高考名校联考信息优化卷(三)

高考名校联考信息优化卷（三）一、选择题（共12小题；共60分）1. 设全集U=A∪B，定义：A−B={x∣ x∈A,且x∉B}．若集合A，B分别用圆表示，则下列各选项的图中阴影部分表示A−B的是( )A. B.C. D.2. 若复数z=a+i2−i（a是实数，i是虚数单位）的实部为1，则z的虚部为( )A. 32B. 12C. 52D. 13. 已知命题p:"若x2−3x+2=0,则x=1"的逆否命题为"若x≠1,则x2−3x+2≠0"，命题q:"a12>b12"的充要条件为"lna＞lnb"，则下列命题中为假命题的是( )A. p∨qB. p∧qC. (¬p)∨qD. p∧(¬q)4. 已知双曲线x2−y2a2=1(a>0)的渐近线与圆(x−1)2+y2=34相切，则a=( )A. √2B. √5C. √3D. 2√25. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 12B. 13C. 14D. 156. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A. (54,74] B. (34,45] C. (1,54] D. (34,54]7. 已知数列{a n}中a1=4，a n+1=a n+2√a n+1，则√a100=( )A. 100B. 101C. 102D. 1038. 如图所示，元件A i(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率为( )A. 0.729B. 0.8829C. 0.864D. 0.98919. 已知由不等式组 {x ≤0y ≥0y −kx ≤2y −x −4≤0 确定的平面 Ω 的面积为 7，点 M (x,y )∈Ω，则 z =x −2y 的最小值是 ( ) A. −8B. −7C. −6D. −410. 已知四棱锥 P −ABCD 的顶点都在球 O 上，底面 ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，AB =2AD =4，则球 O 的表面积为 ( ) A. 323πB. 32πC. 64πD. 323π11. 设F 为抛物线 C:x 2=12y 的焦点，A 、 B 、 C 为抛物线上不同的三点，若 FA⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 ∣FA ∣+∣FB ∣+∣FC ∣= ( )A. 3B. 9C. 12D. 1812. 若存在实数 m ，n ，使得 1e x −ax ≥0 的解集恰为 [m,n ]，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (1e 2,1e )B. (0,1e 2]C. (0,12e )D. (1,1e )二、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知向量 a =(2,3)，b ⃗ =(x,−2)，且 a 与 2a −b ⃗ 共线，则实数 x 的值为 ( )．14. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果为 ( )．15. 若 (x −2x )n的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数相等，则直线 y =nx 与曲线 y =x 2 所围成的封闭区域的面积为 ( )．16. 已知数列 {a n } 满足 a 1=1，a 2=2，且 a n+2=(2+cosnπ)⋅(a n −1)+3,n ∈N ∗，设 {a n } 的前n 项和为 S n ，则 S 2n−1= ( ) （用 n 表示）．三、解答题（共8小题；共104分）17. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2csinC =(2b −a )sinB +(2a −b )sinA ．Ⅰ 求角 C 的大小． Ⅱ 若 c =2，且 sinC =sin (B −A )=2sin2A ，求 △ABC 的面积．18. “双十—”期间，某经销商试销 M ，N 两种商品，为了调查顾客对 M ，N 两种商品的满意程度，对顾客进行了问卷调查，参与调查的 M ，N 两种商品件数相同，成绩分为 A ，B ，C ，D ，E五个等级．已知M，N两种商品的调查成绩数据统计分别如图所示，其中M商品的成绩等级为B 的有10件．Ⅰ求调查问卷中N商品的成绩等级为D的件数，若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求调查问卷中M商品成绩的平均分．Ⅱ若从本次调查问卷的成绩等级为D的商品中任取2件，记这2件商品中M商品的件数为X，求X的分布列和数学期望．19. 如图所示，在四棱锥D−ABCE中，ABCE为直角梯形，平面DAE⊥平面ABCE，AD⊥DE，AB∥CE，AB⊥BC，且AB=√3AD=3，EC=2DE=2．Ⅰ求证：AE⊥BD．Ⅱ求二面角A−DE−B的余弦值20. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x−y+2=0相切．Ⅰ求椭圆C的标准方程Ⅱ设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C与M、N两个不同的点，记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．21. 设函数f(x)=x−4x−alnx(a∈R)Ⅰ若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的极值．Ⅱ当a≤4时，若不等式f(x)≥1在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．22. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，D是劣弧BC⏜的中点，连接AD并延长，与过点C的切线交于点P，OD与BC相交于点E．Ⅰ 求证：OE =12ACⅡ 若 PDPA =13，求 BDAC 的值23. 已知直线 l:{x =−√2+12ty =√32t （ t 为参数），曲线 C 1:{x =√6cosθy =√6sinθ（ θ 为参数）Ⅰ 设直线 l 与曲线 C 1 相交于 A ，B 两点，求 ∣AB ∣Ⅱ 若把曲线 C 1 上各点的横坐标缩短为原来的 √612，纵坐标缩短为原来的 √24，得到曲线 C 2，设点P 是曲线 C 2 上一个动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．24. 已知函数 f (x )=∣x +12∣+∣x −32∣Ⅰ 求不等式 f (x )≥3 的解集．Ⅱ 若关于 x 的不等式 f (x )<12∣1−a ∣ 的解集是空集，求实数 a 的取值范围．答案第一部分1. C2. D3. D4. C5. C6. A7. B8. B9. B 10. D11. D 12. D 第二部分 13. −4314. 7 15.125616. 3n−1+n 2−1第三部分17. （1） 由已知及正弦定理可得 2c 2=(2b −a )b +(2a −b )a ， 整理得 b 2+a 2−c 2=ab ， 所以 cosC =12．又 c ∈(0,π)， 故 C =π3．（2） 由 sinC +sin (B −A )=sin (A +B )+sin (B −A )=2sin2A ， 可得 sinBcosA =2sinAcosA ， 所以 cosA =0 或 sinB =2sinA ． 当 cosA =0 时，A =π2，则 b =√3，S △ABC =12bc =12√3×2=2√33， 当 sinB =2sinA 时，b =2a ，cosC =a 2+4a 2−42×a×2a=12，得 a 2=43．所以 S △ABC =12absinC =12×a ×2a ×√32=2√33． 综上所述 S △ABC =2√33． 18. （1） 因为调查问卷中 M 商品的成绩等级为 B 有 10 件， 所以参加问卷调查的 M 商品共 10÷0.25=40 件， 又参与调查的 M ，N 两种商品件数相同， 所以调查问卷中 N 商品的成绩等级为 D 的件数为40×(1−0.375−0.375−0.150−0.025)=40×0.075=3． 因为调查问卷中 M 商品的成绩等级为 D 的频率为 1−0.375−0.250−0.200−0.075=0.100 故调查问卷中 M 商品成绩的平均分为3×0.200+2×0.100+5×0.375+4×0.250+1×0.075=3.75．（2） 由1知，调查问卷中 M 商品的成绩等级为 D 的件数为 40×0.100=4，又调查问卷中 N 商品的成绩等级为 D 的件数为 3， 所以X 的所有可能取值为 0，1，2． P (X =0)=C 32C 72=17，P (X =1)=C 41C 31C 72=47，P (X =2)=C 42C 72=27，故 X 的分布列为EX =0×17+1×47+2×27=8．19. （1） 过点 D 作 DO ⊥AE 于点 O ，连接 BO ，因为 平面DAE ⊥平面ABCE ，平面DAE ∩平面ABCE =AE ， 所以 DO ⊥平面ABCE由已知可得 ∠DAE =30∘，∠EAB =60∘， 又 AD =√3，所以 AO =32． 在 △OAB 中，由余弦定理得 BO =3√32， 所以 AB 2=AO 2+BO 2，所以 AE ⊥BO ，又 AE ⊥DO ，所以 AE ⊥平面DOB ，BD ⊂平面DOB ，所以 AE ⊥DB ． （2） ①解法一建立如图所示的空间直角坐标系 O −xyz ， 则 A (32,0,0)，E (−12,0,0)，B (0,3√32,0)，D (0,0,√32) DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3√32,−√32)，EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,3√32,0)， 易知平面 ADE 的一个法向量为 n ⃗ =(0,1,0)， 设平面 DBE 的法向量为 m ⃗⃗ =(x,y,z )， 由 {m ⃗⃗ ⋅EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 {x +3√3y =03y −z =0，令 y =1，则 x =−3√3，z =3，所以 m ⃗⃗ =(−3√3,1,3) 为平面 DBE 的一个法向量， 所以 cos ⟨m ⃗⃗ ,n ⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣∣∣∣n ⃗ ∣∣=√37=√3737， 由图知二面角 A −DE −B 为锐角， 所以二面角 A −DE −B 的余弦值为 √3737．②解法二过点O作OF⊥DE于点F，连接FB，因为OB⊥AE，平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，所以OB⊥平面ADE，OB⊥DE．又OF∩OB=O，所以DE⊥平面FOB，DE⊥BF，所以∠OFB就是二面角A−DE−B的平面角．因为DO=√32,OE=12，所以OF=√34，因为OB=3√32，∠BOF=90∘，所以tan∠OFB=OBOF =3√32√34=6，所以cos∠OFB=√3737，即二面角A−DE−B的余弦值为√3737．20. （1）由题意知e=ca =√22，所以e2=c2a2=a2−b2a2=12，即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x−y+ 2=0相切，所以b=√12+(−1)2=√2，所以a2=b，b2=a，故椭圆C的标准方程为x 24+y22=1．（2）①通解设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线OQ:x=my，则直线MN:x=my+√2，由 {x =my +√2x 24+y 22=1得 (m 2+2)y 2+2√2my −2=0，y 1+y 2=−2√2m m 2+2，y 1y 2=−2m 2+2．所以∣MN ∣=√m 2+1∣y 2−y 2∣=√m 2+1√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√m 2+1√(−2√2m m 2+2)(−2m 2+2)=4(m 2+1)m 2+2， 因为 MN ∥OQ ，所以 △QF 2M 的面积等于 △OF 2M 的面积，S =S 1+S 2=S △OMN ， 因为点 O 到直线 MN:x =my +√2 的距离 d =√2√m 2+1， 所以 S =12∣MN ∣⋅d =12×4(m 2+1)m 2+2×√2√m 2+1=2√2×√m 2+1m 2+2 令 √m 2+1=t ，则 m 2=t 2−1(t ≥1)，S =2√2tt 2+1=2√2t+1t，因为 t +1t ≥2√t ⋅1t =2(当且仅当t =1t ,即t =1,也即m =0时取等号)， 所以当 m =0 时，取得最大值 √2． ②优解设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，直线 OQ:x =my ， 则直线 MN:x =my +√2，由 {x =my +√2x 24+y 22=1得 (m 2+2)y 2+2√2my −2=0，Δ=8m 2+8(m 2+2)=16(m 2+1)，∣y 1−y 2∣=√Δm 2+2=4√m 2+1m 2+2=√m 2+1+1√2≤2（当且仅当 √m 2+1=2，即 m =0 时等号成立）因为 MN ∥OQ ，所以 △QF 2M 的面积等于 △OF 2M 的面积， S =S 1+S 2=S △OF 2m +S △OF 2N =12c ∣y 1∣+12c ∣y 2∣=√22∣y 1−y 2∣≤√2，所以当 m =0 时，取得最大值 √2． 21. （1） 函数 f (x ) 的定义域为 (0,+∞)． fʹ(x )=1+4x 2−ax =x 2−ax+4x 2，所以 fʹ(1)=5−a ，故曲线 y =f (x ) 在点 (1,f (1)) 处的切线的斜率的 5−a ． 由题意可得 5−a =0，解得 a =5． 此时，fʹ(x )=x 2−5x+4x 2=(x−1)(x−4)x 2由 fʹ(x )=0 解得 x =1 或 4．f (x ) 、 fʹ(x ) 随 x 的变化情况入下表：所以函数 f (x ) 的极大值为 f (1)=1−14=3−10ln2． （2） 由不等式 f (x )≥1 在区间 [1,4] 上有解可知， f (x ) 在区间 [1,4] 上的最大值不小于 1 由1知 fʹ(x )=x 2−ax+4x 2，对于方程 x 2−ax +4=0，Δ=(−a )2−4×1×4=a 2−16，①当 a ∈[−4,4] 时，Δ≤0，故 fʹ(x )≥0 恒成立，f (x ) 在 [1,4] 上单调递增，故 f (x ) 在 [1,4] 上的最大值为 f (4)=4−44−aln4=3−2aln2， 故由 f (4)≥1，得 3−2aln2≥1 ，解得 a ≤1ln2又 a ∈[−4,4] ，所以 a ∈[−4,1ln2]．②当 a <−4 时，Δ>0，fʹ(x )=0 的两根为 x 1=a−√a 2−162，x 2=a+√a 2−162．此时 x 1<0，x 2<0，故 f (x ) 在 [1,4] 上单调递增， 由①知，a ≤1ln2，又 a <−4， 故 a <−4综上所述 a 的取值范围为 (−∞,1ln2]． 22. （1） ①解法一 因为 AB 是 ⊙O 的直径， 所以 ∠ACB =90∘，即 AC ⊥BC ， 因为 D 是劣弧 BC ⏜ 的中点， 所以 OD ⊥BC ， 所以 OD ∥AC ， 又点 O 是 AB 的中点， 所以点 E 是 BC 的中点， 所以 OE =12AC ． ②解法二因为 D 是劣弧 BC ⏜ 的中点， 所以点 E 是 BC 的中点 所以 OE ∥AC ，且 OE =12AC ． （2） ①解法一 连接 DC ，因为 PC 是 ⊙O 的切线， 所以 ∠PCD =∠PAC ， 又 ∠CPD =∠APC ， 所以 △PCD ∽△PAC ． 故 PCPA =PD PC=CD AC ,PDPA =PD⋅PCPC⋅PA =CD 2AC 2又 D 是劣弧 BC ⏜ 的中点，且 OD ⊥BC 所以 CD =BD ，因此 PD PA=BD 2AC 2，又PD PA=13，所以BD AC=√33． ②解法二连接 DC ，设 PD =k,k >0，则 PA =3k ， 因为 PC 是 ⊙O 的切线，所以 PC 2=PD ⋅PA =√3k ，且 ∠PCD =∠PAC 又 ∠CPD =∠APC ， 所以 △PCD ∽△PAC ， 所以PC PA=CD AC，又 D 是劣弧 BC ⏜ 的中点，且 OD ⊥BC 所以 CD =BD ，因此 PC PA=BD AC，又PC PA=√33， 所以BD AC=√33． 23. （1） ①解法一：直线 l 的普通方程为 y =√3(x +√2)，曲线 C 1 的普通方程为 x 2+y 2=6．联立 {y =√3(x +√2)x 2+y 2=6，解得直线 l 与曲线 C 1 的交点为 A(0,√6)，B (−3√22,−√62) （不妨设点 A 在点 B 的右侧）， 所以 ∣AB ∣=√(0−−3√22)2+(√6−−√62)2=3√2．②解法二：直线 l 的普通方程为 y =√3(x +√2)，曲线 C 1 的普通方程为 x 2+y 2=6， 则圆心 (0,0) 到直线l 的距离为 √62， 所以 ∣AB ∣=2√(√6)2−(√62)2=3√2（2） ①解法一：曲线 C 2 的参数方程为 {x =12cosθy =√32sinθ（ θ 为参数），故点 P 的坐标为 (12cosθ,√32sinθ)， 所以点 P 到直线 l 的距离 d =∣√32cosθ−√32sinθ+√6∣2=√34−√2sin (θ−π4)+2√2∣因此当 sin (θ−π4)=1 时，d 取得最小值，且最小值为 √64． ②解法二：曲线 C 2 的参数方程为 {x =12cosθy =√32sinθ （ θ 为参数），将其转化为普通方程为 (2x )2+(3)2=1，即 4x 2+43y 2=1．第11页（共11 页） 设于直线 l 平行的直线系方程为 y =√3x +m ，将 4x 2+43y 2=1 与 y =√3x +m 联立得，24x 2+8√3mx +4m 2−3=0，由 Δ=(8√3m)2−4×24×(4m 2−3)=0 得 m =±√62， 分析可知当 m =√62 时，d 取得最小值，且最小值为 √6−√622=√64． 24. （1） 原不等式等价于 {x >322x +1+2x −3≤6或 {−12≤x ≤322x +1−(2x −3)≤6 或 {x <−12−(2x +1)−(2x −3)≤6 解得 32<x ≤2 或 −12≤x ≤32 或 −1≤x <−12，即不等式的解集为 {x∣ −1≤x ≤2}．（2） 由 f (x )<12∣1−a ∣，可得 2f (x )<∣a −1∣，又 2f (x )=∣2x +1∣+∣2x −3∣≥∣(2x +1)−(2x −3)∣=4， 因为关于 x 的不等式 f (x )<12∣1−a ∣ 的解集是空集， 所以 ∣a −1∣≤4，解得 −3≤a ≤5，故实数 a 的取值范围是 [−3,5]。