上海最好的高中数学暑假辅导班高二数学补习班PPT课件

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(2)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求
出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.
注意:书写时,a·b不能写成a×b,也不能写成ab,在a·b=k,
不 a k 或b k ,
b
a
能写成
即向量没有除法.
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9Biblioteka Baidu
题型一 数量积的运算律
例1:下列命题是否正确?正确的给出证明,不正确的给予说明.
当且仅当p+q∥p-q时|p2-q2|=共|51p页+q||p-q|.
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(4)此命题正确. ∵a·[(a·b)·c-(a·c)·b] =a·(a·b)·c-a·(a·c)·b =(a·b)(a·c)-(a·b)(a·c)=0, 又∵两向量均为非零向量 故a与(a·b)·c-(a·c)·b垂直.
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3.运算律 结合律:(λa)·b=λ_(_a_·_b_)_____, 交换律:a·b=___b_·_a_____,
a·b+a·c 分配律:a·(b+c)=__________.
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1.两向量的夹角
(1)空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是0≤θ≤π.特
别地,当θ=0时,两向量同向共线;当θ=π时,两向量反向共
线,
2
所以若a∥b,则<a,b>=0或π;当
时,两向
量垂
直,记为a⊥b.
(2)对空间任意两个向量a、b,有
①<a,b>=<b,a>;
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2.空间向量的数量积
(1)两向量的数量积,其结果是个数量,而不是向量,它的值为 两
向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦
值确定.
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法,与以前学
解: 如右图, 不妨设四边形的边长为1, 设OA
a,OB b,OC c,则 a b c 1,a b
b c c a 1. D、E分别是AB、OC的中 2
点,OD 1 (a b), BE 1 c b.
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OD BE 1 (a b) (1 c b) 1 a c 1 a b 1 b c 1 b2
(1)a·b=0,则a=0或b=0;
(2)p2·q2=(p·q)2;
(3)|p+q|·|p-q|=|p2-q2|;
(4)若a与(a·b)·c-(a·c)·b均不为0,则它们垂直.
分析:对向量数量积的概念的应用问题,应熟练掌握其特点及
其含义,才能正确解决此题.
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解:(1)此命题不正确. ∵a·b=0有两种情况: ①当a、b均不为零向量时,则a与b垂直, 此时a·b=0; ②当a与b至少有一个为0向量时, a·b=0也成立,故由a·b=0 推不出a=0或b=0.
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(2)此命题不正确.
∵p2·q2=|p|2·|q|2,
而(p·q)2=(|p|·|q|·cos<p,q>)2
=|p|2·|q|2cos2<p,q>,
∴仅当p∥q时,p2·q2=(p·q)2.
(3)此命题不正确.
∵|p2-q2|=|(p+q)(p-q)|
=|p+q||p-q||cos<p+q,p-q>|,
3.1.3 空间向量的数量积运算
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1.掌握空间两个向量的夹角,两个向量互相垂直的概念及表 示
方法. 2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法,并能够初
步 在几何体中求两个向量的夹角及数量积运算和简单问题的证 明.
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1.定义:__a__·b_=__|a_|_|b__|c_o_s__<_a_,b__>__.
2.性质(a、b为两个非零向量):a⊥b⇔__a_·b__=_0__,
若a与b同向,则a·b=__|_a_||_b_|____,
-|a||b| 若a与b反向,则a·b=______a _b___,
| a || b |
≤
若<a,b>=θ,则cosθ=__________,|a·b|__________|a||b|.
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规律技巧:关于向量数量积的概念题,弄清其实质是关键,两 个
向量的数量积是一个数量,它等于两向量模与其夹角余弦值 的乘积,两向量数量积有正也有负,当两向量垂直时其数量积 为零.
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变式训练1:以下命题,正确的命题为( ) A.|a|-|b|<|a+b|是a、b不共线的充要条件 B.(a·b)·c=b·(a·c)=(b·c)·a C.向量a在向量b的方向上的投影向量的模为|a|cos<a,b> D . 在 四 面 体 A B C D 中 , 若 A B C D 0 , A C B D 0 , 则 A D B C 0
答案:D
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解析:当|a|-|b|<|a+b|⇏a、b不共线, ∴A不正确. 由向量不满足结合律知,B不正确. 当<a,b>是钝角时,C不正确.
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题型二 利用数量积求夹角
例2:空间四边形OABC的各边都相等,D、E分别是AB、OC
的中点,求异面直线OD与BE所成角的余弦值. 分 析 : 选 用 O A 、 O B 、 O C 来 表 示 O D 与 B E .
过的数的乘法是有区别的,在书写时一定要把它们严格区分
开来,绝不可混淆.
(3)当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量.这是因为任
一
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3.数量积、运算律的理解
(1)对于三个不为0的实数a、b、c,若a·b=a·c,则b=c;对于
三
个不为0的向量,若a·b=aa·cbk不(或能b得出ak),b=c,即向量不能约分.
2
2
4
2
4
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
4222 422
2
又 | O D || B E | 3 , cos O D , B E O D B E
(2)
若
a·b=k,
不
能
得
出
就是说,向量不能进
行除法运算.
(3)对于三个不为0的实数a、b、c,有(ab)c=a(bc),对于三个
不为0的向量,(a·b)c不一定共等51 页 于a(b·c),向量的数量积不7
4.空间向量数量积的应用 由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关,所以许多立 体几何中的问题,如距离、夹角等的求解,都可借助向量的数 量积运算加以解决. (1)空间中两点间的距离或空间中一条线段的长度,可以理解 为这两点所对应的向量的模,因此两点间的距离和线段的长 度,可以通过求向量的模得到.