数学建模实例
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我缉私舰雷达发现，在其正西方距c海里处
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
Z取不同值时的浓度C(30)和时间T
Z / m3 C (30) / m3
T / min
5 0.00239 552
10 0.00478 738
15 0.00717 918
20 0.00956 1014
案例5 药物在体内的变化（房室模型）
何为房室系统？
在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种 叫‚房室系统‛的观点来考察问题。根据研究对象的特 征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整 体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种 联系的部分（多房室系统）。
二、微分方程模型
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如 ‚速率‛、‘增长‛(在生物学以及人口问题研究中)， ‚衰变‛(在放射性问题中)，以及‚边际的‛(在经 济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增 量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 dW △t →0，即得到 的表达式．
微分方程模型
一、微分方程建模简介
二、微分方程模型
三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具，在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式：
3、建立表达式：
4、确定条件：
建立表达式 （1）当 0 t 3 时，每天体重的变化：
dW (2500 1200 ) 16W dt 10000
积分后可求得其通解为：
W (t ) 81.25 C1e
则
0.0016t
初始条件为： W0 57.1526，代入解出 C1 24.0974
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c) 0, k b / a
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
1 k
1 x 1 k c
k 1
ck 2 1 k
ck abc 即走私船被缉私舰捕捉前 1 k 2 b2 a 2 ck abc y 所跑过的距离为 1 k 2 b2 a 2 y bc t 所花的时间为 a b2 a2 1 x2 c2 x （2）若a=b，即k=1，由积分式得 y 2 2c c ln c
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为‚放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例‛。而C14的比例数为每年八千分之一。 2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所 以，我们问题实际上就是：‚这人死去多久了？‛ 若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12 (mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我 们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词 ‚速率‛相当) dy y
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
dT k (T T0 ) dt
变，所以可列方程：
湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量
dC Z 2000 6C dt 30
由初始条件： C (0) 0 ，可得微分方程的特解为
C (t ) Z (1 e
630 2000 6t 2000
) /180
显然，t=30时，污染达到高峰，所以
C (30) Z (1 e ) /180 (4.782 104 ) Z
显然x不能取零值，即私舰不可能追上走私船。 （3）若a>b，即k>1，显然缉私舰也不可能追上走私船。
案例4 湖泊污染问题
如图所示一个容量为2000m3的小湖的示
意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，
以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05 时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容
图3 小湖示意图
dt 8000
（2）解 微分方程的通解为：
y ke
由初始条件 k
t 8000
y0 ，故有
y y0e
t 8000
由问题，当
y 0.0624 y0 ，代入原方程
0.0624 y0 y0e
t 8000
t 8000ln 0.0624 22400 （年）
案例3、追线问题
W 3、体重的变化／天＝ t
dW (千克／天) t 0 dt
1、翻译或转化： 2、配备物理单位：
3、建立表达式：
4、确定条件：
单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位
的匹配，利用
cal 1kg 10000
1、翻译或转化： 2、配备物理单位：
设湖水在t时的污染程度为C(t)，
X A
即每立方米受污染的水中含有Cm3
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用 分钟作为时间t的单位。在0<t<30的
B
时间内，污染物流入湖中
小湖示意图
的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速 率是60×0.1C (m3/min)，因为每立方流走的水中含 有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不
T Ce
kt
21
由已知， T (0) 37 , T (t ) 29 , T (t 1) 27
可得微分方程的特解： t 4 T (t ) 16 21 3 由 T (t ) 29 ，代入解得 t 2.4094 因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
解得 W (t ) W (0)e0.0016t 57.1526e0.0016t 因此，n周后的体重为W (7n) 57.1526e0.00167 n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带 到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年 前？
dt
3、配备物理单位：
在建模中应注意每一项采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学
陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
二、微分方程案例分析
案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体 的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天 晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她 饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立 一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？
如何消去时间t?
1、求导：
ds 2、速度与路程的关系： b dt dt 3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大）
4、将第2、3步代入第1步，可得模型
追线模型：
2 d2y dy x 2 k 1 dx dx y (c) 0 , y(c) 0
图1 尸体的温度 下降曲线
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程． 2、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素 C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引 起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体 中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的 C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放 射性碳便以每年八千分之一的速度减少）
X A
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急 措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰； （2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
0.0016t
现回答上述问题 （1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
dW (b 16W ) /10000 0 （2）要满足体重不增，即 dt 所以 b 16W 16 57.1256 914 (cal)
dW （3）由于每天不摄取能量，所以 dt 0.0016W
则
0.0016t
初始条件为： W (3) 57.26799 ，代入解出
W (t ) 81.25 86.89812e
W (4) 57.40625kg
0.0016t
（2）当 t 4 时，食物的摄入量恢复正常
dW (2500 1200) 16W dt 10000 积分后可求得其通解为：
W (t ) 81.25 24.0974e
0.0016t
W (3) 57.26799kg
（2）当 3 t 4 时，每天体重的变化：
dW (3500 1200) 16W dt 10000
积分后可求得其通解为：
W (t ) 143.75 C2e
C2 86.89812
dC 因污染源被截断，故微分方程变为 2000 6C dt
它的特解为：
C (t ) C (30)e
6t 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C (30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z )
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
Z取不同值时的浓度C(30)和时间T
Z / m3 C (30) / m3
T / min
5 0.00239 552
10 0.00478 738
15 0.00717 918
20 0.00956 1014
案例5 药物在体内的变化（房室模型）
何为房室系统？
在用微分方程研究实际问题时，人们常常采用一种 叫‚房室系统‛的观点来考察问题。根据研究对象的特 征或研究的不同精度要求，我们把研究对象看成一个整 体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某种 联系的部分（多房室系统）。
二、微分方程模型
微分方程的建模步骤
1、翻译或转化： 在实际问题中许多表示导数的常用词，如 ‚速率‛、‘增长‛(在生物学以及人口问题研究中)， ‚衰变‛(在放射性问题中)，以及‚边际的‛(在经 济学中)等． 2、建立瞬时表达式： 根据自变量有微小改变△t时，因变量的增 量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令 dW △t →0，即得到 的表达式．
微分方程模型
一、微分方程建模简介
二、微分方程模型
三、微分方程案例分析 四、微分方程的MATLAB求解 五、微分方程综合案例分析
一、微分方程模型简介
微分方程是研究变化规律的有力工具，在科 技、工程、经济管理、生态、环境、人口和 交通各个领域中有广泛的应用。 不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都 遵循着下面的模式：
3、建立表达式：
4、确定条件：
建立表达式 （1）当 0 t 3 时，每天体重的变化：
dW (2500 1200 ) 16W dt 10000
积分后可求得其通解为：
W (t ) 81.25 C1e
则
0.0016t
初始条件为： W0 57.1526，代入解出 C1 24.0974
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c) 0, k b / a
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
1 k
1 x 1 k c
k 1
ck 2 1 k
ck abc 即走私船被缉私舰捕捉前 1 k 2 b2 a 2 ck abc y 所跑过的距离为 1 k 2 b2 a 2 y bc t 所花的时间为 a b2 a2 1 x2 c2 x （2）若a=b，即k=1，由积分式得 y 2 2c c ln c
（1）问题分析与模型的建立
1、放射性衰变的这种性质还可描述为‚放射性物 质在任意时刻的衰变速度都与该物质现存的数量 成比例‛。而C14的比例数为每年八千分之一。 2、碳14年代测定可计算出生物体的死亡时间；所 以，我们问题实际上就是：‚这人死去多久了？‛ 若设t为死后年数，y(t)为比例数，则y(t)=C14/C12 (mgC14/mgC12)，则上文中最后一句话就给出了我 们的微分方程，单位为mgC14/mgC12/yr(与关键词 ‚速率‛相当) dy y
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）
引例一
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是 29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下 降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者 的死亡时间。
解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k 为比例系数。由牛顿冷却定律，得
则通解为
dT k (T T0 ) dt
变，所以可列方程：
湖水中含污染物的瞬时变化率=污染物流入量－污染物排出量
dC Z 2000 6C dt 30
由初始条件： C (0) 0 ，可得微分方程的特解为
C (t ) Z (1 e
630 2000 6t 2000
) /180
显然，t=30时，污染达到高峰，所以
C (30) Z (1 e ) /180 (4.782 104 ) Z
显然x不能取零值，即私舰不可能追上走私船。 （3）若a>b，即k>1，显然缉私舰也不可能追上走私船。
案例4 湖泊污染问题
如图所示一个容量为2000m3的小湖的示
意图，通过小河A水以0.1m3/s的速度流入，
以相同的流量湖水通过B流出。在上午11:05 时，因交通事故一个盛有毒性化学物质的容
图3 小湖示意图
dt 8000
（2）解 微分方程的通解为：
y ke
由初始条件 k
t 8000
y0 ，故有
y y0e
t 8000
由问题，当
y 0.0624 y0 ，代入原方程
0.0624 y0 y0e
t 8000
t 8000ln 0.0624 22400 （年）
案例3、追线问题
W 3、体重的变化／天＝ t
dW (千克／天) t 0 dt
1、翻译或转化： 2、配备物理单位：
3、建立表达式：
4、确定条件：
单位匹配
有些量是用能量(cal)的形式给出的，而另外 一些量是用重量的形式(cal)给出，考虑单位
的匹配，利用
cal 1kg 10000
1、翻译或转化： 2、配备物理单位：
设湖水在t时的污染程度为C(t)，
X A
即每立方米受污染的水中含有Cm3
的化学物质和(1-C)m3的清洁水。用 分钟作为时间t的单位。在0<t<30的
B
时间内，污染物流入湖中
小湖示意图
的速率是Z/30(m3/min)，而排出湖外的污染物的速 率是60×0.1C (m3/min)，因为每立方流走的水中含 有Cm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不
T Ce
kt
21
由已知， T (0) 37 , T (t ) 29 , T (t 1) 27
可得微分方程的特解： t 4 T (t ) 16 21 3 由 T (t ) 29 ，代入解得 t 2.4094 因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
因此每天总卡路里摄取量是1200+914＝2114cal
解得 W (t ) W (0)e0.0016t 57.1526e0.0016t 因此，n周后的体重为W (7n) 57.1526e0.00167 n
案例2 在一个巴基斯坦洞穴里，发现了具有古代 尼安德特人特征的人骨碎片，科学家们把它们带 到实验室，作碳14年代测定。分析表明C14与C12的 比例仅仅是活组织内的6.24％，此人生活在多少年 前？
dt
3、配备物理单位：
在建模中应注意每一项采用同样的物理单位． 4、确定条件： 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界 上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确
定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学
陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。
二、微分方程案例分析
案例1：一位女士每天摄入2500cal食物，1200cal 用于基本新陈代谢(即自动消耗)，并以每千克体重 消耗16cal用于日常锻炼，其他的热量转变为身体 的脂肪（设10000cal可转换成1kg脂肪）。星期天 晚上，该女士的体重是57.1526kg，星期四那天她 饱餐了一顿，共摄入了3500cal的食物，要求建立 一个通过时间预测体重的数学模型，并用它估计： （1）星期六该女士的体重？ （2）为了不增重，每天她最多的摄入量是多少？ （3）若不进食，N周后她的体重是多少？
如何消去时间t?
1、求导：
ds 2、速度与路程的关系： b dt dt 3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大）
4、将第2、3步代入第1步，可得模型
追线模型：
2 d2y dy x 2 k 1 dx dx y (c) 0 , y(c) 0
图1 尸体的温度 下降曲线
建立微分方程的常用方法
1、按变化规律直接列方程，如： 利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律， 如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题 直接列出微分方程． 2、利用微元分析方法建模 根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出 微分方程。 3、模拟近似法，如： 在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清 楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验 数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足 的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。
（碳14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素 C14。这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引 起的，经过一系列交换过程进入活组织中，直到在生物体 中达到平衡浓度。这意味着在活体中，C14的数量与稳定的 C12的数量成定比。生物体死亡后，交换过程就停止了，放 射性碳便以每年八千分之一的速度减少）
X A
器倾翻，图中X点处注入湖中。在采取紧急 措施后，于11:35事故得到控制，但数量不详
B
的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z的量在5~20m3之间。 建立一个模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化
并估计：
（1）湖水何时到达污染高峰； （2）何时污染程度可降至安全水平(<0.05%)
湖泊污染问题分析
0.0016t
现回答上述问题 （1）t 6 代入对应方程，求得
W (6) 57.48247kg
dW (b 16W ) /10000 0 （2）要满足体重不增，即 dt 所以 b 16W 16 57.1256 914 (cal)
dW （3）由于每天不摄取能量，所以 dt 0.0016W
则
0.0016t
初始条件为： W (3) 57.26799 ，代入解出
W (t ) 81.25 86.89812e
W (4) 57.40625kg
0.0016t
（2）当 t 4 时，食物的摄入量恢复正常
dW (2500 1200) 16W dt 10000 积分后可求得其通解为：
W (t ) 81.25 24.0974e
0.0016t
W (3) 57.26799kg
（2）当 3 t 4 时，每天体重的变化：
dW (3500 1200) 16W dt 10000
积分后可求得其通解为：
W (t ) 143.75 C2e
C2 86.89812
dC 因污染源被截断，故微分方程变为 2000 6C dt
它的特解为：
C (t ) C (30)e
6t 2000
当达到安全水平，即C(t)=0.0005时，可求出 此时的t=T，即
T 30 (2000 / 6) ln(0.0005 / C (30))
解得
T 30 (2000 / 6) ln(0.9564Z )