2021届福建省永安市第一中学高三年级上学期期中考试数学试题及答案
2021学年福建省三明市永安一中高三(上)期中数学试卷
2021学年福建省三明市永安一中高三（上）期中数学试卷包治百病的烧仙草高考数学试卷共享2021-03-31原文注：文末有完整版电子打印资料的获取方式。
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无偿分享！11【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的极值点，求出k的范围即可．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查转化思想，是中档题．12【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积．【分析】由题意画出图形，设AD＝a，由四棱锥外接球的体积求解a，再由矩形及三角形面积公式求四棱锥的表面积．【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查多面体的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．13【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【分析】利用向量的数量积转化求解即可．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，是基础题．14【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，求出函数的极值点，列出方程组求解即可．【点评】本题考查函数的极值的求法，切线方程的应用，是中档题．15【考点】抛物线的性质；直线与抛物线的综合．【分析】直线x＝my+1过（1，0），求出p＝2，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线x＝my+1与抛物线y2＝4x联立，结合韦达定理，然后求解直线的斜率即可．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16【考点】异面直线及其所成的角；平面与平面垂直．【分析】对于①，当P在C点时，DD1⊥AC，可得异面直线AC与DD1所成的角最大，当P在B1点时，异面直线AB1与DD1所成的角最小，即可判断出结论．对于②，利用BD1⊥平面A1C1D，即可判断出结论；对于③，由B1C∥平面A1C1D，可得点P到平面A1C1D的距离为定值，且等于BD1的，即可判断出正误；对于④，直线AP与平面BCC1B1所成的角为∠APB，，当BP⊥B1C 时，BP最小，tan∠APB最大，即可判断出正误．【点评】本题考查了空间角、空间距离，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．2.解答17【考点】函数的定义域及其求法；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）a＝1时函数f（x）＝﹣x，令|x+1|﹣1≥0求出解集即可．（2）化简f（x）＝a，利用换元法求出a的解析式，再根据题意求出a的取值范围．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也运算求解能力，是中档题．用户设置不下载评论。
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理.doc
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集R U =，集合{}{}1|,lg |+====x y y B x y x A ，那么)(B C A U =( )A.φB.]10(，C.)10(，D.),1(+∞ 2. 下列选项中，说法正确的是( ) A ．若0>>b a ，则b a 2121log log >B ．向量()()()1,,,21a m b m m m R ==-∈共线的充要条件是0=mC ．命题“1*2)2(3,-⋅+>∈∀n nn N n ”的否定是“1*2)2(3,-⋅+≤∈∀n n n N n ”D ．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则“01>a ”是“23S S >”的充要条件3. 已知,2,1==→→b a ，且⎪⎭⎫⎝⎛-⊥→→→b a a ，则向量→a 在→b 方向上的投影为（ ）A.21B. 22C. 1D. 24．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若26712a a a ++=，则9S =（ ） A ．20B ．27C ．36D ．455．已知mn 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是（ ） A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥B ．若α⊥m n m ,//则n α⊥C ．若m α⊥，β⊂m ，则αβ⊥ D ．若n m =⋂βαα,//,则n m // 6.将函数sin()12y x π=-的图象上所有的点向右平移4π个单位长度,再把图象上各点 的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则所得图象的的一条对称轴方程为（ ）A ．524x π=B ．512x π= C ．6x π= D ．3x π=7．函数()()22ln x xf x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称g 10药品，他先将g 5的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将g 5的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ． 大于g 10B ．小于g 10C ． 大于等于g 10D ． 小于等于g 109. 已知1a b >>，若ln ,ln ,ln x b b a y a a b z a b b =-=-=-，则（ ） A.z x y << B.z y x << C.x z y << D.y z x <<.10已知三棱锥ABC D -的所有顶点都在球O 的球面上,22,2===AC BC AB ,若三棱锥ABC D -体积的最大值为2,则球O 的表面积为（ ） A ．π8B ．π9C ．325πD ．9121π11.已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩ 其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()()2,11,0---D ．()0,112.将函数sin2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度得到()y f x =的图象，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，则ϕ的取值范围是（ ） A ．,64ππ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．13.已知==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛∈απαππαcos ,534sin ,,2 .14．若0m >，0n >，1m n +=，且()10t t m n+>的最小值为9，则t =______.15. 如图，在等腰三角形ABC 中，已知|AB |=|AC |=1，∠A =120°，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，且μλ==,,其中）（、1,0∈μλ且14=+μλ，若线段EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则||的最小值是 .16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1)2n n n n S a =--，*n N ∈，则12100S S S +++= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17．（本题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，6CD =ACD ∆33（Ⅰ）求AC 的长； （Ⅱ）若AD AB ⊥，4B π∠=，求BC 的长．18.（本题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()*121,N n a n n S S n n ∈-+=，且7,1,531+-a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）已知函数()cos xf x e x =，x x xg sin 3cos )(+=. （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.（Ⅱ）120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦使得不等式()()12g x f x m +≥成立， 求实数m 的取值范围.20.（本题满分12分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：AG ⊥平面ADF ；（Ⅱ）若3AB BC =，求二面角D CA G --的余弦值．21.（本小题满分12分） 已知函数()1,af x nx a R x =+∈（Ⅰ）当1a =-时，若直线y kx b =+是函数()f x 的图像的切线，求k b +的最小值；（Ⅱ）设函数()1()f x g x x-=，若()g x 在2[1,]e 上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负．22. （本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221,93x y +=在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值．23. （本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】 己知0a >，函数()f x x a =-.（Ⅰ）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；（Ⅱ）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()202g x a a ≥-成立，求实数a 的取值范围.参考答案13.102-14.4 15.77 16.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1213110017．⑴∵23D π∠=，CD =ACD ∆∴11sin 22ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯=∴AD =.............................................3分∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴AC =..................................................6分⑵由（1）知ACD ∆中AD =CD =23D π∠=∴6π=∠DAC∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=............................................................................................8分又∵4B π∠=，AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠即3232=,∴33BC =.....................................................................................................12分18.（1）∵，又∴……………………………………………………………..2分又成等比数列．∴，…………………………………….3分 即，解得，………………………………………………………..5分∴。
2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案
2021-2022学年上学期期中考试高三数学（文科）试题考试时间：120分钟 分数：150分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则U C A =( )A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}C.{2,4,7}D.{2,5,7}2. 131ii +- = ( )A. 1+2iB. -1+2iC. 1-2iD. -1-2i3. 已知实数x , y 满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩,则z=y-x 的最大值为 ( )A. 1B. 0C. -1D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（ ） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π(5题图) （6题图）是否开始k=1,s=1k<5?输出s结束 k=k+1s=2s-k6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 （ ） A. -10 B. -3 C. 4 D. 57. 已知x 与y 之间的几组数据如表：x 0 1 2 3 y267则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧=+必过点 ( )A. (1,2)B. (2,6)C. (315,24) D. (3,7)8. 下列函数中，在定义域内与函数3y x =的单调性与奇偶性都相同的是 （ ）A. sin y x =B. 3y x x =-C. 2x y =D.2lg(1)y x x =++9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +的下确界为 （ ） A. 163 B. 83 C. 43 D. 2310.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所有数的和等于36，那么22a = （ ）A. 8B. 4C. 2D. 111.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 （ ）A. 4B. 6C. 8D.1012.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式()1x xe f x e >+ 的解集为 （ ） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =14.已知数列{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为15.抛物线2(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为833π+．其中正确命题的序号为三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知3cos 3cos c b C c B =+（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1cos ,233B b =-=，求∆ABC 的面积。
福建省永安市第一中学2020届高三上学期期中考试数学(文)Word版含答案
D.
，—2
e
e
e
e
第n卷(非选择题共90分)
4小题，每小题5分，共20分•在答题卷上的相应题目的答题区域内作
13
14.已知sin cos 0,则cos(2 )
2
15. 各项均为正数的等比数列｛an｝的公比q
16
则三棱锥V ABC的外接球的表面积是•
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
永安一中
数学试题（文科）
（考试时间：120分钟
总分：150分）
一、选择题：本大题共 一项是符合题目要求的
第I卷（选择题共
12小题，每小题5分，共
60分）
60分.在每小题给出的四个选项中，只有
1.已知集合A x
2 x 3,x z , B 3,
1,0,2,3,4
A.
B.
1,0,2
1,2,3
D.
0,2,3
设
A.c a b
B.
a b
cC.
c a
b
D.
a c
b
11•已知数列｛ar
J的首项a1
35,
且满足an
an 1
2n
1(n
2)，则
色的最小值为
n
A.2.34
B.
59
C
35
D
.12
5
3
2x
1 x
1
12.已知函数f
xx
，若a
b, f
a
f b
，则实数
a 2b的取值范围
e
x
1
是
1
1
1
1c
A.,-
2021-2022学年福建省泉州市高一年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省泉州市高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合，，则（ ）{}|02A x x =<≤{}|1B x x =>()R A C B = A ．B ．C ．D ．{}|01x x <≤{}1|0x x <<{}|12<≤x x {}2|x x ≤【答案】A【分析】根据集合交集和补集的定义进行运算即可.【详解】解析：，所以，{}1R C B x x =≤∣(){}|01R A C B x x =<≤ 故选：A ．2．函数的定义域是（ ）1()2f x x =-A ．B ．C ．D ．[0,2)(2,)+∞1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 1,2(2,)3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据解析式的形式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.x 【详解】由题设可得，故且，31020x x -≥⎧⎨-≠⎩13x ≥2x ≠故函数的定义域为.1,2(2,)3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 故选：C.3．若，一定成立的是（ ）a b >A ．B ．a c b c +>+22a b>C ．D ．22ac bc >11a b<【答案】A【分析】根据不等式的性质逐一分析即可.【详解】若，则，故A 正确；a b >a c b c +>+当时，，故BC 错误；1,2a b ==-2211114,12a b a b =<==>-=当时，，故C 错误.0c =220ac bc ==故选：A.4．设，则“”是“”的（ ）x ∈R ()50x x -<11x -<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】解不等式、，利用集合的包含关系判断可得出结论.11x -<()50x x -<【详解】由可得，()50x x -<05x <<由可得，解得，11x -<111x -<-<02x <<因此“”是“”的必要不充分条件.()50x x -<11x -<故选：B.5．已知关于x 的方程有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（ ）312x a-=A ．B ．C ．D ．(),0-¥()0,2()0,+¥()0,1【答案】B【分析】将问题转化为与的图象有两个交点，应用数形结合法判断参数a 的取值范2ay =31xy =-围即可.【详解】函数，其大致图象如图所示．31,03131,0x xxx y x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩关于x 的方程有两个不等实根等价于直线与的图象有两个交点，由图可312x a-=2a y =31x y =-知：，即．012a <<02a <<故选：B ．6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合白般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的()f x部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）()f xA ．B ．()21x f x x=-()221x f x x =+C ．D ．()221xf x x =-()2211x f x x +=-【答案】C【分析】根据图象函数为奇函数，排除D ；再根据函数定义域排除B ；再根据时函数值为正排1x >除A ；即可得出结果.【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D 中的函数为偶函数，故排除D ；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除B ；对于A ，当时，，不满足图象；对于C ，当时，，满足图象.1x >0y <1x >0y >故排除A ，选C.故选：C7．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为1.75%，若按复利计算，将这1000元存满5年，可以获得利息（ ）（参考数据：，，）41.0175 1.072=51.0175 1.091=61.0175 1.110=A ．110元B ．91元C ．72元D ．88元【答案】B【分析】根据已知求出存满5年后的本息和，再减去本金，即可得出答案.【详解】解：将1000元钱按复利计算，则存满5年后的本息和为，故可以获51000 1.01751091⨯=得利息（元）.1091100091-=故选：B.8．已知的定义域是，，且函数为偶函数．当时，()f x R ()()110f x f x ++--=()1f x +[]0,1x ∈在区间上的所有根之和为（ ）()f x =()()210x f x --=[]3,6-A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D 【分析】由得函数在上是奇函数.由函数为偶函数，得()()110f x f x ++--=()f x R ()1f x +关于直线对称.画出函数图像，由函数图像即可得到方程在区间()f x 1x =()()210x f x --=上的所有根之和.[]3,6-【详解】由得，()()110f x f x ++--=()()0f x f x +-=所以在上是奇函数.()f x R 又因为函数为偶函数，所以，()1f x +()()11f x f x +=-+所以关于直线对称.()f x 1x =当时，[]0,1x ∈()f x =如图，做出在区间上的图像.()f x []3,6-由方程解得，令，()()210x f x --=()1,22f x x x =≠-()1,22g x x x =≠-如图，做出在区间上的图像.()g x []3,6-由图可知，与在区间上有个交点：.()f x ()g x []3,6-4A BC D 、、、且与均关于直线对称.()f x ()g x 2x =所以,,22DA x x +=22C B x x +=所以，8A C DB x x x x +++=即方程在区间上的所有根之和为.()()210x f x --=[]3,6-8故选：D【点睛】难点点睛：本题解题的关键在于根据题目所给的条件，进行适当变形得到函数的奇偶性和对称性，根据函数的奇偶性和对称性，画出函数在给定区间内的图像.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．B ．2.531.71.7<2.530.80.8<C ．D ．220.90.8--<0.33.11.70.8>【答案】ACD【分析】利用指数函数和幂函数图像比较数的大小.【详解】对于A ，在定义域上是增函数，，故A 正确；1.7x y = 2.532.53, 1.7 1.7<∴< 对于B ，在定义域上是减函数，，故B 错误；0.8x y = 2.532.53,0.80.8∴ 对于C ，在上是减函数，，故C 正确；2y x -=()0,+∞220.80.9,0.90.8--<∴< 对于D ，故D 正确；0.3 3.10.3 3.11.710.81, 1.70.8>∴ ，故选：ACD.10．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．，B ．()f x x=-[]1,2x ∈-()1f x x x=+C ．D ．()f x x x =-()3f x x =-【答案】CD【分析】根据函数单调性以及奇偶性的判定即可求解.【详解】对于A ，，的定义域不关于原点对称，不符合题意；()f x x=-[]1,2x ∈-对于B ，，因为，()1f x x x =+()()1212f f -=-<=所以该函数在定义域内不符合单调递减的定义，错误；对于C ，，故为奇函数，()()f x x x f x -==-当时，在上单调递减，0x ≥2()f x x =-[)0,∞+当时，在单调递减，0x <2()f x x =(),0∞-又函数为连续函数，且，所以函数在上单调递减，故C 符合题意；()00f =R对于D ，为奇函数，且在定义域内是减函数，故D 符合题意.()3f x x =-故选：CD.11．下列结论中，正确的结论有（ ）A ．如果，，且，那么的最小值为40a >0b >111a b +=a b +B ．如果，那么取得最大值为102x <<()43x x-43C ．函数2()f x D ．如果，，，那么的最小值为60x >0y >39x y xy ++=3x y +【答案】AD【分析】利用基本不等式结合条件逐项分析即得.【详解】对于选项A ，如果，，且，0a >0b >111a b +=那么，()11114a ab a b b b b a a ⎛⎫+⋅=++++≥ ⎪+=⎝⎭当且仅当且，即时取等号，故选项A 正确；b aa b =111a b +=2a b ==对于选项B ， 如果，那么，102x <<430x ->则，()()()23113334343423x x x x x x ⎡⎤=-⋅≤⋅⎢⎥⎣+⎦--即，当且仅当，即时取等号，()3443x x -≤343x x =-23x =因为，所以不能取得最小值，故选项B 错误；102x <<43对于选项C，函数，()2f x==≥时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故选项C 错误；1=x 对于选项D ，如果，，，0x >0y >39x y xy ++=则21393332x y x y xy x y +⎛⎫=++≤++⋅ ⎪⎝⎭整理得，()()231231080x y x y +++-≥所以或（舍去），36x y +≥318x y +≤-当且仅当时取得最小值，故选项D 正确.1,3y x ==故选：AD12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数，称为狄利()R 1,0,x f x x C ∈⎧=⎨∈⎩Q Q 克雷函数，则关于函数有（ ）()f x A ．函数的值域为B ．()y f x ={}0,1()()1f f x =C ．D ．，都有()1ff >x ∀∈R ()()12f x f x -=+【答案】ABD【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.【详解】对于A ，因为函数，所以的值城为，故A 正确；()1,Q0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩()f x {}0,1对于B ，因为，所以，故B 正确；(){}R 01x f x ∀∈∈，，()()1f f x =对于C ，，，所以，，C错误；0f =(1)1f=(1)f f >对于D ，由题意，函数定义域为，且，所以，为偶函数，R ()()f x f x -=()f x 若是有理数，则也是有理数；若是无理数，则也是无理数；x x T +x x T +所以，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，T 对恒成立，故，()()f x T f x +=x ∈R (2)()()(1)f x f x f x f x +==-=-所以，都有，D 正确.x ∀∈R ()()12f x f x -=+故选：ABD.三、填空题13．已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m 的值为()()2231mm f x m m x +-=--__________．【答案】1-【分析】根据幂函数定义，由求得m ，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.211m m --=【详解】由幂函数知，()()2231mm f x m m x +-=--得或.211m m --=2m =1m =-当时，图象与坐标轴有交点，2m =()3f x x =()0,0当时，与坐标轴无交点，1m =-()3f x x-=∴.1m =-故答案为:1-14．是定义在R 上的奇函数，当时，，当x ＜0时，= ______.()f x 0x ≥2()2f x x x =-+()f x 【答案】22x x+【分析】当时，，所以，然后结合函数的奇偶性可得答案.0x <0x ->2()2f x x x -=--【详解】当时，，所以0x <0x ->2()2f x x x -=--因为是定义在R 上的奇函数，所以，所以()f x ()2()2f x x x f x -=--=-2()2f x x x =+故答案为：22x x+15．已知函数有最小值，则的取值范围是 _______．()()212,02,0a x a x f x x x x ⎧-+<=⎨-≥⎩a 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】先求出时的最小值，然后对于时，讨论的单调性和取值情0x ≥0x <()()12f x a x a=-+况，结合题目要求进行研究，得到的取值范围.a 【详解】当时， ，此时；0x ≥()()211f x x =--()()min 11f x f ==-当时，.0x <()()12f x a x a=-+①时，为常函数，此时在R 上满足函数有最小值为，1a =()2f x =()f x 1-②时，函数此时为单调的一次函数，要满足在R 上有最小值，1a ≠()f x 需 解得，10(1)021a a a -<⎧⎨-⨯+≥-⎩112a -≤<综上，满足题意的实数的取值范围为：.a 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四、双空题16．若函数对任意实数x ，y 都有，则称其为“保积函数”．若时，()f x ()()()f xy f x f y =[)0,1x ∈，且，，则__________，不等式的解集为()[)0,1f x ∈()8127f =()11f -=()9f =()f x ≤__________．【答案】[]9,9-【分析】令，可证明函数为偶函数，再根据即可求得，设任意的1y =-()8127f =()9f ，则，证明在上单调递增，再根据函数的单调性解不等式即可.1201x x ≤<<1201x x ≤<()f x ()0,∞+【详解】令，则对任意实数x 都成立，1y =-()()()()1f x f x f f x -=-=所以是偶函数，()f x ，()()()(228199927f f f =⨯===⎡⎤⎣⎦因为，所以()0f x ff f ==⋅≥()9f =设任意的，则，所以，1201x x ≤<<1201x x ≤<1201x f x ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭所以，()()()11122222x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以在上单调递增，()f x ()0,∞+所以不等式等价于，()f x ≤()()9f x f ≤又是R 上的偶函数，所以，解得，()f x 9x ≤99x -≤≤所以不等式的解集为．()f x ≤[]9,9-故答案为：．[]9,9-【点睛】关键点点睛：设任意的，则，结合时，，证明1201x x ≤<<1201x x ≤<[)0,1x ∈()[)0,1f x ∈在上单调递增，是解决本题的关键.()f x ()0,∞+五、解答题17．（1）化简求值：；11273192-⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知，求的值．13a a -+=1122a a -+【答案】（12【分析】（1）利用幂的运算直接求解；（2）先判断出和，根据式子结构，对待求式平0a >120a >方后即可求解.【详解】（1）1122173163129292--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(42233=+-=（2）因为，所以，所以.13a a -+=0a >120a >因为，()1122212325a aa a--+=++=+=所以1122a a-+=18．设A ={x |2<x <4}，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}．(1)当a =3，求；A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围．A B ⊆【答案】(1){}29A B x x ⋃=<<(2)423a ≤≤【分析】（1）当时，求出集合B ，根据并集的定义即可求出；（2）讨论a 求解二次不等式，3a =根据列不等式直接求出A B ⊆【详解】（1）当时，B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，3a ={|39}x x <<；{}29A B x x ∴⋃=<<（2）B ={x |x 2-4ax +3a 2<0}=，()(){|30}x x a x a --<当不符合题意；0,a B ==∅当 则需要{|0,3}x a a a B x ><<=A B ⊆0422334a a a a >⎧⎪≤⇒≤≤⎨⎪≥⎩当 不符合题意，故 实数a 的取值范围是{|30,}x a a x B a <<<=423a ≤≤19．条件①：；条件②：不等式的解集为．已知二次函数()()12f x f x x+-=()4f x x <+()1,3-满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知．（注：如果选择条件①()f x ()01f =和条件②分别解答，按第一个解答计分）(1)求的解析式；()f x (2)若函数的图像总在一次函数图像的上方，试确定实数的取值范围．()f x 2y x m =+m 【答案】(1)()21f x x x =-+(2)54m <-【分析】（1）依题意设，若选择①，表示出，即可得到关()()210f x ax bx a =++≠()()1f x f x +-于、的方程组，解得即可，选择②由题知方程的两实根分别为和，利a b ()2130ax b x +--=1-3用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）依题意可得对恒成立，令，则问题可转化为，231x x m -+>x ∀∈R ()231g x x x =-+()min g x m >根据二次函数的性质求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）由，可设．()01f =()()210f x ax bx a =++≠选择①，则有，()()()()()221111122f x f x a x b x ax bx ax a b x+-=++++-++=++=由题意，得，解得，故．220a a b =⎧⎨+=⎩11a b =⎧⎨=-⎩()21f x x x =-+选择②，则可化为，()4f x x <+()2130ax b x +--<由题知方程的两实根分别为和，()2130ax b x +--=1-3所以，即，1132b a --=-+=21a b +=及，即，所以，3133a -=-⨯=-1a =1b =-故．()21f x x x =-+（2）由题意，得，即对恒成立．212x x x m -+>+231x x m -+>x ∀∈R 令，则问题可转化为，()231g x x x =-+()min g x m>又因为在上单调递减，在上单调递增，()g x 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，故．()min 3524g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭54m <-20．已知函数是奇函数．()331xxb f x -=+(1)求b 的值；(2)证明在R 上为减函数；()f x (3)若不等式成立，求实数t 的取值范围．()()222360f t t f t ++-<【答案】(1)1b =(2)证明见解析(3)或32t <-1t >【分析】（1）利用奇函数定义和奇函数中求b 的值；()00f =（2）按取点，作差，变形，判断的过程来即可；（3）通过函数的单调性，然后结合奇函数的性质把转化为一元二次()f x ()()222360f t t f t ++-<不等式，最后由一元二次不等式知识求出t 的取值范围．【详解】（1）∵的定义域为R ，()f x 又∵为奇函数，∴由得，()f x ()00f =1b =此时，∴为奇函数，()()13313113x x x xf x f x -----===-++()1331x x f x -=+所以．1b =（2）任取，，且，则，1x 2x ∈R 12x x <()()()()()2112122333131x x x x f x f x --=++∵，∴，∴．12x x <2133x x >21330x x->又∵，∴，即，()()1231310x x ++>()()120f x f x ->()()12f x f x >故为R 上的减函数．()f x （3）因为为奇函数，所以，()f x ()()222360f t t f t ++-<可化为，()()22263f t t f t +<-又由（2）知为减函数，所以，所以或．()f x 22263t t t +>-32t <-1t >21．物联网是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境（家庭、办公、工厂）等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费（单位：万元）），仓库到车站的距离x （单位：千米，1y ），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元），；若在距离车站9千0x >1y 1x +2y 20.8y x =米处建仓库，则仓库每月土地占地费为2万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，1y 才能使两项费用之和最小？最小费用是多少？【答案】应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元【分析】设，根据题意求出，设两项费用之和为z （单位：万元），求出的关()101ky k x =≠+k ,z x 系式，再结合基本不等式即可得解.【详解】设，其中，()101ky k x =≠+0x >当时，，解得，所以，9x =1210ky ==20k =1201y x =+又，设两项费用之和为z （单位：万元），20.8y x=则12200.81z y y x x =+=++，()200.810.80.87.2,01x x x =++-≥=>+当且仅当，即时，“”成立，()200.811x x =++4x ==所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最小，最小费用是7.2万元．22．已知函数.()1422x x f x a +=-⋅-（1）若的最小值为，求实数的值；()f x 3-a （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.()0f x <[)0,1x ∈a 【答案】（1）；（2）.1a =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）换元，问题转化为求二次函数在时有最小值，20x t =>222y t at =--()0,t ∈+∞3-求实数的值，然后分、两种情况讨论，分析二次函数在区间上的a 0a ≤0a >222y t at =--()0,∞+单调性，求出函数的最小值，进而可求得实数的值；222y t at =--a （2）由（1）结合，可得出对任意的恒成立，分析函数在区间()0f x <12t a t >-[)1,2t ∈()12t g t t =-上的单调性，求出的值域，由此可得出实数的取值范围.[)1,2()g t a 【详解】（1），()()214222222x x x x f x a a +=-⋅-=-⋅- 换元，则.20x t =>()222222y t at t a a =--=---①当时，二次函数在区间上单调递增，无最小值；0a ≤222y t at =--()0,∞+②当时，二次函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，0a >222y t at =--()0,a (),a +∞所以，，，解得.2min 23y a =--=-0a > 1a =综上所述，；1a =（2）由（1）知，若对任意的恒成立，则，()0f x <[)0,1x ∈[)21,2x t =∈即对任意的恒成立，2220y t at =--<[)1,2t ∈即对任意的恒成立，22122t t a t t ->=-[)1,2t ∈令，其中，易知函数在区间上单调递增，()12t g t t =-[)1,2t ∈()12t g t t =-[)1,2当时，，即，所以，，12t ≤<()()()12g g t g ≤<()1122g t -≤<12a ≥因此，实数的取值范围是.a 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；x D ∀∈()()min m f x m f x ≤⇔≤（2），；x D ∀∈()()max m f x m f x ≥⇔≥（3），；x D ∃∈()()maxm f x m f x ≤⇔≤（4），.x D ∃∈()()minm f x m f x ≥⇔≥。
【精准解析】福建省三明市永安第一中学2020届高三上学期期中考试语文试题+Word版含解析byde
永安一中2020届高三上学期期中考试语文试题一、文言文阅读阅读下面的文言文，完成下列小题。
大公鼎，渤海人，先世籍辽阳率宾县。
公鼎幼庄愿，长而好学。
成雍十年，登进士．．第，调沈州观察判官。
时辽东雨水伤稼，北枢密院大发濒河丁壮以完堤防。
有司承令峻急，公鼎独曰：“边障甫宁，大兴役事，非利国便农之道。
”乃疏奏其事。
朝廷从之，罢役，水亦不为灾。
濒河千里，人莫不悦。
改良乡令，省徭役，务农桑，建孔子庙学，部民服化。
累迁兴国军节度副使。
时有隶鹰坊者，以罗毕为名，扰害田里。
岁久，民不堪。
公鼎言于上，即命禁戢。
会公鼎造朝大臣谕上嘉纳之意公鼎曰一郡获安诚为大幸他郡如此者众愿均其赐于天下从之徙长春州钱帛都提点。
车驾如春水，贵主例为假贷，公鼎曰：“岂可辍官用，徇人情?”拒之。
颇闻怨詈语，曰：“此吾职，不敢废也。
”俄拜大理．．卿，多所平反。
天祚即位，历长宁军节度使、南京副留守，改东京户部使。
时盗杀留守萧保先，始利其财。
因而倡乱。
民亦互生猜忌，家自为斗。
公鼎单骑行郡，陈以祸福，众皆投兵而拜曰：“是不欺我，敢弗听命。
”安辑如故。
拜中京．．留守，赐贞亮功臣，乘传赴官。
时盗贼充斥，有遇公鼎于路者，即叩马乞自新。
公鼎给以符约，俾还业，闻者接踵而至。
不旬日．．，境内清肃。
天祚闻之，加赐保节功臣。
时人心反侧，公鼎虑生变，请布恩惠以安之，为之肆赦。
公鼎累表乞归，不许。
会奴贼张撒八率无赖啸聚，公鼎欲击而势有不能，叹曰：“吾欲谢事久矣。
为世故所牵，不幸至此，岂命也夫!”因忧愤成疾。
保大元年卒，年七十九。
(节选自《辽史·大公鼎传》)1.下列对文中画波浪线部分的断句，正确的一项是A.会公鼎造朝／大臣谕上嘉纳之意／公鼎曰／一郡获安诚／为大幸／他郡如此者众／愿均其赐于天下／从之／B.会公鼎造朝／大臣谕上嘉纳之意／公鼎曰／一郡获安／诚为大幸／他郡如此者众／愿均其赐／于天下从之／C.会公鼎造朝／大臣谕上嘉纳之意／公鼎曰／一郡获安／诚为大幸／他郡如此者众／愿均其赐于天下／从之／D.会公鼎造朝／大臣谕上嘉纳之意／公鼎曰／一郡获安诚／为大幸／他郡如此者众／愿均其赐／于天下从之／2.下列对文中加点词语的相关内容的解说，不正确的一项是A.“进士”指中国古代科举考试中殿试及第者。
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考数学(理)试题Word版含答案
C. D.
11.已知函数 是定义在R上奇函数，且满足 ,当 时 则当 时 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数 当 时 有解，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置．
13.计算 ______________.
14.函数 的图象恒过点 ，且点 在角 的终边上，则
15.如图,已知正方形ABCD的边长为 平行于 轴,顶点 分别在函数 的图象上,则实数 的值为.
16.已知函数 ，若 在区间 上没有零点，则 的取值范围是.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，………………………..4分
在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB= ，
又0＜B＜π，则B= ...................................................6分
（2）∵b= ，cosB=cos = ，
（Ⅱ）设点 ，求 的值．
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分）
已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）记 的最小值为 ，已知实数 都是正实数，且 ，求证： ．
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考
数学（理）试题参考答案
一、选择题
1—5，CACBB，6—10，ABABA，11—12，CD
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考
永安一中2020-2021学年上学期期中考试高二数学 答案
高二数学试题答案和解析
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
B
D
C
D
C
C
A
B ABC BC ACD AB
二、填空题
13. x [1,), x2 1 1 x
14. [
,
5
]
46
15.2
16. 112
三、解答题
17.解：(1)设球半径为 r ，∴圆柱的高为 2r ，底面圆半径为 r ，
由（2）可知 BD 面ACC1A1 ，而 CE 面ACC1A1 ，
BD CE
C1D CE
CE
面BC1D
.....................11
分
BD C1D D
又 DM 面BC1D ， 所以 CE DM ...........................................................12 分
在三棱柱 ABC A1B1C1 中，各个侧面均是边长为 2 的正方形，
则 AB BC AC 2且CC1 A1C1,CC1 B1C1, B1C1 A1C1 C1
CC1 B1P
面A1B1C1 面A1B1C1
CC1
B1P
2020-2021 高二上学期期中考试答案 第3页
D 为线段 AC 的中点， A1B1 B1C1，
由于定点 D(0,1) 、圆心 C 、点 M 构成直角三角形，由勾股定理得
CM 2 DM 2 CD2 ， x2 ( y 2)2 x2 ( y 1)2 (2 1)2 ................ 9 分
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文.doc
福建省永安市第一中学2021届高三数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}23,,3,1,0,2,3,4A x x x z B =-≤<∈=--，则AB =A. {}1,0,2,3-B. {}1,0,2-C. {}1,2,3-D. {}0,2,3 2．已知复数1(2iz i i i+=--为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 A. 2155i - B. 2155i + C. 1255i - D. 1255i +3．若向量)1,3(),2,0(=-=n m ，则与n m +2共线的向量可以是A.（3，-1）B.（-1，3）C.（-3，-1）D.（3-1-，） 4．已知命题1:1,:1p x q x><，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件5．设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+221342y x y x y x ，则目标函数z x y =+A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最小值-1，最大值3D.既无最小值，也无最大值6．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2222()2a c ac b +-=，则sin B ＝A.14B.12 C.154D. 34 7．将函数()2cos()6f x x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的图象的一个对称中心是A ．(,0)6πB ．11(,0)12πC ．(,0)12πD ．5(,0)12π8．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =，在集合A 中任取三个 元素，分别作为一个三位数的个位数、十位数和百位数，记 这个三位数为a ，现将组成a 的三个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例 如219a =，则 ()129I a =，()921D a =），阅读如图所 示的程序框图，运行相应的 程序，任意输入一个a ，则输 出b 的值为A ．792B ．693C ．594D ．4959．某几何体的三视图如图所示，图中三个正方形的边长均为2，则 该几何体的体积为 A. 38π- B. 328π-C. 348π- D.π28- 10．已知定义域为R 的函数)(x f 恒满足0)()(=--x f x f 且当0≥x 时，x x x f --=2)(，设 )2.0(log ),3(),3(32.02.1f c f b f a ==-=-， 则A.c a b >>B. a b c >>C. c a b >>D. a c b >> 11．已知数列{}n a 的首项135a =，且满足121(2)n n a a n n --=-≥，则na n的最小值为 A ．234 B ．595 C ．353D ．12 12．已知函数()()()2111x x x f x ex ->-⎧⎪=⎨≤-⎪⎩，若()(),a b f a f b <=，则实数2a b -的取值范围是A. 1,1e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. 1,2e ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭D. 1,2e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13．已知向量a 与b 的方向相反，2||,1||==b a ，则=-|2|b a . 14．已知0cos sin =-αα，则cos(2)2πα+= .15．各项均为正数的等比数列{}n a 的公比2311,,,2q a a a 1≠成等差数列，则34262645a a a a a a a a ++= .16．在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是___ ___.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a 中，23a = ，4618a a +=.(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：12n n b b +=，并且15b a =，试求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（12分）已知函数)0)(2sin(sin 3sin)(2>++=ωπωωωx x x x fπ的最小正周期为(1）求);(x f (2）当)(,]2,12[x f x 求函数时ππ-∈的值域.19．（12分）在平面四边形ABCD 中，DA AB ⊥，1DE =，7EC =，2EA =，23ADC π∠=，3BEC π∠=．(1)求sin CED ∠的值； (2)求BE 的长．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，112AB CD ==，E 为PC 中点．（1）证明：BE ∥平面PAD ； （2）若PBC △是边长为2的正三角形，AB ⊥平面PBC ，求点E 到平面PAD 的距离． 21．（12分）设)1(1ln )(>-=x x xx f (1)判断函数)(x f 的单调性；(2)是否存在实数a ,使得关于x 的不等式)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，试说明理由.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2）若点P 的直角坐标为()1,0，曲线C 与直线l 交于,A B 两点，求PA PB +的值.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x =-(1）解关于x 的不等式()210f x x +->(2）若()()()4,g x x m f x g x =-++<的解集非空，求实数m 的取值范围.参考答案二、填空题：13．5； 14．－1； 15．12； 16．16π. 三、解答题：17．解：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意得：113,2818,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：112a d =⎧⎨=⎩， ………………………………………5分 {}n a ∴的通项公式为21n a n =- ……………………………………………………6分(Ⅱ） 12n n b b +=，159b a =={}n b ∴是首项为9公比为2的等比数列 ………………………………9分 9(12)12n n S ⨯-∴-＝＝929n ⨯- ………………………………12分18．解：（1）x x xx f ωωωcos sin 322cos 1)(+-=.21)62sin(212cos 212sin 23+-=+-=πωωωx x x ……………………3分 ,0,)(>ωπ且的最小正周期为函数x f .1,22==∴ωπωπ解得…………4分.21)62sin()(+-=∴πx x f ……………………………………5分(2）].65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x……………………………………7分当3,262πππ==-x x 即时，)62sin()(π-=x x g 取最大值1 ……………9分当12,362πππ-=-=-x x 即时.23)62sin()(--=取最小值πx x g ……11分,2321)62sin(2321≤+-≤-∴πx ………………………………12分19．解：(1)在△CDE 中，由余弦定理，得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC ，………1分于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)． …………………………………………………3分在△CDE 中，由正弦定理，得sin sin EC CDEDC CED=∠∠． …………………………4分 于是，sin ∠CED＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217． …………………………………………………6分 (2)由题设知，0＜∠CED＜π3，由(1)知，cos ＝277．……………………………8分而∠AEB＝2π3－∠CED，所以cos ∠AEB ＝cos(2π3－∠CED )＝cos 2π3cos ∠CED＋sin 2π3sin ∠CED＝－12×277＋32×217＝714．……………………………………10分在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47． ……………………………………………12分20．（Ⅰ）证明：取PD 的中点F ，连结,AF EF ．………1分∵E 为PC 的中点，∴EF CD ，且12EF CD =．又∵AB CD ，且12AB CD =，∴EF AB ，且EF AB =．故四边形ABEF 为平行四边形． ∴BEAF ．………………3分又BE ⊄平面BEP ，AF ⊂平面BEP ，∴BE ∥平面PAD ． ………………5分 （Ⅱ）∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PB ，由于1AB =，2PB =∴5PA =∵AB ∥CD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PC由于2CD =，2PC =，∴22PD =在直角梯形ABCD 中，1AB =，2BC =，2CD =， ∴5AD =，∴()()221225262APDS =⋅⋅-=△………………………………………………8分取BC 的中点G ，连结PG ，则PG ⊥BC ，且3PG =∵AB ⊥平面PBC ，∴AB ⊥PG ，∴PG ⊥平面ABCD ．又1112122ABD S AB BC =⋅=⋅⋅=△∴1131333P BAD ABD V S PG =⋅=⋅⋅=－△………………………………………………10分 设点B 到平面PAD 的距离为h ，∵BE ∥平面PAD ∴E PAD B PAD P BAD V V V ==－－－∴1133APD ABD S h S PG ⋅⋅=⋅⋅△△， ∴3226ABD APD S PG h S ⋅===△△ ∴点E 到平面PAD 的距离为22．………………………………………………12分 21．解：(1)∵)1(,1ln )(>-=x x x x f ∴2)1(ln 11)(---='x xx x f ， ……………………1分设)1(,ln 11)(≥--=x x xx g .∴0111)(22≤-=-='xxx x x g ，∴)(x g y =在)[∞+,1上为减函数．………3分∴0)1(ln 11)(=≤--=g x xx g ，∴0)1(ln 11)(2<---='x xx x f ………………4分 ∴函数1ln )(-=x xx f 在),1(+∞上为减函数． …………………………………5分(2))1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立0)1(ln <--⇔x a x 在),1(+∞上恒成立，设)1(ln )(--=x a x x h ，∴a xx h -='1)(，且有0)1(=h若0≤a ，显然不满足条件， …………………………………7分若1≥a ，则)[∞+∈,1x 时，01)(≤-='a xx h 恒成立，∴)1(ln )(--=x a x x h 在)[∞+,1上为减函数 ∴0)1()1(ln =<--h x a x 在),0(+∞上恒成立，∴)1(ln -<x a x 在),1(+∞上恒成立， …………………………………9分若10<<a ，则01)(=-='a x x h 时，∴a x 1=， )⎢⎣⎡∈a x 1,1时0)(≥'x h ，∴)1(ln )(--=x a x x h 在1[1,)a上为增函数，当1[1,)x a∈时， )1(ln )(--=x a x x h >0,不能使)1(ln -<x a x 在(1，∞+)上恒成立， …………………………11分 ∴1a ≥ ………………………………………………12分22.解：(Ⅰ）直线l 的普通方程为：330x y +-= …………………………2分曲线C 的直角坐标方程为： ()2239x y -+=…………………………5分(Ⅱ）把直线的参数方程11232x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程化简得：2250t t +-= ………………………………8分∴122t t +=-，125t t =-<0∴∣P A ∣+∣PB ∣=12t t +=12t t - =()212124t t t t +-=26 ………10分23. 解：（Ⅰ）由题意原不等式可化为：即：由得由得………………………………4分综上原不等式的解为………………………………5分(Ⅱ）原不等式等价于14x x m -++<的解集非空令()14h x x x =-++，即()()min14h x x x m =-++<∴即()min 5h x =，…9分m ．…………………………………………………………10分∴5。
福建省永安市第一中学2021届高三上学期期中考试数学Word版含答案
永安一中2021--2021学年高三上学期期中考试数学试题〔考试时间：120分钟 总分150分〕第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的. 1．集合{}{}2|4,|3A x R x B x N x =∈≤=∈≤，那么A B =A ．(]0,2B ．[]0,2C ．{}1,2D ．{}0,1,22．双曲线的渐近线方程为x y 33±=，一个焦点()0,2F ，那么该双曲线的虚轴长为 A ．1B ．3 C ．2 D ．32 3．假设a R ∈，那么“复数32aiz i-=在复平面内对应的点在第三象限〞是“0a >〞的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．实数x ，y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，，那么23z y x =-的最大值为A ．0B ．2C ．4D ．65．如下图的流程图中，输出d 的含义是 A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离 B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方 C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数 D.两条平行线间的距离6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设12,3432=+=a a S ，那么公比=qA ．4±B ．4C ．2±D ．2 7．函数2ln x x y -=的图象大致为 8.直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为A ．6πB ．3π C ．2π D ．32π9．等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，G 为EF 的中点，假设记a AB =，AD b =，那么AG = A ．3384a b +B ．3182a b +C ．1324a b +D ．1348a b +10．()f x 是奇函数，且当0>x 时()24xf x =-，那么不等式()02>-x f 的解集为A ．{}|04x x x <>或B ．{}|024x x x <<>或 C ．{}|04x x x <>或 D ． {}|22x x x <->或 11．函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-，那么ω的取值范围是 A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．513,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．713,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦12．假设曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线，那么实数a 的取值范围为A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,4e ⎛⎤⎥⎝⎦第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.13．53cos -=α，παπ≤≤2，那么cos 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．14. 21,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．假设021=⋅PF PF 且212PF PF =，那么C 的离心率为．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，其首项11a =，且满足()32n n S n a =+，那么n a =_______． 16．四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面,ABCD PE BC ⊥于点E ，2,3,6,1====PE BC AB EC ，那么四棱锥P ABCD -外接球的半径为______.三、解答题：共70分。
2021届福建省福州市八县(市)一中高三上学期期中联考数学试题(教师版含解析)
2020-2021学年度第一学期八县(市)一中期中试卷高中三年数学科试卷一､选择题(每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合{}{}2|560|22128xA x Z x xB x =∈--≤=<<，，则A B =( )A. {}|16x x <≤B. {}23456，，，， C. {}|16x x ≤≤ D. {}10123456-，，，，，，， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求两集合的交集即可【详解】解：由2560x x --≤得16x -≤≤，由于x ∈Z ， 所以{}{}2|5601,0,1,2,3,4,5,6A x Z x x =∈--≤-=，由22128x <<，得17x <<，所以{}{}|2212817xB x x x =<<=<< 所以A B ={}23456，，，，， 故选：B2. 已知p ：“函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数”，q ：“2a >-”，则p 是q 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题p 对应的a 的取值范围，利用集合的包含关系即可判断. 【详解】由函数221y x ax =++在(1,)+∞上是增函数，因为221y x ax =++的对称轴为x a =-，开口向上，所有1a -≤，即1a ≥-，{}1a a ≥- {}2x a >-，∴p 是q 的充分不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： (1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； (3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含．3. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为( )A. ](2-∞，B. [)2，+∞C. []24-，D. []14， 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f (3)1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-(3)(|1|)f x f ⇒-(3)|1|3x ⇒-， 解之可得24x -，故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ．【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.4. 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中( )A. 直线AB 与直线CD 平行B. 直线AB 与直线CD 相交C. 直线AB 与直线CD 异面垂直D. 直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°【答案】D 【解析】 【分析】首先画出正方体的展开图的立体图，从而得到直线AB 与直线CD 为异面直线，再求异面直线所成角即可得到答案.【详解】正方体的展开图的立体图形如图所示：由图知：直线AB 与直线CD 为异面直线，故A ，B 错误；连接CE ，DE ，因为//AB CE ，所以DCE ∠或其补角为异面直线AB 与CD 所成角. 又因为DCE 为等边三角形，所以60DCE ∠=.所以直线AB 与直线CD 异面且所成的角为60°，故C 错误，D 正确. 故选：D【点睛】本题主要考查异面直线成角问题，属于简单题.5. 记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =( ). A. 710S = B. 723S =C. 7623S =D. 71273S =【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ．6. 已知0042m n m n >>+=，，，则41m n+的最小值为( ) A. 36 B. 16C. 8D. 4【答案】C 【解析】 【分析】 巧用“1”拼凑()41141=42m n m n m n ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，应用基本不等式即得结果. 【详解】0042m n m n >>+=，，，()411411=4=82126m n m n m n m m n n ⎛⎫⎛⎫∴+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=82⎛≥+ ⎝，当且仅当16=n m m n 时即11,4m n ==时等号成立，故41m n+的最小值为8. 故选：C.7. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0>ω，||2ϕπ<)，其图像相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数()y f x =的图像( ) A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线4x π=对称D. 关于直线4πx =-对称 【答案】A 【解析】根据函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为4π，可求得()f x 的周期T ，进而可求得ω的值，根据平移后图像关于原点对称，利用正弦函数图像与性质，即可求得ϕ的值，分别求得()f x 的对称中心、对称轴的表达式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为函数()f x 图像相邻两条对称轴之间的距离为4π， 所以24T π=，即2T π=，所以24Tπω==，即()sin(4)f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图像向左平移316π个单位后，得到函数3sin[4()]16y x πϕ=++的图像，且其关于原点对称， 所以3416k πϕπ⨯+=()k ∈Z ，又||2ϕπ<，令k =1， 解得4πϕ=，即()sin(4)4f x x π=+，令4,()4x k k Z ππ+=∈，解得,()416k x k Z ππ=-∈，即对称中心为(,0)416k ππ- 令k =0，则一个对称中心为,016π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误； 令4,()42x k k Z πππ+=+∈，解得,()416k x k Z ππ=+∈，即对称轴为,()416k x k Z ππ=+∈，故C 、D 错误， 故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，解题的关键在于，根据两对称轴间距离，分析图像，可求得ω的值，再根据平移后图像，求得ϕ的值，再求解即可；易错点为平移后解析式为3sin[4()]16y x πϕ=++，注意平移要对x 进行加减，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.8. 已知可导函数()f x 的定义域为(,0)-∞，其导函数()'f x 满足()2()0xf x f x '->，则不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<的解集为( )A. (,2021)-∞-B. (2021,2020)--C. (2021,0)-D. (2020,0)-【答案】B【分析】由题可得当(,0)x ∈-∞时，()2()0xf x f x '->，进而构造函数2()()f x g x x=，可判断()g x 在(,0)-∞上的单调性，进而可将不等式转化为(2020)(1)g x g +<-，利用()g x 的单调性，可求出不等式的解集．【详解】解：构造2()()(0)f x g x x x =<，则243()2()()2()()x f x x f x xf x f x g x x x ''⋅-⋅-'==，因为()2()0xf x f x '->，则()0g x '<∴函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，∵不等式2(2020)(2020)(1)0f x x f +-+-<，且()2(1)(1)(1)1f g f --==--，等价于()()()()()2220201120201f x f g x +-<=-+-，即为(2020)(1)g x g +<-，所以2020120200x x +>-⎧⎨+<⎩，解得20212020x -<<-．故选：B【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造函数2()()f x g x x=是解决本题的关键，属于中档题． 二､多选题(每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9. 已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A. 3||5z =B. 12i5z +=-C. 复数z 的实部为1-D. 复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD 【解析】 【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=，所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误；1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是( ) A. AB AC ⊥；B. 四边形ABCD 为平行四边形；C. AC 与BD 夹角的余弦值为145； D. 85AB AC +=【答案】BD 【解析】 【分析】求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ⋅=-=≠，故A 错误；对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =， 即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；对于C ，cos ,14550AC BD AC BD AC BD⋅===，故C 错误；对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 11. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，若222sin a a b c ab C =+-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是( )A. tan 2C =B. 4A π=C. b =D.ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得tan C的值，根据cos sin a B b A c +=，利用正弦定理边化角，可求得A∠的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b 的值及ABC 的面积，即可得答案. 【详解】因为222sin a b c ab C +-=，所以222sin sin cos 222a b c ab C C C ab ab +-===， 所以sin tan 2cos CC C==，故A 正确； 因为cos sin a B b A c +=，利用正弦定理可得sin cos sin sin sin A B B A C +=， 因为()C A B π=-+，所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+，所以sin cos sin si sin()sin cos cos sin n A A B B A B A B A B ++==+， 即sin sin cos sin B A A B = 因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠， 所以tan 1A =，又(0,)A π∈， 所以4A π=，故B 正确；因为tan 2C =，(0,)C π∈所以sin 55C C ==所以sin sin()sin cos cos sin 252510B AC A C A C =+=+=+=， 因为sin sin a b A B=，所以31010sin1032 sin2a BbA⨯===，故C错误；1125sin10326225△==⨯⨯⨯=ABCS ab C，故D正确；故选：ABD【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求法，解题的关键在于灵活应用正余弦定理及面积公式，考查计算化简的能力，属中档题.12. 已知直三棱柱111ABC A B C-中，AB BC⊥，1AB BC BB==，D是AC的中点，O为1A C的中点.点P是1BC上的动点，则下列说法正确的是()A. 当点P运动到1BC中点时，直线1A P与平面111A B C5B. 无论点P在1BC上怎么运动，都有11A P OB⊥C. 当点P运动到1BC中点时，才有1A P与1OB相交于一点，记为Q，且113PQQA=D. 无论点P在1BC上怎么运动，直线1A P与AB所成角都不可能是30°【答案】ABD【解析】【分析】构造线面角1PA E∠，由已知线段的等量关系求1tanEPPA EAE∠=的值即可判断A的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQQA=可知C的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45°当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小三､填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.若cos 410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2θ=________． 【答案】45-【解析】【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】解：若cos()4πθ-= 则214sin 2cos(2)2cos ()12124105ππθθθ=-=--=⨯-=-， 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．14. 已知数列{}n a 的前n 项和231n S n n =--，则n a =__________.【答案】31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 【解析】【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可 【详解】解：当1n =时，111313a S ==--=-，当2n ≥时，22131[(1)3(1)1]24n n n S n n n n a n S --=-------==-，当 1n =时，1242a -=-≠，所以31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，，， 故答案为：31242n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，， 15. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB 垂直平面ABC，PA PB AB AC ====120BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_________.【答案】52π【解析】【分析】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，利用正弦定理和勾股定理，构造出Rt QHA ，然后，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解可得 【详解】如图，过点A 在面PAB 内作AQ AB ⊥交PAB △的外接圆于点Q ，平面PAB 垂直平面ABC ，两平面的交线为AB ，AQ AB ⊥，AQ ⊂面PAB ，AQ ∴⊥面ABC ，PAB △的外接圆直径为234QB ==，222QA QB AB ∴=-=，而2h QA ==， ABC 中，23AB AC ==120BAC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒，设底面ABC 的外接圆半径为r ，则243sin AB r BCA==∠R ，则有2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，球的表面积为2452S R ππ==故答案为：52π【点睛】关键点睛：解题关键在于，构造直角三角形Rt QHA ，利用勾股定理得出2222(2)(2)448524R h r R =+=+==，进而求解16. 函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当1x >时，()ln x f x x=，若()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】【分析】利用导数分析函数()y f x =在区间()1,+∞上的单调性与极值，由题意可知，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，数形结合可知关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实根，利用二次方程根的分布可得出关于m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】当1x >时，()ln x f x x=，()2ln 1ln x f x x -'=. 当1x e <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当x e >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，函数()y f x =在x e =处取得极小值()f e e =，又()()11f x f x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，令()t f x =，作出函数()t f x =的图象如下图所示：由于关于x 的方程()()2240f x mf x m -+=有8个不同的实数解，则关于t 的二次方程2240t mt m -+=有两个大于e 的实数根，由二次方程根的分布可得224160240m m m e e me m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，解得()2422e m e <<-. 综上所述，实数m 的取值范围是()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.故答案为：()24,22e e ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭.【点睛】本题考查利用方程根的个数求参数，考查了导数的应用以及一元二次方程根的分布，考查数形结合思想的应用，属于较难题.四､解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且233n n S a +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)设3311log log n n n b a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)3n n a =；(2)1n n T n =+. 【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；(2)利用裂项相消法可求.【详解】解：(1)1n =时，11233S a +=，11a S =，13a ∴=，2n ≥时，因为()312n n S a =-，所以()11312n n S a --=-. 相减得()132n n n a a a -=-，所以13n n a a -=. 所以{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以1133n n n a a -=⋅=，即{}n a 通项公式为3n n a =.(2)由(1)可得()33111log log 1n n n b a a n n +==+111n n =-+. 所以12111111......12231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：(1)对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；(2)对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；(3)对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；(4)对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18. 在①()3cos cos cos sin C a B b A c C +=，②sin sin 2A B a c A +=，③()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c ，3c =，而且___________.(1)求C ∠；(2)求ABC 周长的范围.【答案】条件选择见解析；(1)3π；(2)(2333⎤⎦，. 【解析】【分析】 (1)选①：由条件结合正弦定理可得()3cosCsin A B sinCsinC +=，即3tanC =，得出答案.选②：由条件结合诱导公式、正弦定理和二倍角公式可得122C sin =，从而得出答案. 选③：由条件结合正弦定理可得222a b c ab +-=，再根据余弦定理可得答案.(2)由(1)结合余弦定理可得223a b ab +-=,利用均值不等式可得周长的最大值，再利用三角形中两边之和大于第三边可得出答案.【详解】解：(1)选①：由正弦定理得()3cosC sinAcosB sinBcosA sinCsinC +=()3cosCsin A B sinCsinC +=因为0sinC tanC ≠∴=， 因为()03C C ππ∈∴=，，选②： 由正弦定理得2CsinAsin sinCsinA π-=， 因为02222c C C sinA cos sinC sin cos ≠∴==，因为02C cos ≠，所以122C sin =， 因为()03C C ππ∈∴=，，选③：因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=，所以()()2222a b a b a b c -+-=，即222a b c ab +-=， 所以2221cos 22a b c C ab +-==， 因为0C π<<，所以3C π=； (2)由(1)可知：3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=，即223a b ab +-=，所以()()223334a b a b ab ++-=≤，所以a b +≤a b =时等号成立，所以a b c ++≤ABC 周长的最大值为又因为a b c +>=ABC 周长的取值范围为(【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题的关键是利用正弦定理进行边化角，第(2)问中结合(1)的结果，利用余弦定理得到223a b ab +-=，先配方再利用均值不等式()()223334a b a b ab ++-=≤求出+a b 的范围，最后三角形中两边之和大于第三边得到三角形周长的范围，属于中档题.19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使2AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.(1)求证：平面ABE ⊥平面ABC ；(2)若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)17. 【解析】【分析】(1)利用题中所给的条件证明AE ED ⊥，BE DE ⊥，因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥，即可证明BC ⊥平面ABE ，进一步可得面面垂直；(2)先证明AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBD 的一个法向量m ，平面BDA 的一个法向量n ，利用向量的夹角公式即可求解【详解】解：(1)在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形.因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥.又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，2AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥.又BE AE E =，AE ，BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC .(2)由(1)知，AE DE ⊥，AE BE ⊥.因为BE DE E ⋂=，BE ，DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)3,0,0B ，()3,2,0C ，()0,1,0D . 因为P 为AC 的中点，所以3122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以31,1,22PB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,0,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB m PD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得31023102x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-=⎪⎩. 令3z =，得1x =-，3y =-(133m =-，. 设平面BDA 的一个法向量为()111n x y z =，，.因为()31BA =-，，，()011AD =-，， 由00BA n AD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得1111300x z y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 令11x =，3z =3y =(133n =，，则1cos ,777m nm n m n ⋅===-⨯⨯， 所以二面角P BD A --的余弦值为17. 【点睛】思路点睛：证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义，(不常用)(2)利用面面垂直的判定定理；(3)利用性质：//αβ，βγαγ⊥⇒⊥.20. 如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.(1)若6πθ=，求观光通道l 的长度；(2)用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 【答案】(1)观光通道长(2362km +；(2)当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【解析】【分析】(1)由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD的长，从而可得结果；(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin 22BE OB θθ==，则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin 2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】(1)因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos 33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =同理62232BC AD -==-= 所以观光通道长2362l km =++-(2)作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sinsin 22BE OB θθ==， 则有2sin 2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭ 因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5， 即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围21. 已知函数()ax f x xe =的极值为1e-. (1)求a 的值并求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)已知函数()()0mx lnx g x e m m=->，存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立，求m 得最大值. 【答案】(1)1a =，切线方程为：2y ex e =-；(2)最大值为1e . 【解析】【分析】(1)利用切线方程的公式求解即可(2)将问题转化为mx me lnx ≤，经过放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，转化成()()f mx f lnx ≤，再利用导数判断()f x 的最值情况，进而可求得最终答案【详解】解：(1)()f x 定义域为R因为()()1ax f x e ax ='+若0a =则()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意，舍去若0a ≠则令()0f x '=得1x a =-所以11f a e ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭解得1a = 经检验，1a =符合题意.因为切线斜率()()11112f e e =+='又因为()1f e =所以切点为()1e ， 所以切线方程为：()21y e x e =-+即切线方程：2y ex e =-(2)因为存在()0x ∈+∞，，使得()0g x ≤成立 则mx lnx e m≤ 即mx me lnx ≤即mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=即mx lnx mxe lnxe ≤即()()f mx f lnx ≤(*)由(1)得()()1x f x e x '=+所以()f x 在区间()1-∞-，上单调递减，在区间()1，-+∞上单调递增 因为00mx m x me lnx >>≤，，所以0lnx >，所以1x >即0mx >且0lnx >所以存在()1x ∈+∞，使得()()f mx f lnx ≤ 所以存在()1x ∈+∞，使得mx lnx ≤即()1lnx m x x≤∈+∞， 令()lnx s x x=所以()max m s x ⎡⎤≤⎣⎦ 因为()210lnx s x x '-==得x e = 所以()s x 在区间()1e ，上单调递增，在区间()e +∞，单调递减 所以()s x 的最大值为()1s e e =所以1m e≤又因为0m >，所以10m e <≤ 所以m 的最大值为1e 【点睛】关键点睛：解题的关键在于放缩得mx lnx mxe xlnx lnxe ≤=，把问题转化为()()f mx f lnx ≤，考查学生的转化化归和放缩的运用，属于难题22. 已知函数()()()2ln 1002x f x ax a x x -=+->≥+，. (1)当12a =时，讨论函数()y f x =的单调性； (2)若不等式()1f x ≥在[0,)x ∈+∞时恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：()()*11111ln 1357212n n N n ++++<+∈+. 【答案】(1)在区间()02，上单调递减；在区间()2+∞，上单调递增；(2)[1，)+∞；(3)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求出()f x 的导数，根据导数的正负即可判断单调性；(2)求出()f x 的导数，根据a 的范围讨论单调性，求出()f x 的最小值，满足()min 1f x ≥即可求出a 的取值范围；(3)由(2)可知当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立，可得11[ln(1)ln ]122k k k <+-+，即可得证. 【详解】解：(1)当12a =时，()()()221142122212x f x x x x -'=⋅-=+++， 当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()y f x =在区间()0,2上单调递减；在区间()2,+∞上单调递增；(2)()2224441(2)(1)(2)a ax a f x ax x ax x +-'=-=++++， 当1a ≥时，()0f x '≥，∴函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增；当01a <<时，由()0f x '>可得x >∴函数在⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，在⎡⎢⎣上单调递减； ①当1a ≥时，函数()y f x =在[)0+∞，上单调递增， ()()01f x f ∴≥=，即不等式()1f x ≥，在[)0x ∈+∞，时恒成立，②当01a <<时，函数在0⎡⎢⎣上单调递减，存在00x ⎡∈⎢⎣使得()()001f x f <=，所以不合题意，舍去. 综上可知实数a 的取值范围为[)1,+∞；(3)由(2)得当1a =时，不等式()1f x >在(0,)x ∈+∞时恒成立， 即2ln(1)2x x x +>+，12ln(1)12k k ∴+>+，*()k N ∈. 即11[ln(1)ln ]122k k k <+-+， ∴11(ln 2ln1)32<-，11(ln3ln 2)52<-，11(ln 4ln3)72<-，11[ln(1)ln ]212n n n ⋯<+-+， 将上述式子相加可得()()()111111ln 1ln1ln 13572122n n n ++++<+-=++ 原不等式得证. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立问题，一般按如下规则转化，(1)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≥恒成立，则()min f x m ≥；(2)对于[],x a b ∀∈，都有()f x m ≤恒成立，则()max f x m ≤.。
2021届福建省永安市第一中学等四校高三上学期第一次联考数学(文)试题Word版含答案
11．在 中，点 满足 ，若 则 的值为
A． B． C． D．
12．已知定义域为 的函数 ，对任意的 都有 ，且 .当 时，不等式 的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置.
13．以 轴的非负半轴为始边的角 ，其终边经过点 ，则 的值为__________．
(2)若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．
2021届福建省永安市第一中学等四校上学期第一次联考
高三数学（文）试题参考答案
一、选择题：
1．C 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．B 10．A 11．A 12．D
二、填空题：
13． 14．11 15． 16．
三、解答题：
（一）必考题：
20．（12分）如图，在四边形 中， ， ， ， .
（1）若 ，求 ；
（2）记 ，当 为何值时， 的面积有最小值？求出最小值.
21．（12分）设函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 的最小值为 ，证明： ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(10分）选修4-4：坐标系与参数方程
A．3B．4 C．5 D．6
7．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的值是
A． B． C． D．
8．已知定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，若 在 内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
9．有两个等差数列 、 ，若 ，则
A． B． C． D．
10．甲船在岛A的正南B处，以4 km/h的速度向正北航行，AB＝10 km，同时乙船自岛A出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为
福建省永安市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 文.doc
福建省永安市第三中学2021届高三数学上学期期中试题 文第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面上,复数z=对应的点位于( )A.第一象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第四象限2. 已知θ为锐角，且 ，则sin （θ+45°）=（ ）A .B.C.D.3. 下列结论错误．．的是( ) A. 若“”为假命题,则p ,q 均为假命题 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题：“,”的否定是“,”D. 命题：“若,则”的逆否命题为“若,则”4.函数的部分图象如图所示,则( ) A .B.C. D.5.圆心为的圆,在直线上截得的弦长为,那么,这个圆的方程为A . B. C.D.6.已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. B. C. D.53sin =θ7.在中,已知D 是BC 延长线上一点,点E 为线段AD 的中点,若,且,则( )A . B. C. D.8.函数其中e 为自然对数的底数的图象大致为( )A. B.C. D.9.已知圆C 的方程为,平面上有,两点,点Q 在圆C 上,则的面积的最大值是( )A . 6 B. 3C. 2D. 110.为了得到函数的图象,可以将函数的图象A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位11.若直线 ,被圆截得弦长为4,则的最小值是)0,0(022>>=+-b a by axA . 9 B. 4 C. D.12. 定义在R 上的偶函数,其导函数；当时,恒有,若,则不等式的解集为A .⎪⎭⎫⎝⎛1,31B.()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,131,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知函数,则的值是________． 14.已知向量,,若向量与垂直,则______． 15.等比数列的各项均为正数,且,则______．16.若曲线与直线始终有交点,则b 的取值范围是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分 12 分）2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． 完成列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：18.（本小题满分 12 分）的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量与平行．Ⅰ求A；Ⅱ若,,求的面积．19. （本小题满分 12 分）已知等差数列满足：,,其前n项和为．Ⅰ求数列的通项公式及；Ⅱ若,求数列的前n项和．20．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中xOy中,直线与圆C相切,圆心C的坐标为．Ⅰ求圆C的方程；Ⅱ设直线与圆C没有公共点,求k的取值范围．Ⅲ设直线与圆C交于M、N两点,且,求m的值．21.（本小题满分 12 分）设函数,,,记．Ⅰ求曲线在处的切线方程；Ⅱ求函数的单调区间；Ⅲ当时,若函数没有零点,求a的取值范围．四、选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(1)[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分).在平面直角坐标系xOy中,直线l过点,倾斜角为,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是．写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；若,设直线l与曲线C交于A,B两点,求的面积．(2)[选修 4-5:不等式选讲](10 分)已知函数．当时,求不等式的解集；设函数,当时,,求a的取值范围．参考答案选择题答案：ABBCD CDADD CB填空题： 14. 15.10 16.17.解：根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男45 10 55女30 15 45合计75 25 100根据列联表中的数据 ,得到,所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C,对冰球没有兴趣的2人为m、n,则从这5人中随机抽取3人,共有m,,m,,m,,、B、、B、,、C、,、C、,、C、,、C、,、B、共10种情况,其中3人都对冰球有兴趣的情况有、B、种,2人对冰球有兴趣的情况有、B、,、B、,、C、,、C、,、C、,、C、共6种,所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种,因此,所求事件的概率．18.解：Ⅰ因为向量与平行,所以,由正弦定理可知：．因为,所以因为A为的内角,所以．Ⅱ,,由余弦定理可得,可得,解得负值舍去,所以的面积为．19.解：设等差数列的公差为d,则,解得：,,,．,数列的前n项和为．20.解：Ⅰ设圆的方程是,依题意为圆心的圆与直线相切．所求圆的半径,,所求的圆方程是．Ⅱ圆心到直线的距离,与圆没有公共点,即,解得．k的取值范围：Ⅲ设,,,消去y,得到方程,由已知可得,判别式,化简得,,,由于,可得,又,,得,由,得或,满足,故或．20.【解析】本题重点考查圆的标准方21.解：Ⅰ,则函数在处的切线的斜率为,又,函数在处的切线方程为,即；Ⅱ,,,当时,,在区间上单调递增,当时,令,解得；令,解得,综上所述,当时,函数的增区间是,当时,函数的增区间是,减区间是；Ⅲ依题意,函数没有零点,即无解,由Ⅱ知：当时,函数在区间上为增函数,区间上为减函数,只需,解得．实数a的取值范围为23.解：当时,,,,,,,解得,不等式的解集为,,,,当时,成立,当时,,,解得,的取值范围是．。
福建省永安市第一中学2021届高三上学期暑期考试数学答案
在 △ABP
中，由正弦定理得
sin
AB APB
PB sin PAB
，
所以 sin PAB 3
3 2 3
57 ．--------12 分
19 38
22.【详解】（1）设“机器出现故障设”为事件 A ，则 P( A) 1 ．--------1 分 3
设出现故障的机器台数为 X ，则 X ~ B(4, 1) ， 3
因为 72 90% 80 ，所以至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障
81
81
时能及时进行维修的概率不小于 90% ．
--------6 分
（2）设该厂获利为 Y 万元，则 Y 的所有可能取值为 18，13，8，
P(Y 18) P(X 0) P(X 1) P(X 2) 8 ， P(Y 13) P(X 3) 8 ，
所以 A B x 1 x 4
--------4分
（2）因为1 3m2 m2 B
--------5分
因为 A x | 1 x 3, 所以 CR A (, 1] (3, ) ， --------6分
因为 B CR A ，所以 m2 3
--------8分
m 3或m 3.
----------- 9分
sin
3
53 2
，
解得 BC 5 ，--------7 分
则 BP 3 ，--------8 分 作 AD BC 交 BC 于 D，如图所示：
由（1）知，在等边 △APC 中， AD 3 ， PD 1，
在 Rt△ABD 中 AB AD2 BD2 3 16 19 ．--------10 分
P( X
0)
C04
(
永安市第一中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题
福建省永安市第一中学2020—2021学年高一数学上学期期中试题（考试时间：120分钟 总分:150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题:本题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求。
1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,,3,6,72,3,4,5B U A ===，，则U AC B =A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,72。
命题:,||0p x R x x ∀∈+≥，则A ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+>B ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+<C ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≤D ．:,||0p x R x x ⌝∃∈+≥3.已知函数221,0()1,0x x f x x x ，则((1))f fA. 0 B 。
1C 。
1D 。
24.函数||yx x 的图象大致是A B CD5。
设x R ∈，则“05x <<”是“()211x -<"的A. 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知函数f （x)是定义在R 上的偶函数,x ≥0时，2()2f x x x,则函数f （x )在R 上的解析式是A ．()(2)f x x x B ．()(||2)f x x x C ．()||(2)f x x x D ．()||(||2)f x x x7.若函数kkx x x f 24)(2+-=在]2,1[-上为单调函数，则实数k 的取值范围为A 。
),16[+∞ B.]8,(--∞ C.]16,8[-D 。
]8,(--∞ ),16[+∞8．已知)(x f 是奇函数，且在0,上是增函数，又(2)0f ,则()01f x x 的解集为A ．2,01,2B ．2,02,C ．,21,2D ．1,22,二、多项选择题:本题共4个小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求。
永安市第三中学2021高三数学上学期期中试题
福建省永安市第三中学2021届高三数学上学期期中试题第I 卷(选择题）一、单选题(共40分)1．(本题5分）若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且11z i=-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．实轴上D ．虚轴上2．（本题5分）下列命题中的假命题．．．是（ ) A ．R,e 0xx ∀∈> B ．00R,ln 1xx ∃∈<C ．2R,(1)0x x ∀∈->D ．i 为虚数单位，1i -为虚数3．(本题5分)等差数列{}na 中，若28515a a a +=-，则5a 等于A ．3B ．4C ．5D ．64．(本题5分)在ABC ∆中，已知3,5,7===c b a ，则角A 大小为（ ） A ．120 B ．90C ．60 D ．455．(本题5分）已知向量(1,2)=a ，(1,1)=b ，若k =+c a b ，且b c ⊥,则实数k =A ．32B ．53-C ．53D ．32-6．(本题5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．127．(本题5分）已知{}n a 是公差为12的等差数列,nS 为数列{}na 的前n 项和，若248,,a a a 成等比数列，则7=S （ )A ．194B ．14C ．12D ．168．(本题5分）已知函数ln ,0,()e 1,0,xx x f x x >⎧=⎨-⎩()()g x f x x a =+- ，若()g x 恰有一个零点,则a 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．[1,)+∞D ．(0,1]二、多选题(共20分)9．(本题5分)下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ) A ．1y x=B ．x y e -=C ．21y x=-+ D ．lg y x =10．（本题5分)下列关于ABC 的结论中，正确的是（）A ．若222a b c +>,则ABC 为锐角三角形B ．若222ab c >+，则ABC 为钝角三角形C ．若::1:2:3A B C =，则::1:2:3a b c =D ．若A B >,则sin sin A B >11．（本题5分)已知()3,1a =-，()1,2b =-，则正确的有（ ） A ．5a b ⋅= B ．a 的单位向量是31010,1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．4a b π<⋅>=D ．a 与b 平行12．（本题5分）已知数列{a n ｝是公差不为0的等差数列,前n 项和为S n ，满足a 1+5a 3＝S 8,下列选项正确的有( ） A ．10a= B ．712SS = C ．10S 最小 D ．200S=第II 卷(非选择题)三、填空题(共20分) 13．（本题5分）曲线2ln y x x=+在1x =处的切线的倾斜角为α=__________．14．（本题5分)已知,,,432πππαβπ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，满足sin()sin 2sin cos αβααβ+-=，则sin 2sin()αβα-的最大值为______。
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绝密★启用前 福建省永安市第一中学 2021届高三年级上学期期中教学质量检测
数学试题
2020年11月
（考试时间：120分钟 总分150分）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每题仅有一个选项是正确的.
1．已知集合{}{}
2|4,|3A x R x B x N x =∈≤=∈≤，则A B = A ．(]0,2 B ．[]0,2 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2
2．已知双曲线的渐近线方程为x y 3
3±=，一个焦点()0,2F ，则该双曲线的虚轴长为 A ．1
B ．3
C ．2
D ．32
3．若a R ∈,则“复数32ai z i
-=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知实数x ,y 满足0010360x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，,则23z y x =-的最大值为
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6
5．如图所示的流程图中,输出d 的含义是
A.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离
B.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的平方
C.点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离的倒数
D.两条平行线间的距离
6．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12,3432=+=a a S ,则公比=q
A ．4±
B ．4
C ．2±
D ．2
7．函数2ln x x y -=的图象大致为
8.直线02=+
+y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 9．已知等腰梯形ABCD 中,2AB DC =,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,G 为EF 的中点,若记a AB =,AD b =,则AG =
A ．3384a b +
B ．3182a b +
C ．1324
a b + D ．1348a b + 10．已知()f x 是奇函数,且当0>x 时()24x f x =-,则不等式()02>-x f 的解集为
A ．{}|04x x x <>或
B ．{}|024x x x <<>或
C ．{}|04x x x <>或
D ． {}
|22x x x <->或 11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭在(]0,2上恰有一个最大值1和一个最小值1-,则ω的取值范围是
A ．513,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．513,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．713,1212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．713,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 12．若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线,则实数a 的取值范围为
A ．2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）。