运筹学单纯形法第部分优秀课件
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运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
运筹学单纯形法PPT课件
由上式得 A 11
1 1
1 0
10 b 05
第30页/共95页
可能的基阵
A 11
1 1
1 0
10
1 1 B12 1 1
1 1 B13 1 0
1 0 B14 1 1
1 1
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
可令 y j x j l j 或者 y j l j x j
代入原问题
如果某个变量为自由变量，则可令
xxjj
xj , xj
0
xj
第12页/共95页
X1+X2 5 s.t -6 X1 10
X20
令 X1' = X1 +6 -6+6 X1+6 10+6 0 X1' 16
X1' +X2 11 s.t X1' 16
5
X 0 0 5 0T
为基本可行解，B13为可行基,为退化解
第32页/共95页
1 0 对于基阵 B14 1 1
则
x1 5
x1
x4
0
令 x2 0 x3 0
X 5 0 0 5T
1 1 对于基阵 B23 1 0 令 x1 0 x4 0
则
x2x2
x3 0
5
X 0 0 5 0T
s.t 3X1 +2X2 + X4 ＝ 60
2X2
+ X5 ＝ 24
X1 ,…, X5 0
第9页/共95页
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi
第01章 线性规划及单纯形法 《运筹学》PPT课件
(f)可行域为空集 无可行解
线性 规划 及单 纯形
法
❖ 线性规划问题及数学模型 ❖ 图解法 ❖ 单纯形法原理 ❖ 单纯形法计算步骤 ❖ 单纯形法进一步讨论 ❖ 数据包络分析 ❖ 其他应用例子
§3
单
纯
线性规划问题的解的概念 凸集及其顶点
形
几个基本定理
法
原
理
线性规划问题
n
max z c j x j j 1
j 1
标 准
s.t.
n j 1
pjxj
b
x
j
0
j 1,2,, n
型
a1 j
其中：
pj
a2
j
amj
把一般的LP化成标准型的过程称为 线性规划问题的标准化
方法：
1 目标标准化
标
min Z 等价于 max ( - Z )
准
max Z’=-∑cjxj 2 化约束为等式
化
加松弛变量、减剩余变量
广度和深度、方法和算法的完
善
特点：
模型方法的应用
运
多学科的综合
筹
系统的整体观念
学 优点：
模 符号语言、便于交流
型
事前分析、减少失误
抽象反映实际、突出共性
确定目标，明确约束 提出问题 抓主要矛盾、舍次要矛盾
运
筹
选择模型、设定变量 建立模型
描述约束和目标、确定参数
学
方
求解、优化 选择求解方法、求解问题
法
(1.1a) (1.1b)
(1.1c) (1.1d)
运用图解法，以求出最优生产计划 （最优解）。
由于线性规划模型中只有两个决策
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
管理运筹学 第5章 单纯形法-PPT精品文档
**对于求目标函数最小值的情况，只需把 j ≤0改为 ≥j0
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
8
§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
管理运筹学
6
§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
三、 基变换 通过检验，我们知道这个初始基本可行解不是最优解。下面介绍如何进
行基变换找到一个新的可行基，具体的做法是从可行基中换一个列向量，得 到一个新的可行基，使得求解得到的新的基本可行解，其目标函数值更优。 为了换基就要确定换入变量与换出变量。 1.
σ 1=50，σ 2=100，σ 3=0，σ 4=0，σ 5=0。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
• 2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，
如果所有检验数 ≤0，j 则这个基本可行解是最优解。下面
我们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量 表示的目标函数为如下形式
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§1 单纯形法的基本思路和原理
在本例题中我们就找到了一个基是单位矩阵。
1 0 0 B2 0 1 0
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的各 列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行 解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作为初始可行 基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
管理运筹学
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§1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验
所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
1. 最优性检验的依据——检验数σ j 一般来说目标函数中既包括基变量，又包括非基变量。现在我们要求
只用非基变量来表示目标函数，这只要在约束等式中通过移项等处理就可
以用非基变量来表示基变量，然后用非基变量的表示式代替目标函数中基
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
第5章-1单纯形法-10-09.ppt
0 0 1
0 0 1
A中基之外的其它列称为B的非基向量。
又如:B’
1 1 2 1
1 0
是基
1 B 2
1 1
1 0
的三个基向量.
0 1 0
0 1 0
而A中其它两列,
0 1
0 ,0
0 1
则称为B’的非基向量.
•原模型为:
max z 50x1100x2 0s1 0s2 0s3
s.t.
2x1+1 x2+0s1+1s2+0s3 =400
0x1+1x2+0s1+0s2+1s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, s1≥0， s2≥0， s3≥0
•基及基本解:
max z 50x1100x2 0s1 0s2 0s3
x1
x2
max z 50
100
0
0
0•
s1
s2
•基及基本解:
s.t. 1 0 0 300 1 1
0s1 1s2 0s3 400 2x1 1x2 0 0 1 250 0 1
1 0 0 300 1x1 x2 0s1 1s2 0s3 400 2x1 x2 0 0 1 250 x2
•基及基本解:
的解称为可行解.即可行域内所有点.
max z=50x1+100x2
最优解
x1+ x2≤300
2x1+x2≤400
200
s.t.
x2≤250
可行域内的 所有点称为: 可行解.
x1 ≥0, x2≥0
200
300
x1
一、线性规划问题解的基本概念
运筹学-单纯形法1课件
例2:
cj CB XB 0 x3 0 x4
σj 0 X3 1 x1
σj
maxZ x 1 x 2
s.t.
2x 1 x1
x2 x2
100 50
x1,x2 0
1
1
00
bi x1 x2 x3 x4
100 -2 1
1
0
50 [ 1 ] -1 0 1
11
0
0
200 0 -1 1 2
50 1 -1 0 1
唯一最优解；
• a4<0,a5<0, a6≥0
无穷多最优解；
• a6≥0,a4≤0, a5≤0, a4=0或a5=0
无界；
• a6≥0,a5>0,a2≤0, a3≤0
无可行解；
• a4≤0,a5≤0, x4或x2为人工变量, a6≥0 ；
非最优，继续换基: X3换入，x2换出
• x1为人工变量, a6>0 • a4>0,a4>a5;a6/a1>2→a1>0
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
0 0 04 -1 1 0 1
0 0 13
-M 0 0 x2入, x6出
1 -1 0 1 -1 1 0 -
3 -3 1 1
3M -1/2
0 1/2
-4M 0 1/2 -1/2 0 1/3 -1/2 1/6
x1入, x7出 9 3/2
3/2 -M-3/2 -M+1/2 x3入, x1出
28.09.2024
11
练习: 列出初始单纯形表，并求解第2小题 的最优解
P55，2.2（1） 2.
28.09.2024
12
单纯形表
运筹学课件1-3单纯形法原理
§1.3 单纯形法原理
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
理论方法 算法步骤 单纯形表
算例
第1页
一、基本概念
考虑线性规划标准形式 max z CX s .t . AX b X 0 ：
其中A为m×n阶矩阵
可行解：满足AX=b,且X≥0的解称为可行解。 可行域：全部可行解的集合称为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解称为最 优解。 基：设B是系数矩阵A的一个m×n阶的满秩子矩阵， 称B是(LP)的一个基。
－5 0 0
2.5 0 4 4 0 3
1.5 17.5 22 19
－3 0 0 0
问：基解中零的个数至少有多少个？ 至少n-m个
例3
x1=0, x3=0 x2=3, x4=-2 是基解，但不 是可行解
D
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
第12页
三、几个基本定理
引理 线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件 是它的正分量所对应的系数列向量线性无关。
证： （2）充分性
若向量 P1 , P2 , , Pk 线性无关，
则必有 k m
T
当 k m 时， P1 , P2 , , Pm 构成基
从而 X ( x1 , , x m , 0 , , 0 ) 为相应的基可行解
若X
(X
(0)
(0)
证。
(0)
不是基可行解
(0)
,由定理 2 知 X
到通过 X
) CX ) CX
《管理运筹学》课件02-单纯形法
解决方案
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
使用单纯形法，找到最优解，即最大利润和对应的生产计 划。
整数规划问题
整数规划问题概述
整数规划是一种特殊的线性规划，其中部分或全部决策变量必须取整数值。整数规划在许多实际应用中非常重要，如 安排生产计划、分配任务等。
案例
某制造企业需要安排生产任务，每种产品需要不同的设备和人力，企业希望最大化利润，同时满足产品数量、交货期 和资源限制等约束，且所有设备必须全负荷运转。
反射法与对偶法
要点一
总结词
反射法与对偶法是两种将原问题转化为对偶问题进行求解 的方法，反射法是通过构造一个反射矩阵来转化问题，对 偶法则是通过对偶变换将原问题转化为对偶问题。
要点二
详细描述
反射法的核心思想是通过构造一个反射矩阵，将原问题中 的约束条件和目标函数进行转化，从而将原问题转化为一 个简单的子问题。对偶法则通过对偶变换将原问题中的变 量和约束条件进行重新排列和组合，从而将原问题转化为 一个对偶问题。这两种方法都可以在一定程度上简化问题 的求解过程，提高求解效率。
02
单纯形法的基本步骤
初始解的确定
确定初始基本可行解
根据问题条件，选择初始的变量值， 满足所有约束条件，构成初始的基本 可行解。
确定初始基
选择一组变量作为初始基，这些变量 对应的约束为紧约束。
迭代过程
迭代方向
在每次迭代中，通过计算目标函数的值和最优解的方向，确 定变量的调整方向。
迭代步骤
按照迭代方向，逐步调整变量的值，直到达到最优解或满足 终止条件。
证求解的精度和可靠性。
两阶段法
总结词
两阶段法是一种将原问题分解为两个阶段进行求解的方法，第一阶段是确定初始解，第二阶段是对初始解进行 优化和调整。
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x2对应的系数列向量P2=（1，3）T， 当前的换入变量是 X2，按最小比值原则
确定换出变量：
要求： xx1536x32x2x36 x3x4x400
于是： x x2 2 3 6//1 3 x2mi3n /1,6/2
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
0
)的检验数，若对于
一切非基变量的角指标j，均有 j≤0，则X(0)
为最优解。
（3）无“有限最优解”的判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b 1 ',b2 ', ,bm ' )为一基本可行解，有 一非基变量xk,其检验数 k 0 , 而对于 i=1,2,…，m，均有 ai'k 0 ，则该线性规划问题 没有“有限最优解”。
初始可行基 ：
1 0 0
B(0) (Pn1,Pn2,,Pnm)0
1
0
0 0 1
初始基本可行解：
X (0 )(0 ,0 , ,0 ,b 1,b 2, ,b m )T
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'jxj, j1
i1,2 ,m
xx15
3x2x3x4 0 60x26x3x4 0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
3、进行基变换
（1）选择进基变量——原则：正检验数（或 最大正检验数）所对应的变量进基，目的是 使目标函数得到改善（较快增大）；
进基变量对应的系数列称为主元列。
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
单纯形法小结
求解思想－－
顶点的逐步转移， 条件是
使目标函数值不断得到改善。
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
运筹学单纯形法第部分优秀课 件
线性规划限制条件都是“≥”或“=” 类型的约束——
先将约束条件标准化，再引入非负 的人工变量， 以人工变量作为初始基变 量，其对应的系数列向量构成单位阵， 称为“人造基”；
然后用大M法或两阶段法求解；
等式约束左端引入人工变量的目的 使约束方程的系数矩阵中出现一个
单位阵，用单位阵的每一个列向量对
i1
j1
i1
m
m
令Z0 cnibi' , zj cnizj )xj j1
令 j cj zj
n
Z0 jxj j1
（2）最优性判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b1 ',b2 ', ,bm '是)对应于基B的基本可
行解， 是j 非基变量
x
( j
b列正好就是基变量的取值，检验数行 和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，
因此称b列为解答列
（2）写出初始基本可行解——
根据“用非基变量表示基变量的表达式”， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。
2、建立判别准则：
（1）两个基本表达式的一般形式
就LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述：
完成一次迭代，得到新的基本可行解和 相应的目标函数值
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
依据：最优性检验的两个定理
最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理
计算机求解时的注意点
1、输入数据中的分数，需先化为小数再执行输入过程。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确 定出基变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。
主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
思考题
这样进行基变换后得到的新解对应的系数 列向量是否线性独立？
4、主元变换（旋转运算或枢运算）
按照主元素进行矩阵的初等行变换——把主 元素变成1，主元列的其他元素变成0（即主 元列变为单位向量）
选择（最大）正检验数对应的系数列 为主元列，主元列对应的非基变量为换 入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行 对应的基变量为换出变量。
确定进基变量和出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵的初等行变换把主元列变成单 位向量，主元素变为1，进基变量对应的 检验数变成0，从而得到一张新的单纯形 表，返回第二步。
应的决策变量作为“基变量”，这样， 出现在单纯形表格中的B(i)列（即约 束方程的右边常数）值正好就是基变 量的取值。 （注意：用非基变量表示基变量的表达式）
讨论
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎麽办？
构造“不完全的人造基”！
②为什麽初始可行基一定要选单位阵？
用非基变量表示目标函数的表达式：
nm
n
m
n
m
n
Z cjxj cjxj cnixni cjxj cni(bi' ai'jxj )
j1
j1
i1
j1
i1
j1
m
n
mn
cnibi' cjxj cniai'jxj
i1
j1
i1 j1
m
n
m
cnibi' (cj cniai'j)xj
此时LP的标准型为
n
nm
MaxZ c j x j 0 x j
j 1
j n 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn xn1 b1
s.t.a21 x1
a22 x2
a2n xn
xn2
b2
a
m1
x1
am2 x2
amn xn
xnm
bm
x1 , x2 , , xnm 0
证明思路——构造性证明：
依据用非基变量表示基变量的表达式构造一族
可行解，其对应的目标函数值趋于无穷大。
几何意义：沿着无界边界前进的一族可行解
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3x2 x3 x4 x5 63x2 6x3 x4
代表两个约束条件： x1x2 x3x4 3 3x2 6x3x4 x5 6
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
第三步：基变换
确定换出变量：
要求： xx1536x32x2x36 x3x4x400
于是： x x2 2 3 6//1 3 x2mi3n /1,6/2
如果x2的系数列变成P2’=（-1，0）T,则用非 基变量表示基变量的表达式就变成；
0
)的检验数，若对于
一切非基变量的角指标j，均有 j≤0，则X(0)
为最优解。
（3）无“有限最优解”的判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b 1 ',b2 ', ,bm ' )为一基本可行解，有 一非基变量xk,其检验数 k 0 , 而对于 i=1,2,…，m，均有 ai'k 0 ，则该线性规划问题 没有“有限最优解”。
初始可行基 ：
1 0 0
B(0) (Pn1,Pn2,,Pnm)0
1
0
0 0 1
初始基本可行解：
X (0 )(0 ,0 , ,0 ,b 1,b 2, ,b m )T
一般（经过若干次迭代），对于基B，
用非基变量表出基变量的表达式 为：
n
xni bi' ai'jxj, j1
i1,2 ,m
xx15
3x2x3x4 0 60x26x3x4 0
可行性自然满足,最小比值原则失效,意即x2的值 可以任意增大→原线性规划无“有限最优解”。
3、进行基变换
（1）选择进基变量——原则：正检验数（或 最大正检验数）所对应的变量进基，目的是 使目标函数得到改善（较快增大）；
进基变量对应的系数列称为主元列。
写出新的基本可行解，返回最优性检验。
单纯形法小结
求解思想－－
顶点的逐步转移， 条件是
使目标函数值不断得到改善。
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
引入适当的松驰变量、剩余变量和人工变量 ，使约束条件化为等式，并且约束方程组的系数 阵中有一个单位阵。
（这一步计算机可自动完成）
运筹学单纯形法第部分优秀课 件
线性规划限制条件都是“≥”或“=” 类型的约束——
先将约束条件标准化，再引入非负 的人工变量， 以人工变量作为初始基变 量，其对应的系数列向量构成单位阵， 称为“人造基”；
然后用大M法或两阶段法求解；
等式约束左端引入人工变量的目的 使约束方程的系数矩阵中出现一个
单位阵，用单位阵的每一个列向量对
i1
j1
i1
m
m
令Z0 cnibi' , zj cnizj )xj j1
令 j cj zj
n
Z0 jxj j1
（2）最优性判别定理
若 X(0)(0,0, ,0,b1 ',b2 ', ,bm '是)对应于基B的基本可
行解， 是j 非基变量
x
( j
b列正好就是基变量的取值，检验数行 和b列交叉处元素也正好对应目标函数值，
因此称b列为解答列
（2）写出初始基本可行解——
根据“用非基变量表示基变量的表达式”， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。
2、建立判别准则：
（1）两个基本表达式的一般形式
就LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述：
完成一次迭代，得到新的基本可行解和 相应的目标函数值
停止迭代的标志（停机准则）
该迭代过程直至下列情况之一发生时停止
检验数行全部变为非正值； （得到最优解）或 主元列≤ 0 （最优解无界）
依据：最优性检验的两个定理
最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理
计算机求解时的注意点
1、输入数据中的分数，需先化为小数再执行输入过程。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确 定出基变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。
主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
思考题
这样进行基变换后得到的新解对应的系数 列向量是否线性独立？
4、主元变换（旋转运算或枢运算）
按照主元素进行矩阵的初等行变换——把主 元素变成1，主元列的其他元素变成0（即主 元列变为单位向量）
选择（最大）正检验数对应的系数列 为主元列，主元列对应的非基变量为换 入变量；
最小比值对应的行为主元行，主元行 对应的基变量为换出变量。
确定进基变量和出基变量。
第四步 换基迭代（旋转运算、枢运算)
利用矩阵的初等行变换把主元列变成单 位向量，主元素变为1，进基变量对应的 检验数变成0，从而得到一张新的单纯形 表，返回第二步。
应的决策变量作为“基变量”，这样， 出现在单纯形表格中的B(i)列（即约 束方程的右边常数）值正好就是基变 量的取值。 （注意：用非基变量表示基变量的表达式）
讨论
①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎麽办？
构造“不完全的人造基”！
②为什麽初始可行基一定要选单位阵？
用非基变量表示目标函数的表达式：
nm
n
m
n
m
n
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j1
j1
i1
j1
i1
j1
m
n
mn
cnibi' cjxj cniai'jxj
i1
j1
i1 j1
m
n
m
cnibi' (cj cniai'j)xj
此时LP的标准型为
n
nm
MaxZ c j x j 0 x j
j 1
j n 1
a11 x1 a12 x2 a1n xn xn1 b1
s.t.a21 x1
a22 x2
a2n xn
xn2
b2
a
m1
x1
am2 x2
amn xn
xnm
bm
x1 , x2 , , xnm 0
证明思路——构造性证明：
依据用非基变量表示基变量的表达式构造一族
可行解，其对应的目标函数值趋于无穷大。
几何意义：沿着无界边界前进的一族可行解
举例：用非基变量表示基变量的表达式
x1 3x2 x3 x4 x5 63x2 6x3 x4
代表两个约束条件： x1x2 x3x4 3 3x2 6x3x4 x5 6
确定初始可行基，写出初始基本可行解
第二步：最优性检验
计算检验数，检查： 所有检验数是否≤ 0？
是——结束，写出最优解和目标函数最优值； 还有正检验数——检查相应系数列≤ 0？
是——结束，该LP无“有限最优解”！ 不属于上述两种情况，转入下一步—基变换。
确定是停止迭代还是转入基变换？
第三步：基变换