应力波理论复习资料

复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot 弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。

解:在Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为dX 的微元的受力图,截面X 上作用有总力F(X,t),截面X+dX 上作用有总力F(X+dx,t),有dX Xt X F t X F dX X F ∂∂+=+),(),()(根据牛顿第二定律,有dX Xt X F t X F dX X F dX A t v O o ∂∂=-+=∂∂),(),()(ρ 解之,有dX t vA dX X t X F ∂∂=∂∂00),(ρ 而0),(A t X F σ=,故上式可以化为Xt v ∂∂=∂∂σρ0(a) 对于一维应力纵波,)(εσ 连续可微,记εσρd d C 01=则 ερσd C d 20= 代入(a)式,可得XC t v ∂∂=∂∂ε2 (b)因为t u v ∂∂=,Xu ∂∂=ε,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange 坐标系中的波动方程:022222=∂∂-∂∂Xu C t u 二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂0)(02x c x v v tv xv x v t ρρρρρ解:对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中λ为待定系数,整理可得:0)()(2=∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+tvX v v t X c v ρρλρρλρλ (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为ρρλρλλv c v dt dx +=+=Γ2)( 解之,得c ±=λ, c v dtdx±=Γ)(,即特征线的微分方程为: dt c v dx )(±=将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有0)()(2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+t v X v v t X c v λρρρλλ即 0=+dtdvdt d ρρλ将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv cdv d ρλρρ =-= (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+-∂∂+∂∂=∂∂+-∂∂+∂∂0)1(0)1(2x c x v v t v xv x v t εεεεε解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中λ为待定系数,整理可得: 0])1([])1([2=∂∂+∂∂++-+∂∂+∂∂+-tvx v v t x c v ελελεελ (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为1)1()1()(2v c v dt dx ++-=+-=Γελλελ解之,得c ±=λ, c v dtdx)1()(ε+=Γ ,即特征线的微分方程为: dt c v dx ])1([ε+=将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有[]0)1()1(2=∂∂+∂∂++-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+-t v x v v t x c v ελεελελλ即 0=+dtdvdt d ελ将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:εελcd d dv =-=(3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂0)(022r c r v v t v rv r v r v t ρρρρρρ对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+ ②×λ，其中λ为待定系数,整理可得:02)(][2=+∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+rvt v r v v t r c v ρλρλρρρρλ (a)根据特征线求解方法,特征线特征方程为λρλρρλv c v dt dr +=+=Γ1)(2 解之,得c 1±=λ, c v dtdr±=Γ)(,即特征线的微分方程为:dt c v dr )(±=将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有021][2=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂++∂∂+∂∂+r v t v r v v t r c v ρλλλρρρλ 即02=++rvdt dv dt d ρλρρ 将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:02=+±dt rv dv c d ρρρ(4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂0101020Xt t C X τρϖτρϖ解: 对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中λ为待定系数,整理可得:20010X t X C tϖϖλττλρρ∂∂∂∂+--=∂∂∂∂ (a) 根据特征线求解方法,特征线特征方程为020()11dX dt C λρλρΓ== 解之,得1C λ=±, ()dXC dtΓ=±,即特征线的微分方程为: dX Cdt =±将其积分即可得到特征线方程。

由(a)式,整理有01)1(220=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂t x C C t x ττλρϖϖλλ 即 0120=-dtd C dt d τρϖλ将λ值代入上式,可得特征线上的相容关系为:τρτλρϖd C d C d 02011±==三、 用特征线法求解波的传播。

设半无限长弹性杆初始状态为,)0,(*=σσX ,)0,(*=v X v ,)0,(*=εεX t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为)(),0(0τv t v =,用特征线法求解(X,t)平面上AOX 和Aot 区域的物理量。

解:OA 为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX 区和弹性波已传到的Aot 区。

对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:⎪⎩⎪⎨⎧±=±=±=dvC d d C dv dt C dX 0000ρσε引入积分常数1ξ、2ξ、α、β、1K 、2K 后,可写成右行波有: 0101001X C t v C C v Kξεασρ-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩左行波有: 0102002X C t v C C v K ξεασρ+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩(1) AOX 区在该区任一点P,作正向特征线PQ 和负向特征线PR,分别交OX 轴于Q 点和R 点,沿着特征线PQ 和PR 分别有001002(1)(2)P P Q Q P P R R v C v C v C v C εεαεεα-=-=⎧⎪⎨+=+=⎪⎩ 0000100002P P Q Q PP R R C v C v K C v C v K σρσρσρσρ-=-=⎧⎪⎨+=+=⎪⎩ 由（1）（2）可得：{}{}0001()()21()()2P Q R R Q P R Q R Q v v v C v v C C εεεεε=++-=-++由初始条件,有*==σσσQ R ,,)0,(*=v X v ,)0,(*=εεX 则可解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===***εεσσp p P v v由于P 点位AOX 区域中的任意点,因此该解适合用于整个AOX 区。

(2) 对于Aot 区该区任一点B,作正向特征线BC 交Ot 轴于C 点,负向特征线BD,交OX 轴于D 点,再过C 点作负向特征线CE 交特征线OA 于E 点,沿着特征线BC 、BD 和CE 分别有001002B B C C B B D D v C v C v C v C εεβεεβ-=-=⎧⎨+=+=⎩ 000011000022B BC C B BD D C v C v k C v C v k σρσρσρσρ-=-=⎧⎨+=+=⎩ 0030000023C C E E CC E E v C v C v C C v C v k εεβεσρσρ**⎧+=+==+⎪⎨+=+=⎪⎩ 沿着特征线OA,其上各点与AOX 区具有相同的参数值,即有*==σσσE D ,*==σE D v v ,*==εεεE D此外,C v 由边界条件已给出,即)(0τv v c = 于是可解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-====+-*==***στρσστετεε)]([)()(000000v v C v v v C v v C B C B C B可以看出,在τ时刻,施加于杆端部的扰动)(0τv 和C ε以0C 的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。

特征线BC 的特征方程可表示为0()X C t τ=-,则有0C Xt -=τ。

由于B 点Aot 区中任意选取的,那么,对于Aot 区任意一点,其解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=+--*=**)()()(000000000C X t v v C C X t v v C C X t v v ρσεε 四、 波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆0X ≥，应力应变关系如图所示，其中310100,/25,200,4/E GPa E E Y MPa g cm ρ====。

在杆的左端0X =处施加如图所示的载荷。

（1）画出X t -图；（2）画出0.4ms t =时刻的波形曲线； （3）画出0.5X =m 位置的时程曲线。

解：半无限长杆中弹性波波速：30510m/s C ===⨯ 塑性波速：3101110m/s 5C C ====⨯ 产生塑性波的速度8330021010m/s 410510Y Y v C ρ⨯===⨯⨯⨯，时间0.1ms Y t =。

（图上把关键点的坐标表示清楚，X t -图、波形图和时程图尽量画在一起）Y σ()v m sO五、 弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t 图和σ-v 图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a 、b)解: 作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t 图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在σ-v 状态图中同方向的波传播σ-v 关系曲线斜率相同。

（a ）由波系图和v -σ状态图可得，两杆撞击结束时间为02C L t =,对应于M 点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间06C L t =时（N 点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。

而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当06C L t =时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为07>v ，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。

（b ）由波系图和v -σ状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间02C L t =，对应于M 点，此后,2杆和3杆都保持静止状态，但不相互脱离。