第八节三次样条插值

i
hi
hi hi1
,
i
hi
hi1 hi1
gi
hi
6 hi1
(
f [xi , xi1]
f [xi1, xi ])
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即有
h1 1.5, h2 1, h3 1
f [x0 , x1] 0.75, f [x1, x2 ] 2, f [x2, x3] 8 于是，有
第八节 三次样条插值
一、问题的提出
分段低次插值虽然具有计算简单、稳定性好、收 敛性有保证且容易在计算机上实现等特点，但它 只能保证各小曲线在连接点上的连续性，却不能 保证整条曲线的光滑性，这就不能满足某些工程 技术上的要求。下面将要介绍的样条插值方法构 造的样条函数可以保留分段低次插值得优点，又 提高了插值函数的光滑性。如今在许多领域得到 了广泛的应用，形成了极其重要的分支。
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mi1 2mi hi1
2mi
mi1 hi
3
yi
yi1 h2
i 1
wk.baidu.com
yi1 hi2
yi
令
i
hi1 hi1 hi
, i
3 (1i )
yi yi1 hi1
i
yi1 yi hi
则有
f [xi1, xi ]
(1 i )mi1 2mi imi1 i
s3(xi 0) s3(xi 0), (38) (i 1, 2,L , n 1)
即要求（36）与（37）相容，即把（37）式中的 i+1 改写为 i , i 改写为 i-1 ，因而有
s3( xi
)
6
yi
yi1 h2
i 1
2mi1 hi1
4mi
(37)
把（37’）和（36）式代入（38），有
S(x0 0) S(xn 0), S(x0 0) S(xn 0)
四、三次样条插值函数的求法
求三次样条插值函数的基本思想：先利用一阶 （或二阶）导数 S(x)(S(x))在内节点 xi (i 1,2, , n 1) 上的连续性以及边界条件，列出确定二阶（一阶） 导数(例如： mi S(xi )(i 0,1, 2,L , n 的1))线性方程
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五、应用：求三次样条插值函数
例7 已知函数y=f(x)的函数值如下：
x 1.5 0 1 2
y 0.125 1 1 9
在区间[-1.5,2]上求三次样条插值函数S(x)，使
得满足边界条件 S(1.5) 0.75, S(2) 14 （见易大义
P62）.
解：第一步：计算节点间隔hi 差商 f [xi1, xi ] ，确定
(3) 被逼近函数是周期函数。
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S(xi 0) S(xi 0) (i 1, 2,L , n 1)
S(xi 0) S(xi 0) (i 1, 2,L , n 1)
S(xi 0) S(xi 0) (i 1, 2,L , n 1)
S (xi ) yi
问题：关键在于参数导数值的选择。
方法：样条函数的构造用待定系数法。
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三次样条插值函数为：
s3 (x)
0 (
x
hi
xi
) yi
1(
x
xi hi
) yi1
hi0 (
x
xi hi
)mi
hi1 (
x
xi hi
)mi1
其中 hi xi1 xi , x [xi , xi1]，而
并注意到 m0 y0 , mn yn
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f [xi , xi1]
差商
因而有三对角方程组（基本方程组）
2m1 1m2 1 (11) y0
(1
2
)m1 LL
2m2
2m3
2
(1 n2 )mn3 2mn2 n2mn1 n2
(1 n1)mn2 2mn1 n1 n1 yn
x3 2x2 1
(1.5 x 0
S(x)
2
x
2
1
( 0 x 1)
2x3 4x2 6x 3 ( 1 x 2)
注释：把二阶导数 S(xi ) Mi (i 0,1,L ,n)作为参数。
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小结
插值法是一个古老而实用的数值方法。它不仅是数值 微分、数值积分、函数逼近以及微分方程数值解等数值分 析的基础，而且在许多实际问题中，也有直接的应用。这 里只简要介绍了有关插值法的一些基本概念、多项式插值 的基础理论和几个常用的插值方法，例如拉格朗日插值公 式、牛顿基本插值公式和仅适用于等距节点下的牛顿向前 (后)插值公式，以及应用最广且有二阶连续导数的三次样 条插值。作为一种直接应用，也介绍了利用插值法求导数 的基本原理和常用公式。
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三、边界条件问题的提出与类型
如何根据条件确定一个三次样条插值函数。
解决的办法：引入边界条件。
边界条件：在确定三次样条插值函数时，所缺少 的两个条件由插值区间[a, b]的边界点a、b 处给出， 这个条件通常被称为边界条件。
(1) 已知一阶导数值； 边界条件的类型 (2) 已知二阶导数值；
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样条函数
所谓样条函数，从数学角度理解，就是按一定 光滑性要求“装配”起来的分段多项式。具体 有：称具有分划
: a x0 x1 L xn b
的分段k 次多项式 sk (x)为k 次样条函数。如果
它在每个内节点 xi (1 i n 1) 上具有直到 k 1
数也连续。对 s3 (x)求两次导数，并计算在子区间 [xi , xi1] 的端点上的导数值有
s3(xi )
6
yi1 hi2
yi
4mi
2mi1 hi
s3( xi 1 )
6
yi1 hi2
yi
2mi
4mi1 hi
(36) (37)
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为了保证二阶导数的连续性，要求成立
实际上，插值法的内容，包括插值函数类的选择，公 式的构造与应用，误差的估计，以及收敛性、稳定性的讨 论等，都是十分丰富的。
作业：p56 34
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其系数行列式是一个三对角行列式，在后面将用追赶方法求 其解，于是得到分段插值多项式，即三次样条函数。
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基本步骤：
•构造已知条件（由三次样条函数的特征）； •积分（反推）；
•确定系数：i , i ；
•确定： Si ( x) •求出： mi
•利用边界条件，例如： S(x0 ) y0, S(xn ) yn
0 (x) (x 1)2 (2x 1),1(x) x2(2x 3)
0 (x) x(x 1)2,
1(x) x2 (x 1)
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不论如何确定参数 mi ，这样构造出的三次样条
插值函数在每个节点 xi 上均连续且有连续的一阶
导数，现在的问题是如何确定参数 mi 使其二阶导
2 1 0 0 M0 6
0.6
2
0.4
0
M1
6.6
0
0
0.5 0
2 1
0.5
2
M M
2 3
18
36
第三步：求出 M 0 , M1, M 2 , M 3 ;
M0 5, M1 4, M2 4, M3 16
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第四步：写出三次样条插值函数S(x).
1 0.6, 1 0.4, g1 6.6; 2 0.5, 2 0.5, g2 18.
由第（1）边界条件
g0
6 h1
(
f
[x0 , x1]
y0 )
6, g3
6 h3
( y3
f
[x2 ,
x3 ])
36
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第二步：求满足的线性方程组 M0, M1, M2, M3 ；
阶连续导数。点 xi (1 i n 1)则称作样条函
数 sk (x) 的节点。
特点：光滑性即外形美观，间断性则使它能转 折自如，即灵活。
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二、三次样条插值的定义
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三次样条插值的实质与特点 实质：分段插值。
特点：插值函数具有二阶连续导数。
组，并由此解出 ，m然i 后用 来m表i 达 . S(x)
定理3（三次样条函数的存在唯一性）
对于给定的函数表，并满足第一或第二或第三边 界条件的三次样条插值函数S(x)是唯一存在的。
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问题9 求作具有分划 的三次样条 S3(x)，使得满足
S3 (xi ) yi ,i 0,1,L , n S3(x0 ) y0 , S3(xn ) yn
(i 0,1, 2,L , n)
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边界条件的类型
(1) 已知一阶导数值： (2) 已知二阶导数值： (3)被逼近函数是周 期函数：
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S(x0 ) y0 , S(xn ) yn
S(x0 ) y0, S(xn ) yn