投资分析Black-Scholes期权定价模型

ds dt dw ds sdt sdw
s
其中，w代表维纳过程
2021/3/18
3
B-S模型证明思路
ITO过程 dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
ITO引理
df
(f t
f x
a1 2
2 f x2
b2 )dt f b dw x
B-S微分方程
f t
f rs＋ 1 2 f 2s2 rf s 2 s2
2021/3/18
13
证明：将（13.7）离散化
x a(x,t)t b(x,t)w 由（13.1）知 w t
利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为
f
(f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
x2 ) 2 f xt xt
1 2 f 2 t2
t 2
（13.8）
2021/3/18
14
3
在连续时间下，即 t 0 从而 t2 0 t 2 0
3
lim xt at2 bt 2 0
t 0
因此，（13.8）可以改写为
f
f t
f
1 2 f
t x x 2 x2
x2
（13.9）
2021/3/18
15
x2 [at b t ]2
2
a2t2 b2 2t 2abt 2
b2 2t
若股票价格服从几何布朗运动
dSt Stdt Stdwt
设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对 数正态分布，即
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
T t,t [0,T ]
2021/3/18
24
令 g g(St ) ln St 则
g St
1 St
2g , St2
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2021/3/18
28
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
t
2
ln ST
ln
St
(
1 2 )
2
(wT
wt )
由（13.1）wT wt ~ iidN (0,1)
ln ST
ln St
(
1 2 )
2
ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
2021/3/18
26
由于ln ST ~ N[ln St ( 2 / 2) , 2 ]
2021/3/18
8
▪ 在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到
dwt t dt
cov(dwt , dws ) 0
（13.3） （13.4）
▪ 所以，dwt 概率分布的性质
dwt ~ N (0, dt) E(dwt ) 0, D(dwt ) dt
以上得到的随机过程，称为维纳过程。
2021/3/18
➢ 标的股票不支付红利 ➢ 期权为欧式期权
2021/3/18
2
➢ 无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷 市场
➢ 投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等， 均为无风险利率
➢ 股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量 的标的股票
➢ 对卖空没有任何限制 ➢ 标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗
运动
1 St2
, g t
0
这样由伊藤引理得到 (a Stdt,b St )
dg (g g t St
St
1 2
2g St2
(
St
)2
)dt
g St
St
dw
( 1 2 )dt dw
2
即
d
(ln
St
)
(
1 2
2
)dt
dw
2021/3/18
25
T
t d (ln St )
T ( 1 2 )dt dw
由（13.11）得到
E(x2 ) b2t
（13.12）
2021/3/18
17
由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值 就收敛为真实值，即 x2 b2t
当Δt→0时，由（13.9）可得
df
f t
dt
f x
dx
1 2
2 f x2
dx2
f t
dt
f x
(adt bdw)
1 2
2 f x2
b2dt
E(ST ) St exp[(T t)]
St exp( )
（13.13）
2021/3/18
29
▪ 根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性 条件下，则资产的期望回报为无风险回报， 则
E(ST ) St exp(r ) （13.14）
由（13.13）和（13.14）得到
r
（13.15）
这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金
10
▪ 一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂 的变动特征。
➢ 漂移率和方差率为常数不恰当
dxt adt bdwt
▪若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和 时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程
dxt a(x,t)dt b(x,t)dwt
2021/3/18
11
▪ B-S 期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何 布朗运动来代表股价的波动
2021/3/18
20
▪ 下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时 间区间内收益为
f fs s
( f t
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )t
f s
s w
f (st sw)
s
( f t
1 2
2 f s2
2s2 )t
2021/3/18
21
▪ 注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合 是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较 小（不采用连续复利），则
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
20分21/3方/18 程求出价格f。
23
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
融资产的回报率均为无风险利率。
2021/3/18
30
（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为 无风险利率r，故买权期望值的现值为
Ct er E[max(ST X , 0)]
e
r
E
(ST
X ), ST
X
0, ST X
er
X (ST X ) f (ST )dST
X
0 0 f (ST )dST
B-S买权定价公式 C St N (d1) Ker N (d2 )
2021/3/18
4
13.1 维纳过程
▪ 根据有效市场理论，股价、利率和汇率具 有随机游走性，这种特性可以采用 Wiener process，它是Markov stochastic process的一种。
▪ 对于随机变量w是Wiener process，必须 具有两个条件：
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2021/3/18
12
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
er
2021/3/18
X (ST X ) f (ST )dST
（13.16）
31
▪ 由于ST服从对数正态分布，其pdf为
f (ST ) ST
1
exp[ (ln ST E(ln ST ))2 ]
2
2 2
将 ln ST s, E(ln ST ) s , u 由(13.16)得到
Ct er
1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满 足Δt
2021/3/18
5
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
9
13.2 ITO定理
▪ 一般维纳过程(Generalized Wiener process)可 表示为
dxt adt bdwt 其中，dwt ~ N (0, dt)
（13.5）
显然，一般维纳过程的性质为
2021/3/18
dxt ~ N (adt,b2dt)
E(dxt ) adt, D(dxt ) b2dt
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
wt1 wt ws1 ws
2021/3/18
有效市场
6
▪ 满足上述两个条件的随机过程，称为维纳 过程，其性质有
E(wt ) 0, D(wt ) t
▪ 当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻 到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足
dx a(x,t)dt b(x,t)dw （13.7）
▪ 令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可 以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t) 的价格变动过程可以表示为
df (f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
f f (x,t), a a(x,t),b b(x,t)
df (f f s 1 2 f 2s2 )dt f s dw
t s
2 s2
s
2021/3/18
19
f
(f t
f s
s
1 2
2 f s2
2s2 )t f s w
s
假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的 衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足
f
s
则该组合的收益为
f s f fs s
X exp(ln ST )
1 ST
u
1
2
exp[
(s 2u
s
2
)2
]dST
当前时刻价格，不是变量
St
exp(ln
X
ST
ln
St
r )
1 ST
u
1
2
(s s )2 exp[ 2u2 ]dST
2021/3/18
（13.18）
33
因为E(ln ST ) ln St ( 2 / 2)，则
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
（13.17） 第1项
第2项
2021/3/18
Ker
1 X ST u
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
32
（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项
er
Xu
1
(s s )2
exp[
2
2u 2
]dST
St exp( ln St )er
(f f a 1 2 f b2 )dt f b dw
t x 2 x2
x
■
2021/3/18
18
13.3 B-S微分方程
假设标的资产价格变动过程满足
Baidu Nhomakorabea
ds sdt sdw
▪ 这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证 券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近 似为
（13.10）
且当t 0时，有t2 0,从而
lim D(x2 ) [b2t]2 D( 2 ) 0
t2 0
即Δx2不呈现随机波动！
2021/3/18
16
由（13.10）可得
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （13.11）
由于 N (0,1),则 D( ) E[( 0)2 ] E( 2 ) 1
则称ST服从对数正态分布，其期望值为
E(ST
)
St
exp[(
1 2
2
)
]
E[exp(
)]
E[exp( )] exp( 2 / 2)
所以 E(ST ) St exp( )
注意：E[exp( )] exp[ E( )]
2021/3/18
27
13.5 B-S买权定价公式
对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权 （买权）的在定价日t的定价公式为
又由于
rt
( f 1 2 f 2s2) t t 2 s2
f fs s
( f 1 2 f 2s2) t （ f t 2 s2
f s）r t s
整理得到
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
2021/3/18
22
B-S微分方程的意义
f t
f rs＋ 1 s2
2f s2
2s2
rf
衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券
投资学 第13章
投资分析（4）：Black-Scholes 期 权定价模型
2021/3/18
1
概述
▪ Black、Scholes和Merton发现了看涨期权 定价公式，Scholes和Merton也因此获得 1997年的诺贝尔经济学奖
▪ 模型基本假设8个
➢ 无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变 化。
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
2021/3/18
7
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
N
N
wT i t t i
i 1
i 1
N
N
E(wT ) t E( i ) t E(i ) 0
i 1
i 1
N
D(wT ) t D( i ) t N T ,[ D(i ) 1], 证毕. i 1