2019学年人教版高一数学必修四课后提升作业 2 1.1.2 弧度制(含解析)

课后提升作业二

弧度制

(45分钟 70分)

一、选择题(每小题5分,共40分)

1.与30°角终边相同的角的集合是( )

A.

B.

C.

D.

【解析】选D.30°化为弧度为30×=,所以与终边相同的角的集合为.

【误区警示】本题易选A或B,错选的原因是忽视了角的表示中,角度制与弧度制不能混合使用.

2.5弧度的角的终边所在的象限为( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选D.因为π<5<2π,故5弧度角的终边在第四象限.

【补偿训练】2弧度的角所在的象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【解析】选B.因为<2<π,故2弧度角终边在第二象限.

3.在半径为10cm的圆中,的圆心角所对弧长为( )

A.π

B.π

C.

D.

【解析】选A.由弧长公式l=αr=×10=.

4.(2019·菏泽高二检测)将2025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是

( )

A.10π-

B.10π+

C.12π-

D.10π+

【解析】选B.2025°=5×360°+225°,又225°=π,

故2025°化成α+2kπ(0≤α<2π)的形式为：10π+.

5.(2019·玉山高一检测)已知扇形的半径是2,面积是8,则此扇形的圆心角的弧度数是( )

A.4

B.2

C.8

D.1

【解析】选A.根据扇形的面积公式S=αr2,

得8=α×4,所以α=4.

6.已知θ∈,则θ所在的象限是( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第一或第二象限

D.第三或第四象限

【解析】选C.因为θ∈.

所以设θ=nπ+(-1)n·,n∈Z,

当n=2m,m∈Z时,θ=2mπ+,在第一象限;

当n=2m+1,m∈Z时,θ=2mπ+π,在第二象限,

所以角θ在第一或第二象限.

7.(2019·济南高一检测)把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ为( )

A.-

B.-

C.

D.

【解析】选A.因为-=-2π-,

此时|θ|最小,故θ=-.

8.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是

( )

【解析】选C.当k为偶数时,令k=2n,n∈Z,则集合可化为

表示的范围为区域;当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,则集合可化为

,表示的范围为区域,故选C.

二、填空题(每小题5分,共10分)

9.(2019·重庆高一检测)若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6,则四个内角的弧度数依次为 .

【解析】由四边形的内角和为2π,四个内角之比为1∶3∶5∶6,所以四个内角依次为：×2π,×2π,×2π,×2π,即, , ,

.

答案：, , ,

10.(2019·杭州高一检测)已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°,半径r=20cm,则该扇形周长为 .

【解析】因为1°=rad,所以54°=×54=.

则扇形的弧长为l=αr=×20=6π(cm),

故扇形的周长为40+6π(cm).

答案：40+6π(cm)

【补偿训练】(2019·北京高一检测)如图,扇形AOB的面积是1,它的弧长是2,则扇形的圆心角α的弧度数为 ;弦AB的长为 .

【解析】由扇形面积公式S=l r,又α= ,可得S=· ,所以α=2,易得r=1,结合图象知AB=2rsin=2sin1.

答案：2 2sin1

三、解答题(每小题10分,共20分)

11.试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合.

【解析】因为的终边与-的终边相同,故终边落在阴影区域内角的集合S=.

【补偿训练】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界),并判断2019°是不是这个集合的元素.

【解析】因为150°=π,所以终边落在阴影区域内角的集合为

S=.

因为2019°=214°+5×360°=+10π.

又π<<,而2019°与π终边相同,

所以2019°∈S.

12.已知α=1690°,

(1)把α表示成2kπ+β的形式,其中k∈Z,β∈[0,2π).

(2)求θ,使θ与α的终边相同,且θ∈[-4π,-2π).

【解析】(1)因为1690°=4×360°+250°=8π+,

所以α=8π+.

(2)因为θ=2kπ+(k∈Z),且θ∈[-4π,-2π),

所以θ=-.

【延伸探究】本题(1)条件不变,判断角α所在的象限.

【解析】因为角α=8π+,所以角α与角终边相同,而角的终边在第三象限,所以角α为第三象限角.

【水平挑战题】

已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.

(1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小.

(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.

【解析】(1)因为圆O的半径为10,弦AB的长为10,所以△AOB为等边三角形,∠AOB=,所以α=.

(2)因为α=,所以l=|α|·r=.

S扇=l r=××10=,

又S△AOB=×10×10sin=25,

所以S=S扇-S△AOB=-25=50.