高考名校联考信息优化卷(三)

高考名校联考信息优化卷（三）

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 设全集U=A∪B，定义：A−B={x∣ x∈A,且x∉B}．若集合A，B分别用圆表示，则下列各选

项的图中阴影部分表示A−B的是( )

A. B.

C. D.

2. 若复数z=a+i

2−i

（a是实数，i是虚数单位）的实部为1，则z的虚部为( )

A. 3

2B. 1

2

C. 5

2

D. 1

3. 已知命题p:"若x2−3x+2=0,则x=1"的逆否命题为"若x≠1,则x2−3x+2≠0"，命题q:"a12>b12"的充要条件为"lna＞lnb"，则下列命题中为假命题的是( )

A. p∨q

B. p∧q

C. (¬p)∨q

D. p∧(¬q)

4. 已知双曲线x2−y2

a2=1(a>0)的渐近线与圆(x−1)2+y2=3

4

相切，则a=( )

A. √2

B. √5

C. √3

D. 2√2

5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A. 12

B. 13

C. 14

D. 15

6. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )

A. (5

4,7

4

] B. (3

4

,4

5

] C. (1,5

4

] D. (3

4

,5

4

]

7. 已知数列{a n}中a1=4，a n+1=a n+2√a n+1，则√a100=( )

A. 100

B. 101

C. 102

D. 103

8. 如图所示，元件A i(i=1,2,3,4)通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电

流能在M，N之间通过的概率为( )

A. 0.729

B. 0.8829

C. 0.864

D. 0.9891

9. 已知由不等式组 {x ≤0y ≥0

y −kx ≤2y −x −4≤0 确定的平面 Ω 的面积为 7，点 M (x,y )∈Ω，则 z =x −2y 的最

小值是 ( ) A. −8

B. −7

C. −6

D. −4

10. 已知四棱锥 P −ABCD 的顶点都在球 O 上，底面 ABCD 是矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，△

PAD 为正三角形，AB =2AD =4，则球 O 的表面积为 ( ) A. 32

3π

B. 32π

C. 64π

D. 32

3π

11. 设F 为抛物线 C:x 2=12y 的焦点，A 、 B 、 C 为抛物线上不同的三点，若 FA

⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 ∣FA ∣+∣FB ∣+∣FC ∣= ( )

A. 3

B. 9

C. 12

D. 18

12. 若存在实数 m ，n ，使得 1

e x −a

x ≥0 的解集恰为 [m,n ]，则实数 a 的取值范围是 ( )

A. (1e 2,1

e )

B. (0,1

e 2]

C. (0,1

2e )

D. (1,1

e )

二、填空题（共4小题；共20分） 13. 已知向量 a =(2,3)，b ⃗ =(x,−2)，且 a 与 2a −b ⃗ 共线，则实数 x 的值为 ( )．

14. 某程序框图如图所示，则该程序框图运行后输出的结果为 ( )．

15. 若 (x −2x )n

的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数相等，则直线 y =nx 与曲线 y =x 2 所围成的封闭区域的面积为 ( )．

16. 已知数列 {a n } 满足 a 1=1，a 2=2，且 a n+2=(2+cosnπ)⋅(a n −1)+3,n ∈N ∗，设 {a n } 的前

n 项和为 S n ，则 S 2n−1= ( ) （用 n 表示）．

三、解答题（共8小题；共104分）

17. 已知 △ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2csinC =(2b −a )sinB +(2a −b )sinA ．

Ⅰ 求角 C 的大小． Ⅱ 若 c =2，且 sinC =sin (B −A )=2sin2A ，求 △ABC 的面积．

18. “双十—”期间，某经销商试销 M ，N 两种商品，为了调查顾客对 M ，N 两种商品的满意程度，

对顾客进行了问卷调查，参与调查的 M ，N 两种商品件数相同，成绩分为 A ，B ，C ，D ，E

五

个等级．已知M，N两种商品的调查成绩数据统计分别如图所示，其中M商品的成绩等级为B 的有10件．

Ⅰ求调查问卷中N商品的成绩等级为D的件数，若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求调查问卷中M商品成绩的平均分．

Ⅱ若从本次调查问卷的成绩等级为D的商品中任取2件，记这2件商品中M商品的件数为X，求X的分布列和数学期望．

19. 如图所示，在四棱锥D−ABCE中，ABCE为直角梯形，平面DAE⊥平面ABCE，AD⊥DE，

AB∥CE，AB⊥BC，且AB=√3AD=3，EC=2DE=2．

Ⅰ求证：AE⊥BD．

Ⅱ求二面角A−DE−B的余弦值

20. 已知椭圆C:x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的离心率为√2

2

，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆

心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x−y+2=0相切．

Ⅰ求椭圆C的标准方程

Ⅱ设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C与M、N两个不同的点，记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值．21. 设函数f(x)=x−4

x

−alnx(a∈R)

Ⅰ若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的极值．

Ⅱ当a≤4时，若不等式f(x)≥1在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．

22. 如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，D是劣弧BC

⏜的中点，连接AD并延长，与过点C的切线交于点P，OD与BC相交于点E．