群的同构定理

§3.4 群的同构定理

同态基本定理：设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则

ker G G ϕ≅ 。

用图表示：

将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理。

定理1 (第一同构定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个满同态，且 ker N G ϕ⊆<，记()N N ϕ=，则

G G N N

≅，或 ()()G G N N ϕϕ≅。

当ker N ϕ=时，{}()N e ϕ=，{}G G G e N =≅，第一同构定理退化 成同态基本定理

第一同构定理也可以用图表示：

证明 首先，由N G <有()N N G ϕ=<。作映射：

:G G N N τ→， ()()xN x N τϕ=，G xN N ∀∈。

以下验证τ是G N 到G N 的一个同构映射。

（1）是映射：设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈，于是 11()()()()a b a b N N ϕϕϕϕ--=∈=，从而()()a N b N ϕϕ=，

即G N 中的每个赔集在τ下的像唯一，因此τ确为G N 到G N

的一个映射。

（2）是满射：()G aN a G N

∀∈∈，因为ϕ是满射，所以存在 a G ∈，使得()a a ϕ=，从而存在G aN N ∈，使得()aN a N τ=， 即是满射。

（3）是单射：设()()aN bN ττ=，即()()a N b N ϕϕ=，从而

11()()()a b a b N ϕϕϕ--=∈。但ϕ是满同态且()N N ϕ=，所以 c N ∃∈，使得11111()()()Ker a b c a b c e a bc ϕϕϕϕ-----=⇒⋅=⇒∈。 于是由已知条件ker N ϕ⊆得11111a bc N a b a bc c N -----∈⇒=⋅∈， 从而aN bN =，即是单射。

（4）又由于

()(())()()()()()()()aN bN ab N ab N a b N a N b N aN bN ττϕϕϕϕϕττ⋅====⋅=， 所以τ是G N 到G N 的一个同态映射。

综上所述，σ是G N 到G N 的一个同构。所以G G N N ≅

。

推论1. 设,H G N G <<且N H ⊆，则

G G N H H N ≅ 。

证明 取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核Ker N ϕ=。 在第一同构定理中取G G N =，取N 为这里的H ，并注意

()H H N ϕ=，由第一同构定理得

G G N H H N ≅ 。

例1 设,H G K G <<，证明

G G H HK HK H ≅ 。

证明 由,H G K G HK G ⇒<<<。又显然H HK <，直接由推论得

G G H HK HK H ≅ 。

注意：交换,H K 的位置也可以得

G G K HK HK

K ≅ 。

定理2 (第二同构定理) 设G 是群，H G ≤，N G <，则

H N H I <，且 ()HN H N H N ≅I 。

第二同构定理也可以用图表示：

证明：由H G ≤，N G <有HN G ≤，且N HN <。作映射

:HN H N ϕ→，()x xN ϕ=，x H ∀∈，

则ϕ显然是H 到HN N 的满同态。且

{}{}{},(),,Ker x x H x N x x H xN N x x H x N H N ϕϕ=∈==∈==∈∈=I ，

于是由同态基本定理得

()HN H H N N ≅I 。

例2 34,S S 设分别为3次、4次对称群，4K 是Klein 四元群，

证明：434S S K ≅。

证明 首先44K S <（见前面）。以下验证：434S S K = 且

34{}S K e =I ，再用第二同构定理即可得证。事实上，把3S 中 的每个置换看成保持4不动，则显然34{}S K e =I 成立。于是

343434

||||||6424||S K S K S K ⋅==⨯=I 。 又344S K S ⊆且4||24S =，所以434S S K =。于是由第二同构定理

3433434434(){}S K S S S S K K S K e ≅≅≅≅I 。

定理3(第三同构定理) 设G 是群，且N G <，G H N ≤，则

（1）存在G 的唯一子群,H G H N ≤⊇，使得H H N =；

（2）当G H N <时，存在G 的唯一正规子群,H G H N ⊇<， 使得H H N =，且G G N H H N ≅ 。

第三同构定理表明：商群G N 的子群仍为商群，且呈H N 的 形式，其中；而且H 是G 的正规子群当且仅当 H N 是G N

的正规子群。

证明 （1）取自然同态:G G N ϕ→，()a aN ϕ=，其核Ker N ϕ=。 由上一节定理4知，在G 的包含N 的子群与G N 的所有子群 之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当G H N ≤时， 必然存在G 的唯一的子群,H G H N ≤⊇与之对应，即()H H ϕ=。 另一方面，根据ϕ的定义有()H H N ϕ=，所以H H N =。

（2）还是由上一节定理4，当G H N <时，存在G 的唯一的正 规子群,H G H N ⊇<，使得H H N =。再由第一同构定理得

()()G G G N H H H N ϕϕ≅≅ 。

（此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的

配合和支持）