， 得230PC PC +-=，解得113PC -+= （2）∵//CP OB ，∴3CPO POB πθ∠=∠=-，在POC ∆中，由正弦定理得sin sin OP CP PCO θ=∠，即22sin sin 3CP πθ=， ∴3CP θ=，又2sin sin 33OC OP ππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，33OC πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 记POC ∆的面积为()S θ，则12()sin 23S CP OC πθ=⋅， 13sin 233333ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 231sin 2sin cos 233θθθθθθ⎫=-=⎪⎪⎝⎭sin 2cos 2)33363πθθθ=+-=+-∴6πθ=时，()S θ取得最大值为3. 【点睛】本题考查解三角形中正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式以及运用三角公式进行恒等变形，考查学生的分析能力和计算能力，属中档题.16．（2018·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）已知锐角ABC ∆，三条边,,a b c 的对角分别是,,A B C ，其中8a =，3B π=，ABC S ∆=（1）若tan tan tan a b c A B C==，判断ABC ∆的形状； （2）求边长c ；（3）求ABC ∆中最小内角的正弦值.【答案】（1）ABC ∆是等边三角形（2）12c =（3）sin A = 【分析】（1）由正弦定理结合商数关系得cos cos cos A B C ==即可证明（2）由面积公式求解即可（3）由余弦定理得b =【详解】（1）tan tan tan a b c A B C== 由正弦定理得2sin 2sin 2sin tan tan tan R A R B R C A B C ==cos cos cos A B C ⇒== (),,0,A B C π∈∴A B C ==即ABC ∆是等边三角形.（2）11sin 8sin 12223ABC S ac B c c π∆==⋅⋅⋅=⇒=（3）由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-故2112b b =∴=c b a >>∴A 为最小角由正弦定理：sin sin a b A B =得sin sin a B A b ==【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查面积公式，意在考查计算能力，注意大边对大角的应用，是中档题17．（2017·上海黄浦区·格致中学高一期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，()222sin sin sin sin sin A B C B C R λλ=+-∈.（1）求角B 的大小；（2）若λ=ABC ∆的形状；（3）若ABC ∆为钝角三角形，求实数λ的取值范围.【答案】（1）3π；（2）直角三角形；（3）()1,0λ∈-或)2 【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化为()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，然后再化简求角B 的大小；（2）根据正弦定理边角互化为222a b c =+，然后再根据余弦定理求角A 的大小，最后判断三角形的形状；（3）由（2）可知222cos 22b c a A bc λ+-==，分角A 和角C 为钝角，求λ的取值范围. 【详解】（1）根据正弦定理，化简为()2sin sin cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin cos sin cos A B C B B C =+()2sin cos sin sin A B B C A =+=， 解得：1cos 2B =, ()0,B π∈，3B π∴=;（2）当λ=222sin sin sin sin A B C B C =+，根据正弦定理可知：222a b c =+，222cos 2b c a A bc +-==， ()0,A π∈ ,6A π∴=， 又3B π= ，2C π∴=，ABC ∆∴是直角三角形.（3）由正弦定理可知222a b c bc λ=+-，222cos 22b c a A bc λ+-== ， 若角A 是钝角三角形，并且3B π=， 则223A ππ<<， 1022λ∴-<< ，解得：10λ-<<； 若角C 是钝角，并且3B π=， 则06A π<<，122λ<< 2λ< 综上可知λ的取值范围是()()1,03,2-. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，判断三角形的形状，以及求参数的取值范围，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，属于基础题型，本题的第三问的关键是分类，并且能正确求出角A 的范围. 18．（2020·上海市沪新中学高一期中）如图，为测量山高MN ，选择水平地面上一点A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ︒∠=，C 点的仰角45CAB ︒∠=以及75MAC ︒∠=；从C 点测得60MCA ︒∠=.已知山高100BC m =，求山高MN .【答案】150m【分析】先在直角三角形中求出AC ，然后用正弦定理求出AM ，最后再在直角三角形中求得MN ．【详解】解：在ABC ∆中，45,90,100BAC ABC BC ︒︒∠=∠==，100sin 45AC ︒∴==在AMC ∆中，75,60MAC MCA ︒︒∠=∠=，45AMC ︒∴∠=.由正弦定理得,sin sin AM AC ACM AMC =∠∠即sin 60sin 45AM︒︒=，AM ∴=在Rt AMN △中，sin sin60150MN AM MAN ︒=∠==，故山高MN 是150m .【点睛】本题考查解三角形的应用：测量高度，考查正弦定理．(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图．(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．19．（2020·上海市沪新中学高一期中）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC 的外接圆半径R =cos 2sin sin cos sin C A C B B-=. （1）求角B 和边b 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值.【答案】（1）,33B b π==；（2. 【分析】（1）将已知等式化简，结合两角和的正弦公式，求出cos B ，进而求出B 角，再由正弦定理，求出b ；（2）要使ABC 面积最大，只需求出ac 最大，由余弦定理结合基本不等式，即可求出结论.【详解】（1）由cos 2sin sin cos sin C A C B B-=， 得sin cos 2sin cos cos sin B C A B B C =-，sin cos cos sin sin()sin 2sin cos B C B C B C A A B +=+==， 10,sin 0,cos ,0,23A AB B B πππ<<∴≠∴=<<∴=， ABC的外接圆半径R =2sin 3b R B ==，,33B b π∴==；（2）根据余弦定理得22292cos b a c ac B ac ==+-≥，当且仅当3a c ==时，等号成立，1sin 2ABC S ac B ∴=≤△所以ABC 的面积的最大值为934. 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、余弦定理解三角形，利用基本不等式求三角形面积的最值，考查计算求解能力，属于中档题.20．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）如图所示，某区有一块空地OAB ∆，其中4OA km =，43OB km =，AOB 90∠=.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠=，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.（1）当2AM km =时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地OAM ∆3AOM ∠的大小； （3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆的面积最小？最小面积是多少？【答案】（1）12km （2）15︒（3）当且仅当15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24123-2km【分析】（1）根据题意可得60OAB ∠=︒，在AOM ∆中，利用余弦定理求出23OM =，从而可得222OM AM OA +=，即OM AN ⊥，进而可得OAN ∆为正三角形，即求解. （2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，利用三角形的面积公式83sin ON θ=，在OAN ∆中，利用正弦定理可得23ON =，从而2383sin θ=，即1sin22θ=，即求解. （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知23ON =，在AOM ∠中，利用正弦定理可得OM =()1sin302sin c s 360o OMN S OM ON θθ∆=⋅⋅︒=+︒，再利用二倍角公式以及辅助角公式结合三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在OAB ∆中，4OA =，OB =90AOB ∠=︒，60OAB ∴∠=︒在AOM ∆中，4,2,60OA AM OAM ==∠=︒，由余弦定理，得OM =，222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒，OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为12，即防护网的总长度为12km .（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，OMN OAM S ∆∆=，11sin30sin 22ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅，即ON θ=， 在OAN ∆中，由()04sin60cos sin 1806030ON OA θθ==︒--︒-︒，得ON =，从而θ=，即1sin22θ=，由02120θ︒<<︒， 得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒.（3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2）知ON =， 又在AOM ∠中，由()sin60sin 60OM OA θ=︒+︒，得OM = ()1sin302sin 60cos 3OMN S OM ON θθ∆∴=⋅⋅︒=+︒==， ∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，OMN ∆的面积取最小值为24-2km .【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在实际中的应用，三角形的面积公式以及三角恒等变换、三角函数的性质，属于中档题.21．（2020·上海市建平中学高一期中）如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2/m s ，忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B 的正弦值是多少？【答案】（1）B 、C 两处垃圾的距离是1.4米；（253． 【分析】（1）设AB x =，根据已知条件求得AC ，利用余弦定理求得BC ，利用AB BC +除以扫地机器人的速度等于10列方程，解方程求得x ，进而求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，进而求得sin B 的值.【详解】（1）设0AB x =>，依题意可知0.4,9030120AC x BAC =+∠=+=，由余弦定理得 ()()220.420.4cos120BC x x x x =++-⋅⋅+⋅23 1.20.16x x =++所以100.2AB BC +=，即23 1.20.162x x x ++=， 23 1.20.162x x x ++=-，两边平方并化简得()()535160x x -+=，解得35x =或165x =-（舍去）.所以23373 1.20.16 1.4555BC ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭米. （2）由（1）可知 1.4,0.6,1BC AB AC ===，由余弦定理得2221.40.6111cos 2 1.40.614B +-==⨯⨯. 由于0180B <<，所以21153sin 11414B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查解三角形在实际生活中的应用，考查余弦定理解三角形，属于中档题.22．（2020·上海市七宝中学高一期中）如图，学校门口有一块扇形空地OMN ，已知半径为常数R ，2MON π∠=，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地ABCD 作为体温检测室使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN ．（1）当点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积；（2）设AOB θ∠=，当A 在何处时，矩形ABCD 的面积最大？最大值为多少？【答案】（1）2312S R -=；（2）点A 在弧的四等分点处时，2max (21)S R =-． 【分析】(1)补全四分之一圆，由圆的中心对称性，结合相应辅助线及余弦定理确定AB 、BC 与半径R 的数量关系，即可求面积；(2)应用(1)的思路，结合余弦定理及辅助角公式得到关于θ的三角函数形式，由函数的最大值即可得矩形ABCD 的面积最大值【详解】(1) 由线段AB 平行于线段MN ，A 为弧MN 的一个三等分点，知：AB 所对的圆心角为30°，由余弦定理有222(1cos30)AB R =-︒，即622AB R -=而DC AB = 将扇形所在的圆O 补全，延长AD 、BC 分别交⊙O 于E 、F ，延长MO 、NO 分别交DE 、CF 于G 、H ，并连接OF 、OB ，如下图示可知：由圆的对称性，有DCHG 为正方形，2BF CH AD BC -==且150BOF ∠=︒。

七宝中学高一数学期中考试

七宝中学高一数学期中考试

（2）求 cos 2 的值.
20. 在三角形 ABC 中， a 、 b 、 c 是它的三条边，且满足 a2 c2 3ac b2 ；
（1）求角 B 的大小； （2）若 b 6 2 ，求 ABC 的面积 S 的最大值及取得最大值时角 A 的大小
2
21. 如图，在宽为 20 的草坪内修建两个关于 DE 对称的直角三角形花坛，其中 ABC 为 直 角 ， BCD , BD10； （1）求两个直角三角形花坛的周长 y 关于 的函数关系式； （2）当 为多少时，周长 y 取得最小值，并求此最小值.
2
cos
1 2
，即
B
3 2
,
1 2
；
（1）将 OA 绕原点顺时针旋转 并延长至点 C 使 OC 4OA，求点 C 坐标； 2
（2）若将 OA 绕坐标原点旋转 并延长至 ON ，使 ON r OA (r 0) ，求点 N 的坐标（用含有 r 、 的
数学式子表示）；
（3）定义
P( x1 ,
y1),Q(x2 ,
y2
)
的中点为
x1
2
x2
,
y1
2
y2
，将
OA
逆时针旋转
角，并延长至
OD
，使
OD 2 OA，且 DA 的中点 M 也在单位圆上，求 cos 的值.
23.
已知函数
f
(x)
sin
2
x
2 3
2
sin
2
x
4
,
0
；
（1）当 1 时，求函数 f (x) 的单调递增区间； 2
OA1 A1A2 A8 A9 1，OA1 A1A2,OA2 A2 A3, OA8 A8 A9 ，它可以形成近似的等角螺线，

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a .b.c.d}的集合M 的个数是___ ．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则 A =___ ．3.（填空题.4分）设a 是实数.集合M={x|x 2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M .则a 的取值集合是 ___ ．4.（填空题.4分）设α：1≤x ＜4.β：x ＜m.若α是β的充分条件.则m 的范围是___ ．5.（填空题.4分）已知关于x 的不等式x 2-ax-b ＜0的解集为{x|2＜x ＜3}.则不等式bx 2-ax-1＜0的解集为___ ．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y≤9.则 x 3y4 的最大值是___ ． 8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c 满足a+b+c=0.且a ＞b ＞c.则 ca 的范围是___ ．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则a 2+2a +b 2b+1的最小值为___ ． 12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i （i=1.2.….1023）.每一个M i 中所有元素乘积为m i （i=1.2.….1023）.则m 1+m 2+m 3+…+m 1023=___ ．13.（单选题.5分）设a ＞0．下列计算中正确的是（ ） A.a 23×a 32=a B.a 23 ÷a 32 =a C.a -4×a 4=0 D.（a 23） 32=a14.（单选题.5分）已知log 189=a.18b =5．则log 3645等于（ ） A. a+b2+a B. a+b 2−aC. a+b2aD. a+ba215.（单选题.5分）已知三个不等式：ab＞0.bc-ad＞0. ca - db＞0（其中a、b、c、d均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.316.（单选题.5分）设实数a1.a2.b1.b2均不为0.则“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2）1|2x−3|＞1；（3）1x−4≤1- x4−x．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c是正数.求证：√(1−a)(1−b)≥1+ √ab；（2）已知a.b.c是非负实数.求证：a3+b3+c3≥3abc．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.判断点P（a+c.b+d）是否既是点（c.d）的“上位点”.又是点（a.b）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k）既是点（2020.m）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n的最小值．2020-2021学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）满足{a}⊂M⊂{a.b.c.d}的集合M的个数是___ ．【正确答案】：[1]6【解析】：由题意利用子集、真子集的定义.求得满足条件的M的个数．【解答】：解：∵{a}⊂M⊂{a.b.c.d}.故M中至少含有2个元素.其中一个元素是a.至多含有3个元素.若M中含有2个元素.则M共有C31 =3个.若M中含有3个元素.则M共有C32 =3个.故满足条件的M共有3+3=6个.故答案为：6．【点评】：本题主要考查子集、真子集的定义.属于基础题．2.（填空题.4分）已知集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =___ ．【正确答案】：[1][-2.-1）∪{2}【解析】：根据题意.由补集的定义直接计算可得答案．【解答】：解：根据题意.集合A=[-1.2）.全集U=[-2.2].则A =[-2.-1）∪{2}.故答案为：[-2.-1）∪{2}．【点评】：本题考查补集的计算.关键是掌握补集的定义.属于基础题．3.（填空题.4分）设a是实数.集合M={x|x2+x-6=0}.N={y|ay+2=0}.若N⊆M.则a的取值集合是 ___ ．}【正确答案】：[1]{0.-1. 23【解析】：可以求出M={-3.2}.根据N⊆M.然后讨论a是否为0：a=0显然满足题意；a≠0时.可得出- 2a=-3或2.然后解出a即可．【解答】：解：由题意解得M={-3.2}.∵N⊆M.① a=0时.N=∅.符合题意；② a≠0时.N={- 2a }.∴- 2a=-3或2.解得a= 23或-1.∴A={0.-1. 23}.∴A的取值集合为{0.-1. 23}．故答案为：{0.-1. 23}．【点评】：本题考查了集合的表示.子集的含义.分类讨论的思想方法.考查了计算能力.属于基础题．4.（填空题.4分）设α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m的范围是___ ．【正确答案】：[1][4.+∞）【解析】：根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可．【解答】：解：α：1≤x＜4.β：x＜m.若α是β的充分条件.则m≥4.故答案为：[4.+∞）．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查集合的包含关系.是一道基础题．5.（填空题.4分）已知关于x的不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}.则不等式bx2-ax-1＜0的解集为___ ．【正确答案】：[1]{x|x＜- 12 .或x＞- 13}【解析】：由已知中不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.我们根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.我们易构造关于a.b的方程.解方程求出a.b的值.解不等式即可求出答案．【解答】：解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}.∴2.3为方程x2-ax-b=0的两个根则2+3=a=52•3=-b=6.得b=-6则不等式bx 2-ax-1＜0可化为 -6x 2-5x-1＜0 解得x ＜- 12 .或x ＞- 13故不等式的解集为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 } 故答案为：{x|x ＜- 12 .或x ＞- 13 }【点评】：本题考查的知识点是一元二次不等式的应用.其中根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间的关系.结合韦达定理.构造关于a.b 的方程.解方程求出a.b 的值.是解答本题的关键．6.（填空题.4分）设a 2x =2.a ＞0.则a 3x +a −3xa x +a −x=___ ． 【正确答案】：[1] 32【解析】：根据立方和公式即可求出．【解答】：解：a 2x =2.a ＞0. 则a x =2 12 .原式=(a x +a −x )(a 2x −1+a −2x )a x +a −x =a 2x -1+a -2x =2-1+ 12 = 32 .故答案为： 32 ．【点评】：本题考查了指数幂的运算.考查了运算能力.属于基础题． 7.（填空题.5分）设实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则 x 3y 4 的最大值是___ ． 【正确答案】：[1]27【解析】：首先分析题目由实数x.y 满足条件3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9．求 x 3y 4 的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .代入 x 3y 4 求解最大值即可得到答案．【解答】：解：因为实数x.y 满足3≤xy 2≤8.4≤ x 2y ≤9.则有： (x 2y )2∈[16，81] . 1xy 2∈[18，13] .再根据x 3y4=(x2y)2•1xy2∈[2，27] .即当且仅当x=3.y=1取得等号.即有x 3y4的最大值是27．故答案为：27．【点评】：此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想.等价转换思想在考试中应用不是很广泛.但是对于特殊题目能使解答更简便.也需要注意.属于中档题．8.（填空题.5分）计算（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：把中间项的真数的指数2拿到前面后构成完全平方式.进一步运用对数式的运算性质可求解；【解答】：解：（lg50）2+lg2×lg502+（lg2）2=lg250+2lg2×lg50+lg22=（lg50+lg2）2=（lg100）2=22=4.故答案为：4．【点评】：本题考查了对数的运算性质.考查了运算能力.属于基础题．9.（填空题.5分）已知实数a.b.c满足a+b+c=0.且a＞b＞c.则ca的范围是___ ．【正确答案】：[1] (−2，−12)【解析】：根据条件可得a＞0，ca ＞−2和c＜0. −2＜ac＜0 .从而求出ca的范围．【解答】：解：∵a+b+c=0.且a＞b＞c. ∴a+a+c=2a+c＞0.∴ a＞0，ca＞−2 . 同理a+c+c=a+2c＜0.∴a＜-2c.∴ c＜0，−2＜ac ＜0，ca＜−12.∴ −2＜ca ＜−12．∴ c a 的范围为(−2，−12)．故答案为：(−2，−12)．【点评】：本题考查了不等式的基本性质.属基础题．10.（填空题.5分）若集合A={x|x 2-（a+2）x+2-a ＜0.x∈Z}中有且只有一个元素.则正实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1] (12，23]【解析】：因为集合A 中的条件是含参数的一元二次不等式.首先想到的是十字相乘法.但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f （x ）＜g （x ）的形式.然后数形结合来解答.需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．【解答】：解：∵x 2-（a+2）x+2-a ＜0 且a ＞0 ∴x 2-2x+2＜a （x+1）令f （x ）=x 2-2x+2；g （x ）=a （x+1） ∴A={x|f （x ）＜g （x ）.x∈Z}∴y=f （x ）是一个二次函数.图象是确定的一条抛物线； 而y=g （x ）一次函数.图象是过一定点（-1.0）的动直线． 又∵x∈Z .a ＞0．数形结合.可得： 12＜a ≤23 ． 故答案为：（ 12 . 23 ]【点评】：此题主要考查集合A 的几何意义的灵活运用.利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．11.（填空题.5分）已知a.b 为正实数.且a+b=2.则 a 2+2a + b 2b+1 的最小值为___ ．【正确答案】：[1]6+2√23【解析】：由a.b为正实数.且a+b=2.变形为：a 2+2a+b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a + 1b+1）+1.利用基本不等式的性质即可得出．另解：由a.b为正实数.且a+b=2.变形可得a 2+2a+b2b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】：解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+ 1b+1+1= 13（a+b+1）（2a+ 1b+1）+1= 13（3+ 2(b+1)a+ ab+1）+1≥ 13（3+2 √2）+1= 6+2√23．当且仅当a=6-3 √2 .b=3 √2 -4时取等号．另解：∵a.b为正实数.且a+b=2.∴ a2+2a +b2b+1=a+ 2a+ b2−1+1b+1= 2a+a+b-1+ 1b+1= 2a+13−a+1=f（a）.0＜a＜2．f′（a）= −2a2 + 1(a−3)2= −(a−6−3√2)(a−6+3√2)(a2−3a)2.令f′（a）＞0.解得6−3√2＜a＜2 .此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0.解得0＜a＜6−3√2 .此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6-3 √2时函数f（a）取得极小值即最小值.f(6−3√2) = 6+2√23．故答案为：6+2√23．【点评】：本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．12.（填空题.5分）集合M={6666.-11135.2333.10.99111.-1.-198.1000.0.π}有10个元素.设M 的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.每一个M i中所有元素乘积为m i（i=1.2.….1023）.则m1+m2+m3+…+m1023=___ ．【正确答案】：[1]-1【解析】：这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个. ③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个. ④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；根据② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.可得答案．【解答】：解：∵M的所有非空子集为M i（i=1.2.….1023）.这1023个子集分成以下几种情况：① 含0的子集有512个.这些子集均满足m i=0；② 不含0.含-1且还含有其它元素的子集有255个.③ 不含0.不含-1但含有其它元素的子集有255个.④ 只含-1的子集一个{-1}.满足m i=-1；其中② ③ 中的集合是一一对应的.且满足m i对应成相反数.故m1+m2+m3+…+m1023=512×0+255×0-1=-1.故答案为：-1【点评】：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断.分类讨论思想.难度较大．13.（单选题.5分）设a＞0．下列计算中正确的是（）A.a 23 ×a 32 =aB.a 23 ÷a 32 =aC.a-4×a4=0D.（a 23）32 =a【正确答案】：D【解析】：由题意利用分数指数幂的运算法则计算各个式子.从而得出结论．【解答】：解：∵ a 23• a32 = a23+32 = a136 .故A错误；：∵ a 23 ÷ a32 = a23−32 = a−56 .故B错误；∵a-4×a4=a-4+4=a0=1.故C错误；∵（a 23）32 = a23•32 =a1=a.故D正确.故选：D．【点评】：本题主要考查分数指数幂的运算法则应用.属于基础题．14.（单选题.5分）已知log189=a.18b=5．则log3645等于（）A. a+b2+aB. a+b2−aC. a+b2aD. a+ba2【正确答案】：B【解析】：利用对数的换底公式即可得出 log 32 . log 35 ．对 log 3645 再利用对数的换底公式即可得出．【解答】：解：∵18b =5.∴ b =log 185 = log 352+log 32 .又 a =log 39log 318=22+log 32 .联立解得 {log 32=2−2a a log 35=2b a ． ∴ log 3645 = log 39×5log 34×9 = 2+log 352+2log 32 = 2+2b a 2+2×2−2a a = a+b 2−a． 故选：B ．【点评】：熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．15.（单选题.5分）已知三个不等式：ab ＞0.bc-ad ＞0. c a - d b ＞0（其中a 、b 、c 、d 均为实数）.用其中两个不等式作为条件.余下的一个不等式作为结论组成一个命题.可组成的正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3【正确答案】：D【解析】： ① 由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0． ② bc -ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0． ③ {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0．这三个都是正确命题．【解答】：解：由ab ＞0.bc-ad ＞0可得出 c a - d b ＞0．bc-ad ＞0.两端同除以ab.得 c a - d b ＞0．同样由 c a - d b ＞0.ab ＞0可得bc-ad ＞0. {bc −ad ＞0c a −d b ＞0⇒{bc −ad ＞0bc−ad ab＞0⇒ ab ＞0． 故选：D ．【点评】：本题考查基本不等式的性质和应用.解题时要认真审题.仔细求解．16.（单选题.5分）设实数a 1.a 2.b 1.b 2均不为0.则“ a 1a 2=b1b 2 成立”是“关于x 的不等式a 1x+b 1＞0与a 2x+b 2＞0的解集相同”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【正确答案】：B【解析】：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】：解：若a1a2=b1b2=m.（m≠0）.则a1=ma2.b1=mb2.∴不等式a1x+b1＞0等价为m（a2x+b2）＞0.若m＞0.则m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＞0.此时两个不等式的解集相同.若m＜0.m（a2x+b2）＞0.等价为a2x+b2＜0.此时两个不等式的解集不相同．即充分性不成立．若关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同.即a1a2＞0.∵a1.a2.b1.b2均不为0.∴若a1.a2＞0.则不等式的解为x＞−b1a1．x＞−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.若a1.a2＜0.则不等式的解为x＜−b1a1．x＜−b2a2.则−b1a1 = −b2a2.即a1a2=b1b2成立.即必要性成立.故“ a1a2=b1b2成立”是“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”的必要不充分条件.故选：B．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.利用不等式的解法与系数之间的关系是解决本题的关键.比较基础．17.（问答题.14分）解不等式（1）|2x-3|＞3x-2；（2） 1|2x−3| ＞1；（3） 1x−4 ≤1- x 4−x ．【正确答案】：【解析】：（1）根据|2x-3|＞3x-2.直接去绝对值后.解不等式即可；（2）由 1|2x−3| ＞1.可得|2x-3|＜1且2x-3≠0.然后解不等式即可；（3）将 1x−4 ≤1- x 4−x .转化为 5−2x x−4≤0 .然后解不等式即可．【解答】：解：（1）∵|2x -3|＞3x-2.∴ {x ≥322x −3＞3x −2 或 {x ＜32−2x +3＞3x −2. ∴x∈∅或x ＜1.∴不等式的解集为{x|x ＜1}．（2）∵ 1|2x−3| ＞1.∴|2x -3|＜1且2x-3≠0.∴-1＜2x-3＜1且 x ≠32 .∴1＜x ＜2且 x ≠32 .∴不等式解集为{x|1＜x ＜2且 x ≠32 }．（3）∵ 1x−4 ≤1- x 4−x .∴ 1x−4≤4−2x 4−x . ∴ 5−2x x−4≤0 .∴ {(5−2x )(x −4)≤0x −4≠0. ∴x∈ (−∞，52]∪(4，+∞)∴不等式的解集为 (−∞，52]∪(4，+∞)【点评】：本题考查了绝对值不等式和分式不等式的解法.考查了转化思想.属基础题．18.（问答题.14分）证明不等式．（1）已知a.b.c 是正数.求证： √(1−a )(1−b ) ≥1+ √ab ；（2）已知a.b.c 是非负实数.求证：a 3+b 3+c 3≥3abc ．【正确答案】：【解析】：（1）由已知可得a+b ≥2√ab .得到1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .左边因式分解.右边化为完全平方式.开方得结论；（2）把a3+b3、a3+c3、b3+c3展开立方和公式.相加后再由基本不等式证明．【解答】：证明：（1）∵a.b是正数.∴a+b ≥2√ab .则1+ab+a+b≥1+2 √ab+ab .即（1+a）（1+b）≥1+ab+2 √ab .得√(1−a)(1−b)≥1+ √ab（当且仅当a=b时等号成立）；（2）∵a.b.c是非负实数.∴a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）≥（a+b）ab.a3+c3=（a+c）（a2-ac+c2）≥（a+c）ac.b3+c3=（b+c）（b2-bc+c2）≥（b+c）bc.当且仅当a=b=c时等号成立.三式相加得2（a3+b3+c3）≥a2b+bc2+ab2+ac2+b2c+a2c=（a2+c2）b+（b2+c2）a+（b2+a2）c≥2abc+2abc+2abc=6abc.∴a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时等号成立）．【点评】：本题考查不等式的证明.考查基本不等式的应用.考查逻辑思维能力与推理论证能力.是中档题．19.（问答题.14分）某森林出现火灾.火势正以每分钟100m2的速度顺风蔓延.消防站接到警报立即派消防队员前去.在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50m2.所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟125元.另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元.而烧毁一平方米森林损失费为60元．（1）设派x名消防队员前去救火.用t分钟将火扑灭.试建立t与x的函数关系式；（2）问应该派多少名消防队员前去救火.才能使总损失最少？（总损失=灭火材料、劳务津贴等费用+车辆、器械和装备费用+森林损失费）【正确答案】：【解析】：（1）设派x名消防员前去救火.用t分钟将火扑灭.总损失为y元.则t=5×10050x−100= 10x−2；（2）总损失为灭火材料、劳务津贴|车辆、器械、装备费与森林损失费的总和.利用基本不等式即可求出最值．【解答】：解：（1）由题意. t=5×10050x−100=10x−2．（2）设总损失为y.则y=灭火材料、劳务津贴+车辆、器械和装备费+森林损失费. y=125tx+100x+60×（500+100t）= 125•x•10x−2+100x+30000+60000x−2= 31450+100(x−2)+62500x−2≥31450+2√100×62500=36450．当且仅当100(x−2)=62500x−2.即x=27时.y有最小值36450．【点评】：本题考查阅读理解、建模、解模的能力、以及利用基本不等式求最值能力．20.（问答题.16分）已知集合A={a1.a2.….a k（k≥2）}.其中a i∈Z（i=1.2.….k）.由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a.b）|a∈A.b∈A.a+b∈A}.T={（a.b）|a∈A.b∈A.a-b∈A}．其中（a.b）是有序数对.集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A.总有-a∉A.则称集合A 具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0.1.2.3}与{-1.2.3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合.写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A.证明：n≤k(k−1)2；（Ⅲ）判断m和n的大小关系.并证明你的结论．【正确答案】：【解析】：（I）利用性质P的定义判断出具有性质P的集合.利用集合S.T的定义写出S.T．（II）据具有性质P的集合满足a∈A.总有-a∉A.得到0∉A得到（a i.a i）∉T；当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T.求出T中的元素个数．（III）对应S中的元素据S.T的定义得到也是T中的元素.反之对于T中的元素也是s中的元素.得到两个集合中的元素相同．【解答】：（I）解：集合{0.1.2.3}不具有性质P．集合{-1.2.3}具有性质P.其相应的集合S和T是S={（-1.3）.（3.-1）}.T={（2.-1）.（2.3）}．（II）证明：首先.由A中元素构成的有序数对（a i.a j）共有k2个．因为0∉A.所以（a i.a i）∉T（i=1.2.k）；又因为当a∈A时.-a∉A时.-a∉A.所以当（a i.a j）∈T时.（a j.a i）∉T（i.j=1.2.k）．从而.集合T中元素的个数最多为12(k2−k)=k(k−1)2.即n≤k(k−1)2．（III）解：m=n.证明如下：（1）对于（a.b）∈S.根据定义.a∈A.b∈A.且a+b∈A.从而（a+b.b）∈T．如果（a.b）与（c.d）是S的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立．故（a+b.b）与（c+d.d）也是T的不同元素．可见.S中元素的个数不多于T中元素的个数.即m≤n.（2）对于（a.b）∈T.根据定义.a∈A.b∈A.且a-b∈A.从而（a-b.b）∈S．如果（a.b）与（c.d）是T的不同元素.那么a=c与b=d中至少有一个不成立.从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立.故（a-b.b）与（c-d.d）也是S的不同元素．可见.T中元素的个数不多于S中元素的个数.即n≤m.由（1）（2）可知.m=n．【点评】：本题考查利用题中的新定义解题；新定义题是近几年常考的题型.要重视．21.（问答题.18分）对平面直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若ab ＞cd.那么称点（a.b）是点（c.d）的“上位点”.同时点（c.d）是点（a.b）的“下位点”．（1）试写出点（3.5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.判断点P （a+c.b+d ）是否既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.并证明你的结论；（3）设正整数n 满足以下条件：对任意元素m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}.总存在正整数k.使得点（n.k ）既是点（2020.m ）的“下位点”.又是点（2021.m+1）的“上位点”.求正整数n 的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）由新定义“上位点”和“下位点”.可得其中一个满足条件的点；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．由作差法和不等式的性质.即可得到结论；（3）由新定义“上位点”和“下位点”.可得2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.推得n≥ 40412020−m 对任意m≤2019均成立.结合（2）中的结论.即可得到n 的最小值．【解答】：解：（1）（3.5）的一个“上位点”是（2.1）.一个“下位点”是（1.2）；（2）P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”．理由：因为 a b ＞ c d 可得ad-bc ＞0.a+c b+d - c d = ad+cd−bc−cd d (b+d ) = ad−bc d (b+d ) ＞0. a+c b+d - a b = ab+bc−ab−ad b (b+d ) = bc−ad b (b+d ) ＜0. 所以P （a+c.b+d ）既是（c.d ）的“上位点”.又是（a.b ）的“下位点”；（3）若正整数n 满足条件： 2021m+1 ＜ n k ＜ 2020m 在m∈{t|0＜t ＜2020.t∈Z}恒成立.由上式可得 {mn ＜2020k (m +1)n ＞2021k .因为m.n.k∈N*.所以 {0＜mn +1≤2020k 0＜2021k ≤(m +1)n −1. 所以2021（mn+1）≤2020（mn+n-1）.所以n≥ 40412020−m对任意m≤2019均成立. 所以n≥ 40412020−2019 =4041．由（2）中的结论：点（a.b ）是点（c.d ）的“上位点”.所以P （a+c.b+d ）既是点（c.d ）的“上位点”.又是点（a.b ）的“下位点”.可得当k=2m+1.n=4041时满足条件.n的最小值为4041．【点评】：本题考查新定义“上位点”和“下位点”的理解和运用.以及不等式的性质和恒成立问题解法.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．。

【市级联考】上海市七宝中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试

【市级联考】上海市七宝中学2020-2021学年高一上学期数学期中考试

【市级联考】上海市七宝中学【最新】高一上学期数学期中考试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()1f x x =-的定义域为________2．已知集合{|A x y ==，2{|}B y y x ==，则A B =________3．不等式2212xx->+的解集是________4．“若a >1且b >2，则a +b >3”的否命题是__________________． 5．已知11a b -<<<，则-a b 的取值范围是________ 6．若{|}A x x a =<，{|2}B x x =<-，且AB =∅，则a 的取值范围是_7．若关于x 的不等式2(2)2(2)40a x a x ---+>对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是_________________．8．若函数2(2)1f x x x -=-+，则(21)f x +=________9．若关于x 的不等式2x +2x−a ≥7在x ∈(a,+∞)上恒成立，则实数a 的最小值是__ 10．已知函数24()6f x x x=+-，22()32g x x ax a =-+（0a <），若不存在实数x 使得()1f x >和()0<g x 同时成立，则a 的取值范围是________ 11．当x +∈R 时，可以得到不等式12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，⋅⋅⋅，由此可以推广为1n Px n x+≥+，则P =________ 12．已知数集12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（120n a a a ≤<<⋅⋅⋅<，3n ≥）具有性质P ：对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，现给出以下四个命题：①数集{0,1,3,5,7}具有性质P ；②数集{0,2,4,6,8}具有性质P ；③若数集A 具有性质P ，则10a =；④若数集{}125,,,A a a a =⋅⋅⋅（1250a a a ≤<<⋅⋅⋅<）具有性质P ，则1322a a a +=；其中真命题有________（填写序号）13．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃14．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()f x x =与()2g x =B ．()f x =()g x =C ．()()1(0)10x x f x x x +>⎧=⎨-≤⎩与()()101(0)x x g x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ D ．()2f x x =（{}1x ∈）与()2g x x = （{}1x ∈） 15．“若a ，b ∈R ＋，a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件16．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油17．设集合{|12}A x x =-≤≤，集合{|21}B x m x =<<. （1）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围； （2）若()R B C A ⋂中只有一个整数，求实数m 的取值范围.18．练习册第21页的题“0a >，0b >≥”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：≥+≥a b =时等号成立），≥. 学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若0a >，0b >，0c >，则222a b c a b c b c a++≥++，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n （2n ≥）个正数1a 、2a 、⋅⋅⋅、1n a -、n a 的情形，并证明.19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：① y 与10x -和x 的乘积成正比；② 当5x =时，100y =；③02(10)x t x ≤≤-，其中t 为常数，且1[,1]2t ∈.（1）设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求出()y f x =的定义域； （2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值. 20．设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈（1x ≠且0x ≠），则11A x∈-. （1）若2A ∈，试证明A 中还有另外两个元素； （2）集合A 是否为双元素集合，并说明理由； （3）若A 中元素个数不超过8个，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A .21．已知0x >，设221a x x =++，271b x x =++，c mx =（0m >，m 为常数）.（1）求a bc+的最小值及相应的x 的值； （2）设{|0}A x a c =-=，若A+=∅R ，求m 的取值范围；（3）若对任意0x >m 的取值范围.参考答案1．[0,1)(1,2]⋃ 【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域. 【详解】由题意得220{011210x x x x x -≥∴≤<<≤-≠或，即定义域为[)(]0,11,2.⋃ 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力. 2．[0,1] 【分析】求出集合A,B ，即可得到A B ⋂. 【详解】由题集合{{}[]||11 1.1,A x y x x ===-≤≤=-集合[)2{|}{|0}0.,B y y x y y ===≥=+∞ 故[]0,1A B ⋂=. 故答案为[]0,1. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题 3．1(,0)2- 【详解】 不等式2212xx ->+，则()2551200051200,1212122x x x x x x x x x --->⇒>⇒<⇔+<⇔-<<+++ 故答案为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3 【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可. 【详解】“若a >1且b >2，则a +b >3”的否命题是“若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3”. 即答案为：若a ≤1或b ≤2，则a +b ≤3 【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题. 5．(2,0)- 【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论． 【详解】作出11a b -<<<所对应的可行域，即1111a b a b -<<⎧⎪-<<⎨⎪<⎩（如图阴影），目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，可看作斜率为1的直线， 平移直线可知，当直线经过点A （1，-1）时，z 取最小值-2， 当直线经过点O （0，0）时，z 取最大值0， ∴a-b 的取值范围是()2,0-， 故答案为()2,0-． 【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题． 6．(,2]-∞ 【分析】对a 进行分类讨论，根据A 与B 的交集为空集确定出a 的范围即可． 【详解】由题{|}A x x a =<，{|2}B x x =<-，且A B ⋂=∅， 当0a ≤时，A =∅，则A B ⋂=∅；当0a >时，{|}{|},A x x a A x a x a =<==-<< {|2}B x x =<-，A B ⋂=∅则可得02a <≤故a 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 7．(2,2]- 【解析】 【分析】对2-a 分类讨论，结合二次函数的图像和性质分析得解. 【详解】当20a -=时，不等式化为40>，恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠时，关于x 的不等式()()222240a x a x ---+>对一切实数x 都成立，需()()220424420a a a ->⎧⎪⎨--⨯-<⎪⎩，解得22a -<<．综上可知，实数a 的取值范围是(]2,2-． 故答案为：(]2,2- 【点睛】(1)本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析出当20a -≠时，()()220424420a a a ->⎧⎪⎨--⨯-<⎪⎩. 8．24107x x ++ 【分析】设2x t -=,求出()f x 的解析式，再将21x +代入即可. 【详解】设2x t -=,则2,x t =+ 则()()()2222133,f t t t t t =+-++=++ 即()()()()22233,212132134107,f x x x f x x x x x =++∴+=++++=++即答案为24107x x ++. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题． 9．32【解析】 【分析】关于x 的不等式2x +2x−a ≥7在x ∈(a,+∞)上恒成立，即求(2x +2x−a )min≥7，将不等式式2x +2x−a配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a 的最小值．【详解】∵关于x 的不等式2x +2x−a ≥7在x ∈(a,+∞)上恒成立， ∴(2x +2x−a )min≥7，∵x ＞a ， ∴y =2x +2x−a =2（x −a ）+2x−a+2a ≥2√2（x −a ）⋅2x−a+2a =4+2a，当且仅当2（x −a ）=2x−a ，即x =a +1 时取等号， ∴(2x +2x−a )min=4+2a ，∴4+2a ≥7，解得，a ≥32 ，∴实数a 的最小值为32． 故答案为32． 【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题． 10．1(,2][,0)2-∞-⋃- 【分析】通过f （x ）＞1和g （x ）＜0，求出集合A 、B ，利用A∩B=∅，求出a 的范围即可． 【详解】 由f （x ）＞1，得246x x +-＞1，化简整理得()()(2)1 0(3)2x x x x -+-+＜ ，解得2123x x --＜＜或＜＜，即()1f x >的解集为A={x|-2＜x ＜-1或2＜x ＜3}． 由g （x ）＜0得x 2-3ax+2a 2＜0，即（x-a ）（x-2a ）＜0，g （x ）＜0的解集为B={x|2a ＜x ＜a ，a ＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a ＜0， 故a 的取值范围是{a|a≤-2或-12≤a ＜0}． 即答案为][1,2,02⎛⎫-∞-⋃-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力． 11．n n 【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p 值 【详解】∵x ∈R +时可得到不等式221422322x x x x x x x ⎛⎫+≥+=++≥ ⎪⎝⎭， ，∴在p 位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方n p n ∴= 即答案为n n . 【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向 12．②③④ 【分析】利用a i +a j 与a j -a i 两数中至少有一个属于A ．即可判断出结论． 【详解】①数集{}0,1,3,5,7中，{}7520,1,3,5,7-=∉，故数集{}0,1,3,5,7不具有性质P ； ②数集{}0,2,4,6,8满足对任意i 、j （1i j n ≤≤≤），j i a a +与j i a a -两数中至少有一个属于集合A ，故数集{}0,2,4,6,8具有性质P ；③若数列A 具有性质P ，则a n +a n =2a n 与a n -a n =0两数中至少有一个是该数列中的一项， ∵0≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥3，而2a n 不是该数列中的项，∴0是该数列中的项， ∴a 1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i +a 5＞a 5， 由A 具有性质P ，a 5-a i ∈A ，又i=1时，a 5-a 1∈A ， ∴a 5-a i ∈A ，i=1，2，3，4，5∵0=a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，∴a 5-a 1＞a 5-a 2＞a 5-a 3＞a 5-a 4＞a 5-a 5=0， 则a 5-a 1=a 5，a 5-a 2=a 4，a 5-a 3=a 3，从而可得a 2+a 4=a 5，a 5=2a 3，故a 2+a 4=2a 3， 即答案为②③④. 【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题． 13．C 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14．D 【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可． 【详解】对于A 选项， f （x ）的定义域为R ，g （x ）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B 选项()f x =(][),22,,-∞-⋃+∞()g x =的定义域为[)2,,+∞∴不是同一函数；对于C 选项，f （0）=-1，g （0）=1，f （0）≠g （0），∴不是同一函数．对于B 选项，f （x ）的定义域为{}1，g （x ）的定义域为{}1，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数. 故选D. 【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题． 15．C 【解析】 【分析】若a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1成立，利用放缩和配方法得出a ＋b<1＋ab 成立；再利用举特例的方法，有1＋ab>a ＋b 成立，不能推出a 2＋b 2<1也成立，得出结果. 【详解】若a ，b ∈R ＋，若a 2＋b 2<1成立，则a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab<1＋2ab ＋(ab)2，即(a ＋b)2<(1＋ab)2，所以a ＋b<1＋ab 成立；当a ＝b ＝2时，有1＋ab>a ＋b 成立，但a 2＋b 2<1不成立，所以“a 2＋b 2<1”是“ab ＋1>a ＋b”的充分不必要条件， 故选：C. 【点睛】本题考查充分不必要条件的证明，利用放缩和配方法及特例是解决本题的关键，属于基础题． 16．D 【详解】解：对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ， ∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误； 对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误； 对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确 故选D ．考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.17．（1）1[,)2-+∞；（2）3[,1)2--. 【分析】（1）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，得B ⊆A ，然后分1122m m =＜，，m ＞12三种情况讨论求解实数m 的取值范围；（2）把()R B C A ⋂中只有一个整数，分1122m m =＜，，m ＞12时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m 的取值范围． 【详解】(1)若“x A ∈”是“x B ∈”，则B ⊆A ，∵A={x|-1≤x≤2}，①当12m ＜时，B={x|2m ＜x ＜1}，此时-1≤2m ＜1⇒1122m -≤＜ ；②当12m = 时，B=∅，有B ⊆A 成立；③当12m ＞时B=∅，有B ⊆A 成立；综上所述，所求m 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． (2)∵A={x|-1≤x≤2}， ∴∁R A={x|x ＜-1或x ＞2}，①当12m ＜时，B={x|2m ＜x ＜1}， 若(∁R A)∩B 中只有一个整数，则-3≤2m ＜-2，得312m -≤-＜；②当m 当12m = 时，不符合题意； ③当12m ＞时，不符合题意； 综上知，m 的取值范围是3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18．(1)见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比222a b c b c a b c a +++++可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比222a b c b c a b c a+++++可得证明；【详解】（1）222222a b c b c a a b c b c a +++++≥++，∴222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a b c ==时等号成立；（2）222211223112231222,n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++⋅⋅⋅++++≥++⋅⋅⋅+ 故2222112122311n n n n a a a a a a a a a a a -++⋅⋅⋅++≥++⋅⋅⋅+.当且仅当12...n a a a === 时等号成立； 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题． 19．（1）()410y x x =-，200,21t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦；（2）()()max 5100f x f ==.【分析】（1）列出f （x ）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论． 【详解】（1）设()10y k x x -＝，当5x ＝ 时100y =，可得k=4，∴410y x x =-（） ∴定义域为200,21t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，t 为常数，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为定义域中202012020,,1,5,,12122132t t t t t t⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∴∈ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎝⎭⎣⎦+函数()()241045100y x x x =-=--+在205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()max 5100f x f ==. 【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错． 20．(1) 1-，12;(2)见解析；（3）112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭. 【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A ，把2代入进行验证； （2）可以假设A 为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A 中元素的个数，21 x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1，求出x 的值，从而求出集合A ．【详解】（1）证明：若x ∈A ，则11A x∈-． 又∵2∈A ， ∴1112A =-∈-． ∵-1∈A ，∴()11112A =∈--．∴A 中另外两个元素为1-，12； （2）x A ∈，11A x ∈-，1x A x -∈，且11x x ≠-，111x x x-≠-， 1x x x-≠，故集合A 中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由x A ∈，11A x ∈-，可得111x A x x x -⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭，， ，所有元素积为1，∴21112x x x -⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭， 111141212132m m m m m -+-+++=⇒=--、3、23，∴112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题． 21．（1）13m，1x =；（2）(,4)-∞；（3）125m <<. 【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2）{}(){}2|0|210A x a c x x m x =-==+-+= ，若A R +⋂=∅，即方程没有实根或没有正实根，由此可求m 的取值范围；（3）由于b ＞a ＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x ＞0恒成立，结合12x x +≥ 即可得出． 【详解】（1）222171229913a b x x x x x c mx m mx m m m ++++++==++≥= ．当且仅当221x x m mx=⇒=时等号成立； （2）{}(){}2|0|210A x a c x x m x =-==+-+=，A R +⋂=∅，即方程没有实根或没有正实根，当方程没有实根时，()2024004;m m ∆<⇒--<⇒<<当方程没有正实根时，()02010m ∆≥⎧⎪--<⎨⎪>⎩解得0,m ≤综上，(),4-∞.（3）由于b ＞a ＞0，0．由三角形的三边的大小关系可得，即对x ＞0恒成立．化为 对x ＞0恒成立，5≥= ，当且仅当1x =时等号成立；故525m <1=≤1,1m >>综上125m <<. 【点睛】本题考查了基本不等式、三角形的三边大小关系、恒成立问题，一元二次方程根的分布等基础知识与基本技能方法，属于难题．。

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2019-2020学年上海市七宝中学高一上学期期中考试数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、填空题1.已知集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B =U R ,则实数a 的取值范围是_______ .【答案】(,2019]-∞ 【解析】 【分析】利用数轴,根据集合并集的定义,结合已知A B =U R ,可以求出实数a 的取值范围.【详解】因为集合{|2019}A x x =≤,{|}B x x a =>,且A B =U R ,所以2019a ≤,因此实数a 取值范围是(,2019]-∞.故答案为：(,2019]-∞【点睛】本题考查了已知集合运算的结果求参数问题,利用数轴、理解掌握集合并集的定义是解题的关键.2.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}M N =-I ,则实数a =_______ . 【答案】2-【解析】 【分析】根据{3}M N =-I ,可以确定3N -∈,运用分类讨论方法进行求解,求解过程中要再计算一下M N ⋂.【详解】因为{3}M N =-I ,所以3N -∈.当33a -=-时,解得0a =,此时{3,1,2}N =-,因此{3,1}M N =-I ,这与{3}M N =-I 不符,故0a =舍去；当213a +=-时,解得2a =-,此时{5,3,6}N =--,所以{3}M N =-I 符合题意； 当223a +=-时,方程无实根,综上所述实数2a =-. 故答案为：2-【点睛】本题考查了已知集合交集的结果求参数问题,分类讨论是解题的关键. 3.命题：“若ab 不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

【答案】若,a b 至少有一个为零，则a b ⋅为零 【解析】解：因为命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是就是将条件和结论同时否定，再作为新命题的结论和条件，即可。

故为.若a ,b 至少一个为0，则ab 为04.科技节期间，高一年级的某同学发明了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，如把(3,2)-放入其中，就会得到23(2)13⨯+--=，现将实数对(,3)m m -放入其中，得到实数9-，则m =________. 【答案】8 【解析】 【分析】按照操作过程,得到一个方程,解方程即可.【详解】由题意得：2(3)198m m m +--=-⇒=. 故答案为：8【点睛】本题考查了数学阅读理解的能力,考查了解方程的能力,属于基础题.5.设函数211()211x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩，若0()3f x =，则0x =________.【答案】【解析】 【分析】根据分段函数的解析式,分类讨论即可求出0x 的值.【详解】当01x ≤时,因为0()3f x =,所以22000213x x x =⇒+=⇒=而01x ≤,所以0x =当01x >时, 因为0()3f x =,所以0021212x x +=⇒=,而01x >,所以012x =舍去,综上所述：0x =故答案为：【点睛】本题考查了已知分段函数的函数值求自变量取值问题,考查了分类思想,考查了数学运算能力.6.已知函数()1f x x =+,()g x =，则()()f x g x ⋅=________.【答案】1(0)x > 【解析】 【分析】求出函数()()f x g x 、的定义域,再求出函数()()f x g x ⋅的定义域,然后进行运算即可. 【详解】函数()f x 的定义域为：{}0x x ≥,而函数()g x 的定义域为：{}0x x >,因此函数()()f x g x ⋅的定义域为{}0x x >,所以()()1(0)f x g x x ⋅=>.故答案为：1(0)x >【点睛】本题考查了求函数的定义域,考查了数学运算能力.7.已知不等式|1|x m -<的解集中有且只有5个整数，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(2,3]【解析】 【分析】在直角坐标系内,画出函数1y x =-图象,平移函数y m =的图象,利用数形结合思想,结合已知,可以求出实数m 的取值范围.【详解】在直角坐标系内,画出函数1y x =-图象,如下图所示；平移函数y m =的图象,可以发现： 当23m <≤时, 不等式|1|x m -<的解集中有且只有5个整数.故答案为：(2,3]【点睛】本题考查了利用函数图象解决不等式整数解问题,考查了数形结合思想. 8.若关于x 的不等式224x x a -≤-在R 上的解集为∅,则实数a 的取值范围是________. 【答案】5a > 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法可知：一元二次方程2240x x a --+=根的判别式小于零,因此可以通过解不等式可求出实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的不等式224x x a -≤-在R 上的解集为∅,所以一元二次方程2240x x a --+=根的判别式小于零,即2(2)4(4)05a a ∆=---<⇒>.故答案为：5a >【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题,掌握一元二次不等式的解法是解题的关键,考查了方程与不等式之间的联系.9.已知函数()f x 的定义域为(1,1)-,则函数()()(2)2x g x f f x =+-的定义域为________. 【答案】{}12x x << 【解析】 【分析】根据()f x 的定义域,可以得出函数()()(2)2x g x f f x =+-中自变量的满足的不等式组,解这个不等式组即可.【详解】因为函数()f x 的定义域为(1,1)-,所以有11122121x x x ⎧-<<⎪⇒<<⎨⎪-<-<⎩, 因此函数()()(2)2xg x f f x =+-的定义域为{}12x x <<. 故答案为：{}12x x <<【点睛】本题考查了求函数的定义域,掌握求复合函数的定义域的方法是解题的关键. 10.已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 【答案】3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3.考点：基本不等式11.已知不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】(,3)[7,)-∞+∞U 【解析】【分析】在平面直角坐标系内,画出函数()1(02)f x x x =-<<的图象,画出函数()3g x x a =-的图象的示意图,平移函数()3g x x a =-的图象,利用数形结合，可以求出实数a 的取值范围. 【详解】在平面直角坐标系内,画出函数()1(02)f x x x =-<<的图象,画出函数()3g x x a =-图象的示意图,如下图所示：向右平移函数()3g x x a =-图象的过程中可以发现：当从左到右平移到()3g x x a =-与横轴的交点为(1,0)时，要想不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立,即满足133aa <⇒<；再继续往右平移时，当函数()3g x x a =-图象的左侧经过点(2,1)时,此时 3217a a -⨯=⇒=,显然当7a ≥时, 不等式|3|1x a x ->-对任意(0,2)x ∈恒成立,综上所述：实数a 的取值范围是(,3)[7,)-∞+∞U . 故答案为：(,3)[7,)-∞+∞U【点睛】本题考查了利用函数图象求解不等式恒成立问题,考查了数形结合思想、平移思想.12.对于集合M ，定义函数1()1M x Mf x x M ∈⎧=⎨-∉⎩，对于两个集合M 、N ，定义集合{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的个数为________. 【答案】8 【解析】 【分析】通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据()()Card X A Card X B *+*取最小值时所满足的条件,最后可以求出集合X 的个数.【详解】因为{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,所以有()M N M N C M N *=⋂U ,要想()Card X A *最小,只需()Card X A ⋂最大,且()Card X A ⋃最小,要使 ()()Card X A Card X B *+*最小, 则有A B X A B ⋂⊆⊆⋃,{}{}1,2,4,6,8,10,2,4,8A B A B ⋃=⋂=,所以集合X 是集合{}2,4,8和集合{}1,6,10子集的并集,因此集合X 的个数为328=个. 故答案：8【点睛】本题考查了新定义题,考查了集合与集合之间的关系,考查了数学阅读能力. 二、选择题13.设命题甲“1x =”,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】分析21x =成立的条件,根据充分性、必要性的概念即可选出正确答案.【详解】因为211x x =⇔=±,所以由1x =一定能推出21x =,由21x =,不一定能推出1x =,所以甲是乙的充分非必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条件的判断,属于基础题.14.已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ） A. P Q ⊆ B. Q P ⊆C. P Q ∈D. P Q ∉【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合Q ,这样就可以选出正确答案. 【详解】{}M P M a ⊆⇒=或{}b 或{},a b 或∅. 因此{}{}{}{}{|},,,,Q M M P a b a b =⊆=∅,所以P Q ∈.故选：C【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系,理解本题中集合Q 元素的属性特征是解题的关键.15.若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（ ） A. a b c +>B. 11a cb c<-- C. ||||a c b c >D.222211ab a bc c <++ 【答案】B 【解析】 【分析】利用取特殊值的方法和差比的比较法即可选出正确答案.【详解】选项A ：当1,2,3a b c =-=-=-时,显然满足a b c >>,但是a b c +=,显然a b c +>不成立； 选项B ：11()()()()()b c a c b aa cbc a c b c a c b c -----==------,因为a b c >>, 所以11110()()b a a c b c a c b c a c b c--=<⇒<------,故本结论成立； 选项C ：当0a b c >>=时,显然||||a c b c >不成立；选项D ：当0a =时,不等式a b c >>能成立,但是此时222211ab a bc c <++不成立. 故选：B【点睛】本题考查了利用已知不等式判断有关不等式是否成立问题,利用特殊值法、差比的比较法、不等式的性质是解决这类问题的常用方法.16.已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若集合S的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B. 若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C. 若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D. 若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合S 的元素个数分别为2、3时, 集合T 的元素个数情况；再考虑当集合T 的元素个数分别为2、3时, 集合S 的元素个数情况,最后选出正确答案.【详解】选项A ：当0,2,1a b c ===时2()(21)00,1f x x x x x =++=⇒=-，集合S 的元素个数为2，此时2()2101g x x x x =++=⇒=-,集合T 的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B ：当0,3,2a b c ===时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,此时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C ：当0,3,2a b c ===时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S元素个数为3，此时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,故本选项说法错误；选项D ：若集合T 的元素个数为3，方程2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=有三个不等实根,则有22220000404010a a c c b c b c c b a ab c a a≠⎧≠⎧⎪≠⎪⎪≠⎪⎪⇒->⎨⎨>⎪⎪⎪⎪-+≠-+≠⎩⎪⎩,在该条件下方程2()()()0f x x a x bx c =+++=一定有x a =-这一个根，且x a =-不是20x bx c ++=的根，又24b c >，所以20x bx c ++=有两个不等于a -的根，即集合S 的元素个数也一定为3. 故选：D【点睛】本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想. 三、解答题 17.已知集合2{|0}3x A x x -=<-,函数的()f x =定义域为集合B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围. 【答案】(,1][4,)-∞⋃+∞ 【解析】 【分析】解不等式化简集合A 的表示，求出函数()f x 的定义域,结合已知,利用数轴,可以求出实数a 的取值范围. 【详解】{}2{|0}233x A x x x x -=<=<<-, [(1)][(1)]01x a x a x a -+-->⇒>+或1x a <-,所以{}11B x x a x a =>+<-或.因为A B ⊆,所以有：31a ≤-或12a +≤,解得4a ≥或1a ≤,综上所述：实数a 的取值范围是(,1][4,)-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键.18.若实数x 、y 、m 满足||||x m y m -<-,则称x 比y 接近m . (1)若23x +比4接近1,求实数x 的取值集合M ；(2)若a 、b 均属于(1)中集合M ,求证：+a b 比1ab +接近0. 【答案】(1) {}11M x x =-<<；(2)证明见解析.【解析】 【分析】(1)根据题目已知给的信息,可以把23x +比4接近1,转化成不等式,解这个不等式即可； (2)根据题意可以得到,(1,1)a b ∈-,想要证明+a b 比1ab +接近0,只需证明010a b ab +-<+-即可,运用平方法、差比的比较法、因式分解法可以证明出结论.【详解】(1)因为23x +比4接近1,所以有22231412332311x x x x +-<-⇒+<⇒-<+<⇒-<<,所以实数x 的取值集合{}11M x x =-<<；(2)由题意可知：,(1,1)a b ∈-22(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)ab a b ab a b ab a b a b a b +-+=++++--=++--,因为,(1,1)a b ∈-,所以(1)(1)(1)(1)0a b a b ++-->,即22(1)()1ab a b ab a b +>+⇒+>+于是有010a b ab +-<+-,由题意可知：+a b 比1ab +接近0.【点睛】本题考查了解绝对值不等式,考查了证明绝对值不等式,考查了数学阅读能力. 19.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(020100kC x x k x =≥+，为常数).记F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和． （1）试解释(0)C 的实际意义，并建立F 关于x 的函数关系式； （2）当x 为多少平方米时，F 取得最小值？最小值是多少万元？ 【答案】（1）；（2）当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．【解析】试题分析：（1）根据题意知，将其代入()(020100kC x x k x =≥+，为常数）即可求出参数，即可求出F 关于x 的函数关系式；（2）直接对函数进行求导，求出其极值点，然后讨论函数的单调性，进 而求出函数的最小值. 试题解析：（1）(0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用,即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费.由(0)24100kC ==,得2400k = 所以24001800150.50.5,0201005F x x x x x =⨯+=+≥++ （2）因为18000.5(5)0.25218000.50.2559.755F x x =++-≥⨯=+ 当且仅当18000.5(5)5x x =++,即55x =时取等号 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元．（2）导数解法：218000.5(5)F x ++'-=，令0F '=得55x = 当55x <时，0F '<，当55x >时，0F '>． 所以当x 为55平方米时,F 取得最小值为57.5万元． 考点：导数的应用；导数在研究函数的最值和极值中的应用．20.已知M 是满足下述条件的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x 定义域内的任意两个自变量1x 、2x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立.(1)已知定义域为R 的函数()f x kx b M =+∈,求实数k 、b 的取值范围； (2)设定义域为[1,1]-的函数2()g x ax x =+,且()g x M ∉,求正实数a 的取值范围； (3)已知函数2()1h x x +R ,求证：()h x M ∈.【答案】(1)[2,2]k ∈-，b ∈R ；(2)1(,)2+∞；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意得到不等式,通过不等式可以求出实数k 、b 的取值范围；(2)求出()g x M ∈时, 正实数a 的取值范围,然后根据补集思想,求出正实数a 的取值范围即可；(3)设1212,,x x R x x ∀∈≠,利用分子有理化,绝对值不等式的性质，可以证明出1212|()()|||f x f x x x -≤-,这样就可以证明出()h x M ∈.【详解】(1)因为定义域为R 的函数()f x kx b M =+∈,所以1212,,x x R x x ∀∈≠均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立,即1212|()|2||222kx b kx b x x k k +-+≤-⇒≤⇒-≤≤,显然b R ∈,因此[2,2]k ∈-，b ∈R ；(2) 设定义域为[1,1]-的函数2()g x ax x =+,且()g x M ∈,所以1212,,x x R x x ∀∈≠均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立,即2211221212121212|()|2||()[()1]2||()12ax x ax x x x x x a x x x x a x x +-+≤-⇒-++≤-⇒++≤,设12[2,2]x x t t +=∴∈-,即12at +≤在[2,2]t ∈-上恒成立,3112212310at at at a t a a+≤⇒-≤+≤⇒-≤≤>∴-≤≤Q ,因此有： 1210322a a a⎧≥⎪⎪⇒<≤⎨⎪-≤-⎪⎩,因此当()g x M ∉时, 正实数a 的取值范围为：1(,)2+∞； (3) 设1212,,x x R x x ∀∈≠121212|()()|||f x f x x x -=-,所以有1212121212121212|()()|1||x x x x x x f x f x x x x x x x x x +++-=<=≤=-+++,显然1212|()()|2||f x f x x x -≤-也成立.【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查了有关不等式恒成立问题,理解题意、运用绝对值的性质、分子有理化的方法是解题的关键.21.对于正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ,3n ≥）,如果去掉其中任意一个元素ia（1,2,,i n =⋅⋅⋅）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”. (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否为“和谐集”,并说明理由； (2)求证：集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”；(3)求证：若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数. 【答案】(1)不是；理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”； (2)集合{1,3,5,7,9,11,13}去掉任意一个元素进行分类讨论,找到符合题意的两个集合即可证明集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”；(3)判断任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的奇偶性相同,分类讨论,可以证明出若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数.【详解】(1)当集合{1,2,3,4,5}去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,3,4,5;1,4,3,5;1,5,3,4;1,3,4,5;3,1,4,5;4,1,3,5;5,1,3,4,经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”； (2)集合{1,3,5,7,9,11,13}所有元素之和为49.当去掉元素1时,剩下的元素之和为48,剩下元素可以组合{3,5,7,9}{11,13}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素3时,剩下的元素之和为46,剩下元素可以组合{1,9,13}{5,7,11}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素5时,剩下的元素之和为44,剩下元素可以组合{1,3,7,11}{9,13}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素7时,剩下的元素之和为42,剩下元素可以组合{1,9,11}{3,5,13}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素9时,剩下的元素之和为40,剩下元素可以组合{1,3,5,11}{7,13}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素11时,剩下的元素之和为38,剩下元素可以组合{3,7,9}{1,5,13}，这两个集合,显然符合题意；当去掉元素13时,剩下的元素之和为36,剩下元素可以组合{1,3,5,9}{7,11}，这两个集合,显然符合题意；(3)设正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ，3n ≥）所有元素之和为M ,由题意可知(1,2,,)i M a i n -=L 均为偶数,因此任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）的奇偶性相同.若M 是奇数,所以i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）也都是奇数,由于12+++n M a a a =⋅⋅⋅,显然n 为奇数； 若M 是偶数, 所以i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）也都是偶数.此时设2i i a b =（1,2,,i n =⋅⋅⋅）显然{}12,,,n b b b ⋯也是“和谐集”,重复上述操作有限次,便可以使得各项都为奇数的“和谐集”,此时各项的和也是奇数,集合A 中元素的个数也是奇数,综上所述：若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数.【点睛】本题考查了新定义的理解与运用,正确理解题意,运用分类讨论的方法是解题的关键.。

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